人教版数学八年级下册期末专题复习四　特殊平行四边形第2课时 提升训练 利用特殊四边形的性质解折叠问题的常见类型

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1．如图，将平行四边形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点D落在点E处，AE恰好经过BC边的中点．若AB＝3，BC＝6，求∠B的度数．
2．如图①，将矩形ABCD沿DE折叠，使顶点A落在DC上的点A′处，然后将矩形展平，沿EF折叠，使顶点A落在折痕DE上的点G处．再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处，如图②所示．
(1)求证EG＝CH；
(2)已知AF＝eq \r(2)，求AD和AB的长．
3．如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对角线交点O处，折痕为EF.若菱形的边长为2，∠A＝120°，求EF的长．
4．如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点(不与点A，D重合)．将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP，BH.
(1)求证∠APB＝∠BPH.
(2)当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论．
参考答案
1．如图，将平行四边形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点D落在点E处，AE恰好经过BC边的中点．若AB＝3，BC＝6，求∠B的度数．
解：设AE与BC相交于点F，如图．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠1＝∠3.
∵平行四边形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点D落在点E处．
∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，∴FC＝FA.
∵F为BC边的中点，BC＝6，∴AF＝CF＝BF＝eq \f(1,2)×6＝3.
又∵AB＝3，∴△ABF是等边三角形，∴∠B＝60°.
2．如图①，将矩形ABCD沿DE折叠，使顶点A落在DC上的点A′处，然后将矩形展平，沿EF折叠，使顶点A落在折痕DE上的点G处．再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处，如图②所示．
(1)求证EG＝CH；
证明：由折叠的性质知∠ADE＝∠A′DE＝45°，AE＝EG，
BC＝CH.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AB∥CD.
∴∠A′DE＝∠AED. ∴∠AED＝∠ADE.
∴AE＝AD. ∴EG＝CH.
(2)已知AF＝eq \r(2)，求AD和AB的长．
解：∵∠ADE＝45°，∠FGE＝∠A＝90°，
∴∠DFG＝∠FDG＝45°，
∴DG＝FG.∵FG＝AF＝eq \r(2)，
∴DG＝eq \r(2)，∴DF＝2.
∴AD＝2＋eq \r(2).
如图，由折叠的性质知∠1＝∠2，∠3＝∠4.
∴∠1＋∠3＝90°.
∵∠1＋∠AFE＝90°，∴∠3＝∠AFE.
由(1)知AE＝BC，
又∵∠A＝∠B＝90°，
∴△EFA≌△CEB(AAS)．
∴AF＝BE.
∴AB＝AE＋BE＝AD＋AF＝2＋eq \r(2)＋eq \r(2)＝2＋2eq \r(2).
3．如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对角线交点O处，折痕为EF.若菱形的边长为2，∠A＝120°，求EF的长．
解：如图，连接BD，AC.
由题可知BD与AC的交点为O.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC平分∠BAD.
∴∠AOB＝90°. ∵∠BAD＝120°，∴∠BAC＝60°.
∴∠ABO＝90°－60°＝30°. ∴AO＝eq \f(1,2)AB＝eq \f(1,2)×2＝1.
由勾股定理，得BO＝DO＝eq \r(3).
∵沿EF折叠后点A与点O重合，∴EF⊥AC，EF平分AO.
∵AC⊥BD，∴EF∥BD. 易得EF为△ABD的中位线，
∴EF＝eq \f(1,2)BD＝eq \f(1,2)×(eq \r(3)＋eq \r(3))＝eq \r(3).
4．如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点(不与点A，D重合)．将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP，BH.
(1)求证∠APB＝∠BPH.
证明：∵PE＝BE，∴∠EBP＝∠EPB.
又∵∠EPH＝∠EBC＝90°，
∴∠EPH－∠EPB＝∠EBC－∠EBP. 即∠BPH＝∠PBC.
又∵AD∥BC，∴∠APB＝∠PBC.
∴∠APB＝∠BPH.
(2)当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论．
解：△PDH的周长不变且为定值8.证明如下：
过点B作BQ⊥PH，垂足为Q，如图所示．
由(1)知∠APB＝∠BPH，
又∵∠A＝∠BQP＝90°，BP＝BP，
∴△ABP≌△QBP(AAS)．
AP＝QP，AB＝BQ.
又∵AB＝BC，∴BC＝BQ.
又∵∠C＝∠BQH＝90°，BH＝BH，
∴Rt△BCH≌Rt△BQH(HL)．∴CH＝QH.
∴△PDH的周长为PD＋DH＋PH＝AP＋PD＋DH＋HC＝AD＋CD＝8.