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高中数学必修第一册全册综合检测
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这是一份高中数学必修第一册全册综合检测，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设集合A＝{x|－2≤x<3}，N是自然数集，则A∩N＝( )
A．{－2，－1,0,1,2} B．{0,1,2,3}
C．{0,1,2} D．{1,2}
解析：选C ∵A＝{x|－2≤x<3}，∴A∩N＝{0,1,2}．
2．命题p：∀x∈N，x3>x2的否定形式綈p为( )
A．∀x∈N，x3≤x2 B．∃x∈N，x3>x2
C．∃x∈N，x3解析：选D 因为命题p：∀x∈N，x3>x2的否定形式是存在量词命题，
所以綈p：“∃x∈N，x3≤x2”．故选D.
3．设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C 由x>y推不出x>|y|，由x>|y|能推出x>y，所以“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件．
4．函数f(x)＝eq \r(1－x)＋eq \f(1,x)的定义域为( )
A．(－∞，1] B．(－∞，0)
C．(－∞，0)∪(0,1] D．(0,1]
解析：选C 要使函数有意义，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x≥0，,x≠0，))
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤1，,x≠0，))即x≤1且x≠0，
即函数的定义域为(－∞，0)∪(0,1]．
5．不等式2x2－x－1<0的解集是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))∪(1，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(2，＋∞) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))
解析：选D 不等式2x2－x－1<0
可化为(2x＋1)(x－1)<0，
解得－eq \f(1,2)∴不等式的解集是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1)).
6．若a>0，b>0，a＋2b＝5，则ab的最大值为( )
A．25 B.eq \f(25,2)
C.eq \f(25,4) D.eq \f(25,8)
解析：选D a>0，b>0，a＋2b＝5，
则ab＝eq \f(1,2)a·2b≤eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋2b,2)))2＝eq \f(25,8)，
当且仅当a＝eq \f(5,2)，b＝eq \f(5,4)时取等号．
7．已知函数f(eq \r(x)＋2)＝x＋4eq \r(x)＋5，则f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝x2＋1 B．f(x)＝x2＋1(x≥2)
C．f(x)＝x2 D．f(x)＝x2(x≥2)
解析：选B 因为f(eq \r(x)＋2)＝x＋4eq \r(x)＋5＝(eq \r(x)＋2)2＋1，
所以f(x)＝x2＋1(x≥2)．
8．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－1，x≥0，,\f(1,x)，x<0，))若f(a)＝a，则实数a的值为( )
A．±1 B．－1
C．－2或－1 D．±1或－2
解析：选B 由题意知，f(a)＝a，
当a≥0时，有eq \f(1,2)a－1＝a，解得a＝－2(不满足条件，舍去)；
当a<0时，有eq \f(1,a)＝a，解得a＝1(不满足条件，舍去)或a＝－1.
所以实数a的值为－1.
9．若函数f(x)＝x2－4x－4的定义域为[0，m]，值域为[－8，－4]，则m的取值范围是( )
A．(0,2] B．(2,4]
C．[2,4] D．(0,4)
解析：选C 函数f(x)＝x2－4x－4的图像是开口向上，且以直线x＝2为对称轴的抛物线，
所以f(0)＝f(4)＝－4，
f(2)＝－8，
因为函数f(x)＝x2－4x－4的定义域为[0，m]，值域为[－8，－4]．
所以2≤m≤4，
即m的取值范围是[2,4]．
10．如图1是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图像．由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议，如图2、3所示．你能根据图像判断下列说法错误的是( )
①图2的建议为减少运营成本；
②图2的建议可能是提高票价；
③图3的建议为减少运营成本；
④图3的建议可能是提高票价．
A．①④ B．②④
C．①③ D．②③
解析：选D 根据题意和图2知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0但是支出的变少了，即说明了此建议是降低成本而保持票价不变；由图3看出，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，即说明了此建议是提高票价而保持成本不变，综上可得①④正确，②③错误．
11．已知f(x)＝－2x2＋bx＋c，不等式f(x)>0的解集为(－1,3)．若对任意的x∈[－1,0]，f(x)＋m≥4恒成立，则m的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．[4，＋∞)
C．[2，＋∞) D．(－∞，4]
解析：选B 由f(x)＝－2x2＋bx＋c，不等式f(x)>0的解集为(－1,3)，
可知－1和3是方程2x2－bx－c＝0的实数根，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2＋b－c＝0，,18－3b－c＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝4，,c＝6，))
所以f(x)＝－2x2＋4x＋6，
所以f(x)＋m≥4可化为m≥2x2－4x－2对任意的x∈[－1,0]恒成立，
设g(x)＝2x2－4x－2，其中x∈[－1,0]，
所以g(x)在[－1,0]内单调递减，且g(x)的最大值为gmax＝g(－1)＝4，
所以m的取值范围是[4，＋∞)．
12．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋4x，－3≤x≤0，,2x－3，x>0，))若方程f(x)＋|x－2|－kx＝0有且只有三个不相等的实数解，则实数k的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，3－2\r(2))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，3＋2\r(2)))
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(2,3))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，\f(1,6)))
解析：选A 设h(x)＝f(x)＋|x－2|
＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋3x＋2，－3≤x≤0，,x－1，02.))
方程f(x)＋|x－2|－kx＝0有且只有三个不相等的实数解等价于y＝h(x)的图像与y＝kx的图像有三个交点，
作出y＝h(x)的图像与y＝kx的图像如图所示，
求得k1＝－eq \f(2,3)，k2＝3－2eq \r(2).
即实数k的取值范围是－eq \f(2,3)≤k<3－2eq \r(2).
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－ax，x≤0，,ax2＋x，x>0))为奇函数，则a＝________.
解析：因为函数f(x)是奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，
则f(－1)＝－f(1)，
即1＋a＝－a－1，
即2a＝－2，得a＝－1.
答案：－1
14．若a∈R，且a2－a<0，则a，a2，－a，－a2从小到大的排列顺序是________．
解析：因为a2－a<0，所以0－a2－(－a)＝－(a2－a)>0，所以－a2>－a，
所以－a<－a2<0答案：－a<－a215．已知x>0，y>0，且x＋y＝1，若a≤eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)恒成立，则实数a的最大值为__________．
解析：因为x>0，y>0，且x＋y＝1.
所以eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝(x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(9,y)))＝10＋eq \f(y,x)＋eq \f(9x,y)≥10＋2eq \r(\f(y,x)·\f(9x,y))＝16，当且仅当y＝3x＝eq \f(3,4)时取等号．
因为不等式a≤eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)恒成立⇔eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(9,y)))min≥a.
所以a∈(－∞，16]，
即实数a的最大值为16.
答案：16
16．若关于x的不等式x2＋mx＋2>0在区间[1,2]上有解，则实数m的取值范围为________．
解析：x∈[1,2]时，不等式x2＋mx＋2>0可化为m>－x－eq \f(2,x).
设f(x)＝－x－eq \f(2,x)，x∈[1,2]，
则f(x)在[1,2]内的最小值为f(1)＝f(2)＝－3，
因为关于x的不等式x2＋mx＋2>0在区间[1,2]上有解，所以m>f(x)min，
所以实数m的取值范围是(－3，＋∞)．
答案：(－3，＋∞)
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知集合A＝{x|x2－7x＋6<0}，B＝{x|4－t(1)当t＝4时，求A∪B及A∩∁RB；
(2)若A∪B＝A，求实数t的取值范围．
解：(1)解x2－7x＋6<0，得1即A＝{x|1当t＝4时，B＝{x|0所以A∪B＝{x|0(2)由A∪B＝A，得B⊆A.
①当4－t≥t即t≤2时，B＝∅，满足题意；
②B≠∅时，
由B⊆A，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4－t解得2综合①②得，实数t的取值范围为(－∞，3]．
18．(12分)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，x∈[0，2]，,\f(4,x)，x∈2，4].))
(1)在图中画出函数f(x)的大致图像；
(2)写出函数f(x)的最大值和单调递减区间．
解：(1)函数f(x)的大致图像如图所示．
(2)由函数f(x)的图像得出，f(x)的最大值为2，函数的单调递减区间为(2,4]．
19．(12分)已知x>0，y>0，且eq \f(2,x)＋eq \f(3,y)＝1.
(1)求xy的最小值；
(2)求4x＋6y的最小值．
解：(1)x>0，y>0，且eq \f(2,x)＋eq \f(3,y)＝1.
由均值不等式可得，1＝eq \f(2,x)＋eq \f(3,y)≥2 eq \r(\f(6,xy))，
解不等式可得，xy≥24，
当且仅当eq \f(2,x)＝eq \f(3,y)＝eq \f(1,2)，即x＝4，y＝6时取最小值24.
(2)4x＋6y＝(4x＋6y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,x)＋\f(3,y)))＝26＋eq \f(12y,x)＋eq \f(12x,y)≥26＋2eq \r(\f(12y,x)·\f(12x,y))＝50，
当且仅当x＝y＝5时取得最小值50.
20．(12分)已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)＝f(2)＝3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若f(x)在区间[2a，a＋1]上不单调，求实数a的取值范围；
(3)在区间[－1,1]上，y＝f(x)的图像恒在y＝2x＋2m＋1图像的上方，试确定实数m的取值范围．
解：(1)由题意设f(x)＝a(x－1)2＋1，
将点(0,3)的坐标代入得a＝2，
所以f(x)＝2(x－1)2＋1＝2x2－4x＋3.
(2)由(1)知f(x)的对称轴为直线x＝1，
所以2a<1所以0即实数a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))).
(3)f(x)－2x－2m－1＝2x2－6x－2m＋2，
由题意得2x2－6x－2m＋2>0对于任意x∈[－1,1]恒成立，
所以x2－3x＋1>m对于任意x∈[－1,1]恒成立，
令g(x)＝x2－3x＋1，x∈[－1,1]，
则g(x)min＝g(1)＝－1，
所以m<－1，故实数m的取值范围为(－∞，－1)．
21．(12分)已知函数f(x)＝eq \f(ax＋b,x2＋1)是定义在(－1,1)上的奇函数，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝－eq \f(2,5).
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)判断f(x)的单调性，并证明你的结论；
(3)解不等式f(t－1)＋f(t)<0.
解：(1)∵f(x)是(－1,1)上的奇函数，
∴f(0)＝0，∴b＝0，
∴f(x)＝eq \f(ax,x2＋1).
又feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝－eq \f(2,5)，∴eq \f(\f(1,2)a,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＋1)＝－eq \f(2,5)，
∴a＝－1，∴f(x)＝－eq \f(x,x2＋1).
(2)f(x)在(－1,1)上是减函数．证明如下：
设－1∴x1x2<1，
则f(x2)－f(x1)＝－eq \f(x2,x\\al(2,2)＋1)＋eq \f(x1,x\\al(2,1)＋1)
＝eq \f(x2－x1x1x2－1,x\\al(2,1)＋1x\\al(2,2)＋1).
∵x2－x1>0，x1x2－1<0，xeq \\al(2,1)＋1>0，xeq \\al(2,2)＋1>0，
∴f(x2)－f(x1)<0，
∴函数f(x)是减函数．
(3)∵f(t－1)＋f(t)<0，
∴f(t－1)<－f(t)．
∵f(x)是奇函数，
∴f(－t)＝－f(t)，
∴f(t－1)∵f(x)是减函数，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(t－1>－t，,－1即不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(t\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)22．(12分)视某地全体中小学生为群体S，S的人均回家时间是指某次S中成员从学校到家的平均用时．S的成员以乘私家车方式或绿色出行(乘公交、骑自行车、步行、家长骑电动车接)方式回家．
调查发现：当S中x%(0(1)当x在什么范围内时，绿色出行群体的人均回家时间小于乘私家车群体的人均回家时间？
(2)求该地中小学生群体S的人均回家时间g(x)的表达式，讨论g(x)的单调性，求g(x)的最小值，并说明其实际意义．
解：(1)由题意知，当20f(x)＝2x＋eq \f(800,x)－60>40，
即x2－50x＋400>0，
解得x<10(舍去)或x>40，即40∴x∈(40,100)时，绿色出行群体的人均回家时间小于乘私家车群体的人均回家时间．
(2)当0g(x)＝20·x%＋40(1－x%)＝40－eq \f(x,5)；
当20g(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(800,x)－60))·x%＋40(1－x%)
＝eq \f(1,50)x2－x＋48，
∴g(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(40－\f(x,5)，0当0当20g(x)＝eq \f(1,50)x2－x＋48＝eq \f(1,50)(x－25)2＋35.5，
其最小值为35.5，
综上所述当x<25时，g(x)单调递减；
当25说明该地中小学生群体有小于25%的绿色出行，人均回家时间是递减的；有大于25%的人乘私家车时，人均回家时间是递增的，当乘私家车人数为25%时，人均回家时间最少．
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设集合A＝{x|－2≤x<3}，N是自然数集，则A∩N＝( )
A．{－2，－1,0,1,2} B．{0,1,2,3}
C．{0,1,2} D．{1,2}
解析：选C ∵A＝{x|－2≤x<3}，∴A∩N＝{0,1,2}．
2．命题p：∀x∈N，x3>x2的否定形式綈p为( )
A．∀x∈N，x3≤x2 B．∃x∈N，x3>x2
C．∃x∈N，x3
所以綈p：“∃x∈N，x3≤x2”．故选D.
3．设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C 由x>y推不出x>|y|，由x>|y|能推出x>y，所以“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件．
4．函数f(x)＝eq \r(1－x)＋eq \f(1,x)的定义域为( )
A．(－∞，1] B．(－∞，0)
C．(－∞，0)∪(0,1] D．(0,1]
解析：选C 要使函数有意义，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x≥0，,x≠0，))
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤1，,x≠0，))即x≤1且x≠0，
即函数的定义域为(－∞，0)∪(0,1]．
5．不等式2x2－x－1<0的解集是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))∪(1，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(2，＋∞) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))
解析：选D 不等式2x2－x－1<0
可化为(2x＋1)(x－1)<0，
解得－eq \f(1,2)
6．若a>0，b>0，a＋2b＝5，则ab的最大值为( )
A．25 B.eq \f(25,2)
C.eq \f(25,4) D.eq \f(25,8)
解析：选D a>0，b>0，a＋2b＝5，
则ab＝eq \f(1,2)a·2b≤eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋2b,2)))2＝eq \f(25,8)，
当且仅当a＝eq \f(5,2)，b＝eq \f(5,4)时取等号．
7．已知函数f(eq \r(x)＋2)＝x＋4eq \r(x)＋5，则f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝x2＋1 B．f(x)＝x2＋1(x≥2)
C．f(x)＝x2 D．f(x)＝x2(x≥2)
解析：选B 因为f(eq \r(x)＋2)＝x＋4eq \r(x)＋5＝(eq \r(x)＋2)2＋1，
所以f(x)＝x2＋1(x≥2)．
8．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－1，x≥0，,\f(1,x)，x<0，))若f(a)＝a，则实数a的值为( )
A．±1 B．－1
C．－2或－1 D．±1或－2
解析：选B 由题意知，f(a)＝a，
当a≥0时，有eq \f(1,2)a－1＝a，解得a＝－2(不满足条件，舍去)；
当a<0时，有eq \f(1,a)＝a，解得a＝1(不满足条件，舍去)或a＝－1.
所以实数a的值为－1.
9．若函数f(x)＝x2－4x－4的定义域为[0，m]，值域为[－8，－4]，则m的取值范围是( )
A．(0,2] B．(2,4]
C．[2,4] D．(0,4)
解析：选C 函数f(x)＝x2－4x－4的图像是开口向上，且以直线x＝2为对称轴的抛物线，
所以f(0)＝f(4)＝－4，
f(2)＝－8，
因为函数f(x)＝x2－4x－4的定义域为[0，m]，值域为[－8，－4]．
所以2≤m≤4，
即m的取值范围是[2,4]．
10．如图1是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图像．由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议，如图2、3所示．你能根据图像判断下列说法错误的是( )
①图2的建议为减少运营成本；
②图2的建议可能是提高票价；
③图3的建议为减少运营成本；
④图3的建议可能是提高票价．
A．①④ B．②④
C．①③ D．②③
解析：选D 根据题意和图2知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0但是支出的变少了，即说明了此建议是降低成本而保持票价不变；由图3看出，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，即说明了此建议是提高票价而保持成本不变，综上可得①④正确，②③错误．
11．已知f(x)＝－2x2＋bx＋c，不等式f(x)>0的解集为(－1,3)．若对任意的x∈[－1,0]，f(x)＋m≥4恒成立，则m的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．[4，＋∞)
C．[2，＋∞) D．(－∞，4]
解析：选B 由f(x)＝－2x2＋bx＋c，不等式f(x)>0的解集为(－1,3)，
可知－1和3是方程2x2－bx－c＝0的实数根，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2＋b－c＝0，,18－3b－c＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝4，,c＝6，))
所以f(x)＝－2x2＋4x＋6，
所以f(x)＋m≥4可化为m≥2x2－4x－2对任意的x∈[－1,0]恒成立，
设g(x)＝2x2－4x－2，其中x∈[－1,0]，
所以g(x)在[－1,0]内单调递减，且g(x)的最大值为gmax＝g(－1)＝4，
所以m的取值范围是[4，＋∞)．
12．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋4x，－3≤x≤0，,2x－3，x>0，))若方程f(x)＋|x－2|－kx＝0有且只有三个不相等的实数解，则实数k的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，3－2\r(2))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，3＋2\r(2)))
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(2,3))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，\f(1,6)))
解析：选A 设h(x)＝f(x)＋|x－2|
＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋3x＋2，－3≤x≤0，,x－1，0
方程f(x)＋|x－2|－kx＝0有且只有三个不相等的实数解等价于y＝h(x)的图像与y＝kx的图像有三个交点，
作出y＝h(x)的图像与y＝kx的图像如图所示，
求得k1＝－eq \f(2,3)，k2＝3－2eq \r(2).
即实数k的取值范围是－eq \f(2,3)≤k<3－2eq \r(2).
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－ax，x≤0，,ax2＋x，x>0))为奇函数，则a＝________.
解析：因为函数f(x)是奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，
则f(－1)＝－f(1)，
即1＋a＝－a－1，
即2a＝－2，得a＝－1.
答案：－1
14．若a∈R，且a2－a<0，则a，a2，－a，－a2从小到大的排列顺序是________．
解析：因为a2－a<0，所以0
所以－a<－a2<0
解析：因为x>0，y>0，且x＋y＝1.
所以eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝(x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(9,y)))＝10＋eq \f(y,x)＋eq \f(9x,y)≥10＋2eq \r(\f(y,x)·\f(9x,y))＝16，当且仅当y＝3x＝eq \f(3,4)时取等号．
因为不等式a≤eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)恒成立⇔eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(9,y)))min≥a.
所以a∈(－∞，16]，
即实数a的最大值为16.
答案：16
16．若关于x的不等式x2＋mx＋2>0在区间[1,2]上有解，则实数m的取值范围为________．
解析：x∈[1,2]时，不等式x2＋mx＋2>0可化为m>－x－eq \f(2,x).
设f(x)＝－x－eq \f(2,x)，x∈[1,2]，
则f(x)在[1,2]内的最小值为f(1)＝f(2)＝－3，
因为关于x的不等式x2＋mx＋2>0在区间[1,2]上有解，所以m>f(x)min，
所以实数m的取值范围是(－3，＋∞)．
答案：(－3，＋∞)
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知集合A＝{x|x2－7x＋6<0}，B＝{x|4－t
(2)若A∪B＝A，求实数t的取值范围．
解：(1)解x2－7x＋6<0，得1
①当4－t≥t即t≤2时，B＝∅，满足题意；
②B≠∅时，
由B⊆A，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4－t
18．(12分)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，x∈[0，2]，,\f(4,x)，x∈2，4].))
(1)在图中画出函数f(x)的大致图像；
(2)写出函数f(x)的最大值和单调递减区间．
解：(1)函数f(x)的大致图像如图所示．
(2)由函数f(x)的图像得出，f(x)的最大值为2，函数的单调递减区间为(2,4]．
19．(12分)已知x>0，y>0，且eq \f(2,x)＋eq \f(3,y)＝1.
(1)求xy的最小值；
(2)求4x＋6y的最小值．
解：(1)x>0，y>0，且eq \f(2,x)＋eq \f(3,y)＝1.
由均值不等式可得，1＝eq \f(2,x)＋eq \f(3,y)≥2 eq \r(\f(6,xy))，
解不等式可得，xy≥24，
当且仅当eq \f(2,x)＝eq \f(3,y)＝eq \f(1,2)，即x＝4，y＝6时取最小值24.
(2)4x＋6y＝(4x＋6y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,x)＋\f(3,y)))＝26＋eq \f(12y,x)＋eq \f(12x,y)≥26＋2eq \r(\f(12y,x)·\f(12x,y))＝50，
当且仅当x＝y＝5时取得最小值50.
20．(12分)已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)＝f(2)＝3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若f(x)在区间[2a，a＋1]上不单调，求实数a的取值范围；
(3)在区间[－1,1]上，y＝f(x)的图像恒在y＝2x＋2m＋1图像的上方，试确定实数m的取值范围．
解：(1)由题意设f(x)＝a(x－1)2＋1，
将点(0,3)的坐标代入得a＝2，
所以f(x)＝2(x－1)2＋1＝2x2－4x＋3.
(2)由(1)知f(x)的对称轴为直线x＝1，
所以2a<1
(3)f(x)－2x－2m－1＝2x2－6x－2m＋2，
由题意得2x2－6x－2m＋2>0对于任意x∈[－1,1]恒成立，
所以x2－3x＋1>m对于任意x∈[－1,1]恒成立，
令g(x)＝x2－3x＋1，x∈[－1,1]，
则g(x)min＝g(1)＝－1，
所以m<－1，故实数m的取值范围为(－∞，－1)．
21．(12分)已知函数f(x)＝eq \f(ax＋b,x2＋1)是定义在(－1,1)上的奇函数，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝－eq \f(2,5).
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)判断f(x)的单调性，并证明你的结论；
(3)解不等式f(t－1)＋f(t)<0.
解：(1)∵f(x)是(－1,1)上的奇函数，
∴f(0)＝0，∴b＝0，
∴f(x)＝eq \f(ax,x2＋1).
又feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝－eq \f(2,5)，∴eq \f(\f(1,2)a,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＋1)＝－eq \f(2,5)，
∴a＝－1，∴f(x)＝－eq \f(x,x2＋1).
(2)f(x)在(－1,1)上是减函数．证明如下：
设－1
则f(x2)－f(x1)＝－eq \f(x2,x\\al(2,2)＋1)＋eq \f(x1,x\\al(2,1)＋1)
＝eq \f(x2－x1x1x2－1,x\\al(2,1)＋1x\\al(2,2)＋1).
∵x2－x1>0，x1x2－1<0，xeq \\al(2,1)＋1>0，xeq \\al(2,2)＋1>0，
∴f(x2)－f(x1)<0，
∴函数f(x)是减函数．
(3)∵f(t－1)＋f(t)<0，
∴f(t－1)<－f(t)．
∵f(x)是奇函数，
∴f(－t)＝－f(t)，
∴f(t－1)
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(t－1>－t，,－1
调查发现：当S中x%(0
(2)求该地中小学生群体S的人均回家时间g(x)的表达式，讨论g(x)的单调性，求g(x)的最小值，并说明其实际意义．
解：(1)由题意知，当20
即x2－50x＋400>0，
解得x<10(舍去)或x>40，即40
(2)当0
当20
＝eq \f(1,50)x2－x＋48，
∴g(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(40－\f(x,5)，0
其最小值为35.5，
综上所述当x<25时，g(x)单调递减；
当25
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