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浙教版初中数学八年级下册第六单元《反比例函数》（困难）（含答案解析）（含答案解析） 试卷
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浙教版初中数学八年级下册第六单元《反比例函数》（困难）（含答案解析）
考试范围：第六单元； 考试时间：120分钟；总分：120分，
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 教室里的饮水机接通电源就进入自动程序：开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃后停止加热，水温开始下降，此时水温(单位：℃)与开机后用时(单位：min)成反比例关系，直至水温降至30℃，饮水机重新开始加热，重复上述过程．若在水温为30℃时，接通电源后，水温y(单位：℃)和时间x(单位：min)的关系如图，为了在上午第一节下课时(8:45)能喝到不超过50℃的水，则接通电源的时间可以是当天上午的( )
A. 7:20 B. 7:30 C. 7:45 D. 7:50
2. 如图，在平面直角坐标系中，∠AOB=90∘，∠OAB=30∘，反比例函数y1=mx的图象经过点A，反比例函数y2=nx的图象经过点B，
则下列关于m，n的关系正确的是( )
A. m=33n B. m=-3n C. m=-33n D. m=-3n
3. 已知反比例函数y=6x的图像上有两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，且x1y2
C. y1=y2 D. y1与y2之间的大小关系不能确定．
4. 如图，面积为1的矩形ABCD在第二象限，BC与x轴平行，反比例函数y=−kx(k≠0)经过B、D两点，直线BD所在直线y=kx+b与x轴、y轴交于E、F两点，且B、D为线段EF的三等分点，则b的值为( )
A. 22 B. 23 C. 32 D. 33
5. 将一块含30°角的三角板ABC按如图所示摆放在平面直角坐标系中，直角顶点C在x轴上，AB // x轴．反比例函数y=kxx>0的图象恰好经过点A，且与直角边BC交于点D.若AB=63，BD=2 CD，则k的值为( )
A. 923 B. 63 C. 2033 D. 2743
6. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=kx(x>0)的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N两点．△OMN的面积为10.若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是( )
A. 62
B. 10
C. 226
D. 229
7. 平面直角坐标系xOy中，已知A(2m,−m−1)，B(2m+2,−m−2)，C(n,2n)，其中m，n均为常数，且n≠0.当△ABC的面积最小时，n的值为( )
A. −3
B. −2
C. −3
D. −2
8. 如图，矩形ABCD中，点A在双曲线y=−8x上，点B，C在x轴上，延长CD至点E，使CD=2DE，连接BE交y轴于点F，连接CF，则△BFC的面积为( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
9. 如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的边与函数y=(x>0)图象交于E，F两点，且F是BC的中点，则四边形ACFE的面积等于( )
A. 4
B. 6
C. 8
D. 不能确定
10. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是(5,0)，点B是函数y=6x(x>0)图象上的一个动点，过点B作BC⊥y轴交函数y=−2x(x<0)的图象于点C，点D在x轴上(D在A的左侧)，且AD=BC，连接AB，CD．
有如下四个结论：
①四边形ABCD可能是菱形；
②四边形ABCD可能是正方形；
③四边形ABCD的周长是定值；
④四边形ABCD的面积是定值．
所有正确结论的序号是( )
A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ①④
11. 直线y=−12x−1与反比例函数y=kx(x<0)的图象交于点A，与x轴相交于点B，过点B作x轴垂线交双曲线于点C，若AB=AC，则k的值为( )
A. −12
B. − 8
C. − 6
D. − 4
12. 学校的自动饮水机，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降．此时水温y(℃)与通电时间x(min)成反比例关系．当水温将至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是( )
A. 水温从20℃加热到100℃，需要7min
B. 水温下降过程中，y与x的函数关系式是y=400x
C. 上午8点接通电源，可以保证当天9：30能喝到不超过40℃的水
D. 水温不低于30℃的时间为773min
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 已知y与2x成反比例，当x=1时y=1，则y与x之间的函数表达式为__________．
14. 已知：点P(m,n)在直线y=−x+2上，也在双曲线y=−1x上，则m2+n2的值为______。
15. 点(a−1,y1)，(a+1,y2)在反比例函数y=kx(k>0)的图象上，若y1
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
小林每天骑自行车去单位上班，他每天骑自行车上班时的平均速度为v(m/min)，所需时间为t(min).已知当小林骑车的平均速度为200 m/min时，所需时间为18 min．
(1)求时间t关于速度v的函数表达式．
(2)如果小林骑车的速度为300 m/min，那么他需要几分钟到达单位？
(3)如果小林骑车到单位不得超过15 min，那么他骑车的平均速度至少是多少？
18. (本小题8.0分)
用洗衣液洗衣物时，漂洗的次数与衣物中洗衣液的残留量近似地满足反比例函数关系.寄宿生王小红、李小敏晚饭后用同一种洗衣液各自洗一件同样的衣服，漂洗时，王小红每次用一盆水(约10升)，李小敏每次用半盆水(约5升)，如果她们都用了5g洗衣液，第一次漂洗后，王小红的衣服中残留的洗衣液还有1.5g，李小敏的衣服中残留的洗衣液还有2g．
(1)请帮助王小红、李小敏求出各自衣服中洗衣液的残留量y与漂洗次数x的函数关系式;
(2)当洗衣液的残留量降至0.5g时，便视为衣服漂洗干净，从节约用水的角度来看，你认为谁的漂洗方法更值得提倡，为什么?
19. (本小题8.0分)
已知y=y1−y2,y1与x成反比例，y2与(x−2)成正比例，并且当x=−1时，y=−15，当x=2时，y=32；
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当x=1时，y的值．
20. (本小题8.0分)
如图1，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B在反比例函数y=kx(k>0)的第一象限内的图象上，OA=4，OC=3，动点P在y轴的右侧，且满足S▵PCO=38S矩形OABC．
(1)若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；
(2)连接PO、PC，求PO+PC的最小值；
(3)若点Q是平面内一点，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标．
21. (本小题8.0分)
如图，点A(m,6)、B(n,1)在反比例函数图像上，AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，DC=5．
(1)求m、n的值并写出反比例函数的表达式；
(2)连接AB，在线段DC上是否存在一点E，使△ABE的面积等于5?若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
22. (本小题8.0分)
如图，已知点A的坐标为(a,4)(其中a<−3)，射线OA与反比例函数y=−12x的图象交于点P，点B，C分别在函数y=−12x的图象上，且AB//x轴，AC//y轴，连接BO，CO，BP，CP．
(1)当a=−6，求线段AC的长；
(2)当AB=BO时，求点A的坐标；
(3)求证：S△ABPS△ACP=1．
23. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x+b的图象经过点A(−2,0)，与反比例函数y=kx(x>0)的图象交于B(a,4)．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)设M是直线AB上一点，过M作MN//x轴，交反比例函数y=kx(x>0)的图象于点N，若A，O，M，N为顶点的四边形为平行四边形，求点M的坐标．
24. (本小题8.0分)
如图，正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点B在函数y=kx(k>0,x>0)的图 像上，点P(m,n)是函数图像上任意一点，过点P分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为E，F.并设矩形OEPF和正方形OABC不重合的部分的面积为S．
(1)求k的值；
(2)当S=92时，求点P的坐标；
(3)写出S关于m的关系式．
25. (本小题8.0分)
已知反比例函数y=kx(k≠0)的图象与正比例函数y=mx(m≠0)的图象交于A，B两点，且点A在第二象限，点A的横坐标为−1.过点A作AD⊥x轴，垂足为D，△ADB的面积为2．
(1)求这两个函数的表达式．
(2)若P是这个反比例函数图象上的点，且△ADP的面积是4，求点P的坐标。
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由于开机加热时每分钟上升10℃，故从30℃到100℃需要7 min.设一次函数解析式为y=k1x+b(k1≠0)，
将(0,30)，(7,100)代入y=k1x+b，解得k1=10，b=30，所以y=10x+30(0≤x≤7)．
当y=50时，x=2.设反比例函数y=kx(k≠0)，将(7,100)代入y=kx，得k=700．
当y=30时，x=703.所以y=700x(7⩽x⩽703).当y=50时，x=14，
如图所示．所以饮水机的一个循环周期为703min，每一个循环周期内，
在0≤x≤2及14⩽x⩽703时间段内，水温不超过50℃，可直接饮用．
对于选项A，7:20～8:45之间有85 min，85−703×3=15，即饮水机位于第4次重复开机后的第15 min，
此时水温不超过50℃，可直接饮用，符合题意．
综上分析，可知选项B，C，D不符合题意，因此应选A．
2.【答案】D
【解析】解：过点B作BE⊥x轴于点E，过点A作AF⊥x轴于点F，
∵∠OAB=30°，∠AOB=90∘，
∴OA=3OB，
设点B坐标为(a,na)，点A的坐标为(b,mb)，
则OE=−a，BE=na，OF=b，AF=mb，
∵∠BOE+∠OBE=90°，∠AOF+∠BOE=90°，
∴∠OBE=∠AOF，
又∵∠BEO=∠OFA=90°，
∴△BOE∽△OAF，
∴OEAF=BEOF=OBOA，即−amb=nab=13，
解得：m=−3ab，n=ab3，
故可得：m=−3n．
故选D．
过点B作BE⊥x轴于点E，过点A作AF⊥x轴于点F，设点B坐标为(a,na)，点A的坐标为(b,mb)，证明△BOE∽△OAF，利用对应边成比例可求出m、n的关系．
本题考查了反比例函数的综合，解答本题的关键是结合解析式设出点A、B的坐标，得出OE、BE、OF、AF的长度表达式，利用相似三角形的性质建立m、n之间的关系式，难度较大．
3.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质和分类讨论的数学思想解答．根据反比例函数的性质，利用分类讨论的数学思想即可解答本题．
【解答】
解：∵y=6x，
∴在每个象限内，y随x的增大而减小，
当x1y2，
当x1<0y2，
故选D．
4.【答案】C
【解析】解：延长AB、DC交x轴于点Q、P，延长AD、BC交y轴于点M、N，
∵B、D为线段EF的三等分点，
∴BE=BD=DF，
∵AM//BC//EO，
∴OP=PQ=QE，ON=MN=MF，
∵ABCD的面积为1，
∴S矩形QBNO=2S矩形ABCD=2，
∴|k|=2，
∴反比例函数的关系式为y=−2x，
∴k=2，
一次函数的关系式为y=2x+b，即：F(0,b)，E(−b2,0)，
由题意得△EOF的面积为92，
∴12×b×b2=92，
解得，b=32，b=−32(舍去)，
故选：C．
根据B、D为线段EF的三等分点，ABCD的面积为1，可求出反比例函数的关系式，确定k的值，再利用一次函数与x轴、y轴的交点坐标，及△EOF的面积即可求出b的值．
考查反比例函数图象上点的坐标特征，理解反比例函数的k的几何意义是解决问题的关键．
5.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行线的性质，含30°角直角三角形的性质．
过点A作AE⊥x轴，垂足为E，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，求得AE，CE，CF，DF，设OE=x，求得A(x,92)，D(x+33,32)，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征得出92x=(x+33)×32，解出x的值，求出A(332,92)，再计算k的值．
【解答】
解：如图，过点A作AE⊥x轴，垂足为E，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，
在Rt△ABC中，∠B=30°，AB//x轴，AB=63，BD=2CD，
∴AC=33，BC=9，∠DCF=30°，∠EAC=30°，
∴EC=12AC=332，DC=3，
DF=12DC=32，
∴CF=332，AE=92，
设OE=x，则OF=OE+EC+CF=x+332+332=x+33，
∴A(x,92)，D(x+33,32)，
又∵点A、D都在反比例函数的图象上，
∴92x=(x+33)×32，
解得，x=332，
∴A(332,92)，
∴k=332×92=2743．
6.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了反比例函数的系数k的几何意义，轴对称−最小距离问题，勾股定理，由正方形OABC的边长是6，得到点M的横坐标和点N的纵坐标为6，求得M(6,k6)，N(k6,6)，根据三角形的面积列方程得到M(6,4)，N(4,6)，作M关于x轴的对称点M′，连接NM′交x轴于P，则NM′的长=PM+PN的最小值，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】
解：∵正方形OABC的边长是6，
∴点M的横坐标和点N的纵坐标为6，
∴M(6,k6)，N(k6,6)，
∴BN=6−k6，BM=6−k6，
∵△OMN的面积为10，
∴6×6−12×6×k6−12×6×k6−12×(6−k6)2=10，
∴k=24，
∴M(6,4)，N(4,6)，
作M关于x轴的对称点M′，连接NM′交x轴于P，则NM′的长=PM+PN的最小值，如图
∵AM=AM′=4，
∴BM′=10，BN=2，
∴NM′=BM′2+BN2=102+22=226，
故选C．
7.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查一次函数图象和反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数和反比例函数与三角形的综合、坐标与图形性质、三角形的面积等知识.通过点A、B、C的坐标确定点A、B是直线y=−x2−1上的点、点C是反比例函数y=2x上的点；然后利用点的坐标求出AB=5可知若使△ABC的面积最小时，则点C到直线AB的距离最小即可，从图可以看出此时(−2,−1)到直线AB的距离最短，从而求出n值即可．
【解答】
解：设点A的横坐标x=2m，纵坐标y=−m−1，则m=x2，将m=x2代入y=−m−1得y=−x2−1，
同理设点B的横坐标x′=2m+2，纵坐标y′=−m−2，则m=x′−22，将m=x′−22代入y′=−m−2得y′=−x′2−1，
∴点AB在直线y=−x2−1上，
设点C的横坐标x=n，纵坐标y=2n，则y=2x，
∴点C在反比例函数y=2x上，
如图，
则AB=[2m−(2m+2)]2+[(−m−1)−(−m−2)]2=5，即AB的长度固定，若使△ABC的面积最小时，则点C到直线AB的距离最小即可，从图可以看出此时(−2,−1)到直线AB的距离最短，所以n=−2．
故选B．
8.【答案】B
【解析】解：如图，设AD交y轴于J，交BE于K，设AB=CD=2m，则DE=m，设DK=b．
∵点A在y=−8x上，
∴A(−4m,2m)，
∴AJ=4m，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DK//BC，
∴DKBC=EDEC=13，
∴BC=AD=3b，AK=2b，JK=2b−4m，
∵JF//DE，
∴JFDE=JKDK，
∴JFm=2b−4mb，
∴JF=2mb−4b，
∴OF=OJ−JF=2m−2mb−4b=4b，
∴S△BFC=12⋅BC⋅OF=12×3b⋅4b=6，
故选：B．
如图，设AD交y轴于J，交BE于K，设AB=CD=2m，则DE=m，设DK=b.利用平行线分线段成比例定理求出BC，OF即可解决问题．
本题考查反比例函数系数的几何意义，矩形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
9.【答案】B
【解析】解：连接OF、OB、OE．
∵四边形ABCO是矩形，
∴S△ABO=S△BCO，
∵BF=CF，
∴S△CFO=S△BFO，
∵E、F在y=(x>0)上，
∴S△AEO=S△FCO=S△ABO，
∴AE=EB，∵BF=CF，
∴EF//AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴=，
∵S矩形ABCO=16，
∴S△BEF=×8=2，
∴S四边形ACFE=8−2=6，
故选：B．
连接OF、OB、OE.首先证明EF是△BAC的中位线，利用相似三角形的性质即可解决问题．
本题考查反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上的点的特征、矩形的性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用三角形中位线定理解决问题．
10.【答案】D
【解析】解：①∵BC⊥y轴，
∴AD//BC，
又∵AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
设点B(a,6a)，则C(−a3,6a)，
∴BC=a−(−a3)=43a，AB=(5−a)2+(6a)2，
当a=5时，BC=203，AB=65，
此时，AB
∴四边形ABCD可能是菱形，故①正确，符合题意；
②由①得，当x=5时，BC=203，AB=65，
∴BC≠AB，
∴四边形ABCD不为正方形，故②错误，不符合题意；
③由①得，当点B的横坐标为5时，BC=203，AB=65，
∴C四边形ABCD=2×(BC+AB)=2×(203+65)=23615，
当点B的横坐标为1时，B(1,6)，C(−13,6)，
∴BC=43，AB=(5−1)2+62=213，
∴C四边形ABCD=2(BC+AB)=2(43+213)=83+413≠23615，
∴四边形ABCD的周长不为定值，故③错误，不符合题意；
④如图，过点C作CE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，则四边形EFBC为矩形，
∵BC//AD，
∴S四边形ABCD=S四边形EFBC=|−2|+|6|=8，
∴四边形ABCD的面积为定值，故④正确，符合题意；
故选：D．
①由BC⊥y轴得到AD//BC，结合AD=BC，得到四边形ABCD是平行四边形，设点B(a,6a)，则C(−a3,6a)，得到BC的长，再表示AB的长，利用菱形的性质列出方程求得a的值，即可判断结论；
②当x=5时，求得点B的坐标，然后判断四边形ABCD是否为正方形；
③任取两个点B的坐标，求得AB和BC的长，然后判断四边形ABCD的周长是否为定值；
④过点C作CE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，将四边形ABCD的面积转化为四边形EFBC的面积，进而利用反比例系数k的几何意义判断四边形ABCD的面积是否为定值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的判定与性质，菱形的性质，正方形的性质，解题的关键是熟知反比例函数图象上点的坐标特征．
11.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两个函数的解析式．也考查了与x轴垂直的直线上所有点的横坐标相同以及等腰三角形的性质.过A作AD⊥BC于D，先求出直线y=−12x−1与x轴交点B的坐标(−2,0)，则得到C点的横坐标为−2，由于C点在反比例函数y=kx的图象上，可表示出C点坐标为(−2,−k2)，利用等腰三角形的性质，由AC=AB，AD⊥BC，得到DC=DB，于是D点坐标为(−2,−k4)，则可得到A点的纵坐标为−k4，利用点A在函数y=kx的图象上，可表示出点A的坐标为(−4,−k4)，然后把A(−4,−k4)代入y=−12x−1得到关于k的方程，解方程即可求出k的值．
【解答】
解：过A作AD⊥BC于D，如图，
对于y=−12x−1，令y=0，则−12x−1=0，解得x=−2，
∴B点坐标为(−2,0)，
∵CB⊥x轴，
∴C点的横坐标为−2，
对于y=kx ，令x=−2，则y=−k2 ，
∴C点坐标为(−2,−k2)，
∵AC=AB，AD⊥BC，
∴DC=DB，
∴D点坐标为(−2,−k4)，
∴A点的纵坐标为−k4，
而点A在函数y=kx的图象上，
把y=−k4代入y=kx得x=−4，
∴点A的坐标为(−4,−k4)，
把A(−4,−k4)代入y=−12x−1得−k4=−12×(−4)−1，
∴k=−4．
故选D．
12.【答案】D
【解析】解：∵开机加热时每分钟上升10℃，
∴水温从20℃加热到100℃，所需时间为：100−2010=8min，
故A选项不合题意；
由题可得，(8,100)在反比例函数图象上，
设反比例函数解析式为y=kx，
代入点(8,100)可得，k=800，
∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是y=800x，
故B选项不合题意；
令y=20，则800x=20，
∴x=40，
即饮水机每经过40分钟，要重新从20℃开始加热一次，
从8点9点30分钟，所用时间为90分钟，
而水温加热到100分钟，仅需要8分钟，
故当时间是9点30时，饮水机第三次加热，从20℃加热了10分钟，
令x=10，则y=80010=80℃>40℃，
故C选项不符合题意；
水温从20℃加热到30℃所需要时间为：30−2010=1min，
令y=30，则800 x=30，
∴x=803，
∴水温不低于30℃的时间为803−1=773min，
故选：D．
因为开机加热时，饮水机每分钟上升10℃，所以开机加热到100℃，所用时间为100−2010=8min，故A不合题意，利用点(8,100)，可以求出反比例函数解析式，故B不符合题意，令y=20，则x=40，求出每40分钟，饮水机重新加热，故时间为9点30时，可以得到饮水机是第三次加热，并且第三次加热了10分钟，令x=10，代入到反比例函数中，求出y，即可得到C不符合题意，先求出加热时间段时，水温达到30℃所用的时间，再由反比例函数，可以得到冷却时间时，水温为30℃时所对应的时间，两个时间相减，即为水温不低于30℃时的时间．
本题考查了反比例函数的应用，数形结合，是解决本题的关键．
13.【答案】y=1x
【解析】
【分析】
本题考查了待定系数法求函数解析式，设出解析式是解题的关键一步，要认真对待．根据定义设出反比例的解析式，将x=1时，y=1代入解析式，求出未知系数，即可得所求解析式．
【解答】
解：由题意可设y=k2x，
∵当x=1时，y=1，
∴k=2，
∴y与x的函数解析式是y=22x=1x．
故答案为y=1x．
14.【答案】6
【解析】
【分析】
直接利用一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的特征得出n+m以及mn的值，再利用完全平方公式将原式变形得出答案．此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的特征，正确得出m，n之间关系是解题关键．
【解答】
解：∵点P(m,n)在直线y=−x+2上，
∴n+m=2，
∵点P(m,n)在双曲线y=−1x上，
∴mn=−1，
∴m2+n2=(n+m)2−2mn=4+2=6．
故答案为：6．
15.【答案】−1
【分析】
反比例函数中k>0，则同一象限内y随x的增大而减小，由于y1
∵在反比例函数y=kx中，k>0，
∴在同一象限内y随x的增大而减小，
∵a−1
∴a−1<0
本题考察了反比例函数的性质，解题的关键是熟悉反比例函数的增减性，当k>0，在每一象限内y随x的增大而减小；当k<0，在每一象限内y随x的增大而增大．
16.【答案】6
【解析】
【分析】
过A作AH⊥OC，过B作BG⊥OC，根据已知条件结合反比例函数k的几何意义，求出点A与点B的坐标关系，再根据平行线分线段成比例，表示出OH，GH，CG进而得到CO的长度，最后根据三角形面积公式求解即可．
本题主要考查反比例函数k的几何意义和平行线分线段成比例，熟练表示相关点的坐标是解题的关键．
【解答】
解：过A作AH⊥OC，过B作BG⊥OC，
∵A、B两点在反比例函数y=−3x(x<0)的图象上，
∴设A(x,−3x)，S△AOH=32，
∵AB=2BC，
∴BGAH=CBCA=13，CGHG=CBAB=12，
∴BG=13AH，HG=2CG，
∴点B的纵坐标为−1x，代入反比例函数解析式中得点B的坐标为(3x,−1x)，
∴OG=−3x，HG=−2x，CG=−x，则OC=−4x，
∴S△AOC=12⋅OC⋅AH=12⋅(−4x)⋅(−3x)=6．
故答案为：6．
17.【答案】解：(1)200×18=3600m，
反比例函数t=3600v；
(2)3600÷300=12分钟，
答：他需要12分钟到达单位；
(3)把t=15代入函数的解析式，得：v=360015=240m/min，
答：他骑车的平均速度是：240m/min．
【解析】本题考查了反比例函数的应用，正确理解反比例函数关系是关键．
(1)根据速度、时间、路程的关系即可写出函数的关系式；
(2)根据时间=路程÷速度求解即可；
(3)把t=15代入函数的解析式，即可求得速度．
18.【答案】 (1)设王小红衣服中洗衣液的残留量与漂洗次数的函数关系式为y1=k1x1，李小敏衣服中洗衣液的残留量与漂洗次数的函数关系式为y2=k2x2(k1,k2为常数且k1，k2≠0，x为正整数)，
把x1=1,y1=1.5和x2=1,y2=2分别代入两个关系式，得1.5=k11，2=k21，解得k1=1.5，k2=2．
所以王小红衣服中洗衣液的残留量与漂洗次数的函数关系式为y1= 1.5x1，
李小敏衣服中洗衣液的残留量与漂洗次数的函数关系式为y2= 2x2(x为正整数)．
(2)李小敏的漂洗方法更值得提倡．
理由如下：把y=0.5分别代入两个关系式，得1.5x1=0.5，2x2=0.5，
解得x1=3，x2 =4. 10×3=30(升)，5×4=20(升)．
即王小红共用水30升，李小敏共用水20升，
所以李小敏的漂洗方法更值得提倡．
【解析】略
19.【答案】解：(1)∵y1与x成反比例，y2与(x−2)成正比例，
∴设y1=k1x，y2=k2(x−2)，
∴y=k1x−k2(x−2)，
∵当x=−1时，y=−15，当x=2时，y=32；
∴−k1+3k2=−1512k1=32,
解得：k1=3k2=−4,
∴y与x之间的函数关系式为y=3x+4x−8．
(2)把x=1代入y=3x+4x−8，
得y=3+4−8=−1．
【解析】本题考查了正比例函数的定义、反比例函数的定义以及待定系数法求函数解析式，设出函数表达式，然后把x、y的对应值代入进行计算即可，是求函数解析式常用的方法，需熟练掌握．
(1)设出解析式，利用待定系数法求得比例系数即可求得其解析式；
(2)代入x的值即可求得函数值．
20.【答案】解：(1)∵四边形OABC是矩形，OA=4，OC=3，
∴点B的坐标为(4,3)，
∵点B在反比例函数y=kx(k>0)的第一象限内的图象上
∴k=12，
∴y=12x，
设点P的横坐标为m(m>0)，
∵S△PCO=38S矩形OABC．
∴12⋅OC⋅m=38OA⋅OC，
∴m=3，
当点P在这个反比例函数y=12x的图象上时，则P点的纵坐标为y=123=4，
∴点P的坐标为(3,4)；
(2)过点(3,0)，作直线l⊥x轴．
由(1)知，点P的横坐标为3，
∴点P在直线l上
作点O关于直线l的对称点O′，则OO′=6，
连接CO′交直线l于点P，此时PO+PC的值最小，
则PO+PC的最小值=PO′+PC=O′C=32+62=35．
(3)分两种情况：
①如图2中，当四边形CBQP是菱形时，易知BC=CP=PQ=BQ=4，
∵P点在直线l上，
∴CH=3，P1H⊥CH，
∵P1C=4，
∴P1H=42−32=7，
∴P1点的坐标为(3,3−7)，
∵P1Q1//BC，P1Q1=BC=4，
∴Q1点的坐标为(7,3−7)，
同理：Q2(7,3+7)；
．
②如图3中，当四边形CBPQ是菱形时，同①可得：Q3(−1,3−15)，Q4(−1,3+15).
综上所述，点Q的坐标为Q1(7,3−7)，Q2(7,3+7)，Q3(−1,3−15)，Q4(−1,3+15).
【解析】本题考查反比例函数综合题、矩形的性质、菱形的性质、三角形的面积、轴对称最短问题、坐标与图形的性质、勾股定理以及分类讨论的思想等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会理由轴对称解决最短问题，学会用分类讨论的首先思考问题，属于中考压轴题．
(1)首先根据点B坐标，确定反比例函数的解析式，设点P的横坐标为m(m>0)，根据S△PCO=38S矩形OABC，构建方程即可解决问题；
(2)过点(3,0)作直线l⊥x轴．由(1)知，点P的横坐标为3，推出点P在直线l上，作点O关于直线l的对称点O′，则OO′=6，连接CO′交直线l于点P，此时PO+PC的值最小，求出O′C的长即为PO+PC的最小值；
(3)分两种情形：当四边形CBQP是菱形时；当四边形CBPQ是菱形时，分别求解即可解决问题．
21.【答案】解：(1)由题意得：6m=nm+5=n，
解得：m=1n=6，
∴A(1,6)，B(6,1)，
设反比例函数解析式为y=kx，
将A(1,6)代入得：k=6，
则反比例解析式为y=6x；
(2)存在，
设E(x,0)，则DE=x−1，CE=6−x，
∵AD⊥x轴，BC⊥x轴，
∴∠ADE=∠BCE=90°，
连接AE，BE，
则S△ABE=S四边形ABCD−S△ADE−S△BCE
=12(BC+AD)⋅DC−12DE⋅AD−12CE⋅BC
=12×(1+6)×5−12(x−1)×6−12(6−x)×1
=352−52x=5，
解得：x=5，
则E(5,0)．
【解析】(1)根据题意列出关于m与n的方程组，求出方程组的解得到m与n的值，确定出A与B坐标，设出反比例函数解析式，将A坐标代入即可确定出解析式；
(2)存在，设E(x,0)，表示出DE与CE，连接AE，BE，三角形ABE面积=四边形ABCD面积−三角形ADE面积−三角形BCE面积，求出即可．
此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
22.【答案】解：(1)∵AC//y轴，
∴点A、C的横坐标相等．
把x=−6代入y=−12x，得y=2，
∴点C的坐标(−6,2)．
∴AC=4−2=2．
(2)∵AB//x轴，
∴点A、B的纵坐标相等，
把y=4代入y=−12x，得x=−3，
∴点B的坐标(−3,4)．
∴AB=BO=5．
∴点A(−8,4)．
(2)延长AB交y轴于点D，延长AC交x轴于点E，连接CO．
∵AB//x轴，AC//y轴，
∴四边形AEOD为平行四边形．
又∵∠DOE=90°，
∴平行四边形AEOD为矩形．
∴S△AEO=S△ADO．
又∵S△CEO=S△BDO=6，
∵S△ACO=S△ABO．
又∵S△ACP=APAO×S△ACO，S△ABP=APAO×S△ABO，
∴S△ACP=S△ABP．
∴S△ABPS△ACP=1．
【解析】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：矩形的判定与性质，三角形的面积求法，以及坐标与图形性质，熟练掌握性质及运算法则是解本题的关键．
(1)根据平行线的性质和点的坐标与图形的性质求得点C的坐标，易得AC线段的长度；
(2)根据函数值，可得自变量的值，根据勾股定理，可得OB长，根据AB=OB，可得A点坐标；
(3)延长AB交y轴于点D，延长AC交x轴于点E，连接CO.结合矩形的性质推知S△AEO=S△ADO.根据反比例函数系数k的几何意义得到：S△CEO=S△BDO=6，易得S△ACP=APAO×S△ACO，S△ABP=APAO×S△ABO，即可得出结论．
23.【答案】解：(1)∵一次函数y=x+b的图象经过点A(−2,0)，
∴0=−2+b，得b=2，
∴一次函数的解析式为y=x+2，
∵一次函数的解析式为y=x+2与反比例函数y=kx(x>0)的图象交于B(a,4)，
∴4=a+2，得a=2，
∴4=k2，得k=8，
即反比例函数解析式为：y=8x(x>0)；
(2)∵点A(−2,0)，
∴OA=2，
设点M(m−2,m)，点N(8m,m)(m>0)，
当MN//AO且MN=AO时，以A，O，M，N为顶点的四边形是平行四边形，
|8m−(m−2)|=2，
解得，m=22或m=23+2，
∴点M的坐标为(22−2,22)或(23,23+2)．
【解析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
(1)根据一次函数y=x+b的图象经过点A(−2,0)，可以求得b的值，从而可以解答本题；
(2)根据平行四边形的性质和题意，可以求得点M的坐标，注意点M的横坐标大于0．
24.【答案】(1)∵正方形OABC的面积为9，∴OA=OC=3，∴B(3,3)，
又∵点B(3,3)在函数y=kx的图象上，∴k=9；
(2)分两种情况：①当点P在点B的左侧时，
∵P(m,n)在函数y=kx上，
∴mn=9，
∴S=m(n−3)=mn−3m=92，解得m=32，
∴n=6，∴点P的坐标是P(32,6)；
②当点P在点B的右侧时，
∵P(m,n)在函数y=kx上，
∴mn=9，
∴S=n(m−3)=mn−3n=92，
解得n=32，∴m=6，
∴点P的坐标是P(6,32)，
综上所述：P(6,32)，(32,6)．
(3)当0
【解析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，以及反比例函数比例系数的几何意义，注意到分情况讨论是关键．
(1)根据正方形的面积求得B的坐标，利用待定系数法求得反比例函数的解析式；
(2)分成P在B的左侧和右侧两种情况进行讨论．当P在B的左侧时，重合部分是以OC为边的矩形，根据面积公式求得P的横坐标，进而代入反比例函数解析式求得纵坐标；当P在B的右侧时，重合部分是以OA为一边的矩形，根据面积公式求得P的纵坐标，进而求得横坐标；
(3)与(2)的解法相同，分成两种情况进行讨论．
25.【答案】解：(1)如图：
∵反比例函数y=kx的图象与正比例函数的图象交于A、B两点，
∴点A与点B关于原点对称，
∴OA=OB，
∴S△ADO=12S△ADB=12×2=1，
∴12|k|=1，
而k<0，
∴k=−2，
∴反比例函数解析式为y=−2x；
把x=−1代入y=−2x得y=2，
∴A点坐标为(−1,2)，
把A(−1,2)代入正比例函数y=mx得m=−2，
∴正比例函数解析式为y=−2x；
(2)设P点坐标为(x,y)，
∵A点坐标为(−1,2)，
∴AD=2，
∵△ADP的面积为4，
∴12×2×|x+1|=4，解得x=3或x=−5，
当x=3时，y=−2x=−23，此时P点坐标为(3,−23)；
当x=−5时，y=−2x=25，此时P点坐标为(−5,25)，
综上所述，点P坐标为(3,−23)、(−5,25).
【解析】本题考查了一次函数与反比例函数综合、反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数k的几何意义、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积等．
(1)根据反比例函数和正比例函数的性质得点A与点B关于原点对称，则OA=OB，所以S△ADO=12S△ADB=1，再根据反比例函数的比例系数的几何意义得到k=−2，则反比例函数解析式为y=−2x；然后利用反比例函数解析式确定A点坐标为(−1,2)，代入正比例函数解析式即可确定正比例函数解析式；
(2)设P点坐标为(x,y)，根据三角形面积公式得到12×2×|x+1|=4，解得x=3或x=−5，然后利用反比例函数解析式计算出自变量为3和−5的函数值，从而得到P点坐标．
浙教版初中数学八年级下册第六单元《反比例函数》（困难）（含答案解析）
考试范围：第六单元； 考试时间：120分钟；总分：120分，
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 教室里的饮水机接通电源就进入自动程序：开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃后停止加热，水温开始下降，此时水温(单位：℃)与开机后用时(单位：min)成反比例关系，直至水温降至30℃，饮水机重新开始加热，重复上述过程．若在水温为30℃时，接通电源后，水温y(单位：℃)和时间x(单位：min)的关系如图，为了在上午第一节下课时(8:45)能喝到不超过50℃的水，则接通电源的时间可以是当天上午的( )
A. 7:20 B. 7:30 C. 7:45 D. 7:50
2. 如图，在平面直角坐标系中，∠AOB=90∘，∠OAB=30∘，反比例函数y1=mx的图象经过点A，反比例函数y2=nx的图象经过点B，
则下列关于m，n的关系正确的是( )
A. m=33n B. m=-3n C. m=-33n D. m=-3n
3. 已知反比例函数y=6x的图像上有两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，且x1
C. y1=y2 D. y1与y2之间的大小关系不能确定．
4. 如图，面积为1的矩形ABCD在第二象限，BC与x轴平行，反比例函数y=−kx(k≠0)经过B、D两点，直线BD所在直线y=kx+b与x轴、y轴交于E、F两点，且B、D为线段EF的三等分点，则b的值为( )
A. 22 B. 23 C. 32 D. 33
5. 将一块含30°角的三角板ABC按如图所示摆放在平面直角坐标系中，直角顶点C在x轴上，AB // x轴．反比例函数y=kxx>0的图象恰好经过点A，且与直角边BC交于点D.若AB=63，BD=2 CD，则k的值为( )
A. 923 B. 63 C. 2033 D. 2743
6. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=kx(x>0)的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N两点．△OMN的面积为10.若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是( )
A. 62
B. 10
C. 226
D. 229
7. 平面直角坐标系xOy中，已知A(2m,−m−1)，B(2m+2,−m−2)，C(n,2n)，其中m，n均为常数，且n≠0.当△ABC的面积最小时，n的值为( )
A. −3
B. −2
C. −3
D. −2
8. 如图，矩形ABCD中，点A在双曲线y=−8x上，点B，C在x轴上，延长CD至点E，使CD=2DE，连接BE交y轴于点F，连接CF，则△BFC的面积为( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
9. 如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的边与函数y=(x>0)图象交于E，F两点，且F是BC的中点，则四边形ACFE的面积等于( )
A. 4
B. 6
C. 8
D. 不能确定
10. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是(5,0)，点B是函数y=6x(x>0)图象上的一个动点，过点B作BC⊥y轴交函数y=−2x(x<0)的图象于点C，点D在x轴上(D在A的左侧)，且AD=BC，连接AB，CD．
有如下四个结论：
①四边形ABCD可能是菱形；
②四边形ABCD可能是正方形；
③四边形ABCD的周长是定值；
④四边形ABCD的面积是定值．
所有正确结论的序号是( )
A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ①④
11. 直线y=−12x−1与反比例函数y=kx(x<0)的图象交于点A，与x轴相交于点B，过点B作x轴垂线交双曲线于点C，若AB=AC，则k的值为( )
A. −12
B. − 8
C. − 6
D. − 4
12. 学校的自动饮水机，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降．此时水温y(℃)与通电时间x(min)成反比例关系．当水温将至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是( )
A. 水温从20℃加热到100℃，需要7min
B. 水温下降过程中，y与x的函数关系式是y=400x
C. 上午8点接通电源，可以保证当天9：30能喝到不超过40℃的水
D. 水温不低于30℃的时间为773min
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 已知y与2x成反比例，当x=1时y=1，则y与x之间的函数表达式为__________．
14. 已知：点P(m,n)在直线y=−x+2上，也在双曲线y=−1x上，则m2+n2的值为______。
15. 点(a−1,y1)，(a+1,y2)在反比例函数y=kx(k>0)的图象上，若y1
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
小林每天骑自行车去单位上班，他每天骑自行车上班时的平均速度为v(m/min)，所需时间为t(min).已知当小林骑车的平均速度为200 m/min时，所需时间为18 min．
(1)求时间t关于速度v的函数表达式．
(2)如果小林骑车的速度为300 m/min，那么他需要几分钟到达单位？
(3)如果小林骑车到单位不得超过15 min，那么他骑车的平均速度至少是多少？
18. (本小题8.0分)
用洗衣液洗衣物时，漂洗的次数与衣物中洗衣液的残留量近似地满足反比例函数关系.寄宿生王小红、李小敏晚饭后用同一种洗衣液各自洗一件同样的衣服，漂洗时，王小红每次用一盆水(约10升)，李小敏每次用半盆水(约5升)，如果她们都用了5g洗衣液，第一次漂洗后，王小红的衣服中残留的洗衣液还有1.5g，李小敏的衣服中残留的洗衣液还有2g．
(1)请帮助王小红、李小敏求出各自衣服中洗衣液的残留量y与漂洗次数x的函数关系式;
(2)当洗衣液的残留量降至0.5g时，便视为衣服漂洗干净，从节约用水的角度来看，你认为谁的漂洗方法更值得提倡，为什么?
19. (本小题8.0分)
已知y=y1−y2,y1与x成反比例，y2与(x−2)成正比例，并且当x=−1时，y=−15，当x=2时，y=32；
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当x=1时，y的值．
20. (本小题8.0分)
如图1，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B在反比例函数y=kx(k>0)的第一象限内的图象上，OA=4，OC=3，动点P在y轴的右侧，且满足S▵PCO=38S矩形OABC．
(1)若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；
(2)连接PO、PC，求PO+PC的最小值；
(3)若点Q是平面内一点，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标．
21. (本小题8.0分)
如图，点A(m,6)、B(n,1)在反比例函数图像上，AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，DC=5．
(1)求m、n的值并写出反比例函数的表达式；
(2)连接AB，在线段DC上是否存在一点E，使△ABE的面积等于5?若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
22. (本小题8.0分)
如图，已知点A的坐标为(a,4)(其中a<−3)，射线OA与反比例函数y=−12x的图象交于点P，点B，C分别在函数y=−12x的图象上，且AB//x轴，AC//y轴，连接BO，CO，BP，CP．
(1)当a=−6，求线段AC的长；
(2)当AB=BO时，求点A的坐标；
(3)求证：S△ABPS△ACP=1．
23. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x+b的图象经过点A(−2,0)，与反比例函数y=kx(x>0)的图象交于B(a,4)．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)设M是直线AB上一点，过M作MN//x轴，交反比例函数y=kx(x>0)的图象于点N，若A，O，M，N为顶点的四边形为平行四边形，求点M的坐标．
24. (本小题8.0分)
如图，正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点B在函数y=kx(k>0,x>0)的图 像上，点P(m,n)是函数图像上任意一点，过点P分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为E，F.并设矩形OEPF和正方形OABC不重合的部分的面积为S．
(1)求k的值；
(2)当S=92时，求点P的坐标；
(3)写出S关于m的关系式．
25. (本小题8.0分)
已知反比例函数y=kx(k≠0)的图象与正比例函数y=mx(m≠0)的图象交于A，B两点，且点A在第二象限，点A的横坐标为−1.过点A作AD⊥x轴，垂足为D，△ADB的面积为2．
(1)求这两个函数的表达式．
(2)若P是这个反比例函数图象上的点，且△ADP的面积是4，求点P的坐标。
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由于开机加热时每分钟上升10℃，故从30℃到100℃需要7 min.设一次函数解析式为y=k1x+b(k1≠0)，
将(0,30)，(7,100)代入y=k1x+b，解得k1=10，b=30，所以y=10x+30(0≤x≤7)．
当y=50时，x=2.设反比例函数y=kx(k≠0)，将(7,100)代入y=kx，得k=700．
当y=30时，x=703.所以y=700x(7⩽x⩽703).当y=50时，x=14，
如图所示．所以饮水机的一个循环周期为703min，每一个循环周期内，
在0≤x≤2及14⩽x⩽703时间段内，水温不超过50℃，可直接饮用．
对于选项A，7:20～8:45之间有85 min，85−703×3=15，即饮水机位于第4次重复开机后的第15 min，
此时水温不超过50℃，可直接饮用，符合题意．
综上分析，可知选项B，C，D不符合题意，因此应选A．
2.【答案】D
【解析】解：过点B作BE⊥x轴于点E，过点A作AF⊥x轴于点F，
∵∠OAB=30°，∠AOB=90∘，
∴OA=3OB，
设点B坐标为(a,na)，点A的坐标为(b,mb)，
则OE=−a，BE=na，OF=b，AF=mb，
∵∠BOE+∠OBE=90°，∠AOF+∠BOE=90°，
∴∠OBE=∠AOF，
又∵∠BEO=∠OFA=90°，
∴△BOE∽△OAF，
∴OEAF=BEOF=OBOA，即−amb=nab=13，
解得：m=−3ab，n=ab3，
故可得：m=−3n．
故选D．
过点B作BE⊥x轴于点E，过点A作AF⊥x轴于点F，设点B坐标为(a,na)，点A的坐标为(b,mb)，证明△BOE∽△OAF，利用对应边成比例可求出m、n的关系．
本题考查了反比例函数的综合，解答本题的关键是结合解析式设出点A、B的坐标，得出OE、BE、OF、AF的长度表达式，利用相似三角形的性质建立m、n之间的关系式，难度较大．
3.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质和分类讨论的数学思想解答．根据反比例函数的性质，利用分类讨论的数学思想即可解答本题．
【解答】
解：∵y=6x，
∴在每个象限内，y随x的增大而减小，
当x1
当x1<0
故选D．
4.【答案】C
【解析】解：延长AB、DC交x轴于点Q、P，延长AD、BC交y轴于点M、N，
∵B、D为线段EF的三等分点，
∴BE=BD=DF，
∵AM//BC//EO，
∴OP=PQ=QE，ON=MN=MF，
∵ABCD的面积为1，
∴S矩形QBNO=2S矩形ABCD=2，
∴|k|=2，
∴反比例函数的关系式为y=−2x，
∴k=2，
一次函数的关系式为y=2x+b，即：F(0,b)，E(−b2,0)，
由题意得△EOF的面积为92，
∴12×b×b2=92，
解得，b=32，b=−32(舍去)，
故选：C．
根据B、D为线段EF的三等分点，ABCD的面积为1，可求出反比例函数的关系式，确定k的值，再利用一次函数与x轴、y轴的交点坐标，及△EOF的面积即可求出b的值．
考查反比例函数图象上点的坐标特征，理解反比例函数的k的几何意义是解决问题的关键．
5.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行线的性质，含30°角直角三角形的性质．
过点A作AE⊥x轴，垂足为E，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，求得AE，CE，CF，DF，设OE=x，求得A(x,92)，D(x+33,32)，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征得出92x=(x+33)×32，解出x的值，求出A(332,92)，再计算k的值．
【解答】
解：如图，过点A作AE⊥x轴，垂足为E，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，
在Rt△ABC中，∠B=30°，AB//x轴，AB=63，BD=2CD，
∴AC=33，BC=9，∠DCF=30°，∠EAC=30°，
∴EC=12AC=332，DC=3，
DF=12DC=32，
∴CF=332，AE=92，
设OE=x，则OF=OE+EC+CF=x+332+332=x+33，
∴A(x,92)，D(x+33,32)，
又∵点A、D都在反比例函数的图象上，
∴92x=(x+33)×32，
解得，x=332，
∴A(332,92)，
∴k=332×92=2743．
6.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了反比例函数的系数k的几何意义，轴对称−最小距离问题，勾股定理，由正方形OABC的边长是6，得到点M的横坐标和点N的纵坐标为6，求得M(6,k6)，N(k6,6)，根据三角形的面积列方程得到M(6,4)，N(4,6)，作M关于x轴的对称点M′，连接NM′交x轴于P，则NM′的长=PM+PN的最小值，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】
解：∵正方形OABC的边长是6，
∴点M的横坐标和点N的纵坐标为6，
∴M(6,k6)，N(k6,6)，
∴BN=6−k6，BM=6−k6，
∵△OMN的面积为10，
∴6×6−12×6×k6−12×6×k6−12×(6−k6)2=10，
∴k=24，
∴M(6,4)，N(4,6)，
作M关于x轴的对称点M′，连接NM′交x轴于P，则NM′的长=PM+PN的最小值，如图
∵AM=AM′=4，
∴BM′=10，BN=2，
∴NM′=BM′2+BN2=102+22=226，
故选C．
7.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查一次函数图象和反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数和反比例函数与三角形的综合、坐标与图形性质、三角形的面积等知识.通过点A、B、C的坐标确定点A、B是直线y=−x2−1上的点、点C是反比例函数y=2x上的点；然后利用点的坐标求出AB=5可知若使△ABC的面积最小时，则点C到直线AB的距离最小即可，从图可以看出此时(−2,−1)到直线AB的距离最短，从而求出n值即可．
【解答】
解：设点A的横坐标x=2m，纵坐标y=−m−1，则m=x2，将m=x2代入y=−m−1得y=−x2−1，
同理设点B的横坐标x′=2m+2，纵坐标y′=−m−2，则m=x′−22，将m=x′−22代入y′=−m−2得y′=−x′2−1，
∴点AB在直线y=−x2−1上，
设点C的横坐标x=n，纵坐标y=2n，则y=2x，
∴点C在反比例函数y=2x上，
如图，
则AB=[2m−(2m+2)]2+[(−m−1)−(−m−2)]2=5，即AB的长度固定，若使△ABC的面积最小时，则点C到直线AB的距离最小即可，从图可以看出此时(−2,−1)到直线AB的距离最短，所以n=−2．
故选B．
8.【答案】B
【解析】解：如图，设AD交y轴于J，交BE于K，设AB=CD=2m，则DE=m，设DK=b．
∵点A在y=−8x上，
∴A(−4m,2m)，
∴AJ=4m，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DK//BC，
∴DKBC=EDEC=13，
∴BC=AD=3b，AK=2b，JK=2b−4m，
∵JF//DE，
∴JFDE=JKDK，
∴JFm=2b−4mb，
∴JF=2mb−4b，
∴OF=OJ−JF=2m−2mb−4b=4b，
∴S△BFC=12⋅BC⋅OF=12×3b⋅4b=6，
故选：B．
如图，设AD交y轴于J，交BE于K，设AB=CD=2m，则DE=m，设DK=b.利用平行线分线段成比例定理求出BC，OF即可解决问题．
本题考查反比例函数系数的几何意义，矩形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
9.【答案】B
【解析】解：连接OF、OB、OE．
∵四边形ABCO是矩形，
∴S△ABO=S△BCO，
∵BF=CF，
∴S△CFO=S△BFO，
∵E、F在y=(x>0)上，
∴S△AEO=S△FCO=S△ABO，
∴AE=EB，∵BF=CF，
∴EF//AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴=，
∵S矩形ABCO=16，
∴S△BEF=×8=2，
∴S四边形ACFE=8−2=6，
故选：B．
连接OF、OB、OE.首先证明EF是△BAC的中位线，利用相似三角形的性质即可解决问题．
本题考查反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上的点的特征、矩形的性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用三角形中位线定理解决问题．
10.【答案】D
【解析】解：①∵BC⊥y轴，
∴AD//BC，
又∵AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
设点B(a,6a)，则C(−a3,6a)，
∴BC=a−(−a3)=43a，AB=(5−a)2+(6a)2，
当a=5时，BC=203，AB=65，
此时，AB
∴四边形ABCD可能是菱形，故①正确，符合题意；
②由①得，当x=5时，BC=203，AB=65，
∴BC≠AB，
∴四边形ABCD不为正方形，故②错误，不符合题意；
③由①得，当点B的横坐标为5时，BC=203，AB=65，
∴C四边形ABCD=2×(BC+AB)=2×(203+65)=23615，
当点B的横坐标为1时，B(1,6)，C(−13,6)，
∴BC=43，AB=(5−1)2+62=213，
∴C四边形ABCD=2(BC+AB)=2(43+213)=83+413≠23615，
∴四边形ABCD的周长不为定值，故③错误，不符合题意；
④如图，过点C作CE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，则四边形EFBC为矩形，
∵BC//AD，
∴S四边形ABCD=S四边形EFBC=|−2|+|6|=8，
∴四边形ABCD的面积为定值，故④正确，符合题意；
故选：D．
①由BC⊥y轴得到AD//BC，结合AD=BC，得到四边形ABCD是平行四边形，设点B(a,6a)，则C(−a3,6a)，得到BC的长，再表示AB的长，利用菱形的性质列出方程求得a的值，即可判断结论；
②当x=5时，求得点B的坐标，然后判断四边形ABCD是否为正方形；
③任取两个点B的坐标，求得AB和BC的长，然后判断四边形ABCD的周长是否为定值；
④过点C作CE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，将四边形ABCD的面积转化为四边形EFBC的面积，进而利用反比例系数k的几何意义判断四边形ABCD的面积是否为定值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的判定与性质，菱形的性质，正方形的性质，解题的关键是熟知反比例函数图象上点的坐标特征．
11.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两个函数的解析式．也考查了与x轴垂直的直线上所有点的横坐标相同以及等腰三角形的性质.过A作AD⊥BC于D，先求出直线y=−12x−1与x轴交点B的坐标(−2,0)，则得到C点的横坐标为−2，由于C点在反比例函数y=kx的图象上，可表示出C点坐标为(−2,−k2)，利用等腰三角形的性质，由AC=AB，AD⊥BC，得到DC=DB，于是D点坐标为(−2,−k4)，则可得到A点的纵坐标为−k4，利用点A在函数y=kx的图象上，可表示出点A的坐标为(−4,−k4)，然后把A(−4,−k4)代入y=−12x−1得到关于k的方程，解方程即可求出k的值．
【解答】
解：过A作AD⊥BC于D，如图，
对于y=−12x−1，令y=0，则−12x−1=0，解得x=−2，
∴B点坐标为(−2,0)，
∵CB⊥x轴，
∴C点的横坐标为−2，
对于y=kx ，令x=−2，则y=−k2 ，
∴C点坐标为(−2,−k2)，
∵AC=AB，AD⊥BC，
∴DC=DB，
∴D点坐标为(−2,−k4)，
∴A点的纵坐标为−k4，
而点A在函数y=kx的图象上，
把y=−k4代入y=kx得x=−4，
∴点A的坐标为(−4,−k4)，
把A(−4,−k4)代入y=−12x−1得−k4=−12×(−4)−1，
∴k=−4．
故选D．
12.【答案】D
【解析】解：∵开机加热时每分钟上升10℃，
∴水温从20℃加热到100℃，所需时间为：100−2010=8min，
故A选项不合题意；
由题可得，(8,100)在反比例函数图象上，
设反比例函数解析式为y=kx，
代入点(8,100)可得，k=800，
∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是y=800x，
故B选项不合题意；
令y=20，则800x=20，
∴x=40，
即饮水机每经过40分钟，要重新从20℃开始加热一次，
从8点9点30分钟，所用时间为90分钟，
而水温加热到100分钟，仅需要8分钟，
故当时间是9点30时，饮水机第三次加热，从20℃加热了10分钟，
令x=10，则y=80010=80℃>40℃，
故C选项不符合题意；
水温从20℃加热到30℃所需要时间为：30−2010=1min，
令y=30，则800 x=30，
∴x=803，
∴水温不低于30℃的时间为803−1=773min，
故选：D．
因为开机加热时，饮水机每分钟上升10℃，所以开机加热到100℃，所用时间为100−2010=8min，故A不合题意，利用点(8,100)，可以求出反比例函数解析式，故B不符合题意，令y=20，则x=40，求出每40分钟，饮水机重新加热，故时间为9点30时，可以得到饮水机是第三次加热，并且第三次加热了10分钟，令x=10，代入到反比例函数中，求出y，即可得到C不符合题意，先求出加热时间段时，水温达到30℃所用的时间，再由反比例函数，可以得到冷却时间时，水温为30℃时所对应的时间，两个时间相减，即为水温不低于30℃时的时间．
本题考查了反比例函数的应用，数形结合，是解决本题的关键．
13.【答案】y=1x
【解析】
【分析】
本题考查了待定系数法求函数解析式，设出解析式是解题的关键一步，要认真对待．根据定义设出反比例的解析式，将x=1时，y=1代入解析式，求出未知系数，即可得所求解析式．
【解答】
解：由题意可设y=k2x，
∵当x=1时，y=1，
∴k=2，
∴y与x的函数解析式是y=22x=1x．
故答案为y=1x．
14.【答案】6
【解析】
【分析】
直接利用一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的特征得出n+m以及mn的值，再利用完全平方公式将原式变形得出答案．此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的特征，正确得出m，n之间关系是解题关键．
【解答】
解：∵点P(m,n)在直线y=−x+2上，
∴n+m=2，
∵点P(m,n)在双曲线y=−1x上，
∴mn=−1，
∴m2+n2=(n+m)2−2mn=4+2=6．
故答案为：6．
15.【答案】−1
【分析】
反比例函数中k>0，则同一象限内y随x的增大而减小，由于y1
∵在反比例函数y=kx中，k>0，
∴在同一象限内y随x的增大而减小，
∵a−1
∴a−1<0
本题考察了反比例函数的性质，解题的关键是熟悉反比例函数的增减性，当k>0，在每一象限内y随x的增大而减小；当k<0，在每一象限内y随x的增大而增大．
16.【答案】6
【解析】
【分析】
过A作AH⊥OC，过B作BG⊥OC，根据已知条件结合反比例函数k的几何意义，求出点A与点B的坐标关系，再根据平行线分线段成比例，表示出OH，GH，CG进而得到CO的长度，最后根据三角形面积公式求解即可．
本题主要考查反比例函数k的几何意义和平行线分线段成比例，熟练表示相关点的坐标是解题的关键．
【解答】
解：过A作AH⊥OC，过B作BG⊥OC，
∵A、B两点在反比例函数y=−3x(x<0)的图象上，
∴设A(x,−3x)，S△AOH=32，
∵AB=2BC，
∴BGAH=CBCA=13，CGHG=CBAB=12，
∴BG=13AH，HG=2CG，
∴点B的纵坐标为−1x，代入反比例函数解析式中得点B的坐标为(3x,−1x)，
∴OG=−3x，HG=−2x，CG=−x，则OC=−4x，
∴S△AOC=12⋅OC⋅AH=12⋅(−4x)⋅(−3x)=6．
故答案为：6．
17.【答案】解：(1)200×18=3600m，
反比例函数t=3600v；
(2)3600÷300=12分钟，
答：他需要12分钟到达单位；
(3)把t=15代入函数的解析式，得：v=360015=240m/min，
答：他骑车的平均速度是：240m/min．
【解析】本题考查了反比例函数的应用，正确理解反比例函数关系是关键．
(1)根据速度、时间、路程的关系即可写出函数的关系式；
(2)根据时间=路程÷速度求解即可；
(3)把t=15代入函数的解析式，即可求得速度．
18.【答案】 (1)设王小红衣服中洗衣液的残留量与漂洗次数的函数关系式为y1=k1x1，李小敏衣服中洗衣液的残留量与漂洗次数的函数关系式为y2=k2x2(k1,k2为常数且k1，k2≠0，x为正整数)，
把x1=1,y1=1.5和x2=1,y2=2分别代入两个关系式，得1.5=k11，2=k21，解得k1=1.5，k2=2．
所以王小红衣服中洗衣液的残留量与漂洗次数的函数关系式为y1= 1.5x1，
李小敏衣服中洗衣液的残留量与漂洗次数的函数关系式为y2= 2x2(x为正整数)．
(2)李小敏的漂洗方法更值得提倡．
理由如下：把y=0.5分别代入两个关系式，得1.5x1=0.5，2x2=0.5，
解得x1=3，x2 =4. 10×3=30(升)，5×4=20(升)．
即王小红共用水30升，李小敏共用水20升，
所以李小敏的漂洗方法更值得提倡．
【解析】略
19.【答案】解：(1)∵y1与x成反比例，y2与(x−2)成正比例，
∴设y1=k1x，y2=k2(x−2)，
∴y=k1x−k2(x−2)，
∵当x=−1时，y=−15，当x=2时，y=32；
∴−k1+3k2=−1512k1=32,
解得：k1=3k2=−4,
∴y与x之间的函数关系式为y=3x+4x−8．
(2)把x=1代入y=3x+4x−8，
得y=3+4−8=−1．
【解析】本题考查了正比例函数的定义、反比例函数的定义以及待定系数法求函数解析式，设出函数表达式，然后把x、y的对应值代入进行计算即可，是求函数解析式常用的方法，需熟练掌握．
(1)设出解析式，利用待定系数法求得比例系数即可求得其解析式；
(2)代入x的值即可求得函数值．
20.【答案】解：(1)∵四边形OABC是矩形，OA=4，OC=3，
∴点B的坐标为(4,3)，
∵点B在反比例函数y=kx(k>0)的第一象限内的图象上
∴k=12，
∴y=12x，
设点P的横坐标为m(m>0)，
∵S△PCO=38S矩形OABC．
∴12⋅OC⋅m=38OA⋅OC，
∴m=3，
当点P在这个反比例函数y=12x的图象上时，则P点的纵坐标为y=123=4，
∴点P的坐标为(3,4)；
(2)过点(3,0)，作直线l⊥x轴．
由(1)知，点P的横坐标为3，
∴点P在直线l上
作点O关于直线l的对称点O′，则OO′=6，
连接CO′交直线l于点P，此时PO+PC的值最小，
则PO+PC的最小值=PO′+PC=O′C=32+62=35．
(3)分两种情况：
①如图2中，当四边形CBQP是菱形时，易知BC=CP=PQ=BQ=4，
∵P点在直线l上，
∴CH=3，P1H⊥CH，
∵P1C=4，
∴P1H=42−32=7，
∴P1点的坐标为(3,3−7)，
∵P1Q1//BC，P1Q1=BC=4，
∴Q1点的坐标为(7,3−7)，
同理：Q2(7,3+7)；
．
②如图3中，当四边形CBPQ是菱形时，同①可得：Q3(−1,3−15)，Q4(−1,3+15).
综上所述，点Q的坐标为Q1(7,3−7)，Q2(7,3+7)，Q3(−1,3−15)，Q4(−1,3+15).
【解析】本题考查反比例函数综合题、矩形的性质、菱形的性质、三角形的面积、轴对称最短问题、坐标与图形的性质、勾股定理以及分类讨论的思想等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会理由轴对称解决最短问题，学会用分类讨论的首先思考问题，属于中考压轴题．
(1)首先根据点B坐标，确定反比例函数的解析式，设点P的横坐标为m(m>0)，根据S△PCO=38S矩形OABC，构建方程即可解决问题；
(2)过点(3,0)作直线l⊥x轴．由(1)知，点P的横坐标为3，推出点P在直线l上，作点O关于直线l的对称点O′，则OO′=6，连接CO′交直线l于点P，此时PO+PC的值最小，求出O′C的长即为PO+PC的最小值；
(3)分两种情形：当四边形CBQP是菱形时；当四边形CBPQ是菱形时，分别求解即可解决问题．
21.【答案】解：(1)由题意得：6m=nm+5=n，
解得：m=1n=6，
∴A(1,6)，B(6,1)，
设反比例函数解析式为y=kx，
将A(1,6)代入得：k=6，
则反比例解析式为y=6x；
(2)存在，
设E(x,0)，则DE=x−1，CE=6−x，
∵AD⊥x轴，BC⊥x轴，
∴∠ADE=∠BCE=90°，
连接AE，BE，
则S△ABE=S四边形ABCD−S△ADE−S△BCE
=12(BC+AD)⋅DC−12DE⋅AD−12CE⋅BC
=12×(1+6)×5−12(x−1)×6−12(6−x)×1
=352−52x=5，
解得：x=5，
则E(5,0)．
【解析】(1)根据题意列出关于m与n的方程组，求出方程组的解得到m与n的值，确定出A与B坐标，设出反比例函数解析式，将A坐标代入即可确定出解析式；
(2)存在，设E(x,0)，表示出DE与CE，连接AE，BE，三角形ABE面积=四边形ABCD面积−三角形ADE面积−三角形BCE面积，求出即可．
此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
22.【答案】解：(1)∵AC//y轴，
∴点A、C的横坐标相等．
把x=−6代入y=−12x，得y=2，
∴点C的坐标(−6,2)．
∴AC=4−2=2．
(2)∵AB//x轴，
∴点A、B的纵坐标相等，
把y=4代入y=−12x，得x=−3，
∴点B的坐标(−3,4)．
∴AB=BO=5．
∴点A(−8,4)．
(2)延长AB交y轴于点D，延长AC交x轴于点E，连接CO．
∵AB//x轴，AC//y轴，
∴四边形AEOD为平行四边形．
又∵∠DOE=90°，
∴平行四边形AEOD为矩形．
∴S△AEO=S△ADO．
又∵S△CEO=S△BDO=6，
∵S△ACO=S△ABO．
又∵S△ACP=APAO×S△ACO，S△ABP=APAO×S△ABO，
∴S△ACP=S△ABP．
∴S△ABPS△ACP=1．
【解析】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：矩形的判定与性质，三角形的面积求法，以及坐标与图形性质，熟练掌握性质及运算法则是解本题的关键．
(1)根据平行线的性质和点的坐标与图形的性质求得点C的坐标，易得AC线段的长度；
(2)根据函数值，可得自变量的值，根据勾股定理，可得OB长，根据AB=OB，可得A点坐标；
(3)延长AB交y轴于点D，延长AC交x轴于点E，连接CO.结合矩形的性质推知S△AEO=S△ADO.根据反比例函数系数k的几何意义得到：S△CEO=S△BDO=6，易得S△ACP=APAO×S△ACO，S△ABP=APAO×S△ABO，即可得出结论．
23.【答案】解：(1)∵一次函数y=x+b的图象经过点A(−2,0)，
∴0=−2+b，得b=2，
∴一次函数的解析式为y=x+2，
∵一次函数的解析式为y=x+2与反比例函数y=kx(x>0)的图象交于B(a,4)，
∴4=a+2，得a=2，
∴4=k2，得k=8，
即反比例函数解析式为：y=8x(x>0)；
(2)∵点A(−2,0)，
∴OA=2，
设点M(m−2,m)，点N(8m,m)(m>0)，
当MN//AO且MN=AO时，以A，O，M，N为顶点的四边形是平行四边形，
|8m−(m−2)|=2，
解得，m=22或m=23+2，
∴点M的坐标为(22−2,22)或(23,23+2)．
【解析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
(1)根据一次函数y=x+b的图象经过点A(−2,0)，可以求得b的值，从而可以解答本题；
(2)根据平行四边形的性质和题意，可以求得点M的坐标，注意点M的横坐标大于0．
24.【答案】(1)∵正方形OABC的面积为9，∴OA=OC=3，∴B(3,3)，
又∵点B(3,3)在函数y=kx的图象上，∴k=9；
(2)分两种情况：①当点P在点B的左侧时，
∵P(m,n)在函数y=kx上，
∴mn=9，
∴S=m(n−3)=mn−3m=92，解得m=32，
∴n=6，∴点P的坐标是P(32,6)；
②当点P在点B的右侧时，
∵P(m,n)在函数y=kx上，
∴mn=9，
∴S=n(m−3)=mn−3n=92，
解得n=32，∴m=6，
∴点P的坐标是P(6,32)，
综上所述：P(6,32)，(32,6)．
(3)当0
【解析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，以及反比例函数比例系数的几何意义，注意到分情况讨论是关键．
(1)根据正方形的面积求得B的坐标，利用待定系数法求得反比例函数的解析式；
(2)分成P在B的左侧和右侧两种情况进行讨论．当P在B的左侧时，重合部分是以OC为边的矩形，根据面积公式求得P的横坐标，进而代入反比例函数解析式求得纵坐标；当P在B的右侧时，重合部分是以OA为一边的矩形，根据面积公式求得P的纵坐标，进而求得横坐标；
(3)与(2)的解法相同，分成两种情况进行讨论．
25.【答案】解：(1)如图：
∵反比例函数y=kx的图象与正比例函数的图象交于A、B两点，
∴点A与点B关于原点对称，
∴OA=OB，
∴S△ADO=12S△ADB=12×2=1，
∴12|k|=1，
而k<0，
∴k=−2，
∴反比例函数解析式为y=−2x；
把x=−1代入y=−2x得y=2，
∴A点坐标为(−1,2)，
把A(−1,2)代入正比例函数y=mx得m=−2，
∴正比例函数解析式为y=−2x；
(2)设P点坐标为(x,y)，
∵A点坐标为(−1,2)，
∴AD=2，
∵△ADP的面积为4，
∴12×2×|x+1|=4，解得x=3或x=−5，
当x=3时，y=−2x=−23，此时P点坐标为(3,−23)；
当x=−5时，y=−2x=25，此时P点坐标为(−5,25)，
综上所述，点P坐标为(3,−23)、(−5,25).
【解析】本题考查了一次函数与反比例函数综合、反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数k的几何意义、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积等．
(1)根据反比例函数和正比例函数的性质得点A与点B关于原点对称，则OA=OB，所以S△ADO=12S△ADB=1，再根据反比例函数的比例系数的几何意义得到k=−2，则反比例函数解析式为y=−2x；然后利用反比例函数解析式确定A点坐标为(−1,2)，代入正比例函数解析式即可确定正比例函数解析式；
(2)设P点坐标为(x,y)，根据三角形面积公式得到12×2×|x+1|=4，解得x=3或x=−5，然后利用反比例函数解析式计算出自变量为3和−5的函数值，从而得到P点坐标．
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