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2021年浙江省宁波市中考数学冲刺试卷（四）
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这是一份2021年浙江省宁波市中考数学冲刺试卷（四），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年浙江省宁波市中考数学冲刺试卷（四）
一、选择题（每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（4分）﹣2的绝对值是（ ）
A．﹣2 B．1 C．2 D．
2．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．2a+3b＝5ab B．a2•a3＝a5 C．（2a）3＝6a 3 D．a6+a3＝a9
3．（4分）2019年1月1日，“学习强国”平台全国上线，截至2021年3月5日．某市党员“学习强国”客户端注册人数约为1180000，将数据1180000用科学记数法表示为（ ）
A．118×104 B．11.8×105 C．1.18×107 D．1.18×106
4．（4分）如图，一个由圆柱和长方体组成的几何体水平放置，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
5．（4分）如果在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠4 B．x≤4 C．x≥4 D．x＜4
6．（4分）小甬参加射击比赛，成绩统计如表：
成绩（环）
6
7
8
9
10
次数
1
3
2
3
1
关于他的射击成绩，下列说法正确的是（ ）
A．平均数是9环 B．标准差为1.4环
C．众数是9环 D．中位数是8环
7．（4分）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
8．（4分）如图，正方形ABCD的边长为4，∠ABE＝∠CDF＝30°，EF⊥BC，则EF的长为（ ）
A．4﹣4 B．3 C．2 D．6﹣2
9．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：①abc＞0；②2a+b＞0；③若﹣1＜m＜n＜1，则m+n＜﹣；④3|a|+|c|＜2|b|，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（4分）如图，所有角均为直角，所有线段均不相等，若要知道该图形周长，至少需要知道几条线段的长（ ）
A．3条 B．4条 C．5条 D．6条
二、填空题（每小题5分，共30分）
11．（5分）9的算术平方根是 ．
12．（5分）分解因式：my2﹣9m＝ ．
13．（5分）一个布袋里放有红色、黄色、黑色三种球，它们除颜色外其余都相同．红色、黄色、黑色三种球的个数之比为5：3：2，则从布袋里任意摸出1个球是黄球的概率是 ．
14．（5分）如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则阴影部分的面积为 ．
15．（5分）在Rt△ABC中，tanA＝，点O为AC上一点，⊙O与斜边AB相切于点P，分别与AC、BC交于点M，N，若，则的值为 ．
16．（5分）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，且OA⊥OB，点C为AB的中点，若点C也恰好在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则△AOB的面积为 ．
三、解答题（本大题有8小题，共80分）
17．（8分）（1）计算：（a﹣3）2+a（6﹣a）．
（2）解不等式：x﹣3＜2（3x+1）．
18．（8分）某校为调查学生对海洋科普知识的了解情况，从全校学生中随机抽取n名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如图的频数直方图和扇形统计图．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）补全频数直方图；
（2）在扇形统计图中，“70～80”这组的百分比m＝ ；
（3）已知“80～90”这组的数据如下：81，83，84，85，85，86，86，86，87，88，88，89．抽取的n名学生测试成绩的中位数是 分；
（4）若成绩达到80分以上（含80分）为优秀，请你估计全校1200名学生对海洋科普知识了解情况为优秀的学生人数．
19．（8分）图1，图2，图3都是由小等边三角形构成的网格，△ABC的三个顶点都在格点上．请分别在图1，图2，图3中各作一个格点D（互不相同），使得∠ADB＝∠ACB．
20．（10分）图1是一种折叠门，由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成，整个活页门的右轴固定在门框上，通过推动左侧活页门开关；图2是其俯视图简化示意图，已知轨道AB＝120cm，两扇活页门的宽OC＝OB＝60cm，点B固定，当点C在AB上左右运动时，OC与OB的长度不变（所有结果保留小数点后一位）．
（1）若∠OBC＝50°，求AC的长；
（2）当点C从点A向右运动60cm时，求点O在此过程中运动的路径长．
（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，π取3.14）
21．（10分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点为（1，2），与y轴的交点为C（0，3）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求与此二次函数图象关于y轴对称的图象的二次函数表达式；
（3）已知点A（﹣1，1），点B（3，1）．若原二次函数图象向下平移m个单位，与线段AB有公共点，结合函数图象，直接写出m的取值范围．
22．（10分）周日上午8：00小聪从家里出发，骑公共自行车前往离家5千米的新华书店，1小时后小聪爸爸从家里出发，沿同一条路以25千米/时的速度开车去接小聪，一起买好书后接上小聪按原速度返回家中，已知小聪在书店停留的时间比爸爸多0.7小时，两人离家的路程y（千米）与小聪所用的时间x（小时）之间的函数关系如图所示，根据图象回答下列问题：
（1）求爸爸在新华书店停留的时间及小聪骑自行车的速度；
（2）求小聪爸爸开车返回途中，y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（3）问上午几时小聪爸爸离家路程为2.5千米．
23．（12分）【基础巩固】
如图1，△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；
【尝试应用】
如图2，▱ABCD中，点E，F分别在BC，AC上，△AEF∽△ACD，BE＝2，CE＝6，求AF•AC的值．
【拓展提高】
如图3，在（2）的条件下，连接DF，AB＝AF，已知cos∠ACD＝，求tan∠ACB的值．
24．（14分）定义：△ABC中，∠A+2∠B＝90°，则称△ABC为倍余三角形．
（1）下列说法正确的是 ．
①倍余三角形一定是钝角三角形；
②等腰三角形不可能是倍余三角形．
（2）如图1，△ABC内接于⊙O，点D在直径BC上（不与B，C重合），满足AB＝AD，求证：△ACD为倍余三角形；
（3）在（2）的条件下，
①如图1，连接AO，若△AOD也为倍余三角形，求∠C的度数；
②如图2，过点D作DE⊥BC交AC于点E，若△ABC面积为△ADE面积的7.5倍，求的值．
2021年浙江省宁波市中考数学冲刺试卷（四）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（4分）﹣2的绝对值是（ ）
A．﹣2 B．1 C．2 D．
【分析】利用数轴上表示某个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，进而得出答案．
【解答】解：﹣2的绝对值为2．
故选：C．
2．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．2a+3b＝5ab B．a2•a3＝a5 C．（2a）3＝6a 3 D．a6+a3＝a9
【分析】直接利用合并同类项法则以及结合幂的乘方与积的乘方法则，分别化简求出答案．
【解答】解：A、2a+3b无法计算，故此选项不合题意；
B、a2•a3＝a5，正确，符合题意；
C、（2a）3＝8a 3，故此选项不合题意；
D、a6+a3，无法计算，故此选项不合题意；
故选：B．
3．（4分）2019年1月1日，“学习强国”平台全国上线，截至2021年3月5日．某市党员“学习强国”客户端注册人数约为1180000，将数据1180000用科学记数法表示为（ ）
A．118×104 B．11.8×105 C．1.18×107 D．1.18×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将1180000用科学记数法表示为：1.18×106．
故选：D．
4．（4分）如图，一个由圆柱和长方体组成的几何体水平放置，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【解答】解：从上面看，是一个矩形，矩形的中间是一个圆．
故选：C．
5．（4分）如果在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠4 B．x≤4 C．x≥4 D．x＜4
【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式求解．
【解答】解：根据题意得：4﹣x≥0，解得x≤4．
故选：B．
6．（4分）小甬参加射击比赛，成绩统计如表：
成绩（环）
6
7
8
9
10
次数
1
3
2
3
1
关于他的射击成绩，下列说法正确的是（ ）
A．平均数是9环 B．标准差为1.4环
C．众数是9环 D．中位数是8环
【分析】根据平均数、标准差、众数和中位数的概念逐一计算可得．
【解答】解：A．这组数据的平均数为＝8（环），此选项错误；
B．方差为×[（6﹣8）2+3×（7﹣8）2+2×（8﹣8）2+3×（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝，
则标准差为＝≈1.87（环），此选项错误；
C．众数为7环和9环，此选项错误；
D．中位数是＝8（环），此选项正确；
故选：D．
7．（4分）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据“每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：依题意，得：．
故选：B．
8．（4分）如图，正方形ABCD的边长为4，∠ABE＝∠CDF＝30°，EF⊥BC，则EF的长为（ ）
A．4﹣4 B．3 C．2 D．6﹣2
【分析】延长BE交AD于G，过点G作GH⊥BC，交DF于H，先求出AG的长，GH的长，通过证明四边形EGHF是平行四边形，可求解．
【解答】解：如图，延长BE交AD于G，过点G作GH⊥BC，交DF于H，
∵正方形ABCD的边长为4，∠ABE＝∠CDF＝30°，
∴AB＝AG，∠AGB＝∠ADF＝60°，
∴AG＝，BG∥DF，
∴GD＝4﹣，
∵∠HGD＝90°，∠ADF＝60°，
∴GH＝GD＝4﹣4，
∵EF⊥BC，GH⊥BC，
∴EF∥GH，
∴四边形EGHF是平行四边形，
∴EF＝GH＝4﹣4，
故选：A．
9．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：①abc＞0；②2a+b＞0；③若﹣1＜m＜n＜1，则m+n＜﹣；④3|a|+|c|＜2|b|，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】分别根据二次函数开口方向以及对称轴位置和图象与y轴交点得出a，b，c的符号，再利用特殊值法分析得出各选项．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴2a＜0，
∵对称轴x＝﹣＞1，b＞0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，故选项①正确；
对称轴x＝﹣＞1，又a＜0，则﹣b＜2a，则2a+b＞0，故②正确；
∵﹣1＜m＜n＜1，则﹣2＜m+n＜2，
∴抛物线对称轴为：x＝﹣＞1，＞2，m+n＜﹣，故选项③正确；
当x＝1时，a+b+c＞0，2a+b＞0，则3a+2b+c＞0，
∴3a+c＞﹣2b，
∴﹣3a﹣c＜2b，
∵a＜0，b＞0，c＜0（图象与y轴交于负半轴），
∴3|a|+|c|＝﹣3a﹣c＜2b＝2|b|，故④选项正确．
故选：D．
10．（4分）如图，所有角均为直角，所有线段均不相等，若要知道该图形周长，至少需要知道几条线段的长（ ）
A．3条 B．4条 C．5条 D．6条
【分析】根据题意，结合图形，通过平移构成矩形，据此判断即可．
【解答】解：如图：
若要知道该图形周长，至少需要知道4条线段的长：BC、AB，IJ，EF，
∵BC＝AL+KJ+IH+GF+DE，AB＝LK+KK′＝LK+CC′，IJ＝HG+GG′＝HG+C′D′，EF＝DD′，
∴只要知道BC、AB，IJ，EF4条线段的长，就能知道该图形周长．
故选：B．
二、填空题（每小题5分，共30分）
11．（5分）9的算术平方根是 3 ．
【分析】9的平方根为±3，算术平方根为非负，从而得出结论．
【解答】解：∵（±3）2＝9，
∴9的算术平方根是3．
故答案为：3．
12．（5分）分解因式：my2﹣9m＝ m（y+3）（y﹣3） ．
【分析】首先提取公因式m，进而利用平方差公式进行分解即可．
【解答】解：my2﹣9m＝m（y2﹣9）＝m（y+3）（y﹣3）．
故答案为：m（y+3）（y﹣3）．
13．（5分）一个布袋里放有红色、黄色、黑色三种球，它们除颜色外其余都相同．红色、黄色、黑色三种球的个数之比为5：3：2，则从布袋里任意摸出1个球是黄球的概率是 ．
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：是黄球的概率是＝，
故答案为：．
14．（5分）如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则阴影部分的面积为 2﹣ ．
【分析】连接OA，OB，过点O作OF⊥AB于F交⊙O于E．求出弓形AEB的面积，可得结论．
【解答】解：连接OA，OB，过点O作OF⊥AB于F交⊙O于E．
由题意AB垂直平分线段OE，
∴OF＝EF＝1，
∵OA＝OE，
∴OA＝2OF，
∴∠OAF＝30°，
∴AB＝2AF＝2×＝2，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，
∴∠AOB＝120°，
∴S弓形AEB＝﹣×2×1＝π﹣，
∴S阴＝π•22﹣2（π﹣）＝2﹣π，
故答案为：2﹣．
15．（5分）在Rt△ABC中，tanA＝，点O为AC上一点，⊙O与斜边AB相切于点P，分别与AC、BC交于点M，N，若，则的值为 ．
【分析】连接OP交MN于点H，根据切线的性质可得OP⊥AB，设OP＝3x，则AP＝4x，可得OA＝5x，根据垂径定理可得OP垂直平分MN，然后根据锐角三角函数用含x的式子表示出BP和AP的长，进而可得结果．
【解答】解：如图，连接OP交MN于点H，
∵⊙O与斜边AB相切于点P，
∴OP⊥AB，
∴∠APO＝90°，
∵tanA＝＝，
∴设OP＝3x，则AP＝4x，
∴AO＝＝5x，
∵，OP是⊙O的半径，
∴OP垂直平分MN，
∴MN∥AB，
∴∠HMO＝∠A，
∴tanA＝tan∠HMO＝＝，
∵OM＝OP＝3x，
∴MH＝OM＝x，
∴MN＝2MH＝x，
∵cosA＝cos∠NMC＝＝，
∴MC＝MN＝x，
∵AM＝OA﹣OM＝5x﹣3x＝2x，
∴AC＝AM+MC＝2x+x＝x，
∵cosA＝＝，
∴AB＝AC＝×x＝x，
∴BP＝AB﹣AP＝x﹣4x＝x．
∴＝＝．
故答案为：．
16．（5分）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，且OA⊥OB，点C为AB的中点，若点C也恰好在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则△AOB的面积为 ．
【分析】过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，可证得△AOD∽△OBE，根据反比例函数系数的几何意义可得＝，即可得出＝＝＝，设A（m，），则B（﹣，2m），运用中点坐标公式可得C（，），代入y＝，可得•＝1，利用乘法公式即可得出m2﹣＝，m2+＝，从而可求得答案．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，
∴∠ADO＝∠BEO＝90°，
∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∴∠AOD+∠BOE＝∠AOD+∠OAD＝90°，
∴∠OAD＝∠BOE，
∴△AOD∽△OBE，
∴＝（）2，
∵＝，
∴＝＝＝，
设A（m，），则B（﹣，2m），
∵点C为AB的中点，
∴C（，），
∵点C也恰好在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴•＝1，
∴m2﹣＝，
∴m2+＝＝＝，
∴S△AOB＝OA•OB＝OA•2OA＝OA2＝m2+＝，
故答案为：．
三、解答题（本大题有8小题，共80分）
17．（8分）（1）计算：（a﹣3）2+a（6﹣a）．
（2）解不等式：x﹣3＜2（3x+1）．
【分析】（1）根据完全平方公式和单项式乘多项式的法则进行计算，再进行合并同类项即可得到答案；
（2）先利用单项式乘多项式法则进行计算，然后再根据解一元一次不等式的步骤进行求解即可．
【解答】解：（1）原式＝a2﹣6a+9+6a﹣a2
＝9；
（2）去括号得，x﹣3＜6x+2，
移项得，x﹣6x＜2+3，
合并同类项得，﹣5x＜5，
系数化为1得，x＞﹣1．
18．（8分）某校为调查学生对海洋科普知识的了解情况，从全校学生中随机抽取n名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如图的频数直方图和扇形统计图．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）补全频数直方图；
（2）在扇形统计图中，“70～80”这组的百分比m＝ 20% ；
（3）已知“80～90”这组的数据如下：81，83，84，85，85，86，86，86，87，88，88，89．抽取的n名学生测试成绩的中位数是 84.5 分；
（4）若成绩达到80分以上（含80分）为优秀，请你估计全校1200名学生对海洋科普知识了解情况为优秀的学生人数．
【分析】（1）求出调查人数，和“90﹣100”的人数即可补全频数直方图；
（2）用“70﹣80”的频数10除以调查人数50 即可得出m的值；
（3）利用中位数的意义，求出中间位置的两个数的平均数，即可得出中位数；
（4）样本估计总体，样本中优秀所占的百分比为，因此估计总体1200人的是优秀的人数．
【解答】解：（1）8÷16%＝50（人），50﹣4﹣8﹣10﹣12＝16（人），补全频数直方图如图所示：
（2）m＝10÷50＝20%，
故答案为：20%；
（3）将50个数据从小到大排列后，处在第25、26位的两个数的平均数为＝84.5，
因此中位数是84.5，
故答案为：84.5；
（4）1200×＝672（人），
答：全校1200名学生对海洋科普知识了解情况为优秀的学生有672人．
19．（8分）图1，图2，图3都是由小等边三角形构成的网格，△ABC的三个顶点都在格点上．请分别在图1，图2，图3中各作一个格点D（互不相同），使得∠ADB＝∠ACB．
【分析】利用全等三角形的判定和性质解决问题即可．
【解答】解：如图，∠ADB即为所求作．
20．（10分）图1是一种折叠门，由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成，整个活页门的右轴固定在门框上，通过推动左侧活页门开关；图2是其俯视图简化示意图，已知轨道AB＝120cm，两扇活页门的宽OC＝OB＝60cm，点B固定，当点C在AB上左右运动时，OC与OB的长度不变（所有结果保留小数点后一位）．
（1）若∠OBC＝50°，求AC的长；
（2）当点C从点A向右运动60cm时，求点O在此过程中运动的路径长．
（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，π取3.14）
【分析】（1）作OH⊥AB于H，利用锐角三角函数即可求出AC的长；
（2）根据题意证明△OBC是等边三角形，可得点O在此过程中运动的路径长即为半径为OB，圆心角为60度的弧长．
【解答】解：（1）如图，作OH⊥AB于H，
∵OC＝OB＝60cm，
∴CH＝BH，
在Rt△OBH中，
∵cos∠OBC＝，
∴BH＝OB•cos50°≈60×0.64＝38.4（cm），
∴AC＝AB﹣2BH≈120﹣2×38.4＝43.2（cm），
∴AC的长约为43.2cm；
（2）∵AC＝60cm，
∴BC＝60cm，
∵OC＝OB＝60cm，
∴OC＝OB＝BC＝60cm，
∴△OBC是等边三角形，
∴半径为OB，圆心角为60度的弧长＝＝20×3.14＝62.8（cm），
∴点O在此过程中运动的路径长约为62.8cm．
21．（10分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点为（1，2），与y轴的交点为C（0，3）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求与此二次函数图象关于y轴对称的图象的二次函数表达式；
（3）已知点A（﹣1，1），点B（3，1）．若原二次函数图象向下平移m个单位，与线段AB有公共点，结合函数图象，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）根据点C（0，3）和顶点（1，2），利用抛物线的顶点坐标公式即可求解；
（2）依据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等可得到抛物线关于y轴对称的抛物线的解析式；
（3）结合函数图象根据A、B点的坐标可得答案．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象与y轴的交点为C（0，3）．
∴c＝3，
∵顶点为（1，2），
∴x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，
∴a﹣2a+3＝2，解得：a＝1，b＝﹣2，
∴二次函数的表达式为y＝x2﹣2x+3；
（2）∵关于y轴对称点的横坐标互为相反数，纵坐标不变，
∴抛物线y＝x2﹣2x+3关于y轴对称的抛物线的解析式为y＝x2+2x+3；
（3）如图：
①若原二次函数图象向下平移m个单位，与线段AB只有一个公共点，此时，m＝1；
②若原二次函数图象向下平移m个单位，与线段AB有2个公共点，且恰好为点A、B，设此时函数解析式为y＝（x﹣1）2+c，
将A（﹣1，1），点B（3，1）代入得：c＝﹣3，即向下平移5个单位，
此时，m＝5；
综上所述，若原二次函数图象向下平移m个单位，与线段AB有公共点，m的取值范围为1≤m≤5．
22．（10分）周日上午8：00小聪从家里出发，骑公共自行车前往离家5千米的新华书店，1小时后小聪爸爸从家里出发，沿同一条路以25千米/时的速度开车去接小聪，一起买好书后接上小聪按原速度返回家中，已知小聪在书店停留的时间比爸爸多0.7小时，两人离家的路程y（千米）与小聪所用的时间x（小时）之间的函数关系如图所示，根据图象回答下列问题：
（1）求爸爸在新华书店停留的时间及小聪骑自行车的速度；
（2）求小聪爸爸开车返回途中，y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（3）问上午几时小聪爸爸离家路程为2.5千米．
【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以计算出小聪骑自行车的速度及爸爸在新华书店停留的时间；
（2）根据函数图象中的数据和题意，可以得到小聪爸爸开车返回途中，y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（3）根据（2）中的结果和图象，可以得到上午几时小聪爸爸离家路程为2.5千米．
【解答】解：（1）由图象可得，小聪爸爸从家里出发到新华书店的途中时间：5÷25＝0.2
∴爸爸在新华书店停留的时间：1.6﹣1﹣0.2＝0.4（小时），
小聪在新华书店停留的时间为：0.4+0.7＝1.1（小时），
小聪骑自行车的速度为：5÷（1.6﹣1.1）＝10（千米/小时），
即小聪爸爸在新华书店停留的时间为0.4，小聪骑自行车的速度是10千米/小时；
（2）设途中，y关于x的函数表达式为y＝kx+b，
小聪爸爸开车返回用0.2小时，即小聪从家里出发到返回家中的时间为：1.6+0.2＝1.8（小时），
则，解得，，
即小聪爸爸开车返回途中，y关于x的函数表达式是y＝﹣25x+45（1.6≤x≤1.8）；
（3）由（2）知，小聪爸爸从书店返回家中用的时间为0.2小时，
8+1+0.1＝9.1（时），8+1.6+0.1＝9.7（时），
故上午9.1时或9.7时，小聪爸爸离家路程为2.5千米．
23．（12分）【基础巩固】
如图1，△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；
【尝试应用】
如图2，▱ABCD中，点E，F分别在BC，AC上，△AEF∽△ACD，BE＝2，CE＝6，求AF•AC的值．
【拓展提高】
如图3，在（2）的条件下，连接DF，AB＝AF，已知cos∠ACD＝，求tan∠ACB的值．
【分析】（1）由相似三角形的性质得出∠BAC＝∠DAE，，得出∠BAD＝∠CAE，，由相似三角形的判定定理可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得出AD＝BC，AD∥BC，由相似三角形的性质得出∠EAF＝∠CAD，，证出AE＝CE＝6，则可得出答案；
（3）过点D作DH⊥AC于点H，由（1）可知，△AEF∽△ACD，设CH＝a，则CD＝4a，由等腰三角形的性质得出FH＝CH＝a，AF＝4a，由勾股定理求出DH，由锐角三角函数的定义可得出答案．
【解答】（1）证明：∵△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，，
∴∠BAD＝∠CAE，，
∴△ABD∽△ACE；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵BE＝2，CE＝6，∠ACE＝∠DAC，
∴BC＝AD＝2+6＝8，
又∵△AEF∽△ACD，
∴∠EAF＝∠CAD，，
∴∠EAF＝∠ACE，
∴AE＝CE＝6，
∴AF•AC＝AE•AD＝6×8＝48；
（3）过点D作DH⊥AC于点H，由（1）可知，△AEF∽△ACD，
∴△AEC∽△AFD，
由（2）知，EA＝EC，
∴FD＝FA＝AB＝CD，
设CH＝a，则CD＝4a，
∴FH＝CH＝a，AF＝4a，
∴AH＝5a，
在Rt△DCH中，DH＝＝＝a，
∴tan∠ACB＝tan∠CAD＝．
24．（14分）定义：△ABC中，∠A+2∠B＝90°，则称△ABC为倍余三角形．
（1）下列说法正确的是 ① ．
①倍余三角形一定是钝角三角形；
②等腰三角形不可能是倍余三角形．
（2）如图1，△ABC内接于⊙O，点D在直径BC上（不与B，C重合），满足AB＝AD，求证：△ACD为倍余三角形；
（3）在（2）的条件下，
①如图1，连接AO，若△AOD也为倍余三角形，求∠C的度数；
②如图2，过点D作DE⊥BC交AC于点E，若△ABC面积为△ADE面积的7.5倍，求的值．
【分析】（1）由倍余三角形的定义及等腰三角形的性质可得出答案；
（2）由圆周角定理得出∠B+∠C＝90°，由等腰三角形的性质得出∠ABD＝∠ADB，根据三角形外角的性质可得出答案；
（3）①若∠AOD为钝角，设∠OAD＝x，则∠DAC＝x，∠C＝2x，得出∠ADO＝3x，即5x＝90°，求出∠C＝36°；，若∠ADC为钝角，设∠OAD＝x，则∠OAC＝∠C＝x，∠AOD＝2x，即4x＝90°，求出x＝22.5°，则可得出答案；
②如图3，作AF⊥BC，不妨设DF＝1，CD＝x，得出，解方程求出x的值则可得出答案．
【解答】（1）解：①∵△ABC为倍余三角形，
∴∠A+2∠B＝90°，
∴∠A+∠B＝90°﹣∠B＜90°，
∴∠C＞90°，
∴倍余三角形一定是钝角三角形，故①正确，
②等腰三角形可能是倍余三角形．如∠A＝∠B＝30°，△ABC是倍余三角形．故②错误，
故答案为①；
（2）证明：∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴∠DAC+2∠C＝∠DAC+∠C+∠C＝∠ADB+∠C＝∠B+∠C＝90°，
∴△ACD为倍余三角形；
（3）①如图1，
∵∠AOD为钝角，
∴∠OAD+2∠ADO＝∠B+∠AOB＞90°，和不可能为90°，
当2∠OAD+∠B＝90°时，即2∠OAD+∠B＝90°，
又∵∠B+∠C＝90°，
∴∠OAC＝∠C＝2∠OAD，
设∠OAD＝x，则∠DAC＝x，∠C＝2x，
∴∠ADO＝3x，
即5x＝90°，
∴x＝18°，
即∠C＝36°，
如图2，∵∠ADC为钝角，
∴∠OAD+2∠AOD＝∠B+∠AOB＞90°，和不可能为90°，
当2∠OAD+∠AOD＝90°时，即∠OAD+∠B＝90°，
∵∠OAD+∠B＝90°，
∴∠OAD＝∠C＝∠OAC，
设∠OAD＝x，则∠OAC＝∠C＝x，∠AOD＝2x，
即4x＝90°，
∴x＝22.5°，
即∠C＝22.5°，
综合以上可得∠C为36°或22.5°；
②如图3，作AF⊥BC，不妨设DF＝1，CD＝x，若△ABC的面积为△ADE面积的7.5倍，
∴，
解得x1＝4，，
当x＝4时，BC＝6，AD＝，
∴，
当x＝时，BC＝2.5，AD＝，
∴＝．
综合以上得出的值为或．
2021年浙江省宁波市中考数学冲刺试卷（四）
一、选择题（每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（4分）﹣2的绝对值是（ ）
A．﹣2 B．1 C．2 D．
2．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．2a+3b＝5ab B．a2•a3＝a5 C．（2a）3＝6a 3 D．a6+a3＝a9
3．（4分）2019年1月1日，“学习强国”平台全国上线，截至2021年3月5日．某市党员“学习强国”客户端注册人数约为1180000，将数据1180000用科学记数法表示为（ ）
A．118×104 B．11.8×105 C．1.18×107 D．1.18×106
4．（4分）如图，一个由圆柱和长方体组成的几何体水平放置，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
5．（4分）如果在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠4 B．x≤4 C．x≥4 D．x＜4
6．（4分）小甬参加射击比赛，成绩统计如表：
成绩（环）
6
7
8
9
10
次数
1
3
2
3
1
关于他的射击成绩，下列说法正确的是（ ）
A．平均数是9环 B．标准差为1.4环
C．众数是9环 D．中位数是8环
7．（4分）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
8．（4分）如图，正方形ABCD的边长为4，∠ABE＝∠CDF＝30°，EF⊥BC，则EF的长为（ ）
A．4﹣4 B．3 C．2 D．6﹣2
9．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：①abc＞0；②2a+b＞0；③若﹣1＜m＜n＜1，则m+n＜﹣；④3|a|+|c|＜2|b|，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（4分）如图，所有角均为直角，所有线段均不相等，若要知道该图形周长，至少需要知道几条线段的长（ ）
A．3条 B．4条 C．5条 D．6条
二、填空题（每小题5分，共30分）
11．（5分）9的算术平方根是 ．
12．（5分）分解因式：my2﹣9m＝ ．
13．（5分）一个布袋里放有红色、黄色、黑色三种球，它们除颜色外其余都相同．红色、黄色、黑色三种球的个数之比为5：3：2，则从布袋里任意摸出1个球是黄球的概率是 ．
14．（5分）如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则阴影部分的面积为 ．
15．（5分）在Rt△ABC中，tanA＝，点O为AC上一点，⊙O与斜边AB相切于点P，分别与AC、BC交于点M，N，若，则的值为 ．
16．（5分）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，且OA⊥OB，点C为AB的中点，若点C也恰好在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则△AOB的面积为 ．
三、解答题（本大题有8小题，共80分）
17．（8分）（1）计算：（a﹣3）2+a（6﹣a）．
（2）解不等式：x﹣3＜2（3x+1）．
18．（8分）某校为调查学生对海洋科普知识的了解情况，从全校学生中随机抽取n名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如图的频数直方图和扇形统计图．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）补全频数直方图；
（2）在扇形统计图中，“70～80”这组的百分比m＝ ；
（3）已知“80～90”这组的数据如下：81，83，84，85，85，86，86，86，87，88，88，89．抽取的n名学生测试成绩的中位数是 分；
（4）若成绩达到80分以上（含80分）为优秀，请你估计全校1200名学生对海洋科普知识了解情况为优秀的学生人数．
19．（8分）图1，图2，图3都是由小等边三角形构成的网格，△ABC的三个顶点都在格点上．请分别在图1，图2，图3中各作一个格点D（互不相同），使得∠ADB＝∠ACB．
20．（10分）图1是一种折叠门，由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成，整个活页门的右轴固定在门框上，通过推动左侧活页门开关；图2是其俯视图简化示意图，已知轨道AB＝120cm，两扇活页门的宽OC＝OB＝60cm，点B固定，当点C在AB上左右运动时，OC与OB的长度不变（所有结果保留小数点后一位）．
（1）若∠OBC＝50°，求AC的长；
（2）当点C从点A向右运动60cm时，求点O在此过程中运动的路径长．
（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，π取3.14）
21．（10分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点为（1，2），与y轴的交点为C（0，3）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求与此二次函数图象关于y轴对称的图象的二次函数表达式；
（3）已知点A（﹣1，1），点B（3，1）．若原二次函数图象向下平移m个单位，与线段AB有公共点，结合函数图象，直接写出m的取值范围．
22．（10分）周日上午8：00小聪从家里出发，骑公共自行车前往离家5千米的新华书店，1小时后小聪爸爸从家里出发，沿同一条路以25千米/时的速度开车去接小聪，一起买好书后接上小聪按原速度返回家中，已知小聪在书店停留的时间比爸爸多0.7小时，两人离家的路程y（千米）与小聪所用的时间x（小时）之间的函数关系如图所示，根据图象回答下列问题：
（1）求爸爸在新华书店停留的时间及小聪骑自行车的速度；
（2）求小聪爸爸开车返回途中，y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（3）问上午几时小聪爸爸离家路程为2.5千米．
23．（12分）【基础巩固】
如图1，△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；
【尝试应用】
如图2，▱ABCD中，点E，F分别在BC，AC上，△AEF∽△ACD，BE＝2，CE＝6，求AF•AC的值．
【拓展提高】
如图3，在（2）的条件下，连接DF，AB＝AF，已知cos∠ACD＝，求tan∠ACB的值．
24．（14分）定义：△ABC中，∠A+2∠B＝90°，则称△ABC为倍余三角形．
（1）下列说法正确的是 ．
①倍余三角形一定是钝角三角形；
②等腰三角形不可能是倍余三角形．
（2）如图1，△ABC内接于⊙O，点D在直径BC上（不与B，C重合），满足AB＝AD，求证：△ACD为倍余三角形；
（3）在（2）的条件下，
①如图1，连接AO，若△AOD也为倍余三角形，求∠C的度数；
②如图2，过点D作DE⊥BC交AC于点E，若△ABC面积为△ADE面积的7.5倍，求的值．
2021年浙江省宁波市中考数学冲刺试卷（四）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（4分）﹣2的绝对值是（ ）
A．﹣2 B．1 C．2 D．
【分析】利用数轴上表示某个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，进而得出答案．
【解答】解：﹣2的绝对值为2．
故选：C．
2．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．2a+3b＝5ab B．a2•a3＝a5 C．（2a）3＝6a 3 D．a6+a3＝a9
【分析】直接利用合并同类项法则以及结合幂的乘方与积的乘方法则，分别化简求出答案．
【解答】解：A、2a+3b无法计算，故此选项不合题意；
B、a2•a3＝a5，正确，符合题意；
C、（2a）3＝8a 3，故此选项不合题意；
D、a6+a3，无法计算，故此选项不合题意；
故选：B．
3．（4分）2019年1月1日，“学习强国”平台全国上线，截至2021年3月5日．某市党员“学习强国”客户端注册人数约为1180000，将数据1180000用科学记数法表示为（ ）
A．118×104 B．11.8×105 C．1.18×107 D．1.18×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将1180000用科学记数法表示为：1.18×106．
故选：D．
4．（4分）如图，一个由圆柱和长方体组成的几何体水平放置，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【解答】解：从上面看，是一个矩形，矩形的中间是一个圆．
故选：C．
5．（4分）如果在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠4 B．x≤4 C．x≥4 D．x＜4
【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式求解．
【解答】解：根据题意得：4﹣x≥0，解得x≤4．
故选：B．
6．（4分）小甬参加射击比赛，成绩统计如表：
成绩（环）
6
7
8
9
10
次数
1
3
2
3
1
关于他的射击成绩，下列说法正确的是（ ）
A．平均数是9环 B．标准差为1.4环
C．众数是9环 D．中位数是8环
【分析】根据平均数、标准差、众数和中位数的概念逐一计算可得．
【解答】解：A．这组数据的平均数为＝8（环），此选项错误；
B．方差为×[（6﹣8）2+3×（7﹣8）2+2×（8﹣8）2+3×（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝，
则标准差为＝≈1.87（环），此选项错误；
C．众数为7环和9环，此选项错误；
D．中位数是＝8（环），此选项正确；
故选：D．
7．（4分）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据“每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：依题意，得：．
故选：B．
8．（4分）如图，正方形ABCD的边长为4，∠ABE＝∠CDF＝30°，EF⊥BC，则EF的长为（ ）
A．4﹣4 B．3 C．2 D．6﹣2
【分析】延长BE交AD于G，过点G作GH⊥BC，交DF于H，先求出AG的长，GH的长，通过证明四边形EGHF是平行四边形，可求解．
【解答】解：如图，延长BE交AD于G，过点G作GH⊥BC，交DF于H，
∵正方形ABCD的边长为4，∠ABE＝∠CDF＝30°，
∴AB＝AG，∠AGB＝∠ADF＝60°，
∴AG＝，BG∥DF，
∴GD＝4﹣，
∵∠HGD＝90°，∠ADF＝60°，
∴GH＝GD＝4﹣4，
∵EF⊥BC，GH⊥BC，
∴EF∥GH，
∴四边形EGHF是平行四边形，
∴EF＝GH＝4﹣4，
故选：A．
9．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：①abc＞0；②2a+b＞0；③若﹣1＜m＜n＜1，则m+n＜﹣；④3|a|+|c|＜2|b|，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】分别根据二次函数开口方向以及对称轴位置和图象与y轴交点得出a，b，c的符号，再利用特殊值法分析得出各选项．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴2a＜0，
∵对称轴x＝﹣＞1，b＞0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，故选项①正确；
对称轴x＝﹣＞1，又a＜0，则﹣b＜2a，则2a+b＞0，故②正确；
∵﹣1＜m＜n＜1，则﹣2＜m+n＜2，
∴抛物线对称轴为：x＝﹣＞1，＞2，m+n＜﹣，故选项③正确；
当x＝1时，a+b+c＞0，2a+b＞0，则3a+2b+c＞0，
∴3a+c＞﹣2b，
∴﹣3a﹣c＜2b，
∵a＜0，b＞0，c＜0（图象与y轴交于负半轴），
∴3|a|+|c|＝﹣3a﹣c＜2b＝2|b|，故④选项正确．
故选：D．
10．（4分）如图，所有角均为直角，所有线段均不相等，若要知道该图形周长，至少需要知道几条线段的长（ ）
A．3条 B．4条 C．5条 D．6条
【分析】根据题意，结合图形，通过平移构成矩形，据此判断即可．
【解答】解：如图：
若要知道该图形周长，至少需要知道4条线段的长：BC、AB，IJ，EF，
∵BC＝AL+KJ+IH+GF+DE，AB＝LK+KK′＝LK+CC′，IJ＝HG+GG′＝HG+C′D′，EF＝DD′，
∴只要知道BC、AB，IJ，EF4条线段的长，就能知道该图形周长．
故选：B．
二、填空题（每小题5分，共30分）
11．（5分）9的算术平方根是 3 ．
【分析】9的平方根为±3，算术平方根为非负，从而得出结论．
【解答】解：∵（±3）2＝9，
∴9的算术平方根是3．
故答案为：3．
12．（5分）分解因式：my2﹣9m＝ m（y+3）（y﹣3） ．
【分析】首先提取公因式m，进而利用平方差公式进行分解即可．
【解答】解：my2﹣9m＝m（y2﹣9）＝m（y+3）（y﹣3）．
故答案为：m（y+3）（y﹣3）．
13．（5分）一个布袋里放有红色、黄色、黑色三种球，它们除颜色外其余都相同．红色、黄色、黑色三种球的个数之比为5：3：2，则从布袋里任意摸出1个球是黄球的概率是 ．
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：是黄球的概率是＝，
故答案为：．
14．（5分）如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则阴影部分的面积为 2﹣ ．
【分析】连接OA，OB，过点O作OF⊥AB于F交⊙O于E．求出弓形AEB的面积，可得结论．
【解答】解：连接OA，OB，过点O作OF⊥AB于F交⊙O于E．
由题意AB垂直平分线段OE，
∴OF＝EF＝1，
∵OA＝OE，
∴OA＝2OF，
∴∠OAF＝30°，
∴AB＝2AF＝2×＝2，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，
∴∠AOB＝120°，
∴S弓形AEB＝﹣×2×1＝π﹣，
∴S阴＝π•22﹣2（π﹣）＝2﹣π，
故答案为：2﹣．
15．（5分）在Rt△ABC中，tanA＝，点O为AC上一点，⊙O与斜边AB相切于点P，分别与AC、BC交于点M，N，若，则的值为 ．
【分析】连接OP交MN于点H，根据切线的性质可得OP⊥AB，设OP＝3x，则AP＝4x，可得OA＝5x，根据垂径定理可得OP垂直平分MN，然后根据锐角三角函数用含x的式子表示出BP和AP的长，进而可得结果．
【解答】解：如图，连接OP交MN于点H，
∵⊙O与斜边AB相切于点P，
∴OP⊥AB，
∴∠APO＝90°，
∵tanA＝＝，
∴设OP＝3x，则AP＝4x，
∴AO＝＝5x，
∵，OP是⊙O的半径，
∴OP垂直平分MN，
∴MN∥AB，
∴∠HMO＝∠A，
∴tanA＝tan∠HMO＝＝，
∵OM＝OP＝3x，
∴MH＝OM＝x，
∴MN＝2MH＝x，
∵cosA＝cos∠NMC＝＝，
∴MC＝MN＝x，
∵AM＝OA﹣OM＝5x﹣3x＝2x，
∴AC＝AM+MC＝2x+x＝x，
∵cosA＝＝，
∴AB＝AC＝×x＝x，
∴BP＝AB﹣AP＝x﹣4x＝x．
∴＝＝．
故答案为：．
16．（5分）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，且OA⊥OB，点C为AB的中点，若点C也恰好在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则△AOB的面积为 ．
【分析】过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，可证得△AOD∽△OBE，根据反比例函数系数的几何意义可得＝，即可得出＝＝＝，设A（m，），则B（﹣，2m），运用中点坐标公式可得C（，），代入y＝，可得•＝1，利用乘法公式即可得出m2﹣＝，m2+＝，从而可求得答案．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，
∴∠ADO＝∠BEO＝90°，
∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∴∠AOD+∠BOE＝∠AOD+∠OAD＝90°，
∴∠OAD＝∠BOE，
∴△AOD∽△OBE，
∴＝（）2，
∵＝，
∴＝＝＝，
设A（m，），则B（﹣，2m），
∵点C为AB的中点，
∴C（，），
∵点C也恰好在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴•＝1，
∴m2﹣＝，
∴m2+＝＝＝，
∴S△AOB＝OA•OB＝OA•2OA＝OA2＝m2+＝，
故答案为：．
三、解答题（本大题有8小题，共80分）
17．（8分）（1）计算：（a﹣3）2+a（6﹣a）．
（2）解不等式：x﹣3＜2（3x+1）．
【分析】（1）根据完全平方公式和单项式乘多项式的法则进行计算，再进行合并同类项即可得到答案；
（2）先利用单项式乘多项式法则进行计算，然后再根据解一元一次不等式的步骤进行求解即可．
【解答】解：（1）原式＝a2﹣6a+9+6a﹣a2
＝9；
（2）去括号得，x﹣3＜6x+2，
移项得，x﹣6x＜2+3，
合并同类项得，﹣5x＜5，
系数化为1得，x＞﹣1．
18．（8分）某校为调查学生对海洋科普知识的了解情况，从全校学生中随机抽取n名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如图的频数直方图和扇形统计图．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）补全频数直方图；
（2）在扇形统计图中，“70～80”这组的百分比m＝ 20% ；
（3）已知“80～90”这组的数据如下：81，83，84，85，85，86，86，86，87，88，88，89．抽取的n名学生测试成绩的中位数是 84.5 分；
（4）若成绩达到80分以上（含80分）为优秀，请你估计全校1200名学生对海洋科普知识了解情况为优秀的学生人数．
【分析】（1）求出调查人数，和“90﹣100”的人数即可补全频数直方图；
（2）用“70﹣80”的频数10除以调查人数50 即可得出m的值；
（3）利用中位数的意义，求出中间位置的两个数的平均数，即可得出中位数；
（4）样本估计总体，样本中优秀所占的百分比为，因此估计总体1200人的是优秀的人数．
【解答】解：（1）8÷16%＝50（人），50﹣4﹣8﹣10﹣12＝16（人），补全频数直方图如图所示：
（2）m＝10÷50＝20%，
故答案为：20%；
（3）将50个数据从小到大排列后，处在第25、26位的两个数的平均数为＝84.5，
因此中位数是84.5，
故答案为：84.5；
（4）1200×＝672（人），
答：全校1200名学生对海洋科普知识了解情况为优秀的学生有672人．
19．（8分）图1，图2，图3都是由小等边三角形构成的网格，△ABC的三个顶点都在格点上．请分别在图1，图2，图3中各作一个格点D（互不相同），使得∠ADB＝∠ACB．
【分析】利用全等三角形的判定和性质解决问题即可．
【解答】解：如图，∠ADB即为所求作．
20．（10分）图1是一种折叠门，由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成，整个活页门的右轴固定在门框上，通过推动左侧活页门开关；图2是其俯视图简化示意图，已知轨道AB＝120cm，两扇活页门的宽OC＝OB＝60cm，点B固定，当点C在AB上左右运动时，OC与OB的长度不变（所有结果保留小数点后一位）．
（1）若∠OBC＝50°，求AC的长；
（2）当点C从点A向右运动60cm时，求点O在此过程中运动的路径长．
（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，π取3.14）
【分析】（1）作OH⊥AB于H，利用锐角三角函数即可求出AC的长；
（2）根据题意证明△OBC是等边三角形，可得点O在此过程中运动的路径长即为半径为OB，圆心角为60度的弧长．
【解答】解：（1）如图，作OH⊥AB于H，
∵OC＝OB＝60cm，
∴CH＝BH，
在Rt△OBH中，
∵cos∠OBC＝，
∴BH＝OB•cos50°≈60×0.64＝38.4（cm），
∴AC＝AB﹣2BH≈120﹣2×38.4＝43.2（cm），
∴AC的长约为43.2cm；
（2）∵AC＝60cm，
∴BC＝60cm，
∵OC＝OB＝60cm，
∴OC＝OB＝BC＝60cm，
∴△OBC是等边三角形，
∴半径为OB，圆心角为60度的弧长＝＝20×3.14＝62.8（cm），
∴点O在此过程中运动的路径长约为62.8cm．
21．（10分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点为（1，2），与y轴的交点为C（0，3）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求与此二次函数图象关于y轴对称的图象的二次函数表达式；
（3）已知点A（﹣1，1），点B（3，1）．若原二次函数图象向下平移m个单位，与线段AB有公共点，结合函数图象，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）根据点C（0，3）和顶点（1，2），利用抛物线的顶点坐标公式即可求解；
（2）依据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等可得到抛物线关于y轴对称的抛物线的解析式；
（3）结合函数图象根据A、B点的坐标可得答案．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象与y轴的交点为C（0，3）．
∴c＝3，
∵顶点为（1，2），
∴x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，
∴a﹣2a+3＝2，解得：a＝1，b＝﹣2，
∴二次函数的表达式为y＝x2﹣2x+3；
（2）∵关于y轴对称点的横坐标互为相反数，纵坐标不变，
∴抛物线y＝x2﹣2x+3关于y轴对称的抛物线的解析式为y＝x2+2x+3；
（3）如图：
①若原二次函数图象向下平移m个单位，与线段AB只有一个公共点，此时，m＝1；
②若原二次函数图象向下平移m个单位，与线段AB有2个公共点，且恰好为点A、B，设此时函数解析式为y＝（x﹣1）2+c，
将A（﹣1，1），点B（3，1）代入得：c＝﹣3，即向下平移5个单位，
此时，m＝5；
综上所述，若原二次函数图象向下平移m个单位，与线段AB有公共点，m的取值范围为1≤m≤5．
22．（10分）周日上午8：00小聪从家里出发，骑公共自行车前往离家5千米的新华书店，1小时后小聪爸爸从家里出发，沿同一条路以25千米/时的速度开车去接小聪，一起买好书后接上小聪按原速度返回家中，已知小聪在书店停留的时间比爸爸多0.7小时，两人离家的路程y（千米）与小聪所用的时间x（小时）之间的函数关系如图所示，根据图象回答下列问题：
（1）求爸爸在新华书店停留的时间及小聪骑自行车的速度；
（2）求小聪爸爸开车返回途中，y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（3）问上午几时小聪爸爸离家路程为2.5千米．
【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以计算出小聪骑自行车的速度及爸爸在新华书店停留的时间；
（2）根据函数图象中的数据和题意，可以得到小聪爸爸开车返回途中，y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（3）根据（2）中的结果和图象，可以得到上午几时小聪爸爸离家路程为2.5千米．
【解答】解：（1）由图象可得，小聪爸爸从家里出发到新华书店的途中时间：5÷25＝0.2
∴爸爸在新华书店停留的时间：1.6﹣1﹣0.2＝0.4（小时），
小聪在新华书店停留的时间为：0.4+0.7＝1.1（小时），
小聪骑自行车的速度为：5÷（1.6﹣1.1）＝10（千米/小时），
即小聪爸爸在新华书店停留的时间为0.4，小聪骑自行车的速度是10千米/小时；
（2）设途中，y关于x的函数表达式为y＝kx+b，
小聪爸爸开车返回用0.2小时，即小聪从家里出发到返回家中的时间为：1.6+0.2＝1.8（小时），
则，解得，，
即小聪爸爸开车返回途中，y关于x的函数表达式是y＝﹣25x+45（1.6≤x≤1.8）；
（3）由（2）知，小聪爸爸从书店返回家中用的时间为0.2小时，
8+1+0.1＝9.1（时），8+1.6+0.1＝9.7（时），
故上午9.1时或9.7时，小聪爸爸离家路程为2.5千米．
23．（12分）【基础巩固】
如图1，△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；
【尝试应用】
如图2，▱ABCD中，点E，F分别在BC，AC上，△AEF∽△ACD，BE＝2，CE＝6，求AF•AC的值．
【拓展提高】
如图3，在（2）的条件下，连接DF，AB＝AF，已知cos∠ACD＝，求tan∠ACB的值．
【分析】（1）由相似三角形的性质得出∠BAC＝∠DAE，，得出∠BAD＝∠CAE，，由相似三角形的判定定理可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得出AD＝BC，AD∥BC，由相似三角形的性质得出∠EAF＝∠CAD，，证出AE＝CE＝6，则可得出答案；
（3）过点D作DH⊥AC于点H，由（1）可知，△AEF∽△ACD，设CH＝a，则CD＝4a，由等腰三角形的性质得出FH＝CH＝a，AF＝4a，由勾股定理求出DH，由锐角三角函数的定义可得出答案．
【解答】（1）证明：∵△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，，
∴∠BAD＝∠CAE，，
∴△ABD∽△ACE；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵BE＝2，CE＝6，∠ACE＝∠DAC，
∴BC＝AD＝2+6＝8，
又∵△AEF∽△ACD，
∴∠EAF＝∠CAD，，
∴∠EAF＝∠ACE，
∴AE＝CE＝6，
∴AF•AC＝AE•AD＝6×8＝48；
（3）过点D作DH⊥AC于点H，由（1）可知，△AEF∽△ACD，
∴△AEC∽△AFD，
由（2）知，EA＝EC，
∴FD＝FA＝AB＝CD，
设CH＝a，则CD＝4a，
∴FH＝CH＝a，AF＝4a，
∴AH＝5a，
在Rt△DCH中，DH＝＝＝a，
∴tan∠ACB＝tan∠CAD＝．
24．（14分）定义：△ABC中，∠A+2∠B＝90°，则称△ABC为倍余三角形．
（1）下列说法正确的是 ① ．
①倍余三角形一定是钝角三角形；
②等腰三角形不可能是倍余三角形．
（2）如图1，△ABC内接于⊙O，点D在直径BC上（不与B，C重合），满足AB＝AD，求证：△ACD为倍余三角形；
（3）在（2）的条件下，
①如图1，连接AO，若△AOD也为倍余三角形，求∠C的度数；
②如图2，过点D作DE⊥BC交AC于点E，若△ABC面积为△ADE面积的7.5倍，求的值．
【分析】（1）由倍余三角形的定义及等腰三角形的性质可得出答案；
（2）由圆周角定理得出∠B+∠C＝90°，由等腰三角形的性质得出∠ABD＝∠ADB，根据三角形外角的性质可得出答案；
（3）①若∠AOD为钝角，设∠OAD＝x，则∠DAC＝x，∠C＝2x，得出∠ADO＝3x，即5x＝90°，求出∠C＝36°；，若∠ADC为钝角，设∠OAD＝x，则∠OAC＝∠C＝x，∠AOD＝2x，即4x＝90°，求出x＝22.5°，则可得出答案；
②如图3，作AF⊥BC，不妨设DF＝1，CD＝x，得出，解方程求出x的值则可得出答案．
【解答】（1）解：①∵△ABC为倍余三角形，
∴∠A+2∠B＝90°，
∴∠A+∠B＝90°﹣∠B＜90°，
∴∠C＞90°，
∴倍余三角形一定是钝角三角形，故①正确，
②等腰三角形可能是倍余三角形．如∠A＝∠B＝30°，△ABC是倍余三角形．故②错误，
故答案为①；
（2）证明：∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴∠DAC+2∠C＝∠DAC+∠C+∠C＝∠ADB+∠C＝∠B+∠C＝90°，
∴△ACD为倍余三角形；
（3）①如图1，
∵∠AOD为钝角，
∴∠OAD+2∠ADO＝∠B+∠AOB＞90°，和不可能为90°，
当2∠OAD+∠B＝90°时，即2∠OAD+∠B＝90°，
又∵∠B+∠C＝90°，
∴∠OAC＝∠C＝2∠OAD，
设∠OAD＝x，则∠DAC＝x，∠C＝2x，
∴∠ADO＝3x，
即5x＝90°，
∴x＝18°，
即∠C＝36°，
如图2，∵∠ADC为钝角，
∴∠OAD+2∠AOD＝∠B+∠AOB＞90°，和不可能为90°，
当2∠OAD+∠AOD＝90°时，即∠OAD+∠B＝90°，
∵∠OAD+∠B＝90°，
∴∠OAD＝∠C＝∠OAC，
设∠OAD＝x，则∠OAC＝∠C＝x，∠AOD＝2x，
即4x＝90°，
∴x＝22.5°，
即∠C＝22.5°，
综合以上可得∠C为36°或22.5°；
②如图3，作AF⊥BC，不妨设DF＝1，CD＝x，若△ABC的面积为△ADE面积的7.5倍，
∴，
解得x1＝4，，
当x＝4时，BC＝6，AD＝，
∴，
当x＝时，BC＝2.5，AD＝，
∴＝．
综合以上得出的值为或．
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