专题18 等腰直角三角形构建三垂直全等问题-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练

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专题18  等腰直角三角形构建三垂直全等问题【规律总结】【典例分析】例1．（2020·无锡市玉祁初级中学八年级月考）如图，，，，，垂足分别为、，，，则的长（    ）．A． B． C． D．【答案】A【分析】证△CEB和△ADC全等，得到BE和CD相等，CE和AD相等，即可得到结论；【详解】解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E=∠ADC=90°，∴∠EBC+∠BCE=90°，∴∠BCE+∠ACD=90°，∴∠EBC=∠DCA，在△CEB和△ADC中，∴△CEB≌△ADC∴BE=DC，CE=AD∵AD=2.5cm，DE=1.7cm，∴CE=1.7cm，∴DC=CE-DE=0.8cm，∴BE=0.8cm；故选：A．【点睛】本题考查垂直性质的运用，直角三角形的性质的运用，全等三角形的性质和判定，证明三角形全等是解题的关键．例2．（2020·浙江金华市·八年级期末）如图，在中，，，，是的中点，是边上一点，连接，以为直角边作等腰直角三角形，斜边交线段于点，若，则的长为________．【答案】3【分析】作DG⊥AC于G，EH⊥AC于H，则∠DGM＝∠MHE＝90°，DG∥BC，由勾股定理得出BC＝6，证出DG是△ABC的中位线，得出DG＝BC＝3，AG＝CG＝AC＝4，证明△MDG≌△EMH（ASA），得出MG＝EH，由三角形面积关系得出DG＝2EH＝3，得出MG＝EH＝，再证明∆DGF~∆EHF，从而求出GF，进而即可得出答案．【详解】作DG⊥AC于G，EH⊥AC于H，如图所示：则∠DGM＝∠MHE＝90°，DG∥BC，∵∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，∴BC＝，∵DG∥BC，D是AB的中点，∴DG是△ABC的中位线，∴DG＝BC＝3，AG＝CG＝AC＝4，∵△DME是等腰直角三角形，∴∠DME＝90°，DM＝ME，∵∠DMG＋∠GDM＝∠DMG＋∠EMH＝90°，∴∠GDM＝∠EMH，在△MDG和△EMH中， ∴△MDG≌△EMH（ASA），∴MG＝EH，∵S△MDF＝2S△MEF，∴DG＝2EH＝3，∴MG＝EH＝，∵DG∥EH，∴∆DGF~∆EHF，∴，∵GH=MH-MG=DG-MG=3-=，∴GF=×=1，∴CF=AC-AG-GF=8-4-1=3，故答案是：3．．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质；添加辅助线，构造三角形全等是解题的关键．例3．（2021·江苏连云港市·八年级期末）如图1所示，直线与轴负半轴，轴正半轴分别交于、两点．（1）当时，求直线的解析式；（2）在（1）的条件下，如图2所示，设线段延长线上一点，作直线，过、两点分别作于点，于点，若，BN=3，求的长；（3）如图3，当取不同的值时，点在轴正半轴上运动，分别以、为边，点为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角和等腰直角，连接交轴于点，当点在轴正半轴上运动时，试猜想的面积是否改变；若不改变，请求出其值；若改变，请说明理由．（4）如图3，当取不同的值时，点在轴正半轴上运动，以为边，点为直角顶点，在第二象限作等腰直角，则动点在直线______上运动．（直接写出直线的解析式）【答案】（1）y＝x＋5；（2）7；（3）的面积不改变，；（4）y=5-x．【分析】（1）令y＝0可求得x＝−5，从而可求得点A的坐标，令x＝0得y＝5m，由OA＝OB可知点B的纵坐标为5，从而可求得m的值；（2）依据AAS证明△AMO≌△ONB，由全等三角形的性质可知ON＝AM，OM＝BN，最后由MN＝AM＋BN可求得MN的长；（3）过点E作EG⊥y轴于G点，先证明△ABO≌△EGB，从而得到BG＝5，然后证明△BFP≌△GEP，从而得到BP＝GP＝BG，进而求出的面积；（4）由△ABO≌△BEG，得BG＝AO＝5，OB＝EG=5m（m＞0），从而得到点E的坐标，进而即可得到答案．【详解】（1）令y=0，代入，得，解得：x=-5，令x=0，代入，得y=5m，∴A（−5，0），B（0，5m），∵OA＝OB，∴5m＝5，即m＝1．∴直线的解析式为：y＝x＋5；（2）∵AM⊥OQ，BN⊥OQ，∴∠AMO＝∠BNO＝90°，∴∠AOM＋∠MAO＝90°，∵∠AOM＋∠BON＝90°，∴∠MAO＝∠NOB，在△AMO和△ONB中，，∴△AMO≌△ONB，∴ON＝AM，OM＝BN．∵AM＝4，BN＝3，∴MN＝AM＋BN＝7；（3）的面积不改变，理由如下：如图3所示：过点E作EG⊥y轴于G点，连接AP，∵△AEB为等腰直角三角形，∴AB＝EB，∠ABO＋∠EBG＝90°，∵EG⊥BG，∴∠GEB＋∠EBG＝90°．∴∠ABO＝∠GEB．在△ABO和△EGB中， ∴△ABO≌△BEG，∴BG＝AO＝5，OB＝EG，∵△OBF为等腰直角三角形， ∴OB＝BF，∴BF＝EG．在△BFP和△GEP中，∴△BFP≌△GEP，∴BP＝GP＝BG＝，∴的面积=BP∙OA=××5=；（4）由（3）可知：△ABO≌△BEG，∴BG＝AO＝5，OB＝EG=5m（m＞0）∴OG=5+5m，∵点E在第二象限，∴点E（-5m，5+5m），设x=-5m，y=5+5m，∴y=5-x，即动点在直线y=5-x上运动，故答案是：y=5-x．【点睛】本题主要考查一次函数的图像和性质与几何图形的综合，添加合适的辅助线构造“一线三直角”全等三角形模型，是解题的关键．  【好题演练】一、单选题1．（2020·沙坪坝区·重庆一中八年级期末）如图，反比例函数的图象经过等腰直角三角形的顶点和顶点，反比例函数的图象经过等腰直角三角形的顶点，，边交轴于点，若，点的纵坐标为1，则的值是（    ）A． B． C． D．-62．（2020·福建龙岩市·八年级期末）如图，一次函数的图像与轴、轴分别交于、两点，以为腰作等腰直角三角形，则直线的解析式是（    ）A． B． C． D．或 二、填空题3．（2020·沙坪坝区·重庆八中八年级月考）如图，点的坐标为，点的坐标为，分别以，为直角边在第三、第四象限作等腰，等腰，连接交轴于点，点的坐标是______．4．（2020·重庆南开中学七年级期末）如图，点在线段上，于，于，，且，，点以的速度沿向终点运动，同时点以的速度从开始，在线段上往返运动（即沿…运动），当点到达终点时，，同时停止运动.过，分别作的垂线，垂足为，.设运动时间为，当以，，为顶点的三角形与全等时，的值为__________．三、解答题5．（2021·上海九年级专题练习）已知是等腰直角三角形，，．直角顶点C在x轴上，锐角顶点B在y轴上，过点A作轴，垂足为点D．当点B不动，点C在x轴上滑动的过程中． （1）如图1，当点C的坐标是，点A的坐标是时，请求出点B的坐标；（2）如图2，当点C的坐标是时，请写出点A的坐标；（3）如图3，过点A作直线轴，交y轴于点E，交BC延长线于点F．AC与y轴交于点G．当y轴恰好平分时，请写出AE与BG的数量关系．       6．（2020·四川大学附属中学西区学校八年级期中）在直角坐标系中，A为x轴负半轴上的点，B为y轴负半轴上的点．（1）如图①，以A点为顶点，AB为腰在第三象限作等腰，若已知，，试求C点的坐标．（2）如图②，若点A的坐标为，点B的坐标为，点D的纵坐标为b，以B为顶点， 为腰作等腰，当B点沿y轴负半轴向下运动且其他条件都不变时，求式子的值．（3）如图③，E为x轴负半轴上的一点，且，于点F，以OB为边作等边，连接EM交OF于点N，求式子的值．