初中数学浙教版八年级下册第六章 反比例函数综合与测试综合训练题

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2020-2021学年浙教版八年级数学下册 反比例函数考点知识梳理卷
【考点1 反比例函数的概念】
【方法点拨】掌握一般地，形如y=kx（k≠0）的函数称为反比例函数，反比例函数的等价形式：
① y=kx（k≠0） ②y＝kx﹣1（k≠0） ③xy=k（k≠0）
【例1】（2020春•泰兴市校级月考）下列函数：①y＝x﹣2，②y=3x，③y＝x﹣1，④y=2x+1，y是x的反比例函数的个数有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【变式1-1】下列函数中，y是x的反比例函数有（　　）
（1）y＝3x；（2）y=-2x；（3）y=x3；（4）﹣xy＝3；（5）y=2x+1；（6）y=1x2；（7）y＝2x﹣2；（8）y=kx．
A．（2）（4） B．（2）（3）（5）（8）
C．（2）（7）（8） D．（1）（3）（4）（6）
【变式1-2】（2020秋•罗庄区期末）若函数y＝（m2﹣3m+2）x|m|﹣3是反比例函数，则m的值是（　　）
A．1 B．﹣2 C．±2 D．2
【变式1-3】（2020•柘城县模拟）已知函数y＝（m+1）xm2-2是反比例函数，则m的值为　 　．
【考点2 反比例函数与一次函数的图象】
【方法点拨】对于一次函数的图象、反比例函数的图象，掌握一次函数、反比例函数、与系数的关系是解题的关键．
【例2】（2020秋•坪山区期末）反比例函数y=kx与y＝﹣kx+1（k≠0）在同一坐标系的图象可能为（　　）
A． B．
C． D．


【变式2-1】（2020秋•南山区校级期末）在同一平面直角坐标系中，函数y＝k（x﹣1）与y=kx的大致图象（　　）
A． B．
C． D．
【变式2-2】（2019秋•荔湾区期末）在同一直角坐标系中，反比例函数y=abx与一次函数y＝ax+b的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【变式2-3】（2020秋•渑池县期末）函数y＝|a|x+a与y=ax（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【考点3 反比例函数图象上点的坐标特征（比较大小）】
【方法点拨】反比例函数图象上点的坐标特征：当k＞0时，图象分别位于第一、三象限，横纵坐标同号；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限，横纵坐标异号．
【例3】（2020春•镇平县期末）若（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）三点均在反比例函数y=m2+1x的图象上，则下列结论中正确的是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y1＞y2 D．y2＞y3＞y1
【变式3-1】（2020春•相城区期末）函数y=-k2-1x（k为常数）的图象经过点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），若x1＜x2＜0＜x3，则y1、y2、y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
【变式3-2】（2020•昆山市二模）已知点A（x1，2），B（x2，4），C（x3，﹣1）都在反比例函数y=kx（k＜0）的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　）
A．x3＜x1＜x2 B．x2＜x1＜x3 C．x1＜x3＜x2 D．x1＜x2＜x3
【变式3-3】（2020•武汉）若点A（a﹣1，y1），B（a+1，y2）在反比例函数y=kx（k＜0）的图象上，且y1＞y2，则a的取值范围是（　　）
A．a＜﹣1 B．﹣1＜a＜1 C．a＞1 D．a＜﹣1或a＞1
【考点4 反比例函数图象上点的坐标特征（与四边形结合）】
【方法点拨】反比例函数图象上点的坐标特征：当k＞0时，图象分别位于第一、三象限，横纵坐标同号；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限，横纵坐标异号．
【例4】（2020•朝阳区校级一模）在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A（1，0），D（0，2），点B在第一象限，BD∥x轴，若函数y=kx(k＞0，x＞0)的图象经过矩形ABCD的对角线的交点，则k的值为（　　）

A．4 B．5 C．8 D．10
【变式4-1】（2020•宿迁模拟）如图，在平面直角坐标系中，A是反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）图象上一点，B是y轴正半轴上一点，以OA、AB为邻边作▱ABCO．若点C及BC中点D都在反比例函数y=-4x（x＜0）图象上，则k的值为（　　）

A．6 B．8 C．10 D．12
【变式4-2】（2020•南沙区一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，AB∥x轴，CD与y轴交于点E，反比例函数y=kx（x＞0）图象经过顶点B、C，已知点B的横坐标为5，AE＝2CE，则点C的坐标为（　　）

A．（2，203） B．（2，83） C．（3，203） D．（3，83）
【变式4-3】（2020•朝阳）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=43x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点B，点A，以线段AB为边作正方形ABCD，且点C在反比例函数y=kx（x＜0）的图象上，则k的值为（　　）

A．﹣12 B．﹣42 C．42 D．﹣21
【考点5 反比例函数系数k的几何意义（面积）】
【方法点拨】反比例函数y=kx（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y=kx（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．
【例5】（2020春•新沂市期末）如图，两个反比例函数y=4x和y=2x在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为（　　）

A．1 B．2 C．4 D．无法计算
【变式5-1】（2020•东阳市二模）如图直线y＝mx与双曲线y=kx交于点A、B，过A作AM⊥x轴于M点，连接BM，若S△AMB＝2，则k的值是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【变式5-2】（2020•徐州模拟）如图，点A与点B分别在函数y=k1x(k1＞0)与y=k2x(k2＜0)的图象上，线段AB的中点M在y轴上．若△AOB的面积为2，则k1﹣k2的值是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【变式5-3】（2020•立山区二模）如图，是反比例函数y=k1x和y=k2x（k1＜k2）在第一象限的图象，直线AB∥x轴，并分别交两条曲线于A、B两点，若S△AOB＝2，则k2﹣k1的值为　 　．

【考点6 反比例函数系数k的几何意义（规律题）】
【方法点拨】反比例函数y=kx（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y=kx（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．
【例6】（2020秋•李沧区期末）如图，已知A1，A2，A3，…An，…是x轴上的点，且OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An﹣1An…＝1，分别过点A1，A2，A3，…An，…作x轴的垂线交反比例函数y=1x（x＞0）的图象于点B1，B2，B3，…，Bn，…，过点B2作B2P1⊥A1B1于点P1，过点B3作B3P2⊥A2B2于点P2…，记△B1P1B2的面积为S1，△B2P2B3的面积为S2…，△BnPnBn+1的面积为Sn．则S1+S2+S3+…+S20＝　 　．

【变式6-1】（2019•蜀山区一模）如图，点B在反比例函数y=2X（x＞0）的图象上，过点B分别与x轴和y轴的垂线，垂足分别是C0和A，点C0的坐标为（1，0），取x轴上一点C1（32，0），过点C1作x轴的垂线交反比例函数图象于点B1，过点B1作线段B1A1⊥BC0交于点A1，得到矩形A1B1C1C0，依次在x轴上取点C2 （2，0），C3（52，0）…，按此规律作矩形，则矩形AnBn∁nCn﹣1（n为正整数）的面积为　　．

【变式6-2】（2020•越秀区校级模拟）如图，在反比例函数的图象y=4x（x＞0）上，有点P1，P2，P3，P4，…，点P1横坐标为2，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点P1，P2，P3，P4，…分别作x轴，y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，…则S1+S2+S3+…+Sn＝　 　．

【变式6-3】（2020•铁岭四模）如图，已知反比例函数y=1x的图象，当x取1，2，3，…n时，对应在反比例图象上的点分别为M1、M2、M3…Mn，则S△P1M1M2+S△P2M2M3+…S△Pn﹣1Mn﹣1Mn＝　 　．

【考点7 待定系数法求反比例函数解析式】
【方法点拨】反比例函数y=kx（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y=kx（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．
【例7】（2020春•湖州期末）已知反比例函数y=kx（k≠0），当x＝﹣3时，y=43．
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）当y＝﹣4时，求自变量x的值．
【变式7-1】（2020春•南安市期中）已知y与x﹣1成反比例，且当x＝4时，y＝1．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）判断点（﹣2，﹣1）是否在该函数图象上．
【变式7-2】（2020•余干县模拟）已知y＝y1﹣y2，y1与x成反比例，y2与x﹣2成正比例，并且当x＝3时，y＝5；当x＝1时，y＝﹣1．
（1）y与x的函数表达式；
（2）当x＝﹣1时，求y的值．
【变式7-3】（2020春•泰兴市校级月考）已知y＝y1+y2，y1与x2成正比例，y2与x+1成反比例，当x＝0时，y＝2；当x＝1时，y＝2．求y与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
【考点8 反比例函数与一次函数交点问题】
【例8】（2020春•东海县期末）如图，等腰直角△ABC位于第二象限，BC＝AC＝2，直角顶点C在直线y＝﹣x上，且点C的横坐标为﹣3，边BC，AC分别平行于x轴、y轴．若双曲线y=kx与△ABC的边AB有2个公共点，则k的取值范围为　 　．

【变式8-1】（2021•长春一模）如图，矩形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为（0，5）、（0，2）、（1，2），将矩形ABCD向右平移t个单位，若平移后的矩形ABCD与函数y=10x（x＞0）的图象有公共点，则t的取值范围是（　　）

A．0≤t≤4 B．1≤t≤4 C．1≤t≤5 D．2≤t≤5
【变式8-2】（2020•新华区一模）如图，平面直角坐标系中，过点A（1，2）作AB⊥x轴于点B，连接OA，将△ABO绕点A逆时针旋转90°，O、B两点的对应点分别为C、D．当双曲线y=kx（x＞0）与△ACD有公共点时，k的取值范围是（　　）

A．2≤k≤3 B．3≤k≤6 C．2≤k≤6 D．3≤k≤4
【变式8-3】（2020•市中区一模）平面直角坐标系中，函数y=4x（x＞0）的图象G经过点A（4，1），与直线y=14x+b的图象交于点B，与y轴交于点C．其中横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A、B之间的部分与线段OA、OC、BC围成的区域（不含边界）为W．若W内恰有4个整点，结合函数图象，b的取值范围是（　　）
A．-54≤b＜1或74＜b≤114 B．-54≤b＜1或-74＜b≤114
C．-54≤b＜﹣1或-74＜b≤114 D．-54≤b＜﹣1或74＜b≤114
【考点9 反比例与一次函数综合】
【例9】（2020春•盐城期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于点A（1，4）、B（4，n）．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）请结合图象直接写出不等式kx+b≤mx的解集；
（3）若点P为x轴上一点，△ABP的面积为6，求点P的坐标．

【变式9-1】（2020春•东城区校级期末）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y=mx的图象交于点A（1，6），B（3，n）两点．与x轴交于点 C．
（1）求一次函数的表达式；
（2）若点M在x轴上，且△AMC的面积为6，求点M的坐标．
（3）在y轴上找一点P，使PA+PB的值最小，直接写出满足条件的点P的坐标是　 　．

【变式9-2】（2020春•淅川县期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数
y2=mx（m≠0）的图象相交于第一、三象限内的A（3，5），B（a，﹣3）两点，与x轴交于点C．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）在y轴上找一点P使PB﹣PC最大，求PB﹣PC的最大值及点P的坐标；
（3）直接写出不等式kx+b＞mx的解集．

【变式9-3】（2020秋•槐荫区期末）如图，一次函数y1＝ax+b与反比例函数y2=kx的图象相交于A（2，8），B（8，n）两点，连接AO，BO，延长AO交反比例函数图象于点C．
（1）求一次函数y1与反比例函数y2的表达式；
（2）当y1＜y2，时，自变量x的取值范围为　　；
（3）点P是x轴上一点，当S△PAC=45S△AOB时，请求出点P的坐标．

【考点10 反比例函数的应用】
【例10】（2020•昆明）为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒，她完成3间办公室和2间教室的药物喷洒要19min；完成2间办公室和1间教室的药物喷洒要11min．
（1）校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要多少时间？
（2）消毒药物在一间教室内空气中的浓度y（单位：mg/m3）与时间x（单位：min）的函数关系如图所示：校医进行药物喷洒时y与x的函数关系式为y＝2x，药物喷洒完成后y与x成反比例函数关系，两个函数图象的交点为A（m，n）．当教室空气中的药物浓度不高于1mg/m3时，对人体健康无危害，校医依次对一班至十一班教室（共11间）进行药物喷洒消毒，当她把最后一间教室药物喷洒完成后，一班学生能否进入教室？请通过计算说明．

【变式10-1】（2020•江西一模）学校的学生专用智能饮水机里水的温度y（℃）与时间x（分）之间的函数关系如图所示，当水的温度为20℃时，饮水机自动开始加热，当加热到100℃时自动停止加热（线段AB），随后水温开始下降，当水温降至20℃时（BC为双曲线的一部分），饮水机又自动开始加热……根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）分别求出饮水机里水的温度上升和下降阶段y与x之间的函数表达式．
（2）下课时，同学们纷纷用水杯去盛水喝．此时，饮水机里水的温度刚好达到100℃．据了解，饮水机1分钟可以满足12位同学的盛水要求，学生喝水的最佳温度在30℃～45℃，请问在大课间30分钟时间里有多少位同学可以盛到最佳温度的水？

【变式10-2】（2020•莆田二模）实验数据显示，一般成人喝50毫升某品牌白酒后，血液中酒精含量y（毫克/百亳升）与时间x（时）变化的图象，如图（图象由线段OA与部分双曲线AB组成）．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．
（1）求部分双曲线AB的函数解析式；
（2）参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上22：30在家喝完50毫升该品牌白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由．

【变式10-3】（2020春•海州区期末）饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热……，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答问题：
（1）当0≤x＜8时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式．
（2）求图中t的值；
（3）若在通电开机后即外出散步，请你预测散步42分钟回到家时，饮水机内水的温度约为多少℃？

【考点11 反比例函数存在性问题（三角形）】
【例11】（2020•蜀山区校级一模）如图，反比例函数y1=kx和一次函数y2＝mx+n相交于点A（1，3），B（﹣3，a），
（1）求一次函数和反比例函数解析式；
（2）连接OA，试问在x轴上是否存在点P，使得△OAP为以OA为腰的等腰三角形，若存在，直接写出满足题意的点P的坐标；若不存在，说明理由．

【变式11-1】（2020•平阴县一模）如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y=kx（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P在x轴上，且△APC的面积为5，求点P的坐标；
（3）若点P在y轴上，是否存在点P，使△ABP是以AB为一直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．

【变式11-2】（2020•河南模拟）如图，关于x的一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y=k2x的图象相交于A（﹣2，8），B（4，m）两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式．
（2）设一次函数y＝k1x+b的图象与x轴，y轴的交点分别为M，N，P是x轴上一动点，当以P，M，N三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求点P的坐标．

【变式11-3】（2020春•市中区期末）如图，函数y=kx（x＞0）的图象过点A（n，2）和B（85，2n﹣3）两点．
（1）求n和k的值；
（2）将直线OA沿x轴向左移动得直线DE，交x轴于点D，交y轴于点E，交y=kx（x＞0）于点C，若S△ACO＝6，求直线DE解析式；
（3）在（2）的条件下，第二象限内是否存在点F，使得△DEF为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点12 反比例函数存在性问题（四边形）】
【例12】（2020春•万州区期末）已知，矩形OCBA在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B的坐标为（2，4），反比例函数y=mx（x＞0）的图象经过AB的中点D，且与BC交于点E，顺次连接O，D，E．
（1）求线段DE的长；
（2）在线段OD上存在一点M，当△MOE的面积等于34时，求点M的坐标；
（3）平面直角坐标系中是否存在一点N，使得O、D、E、N四点构成平行四边形？若存在，请直接写出N的坐标；若不存在，请说明理由．

【变式12-1】（2020春•丰县期末）如图1，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B在反比例函数y=kx（k＞0）的第一象限内的图象上，OA＝4，OC＝3，动点P在y轴的右侧，且满足S△PCO=38S矩形OABC．
（1）若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；
（2）连接PO、PC，求PO+PC的最小值；
（3）若点Q是平面内一点，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标．

【变式12-2】（2020春•东阳市期末）如图，四边形OBAC是矩形，OC＝2，OB＝6，反比例函数y=kx的图象过点A．
（1）求k的值．
（2）点P为反比例图象上的一点，作PD⊥直线AC，PE⊥x轴，当四边形PDCE是正方形时，求点P的坐标．
（3）点G为坐标平面上的一点，在反比例函数的图象上是否存在一点Q，使得以A、B、Q、G为顶点组成的平行四边形面积为14？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

【变式12-3】（2020春•赣榆区期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，已知点A（0，﹣6）、D（﹣3，﹣7），点B、C在第三象限内．
（1）点B的坐标　 　；
（2）将正方形ABCD以每秒2个单位的速度沿y轴向上平移t秒，若存在某一时刻t，使在第二象限内点B、D两点的对应点B'、D'正好落在某反比例函数的图象上，请求出此时t的值以及这个反比例函数的解析式；
（3）在（2）的情况下，问：是否存在x轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、B'、D'四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．