北京四中2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题+Word版含解析

2020-2021学年北京四中高二上学期期中考试数学试卷

（试卷满分为100分，考试时间为100分钟）

一、选择题

1. 正三棱锥底面边长变为原来的2倍，高变为原来的，则体积（    ）

A. 不变 B. 变为原来的2倍

C. 变为原来的 D. 变为原来的

2. 设地球半径为，、是地球上两点，在北纬30°、东经20°，在北纬30°、东经140°，则 、两点截北纬30°圈上的劣弧长为（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 正20面体有个顶点、条边，个面，则（    ）

A.  B.

C.  D.

4. 棱长为2的直平行六面体，，则与平面所成角的正弦值为（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 设、是异面直线，给出下列命题：

①经过直线有且仅有一个平面平行于直线；

②经过直线有且仅有一个平面垂直于直线；

③存在分别经过直线和直线的两个平行平面；

④存在分别经过直线和直线的两个互相垂直的平面．

其中错误的命题为（    ）

A. ①与② B. ②与③ C. ②与④ D. 仅②

6. 在棱长为的正方体中，是的中点，则点到平面的距离是（　　）

A.  B.  C.  D.

7. 在两两垂直且交于一点的三条直线上各取不是交点的一点，以它们为顶点构成的三角形是（    ）

A. 锐角三角形 B. 直角三角形

C. 钝角三角形 D. 以上情况皆有可能

8. 、是正三角形的边、的中点，沿把正三角形折成60°的二面角（如图），则的正切值为（    ）

A.  B.  C.  D. 以上答案均不对

9. 三棱锥中、、两两互相垂直，，，则其体积（    ）

A. 有最大值4 B. 有最小值2

C. 有最大值2 D. 既无最大值也无最小值

10. 长方体中，若，，，且此长方体内接于球，则球的表面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

11. 平行六面体的六个面都是菱形，那么点在面上的射影一定是的（    ）

A. 重心 B. 垂心 C. 内心 D. 外心

12. 如图，正四面体中，点在上，点在上，，，与成角为，与成角为，设，当时，是（    ）

A. 单调增函数 B. 单调减函数

C. 先单调递增后单调递减 D. 常函数

二、填空题

13. 正方形与正方形有公共边，平面与平面所成角为60°，则异面直线与所成角大小等于______．

14. 若的三边长分别是3、4、5，平面外一点到三边距离都是2，则点到平面的距离是______．

15. 一个球的外切正方体的全面积是6，则此球体积是______．

16. 设、是直线，、、为平面，有如下命题：

①，；

②内有不共线三点到距离相等，则；

③，，，；

④若、异面，，且，，则；

其中正确命题的序号有______．

三、解答题

17. 已知线段平面，为垂足，，且与平面成30°角，．求：

（1）异面直线与间的距离；

（2）、两点间的距离．

18. 已知四边形是矩形，平面，是中点，是中点，二面角大小是45°．

求证：（1）平面；

（2）；

（3）平面平面．

19. 已知正三棱柱底面边长为，是上一点，是以为直角顶点的等腰直角三角形．

（1）证明是中点；

（2）求点到平面距离；

（3）求二面角大小．

四、附加题

20. 如图，球的截面把垂直于它的直径分为两部分，截面圆的面积为，是截面圆的直径，是圆上不同于、的一点，是球的一条直径．

（1）求三棱椎的体积最大值；

（2）当分弧的两部分弧与弧的弧长之比为时，求二面角的正切值．

1答案】B

【解析】

【分析】

分别计算出原来的三棱锥体积和新的体积，可得答案．

【详解】设正三棱锥底面面积为，高为，则原来的体积为

新的体积为，即体积变为原来的2倍

故选：B

2. 答案】A

【解析】

【分析】

已知中在北纬30°、东经20°，在北纬30°、东经140°，,

，在直角中，可以求出，即北纬纬圆的半径为，劣弧长即为圆周长的

详解】

如图所示：设地球北纬纬圆的圆心为，

因为在北纬30°、东经20°，在北纬30°、东经140°，

所以，，

在直角中，，所以，

所以北纬纬圆的半径为，

所以 、两点截北纬30°圈上的劣弧长为，

故选：A

【点睛】关键点点睛：本题的关键点是了解经度和纬度的含义，即可求出球体中角度和线段的长度，即可求弧长.

3. 答案】A

【解析】

【分析】

根据凸多面体面、顶点、边数之间的关系：面数顶点数棱数即可求解.

【详解】对于凸多面体面，面数顶点数棱数，

所以，即，

故选：A

4. 答案】D

【解析】

【分析】

作，垂足为，则可得对角线与侧面所成角，从而可求对角线与侧面所成角的正弦值．

【详解】作，垂足为，连，，，

是直平行六面体

平面，

就是对角线与侧面所成角

平面，

棱长都为2的直平行六面体中，，

，

，，

，

在△中，．

故选：D．

【点睛】求直线与平面所成的角有两种方法：一是传统法，证明线面垂直找到直线与平面所成的角，利用平面几何知识解答；二是利用空间向量，求出直线的方向向量以及平面的方向向量，利用空间向量夹角余弦公式求解即可.

5. 答案】D

【解析】

【分析】

根据空间平行关系、垂直关系的判定定理与性质定理判断即可.

【详解】对于①，选一条直线与平行，且与相交，则由公理的推论可知，通过与有且仅有一个平面，此时，故①正确；

对于②，若与不垂直，则直线不可能垂直于直线所在的平面，故②错；

对于③，取平面与平面，且使，若，，且与不平行，则异面，故③正确；

对于④，若、异面，则存在一条直线，使得，，设由、所确定的平面为，则一定可以过直线作一个平面，使得，故④正确.

故选：D.

【点睛】本题考查有关空间点、线、面之间的位置关系命题的真假判断，判断时一般方法如下：
（1）直接法：根据空间平行关系、垂直关系的判定定理与性质性质直接判断；
（2）构造法：构造特殊几何体，将所给的线面转化为几何体中的线与面，化抽象为具体，然后判断.

6. 答案】A

【解析】

【分析】

以为空间直角坐标原点建立空间直角坐标系，通过点面距离公式，计算点到平面的距离.

【详解】以为空间直角坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系.由于是中点，故，且，设是平面的法向量，故，故可设，故到平面的距离.故选A.

【点睛】本小题主要考查利用空间向量计算点到面的距离.计算过程中要先求得平面的法向量.属于基础题.

7. 答案】A

【解析】

【分析】

利用数形结合，运用三边平方关系判断三角形的形状.

【详解】如图所示，设，，两两垂直且相交于一点，设，，，

则，，，

则，则角为锐角，

同理可证为锐角，

则为锐角三角形.

故选：A.

8. 答案】B

【解析】

【分析】

取的中点，连接，交于点，连接，，，，根据题意及正三角形的特点易证二面角的平面角为，且，然后设正三角形的边长为，根据几何条件设法求出，计算的值.

【详解】如图所示，取的中点，连接，交于点，连接，，，.

因为三角形为正三角形，则，

又点、是的边、的中点，

则，，所以，

可证得平面，则，所以.

所以二面角的平面角为，

而，所以为等边三角形.

设等边三角形的边长为，则，

所以.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题解题关键是折叠前后线的位置关系，能够熟练运用线面垂直来解题，计算出线段长度，然后求出结果.

9.答案】C

【解析】

【分析】

由条件可得，然后利用基本不等式求解即可.

【详解】因为三棱锥中、、两两互相垂直，

所以

因为，所以，当且仅当时等号成立

所以

故选：C

10. 答案】C

【解析】

【分析】

由长方体的对角线公式，算出长方体对角线的长，从而得到长方体外接球的直径，结合球的表面积公式即可得到，该球的表面积．

【详解】长方体中，，，，

长方体的对角线，

长方体的各顶点都在同一球面上，

球的一条直径为，可得半径，

因此，该球的表面积为

故选：C．

11.答案】B

【解析】

【分析】

根据菱形的对角线互相垂直，及线面垂直的判定定理、线面垂直的性质定理，可证明线线垂直，从而证明射影是垂心

【详解】设点在面中的射影为点，连接、

则面，可得，

该平行六面体各个表面都是菱形

，

，

所以平面

同理可证，

点是的垂心

故选：B．

【点睛】解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理.

12.答案】D

【解析】

【分析】

过点作，交于点，过点作，交于点，则易得，，所以. 取的中点，连接，根据正四面体的特点易证平面，得到，则，所以.

【详解】如图所示，过点作，交于点，过点作，交于点，

则，，则可得出，即四边形是平行四边形.

，，

所以.

取的中点，连接，由正四面体的特点可知，为等边三角形，

所以，，

又，且平面，平面，

所以平面，则，

又，，所以，

所以.

故当时，是常函数.

故选：D.

【点睛】用定义法求解异面直线夹角时，要将这两条异面直线通过平移，使之相交，找到夹角的平面角，然后通过解三角形等方法求解. 解答本题时，要抓住这一条件，另外要注意运用正四面体的几何特点.

13. 答案】45°

【解析】

【分析】

由已知条件可得平面与平面所成角即为，结合正方形的性质得出是等腰直角三角形，通过平移得出异面直线与所成角为，求解得出答案．

【详解】面面，且，，面

连接，如图所示，

则，

又，则面，面，

即是等腰直角三角形，

则异面直线与所成角大小等于

故答案为：

14. 答案】

【解析】

【分析】

本题首先可结合题意绘出图像，然后结合题意与三垂线定理的逆定理得出，最后根据面积相等列出方程，求出的长，即可求出点到平面的距离.

【详解】

如图，点在底面上的垂足为，、、分别是顶点到三角形各边的距离，

由三垂线定理的逆定理可知，、、分别是三角形各边的垂线，

因为三条侧高相等，所以，

设，

因为的三边长分别是3、4、5，，

所以是直角三角形，

由面积相等可以得出：

，解得，

故到平面的距离为，

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：本题主要考查三垂线定理的逆定理的应用，三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它与穿过这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直.

15. 答案】

【解析】

【分析】

由正方体的全面积可以求出正方体的棱长，这样可以求出球的半径，最后利用球的体积公式求出球的体积.

【详解】设正方体的棱长为，正方体的全面积为6，所以，

所以该正方体的内切球的半径，因此正方体内切球的体积为.

故答案为：

16. 答案】④

【解析】

【分析】

利用线面关系和面面关系对选项逐一判断正误即可.

【详解】①中，正方体一个顶点相邻的三个平面，满足两个平面垂直第三个平面，但是这两个平面不平行，故错误；

②中，两个平面相交时，也可以在一个平面找到不共线的三点到另一个平面的距离相等，故错误；

③中，直线，，，，若两直线平行，两平面也可能相交，故错误；

④中，如图所示，、异面，，， ，过直线a的平面与的交线，且必然与b相交，设交于，同理，由知，过直线b的平面与的交线，且必然与b相交，设交于，因此，，且，均在内，故.故正确.

故答案为：④.

【点睛】本题解题关键是弄清楚面面平行的定义及判定，从定义上来说，两个平面没有公共点即说明平行，从判定上来说，一个平面上的两条相交直线均与另一个平面平行，则两个平面平行.

17.答案】（1）2；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由题可知是异面直线与的公垂线段，即得出；

（2）过作于，连接，连接，过作交于，根据直角三角形的性质即可求出.

【详解】解：（1）∵平面，，∴，

又，故是异面直线与的公垂线段，

由题，所以与间的距离为2．

（2）过作于，连接，

∴是在平面内的射影，

由，∴，

且是与所成角，由题知，

又连接，过作交于，

由，∴，则．

中，，．

中，．

矩形中，，，

∴中，．

【点睛】关键点睛：本题考查空间两点距离的求解，解题的关键是正确理解空间中的垂直关系，利用直角三角形的关系求解.

18.答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）取中点，连，，可证明四边形是平行四边形，得到，再利用线面平行的判定定理可得答案；

（2）先证明，，可得面，则，结合可得结论；

（3）是二面角的平面角，可得是等腰直角三角形， 则，，得到面，从而可得结论.

【详解】（1）取中点，连，．

∵、是、中点，是矩形，

∴且，

∴四边形是平行四边形，

∵面，面，

∴平面．

（2）∵面，∴，

∵是矩形，∴，

∵，∴面，

∵面，∴，

∵，∴．

（3）∵面，

∴是二面角的平面角，，

∴是等腰直角三角形，

∴，

∵，∴，

∵，，

∴面，

∵面，

∴平面平面．

【点睛】证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.

19. 答案】（1）证明见解析；（2）；（3）45°．

【解析】

【分析】

（1）根据是为直角顶点的等腰直角三角形得到，再由是正三棱柱，易得面，从而，再由是正三角形证明.

（2）由面，得到面面，作，则即为所求，然后利用等面积法求解.

（3）作，为垂足，连，利用三垂线定理得到，则即为所求二面角的平面角，然后在中，由求解.

【详解】（1）∵是为直角顶点的等腰直角三角形，

∴，

∵是正三棱柱，

∴面，，

∵，

∴面，

∴，

∵是正三角形，

∴是中点．

（2）∵面，面，

∴面面，如图所示：

作，为垂足，则为所求距离，

∵，

∴，，，

∴．

（3）如图所示：

作，为垂足，连，

由三垂线定理知，即为所求二面角．

在中，，，

∴在中，，

∴二面角的大小为45°．

【点睛】方法点睛：求二面角的常用方法：

1、几何法：二面角的大小用它的平面角来度量．平面角的作法常见的有①定义法；②垂面法，注意利用等腰、等边三角形的性质．

2、向量法：分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．

20. 答案】（1）；（2）.

【解析】

分析】

（1）先求出球的半径，若三棱椎的体积最大，只需最大即可；

（2）分弧的两部分弧与弧的弧长之比为，∴，，平面平面，作于，则平面，

再作于，连可得是二面角的平面角，即可求解

【详解】解：（1）是中点，为中点，∴，

又平面，∴平面，，

设球半径为，则，

∴，∴，

∴，．

设，则，，

，

当时，三棱椎的体积的最大值为，

又，∴，∴．

（2）∵弧与弧的弧长之比为，

∴，，

由平面知，平面平面，

作于，则平面，

再作于，连，又，

，所以平面，得，

∴是二面角平面角，

，，

在中，，，，

由三角形相似求得，，

∴二面角的正切值为．

【点睛】方法点睛：求二面角的方法总结

（1）定义法：分别在两个半平面内向棱作垂线，垂足为同一点，求两线的夹角

（2）垂面法：作垂直于棱的一个垂面，这个平面与两个半平面分别有一个交线，这两个交线所成的角；

（3）三垂线法：过一个半平面内的一点作另一个半平面的一条垂线，过垂足作棱的垂线，记垂足为，连接，则即为二面角的平面角；

（4）向量法：求两个半平面法向量夹角的即为二面角的平面角或二面角平面角的补角