高中数学必修第一册质量检测（三）

这是一份高中数学必修第一册质量检测（三），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．函数y＝eq \r(2x＋1)＋eq \r(3－4x)的定义域为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(3,4))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(3,4)))
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))∪(0，＋∞)
[解析] 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋1≥0，,3－4x≥0))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥－\f(1,2)，,x≤\f(3,4)，))即－eq \f(1,2)≤x≤eq \f(3,4)，所以函数的定义域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(3,4))).
[答案] B
2．函数f(x)＝x3＋eq \f(1,x)的图象( )
A．关于y轴对称B．关于直线y＝x对称
C．关于坐标原点对称D．关于直线y＝－x对称
[解析] 由x≠0，且f(－x)＝(－x)3＋eq \f(1,－x)＝－x3－eq \f(1,x)＝－f(x)，知f(x)是R上的奇函数，因此图象关于坐标原点对称．
[答案] C
3．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x2，x≤1，,x2＋x－2，x>1，))则feq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,f2)))＝( )
A.eq \f(15,16)B．－eq \f(27,16)
C.eq \f(8,9)D．18
[解析] f(2)＝22＋2－2＝4，eq \f(1,f2)＝eq \f(1,4)，故feq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,f2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))2＝eq \f(15,16).
[答案] A
4．已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝2x2－2x＋1，则f(－1)＝( )
A．3B．－3
C．2D．－2
[解析] 令x＝1，得f(1)＋g(1)＝1，令x＝－1，得f(－1)＋g(－1)＝5，两式相加得：f(1)＋f(－1)＋g(1)＋g(－1)＝6.又∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
∴f(－1)＝f(1)，g(－1)＝－g(1)．∴2f(－1)＝6，
∴f(－1)＝3，故选A.
[答案] A
5.一高为H、满缸水量为V的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为h时的水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象可能是图中的( )
[解析] 由鱼缸的形状可知，水的体积随着h的减小，先减少得慢，后减少得快，又减少得慢．
[答案] B
6．若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝eq \f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x,2))),x＋1)的定义域是( )
A．[－4,0]B．[－4,0)
C．[－4，－1)∪(－1,0]D．(－4,0)
[解析] ∵y＝f(x)的定义域是[0,2]，∴要使g(x)＝eq \f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x,2))),x＋1)有意义，需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0≤－\f(x,2)≤2，,x＋1≠0，))∴－4≤x≤0且x≠－1.∴g(x)＝eq \f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x,2))),x＋1)的定义域为[－4，－1)∪(－1,0]．
[答案] C
7．二次函数f(x)＝ax2＋2a是区间[－a，a2]上的偶函数，又g(x)＝f(x－1)，则g(0)，geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))，g(3)的大小关系为( )
A．geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))C．geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))[解析] 由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≠0，,－a＝－a2，))解得a＝1，
∴f(x)＝x2＋2，
∴g(x)＝f(x－1)＝(x－1)2＋2.
∵函数g(x)的图象关于直线x＝1对称，∴g(0)＝g(2)．
又∵函数g(x)＝(x－1)2＋2在区间[1，＋∞)上单调递增，
∴geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))[答案] A
8．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：
①如果不超过200元，则不给予优惠；
②如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；
③如果超过500元，其500元内的按第(2)条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．
某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他去一次购买上述同样的商品，则应付款是( )
A．413.7元B．513.7元
C．548.7元D．546.6元
[解析] 购物超过200元，至少付款200×0.9＝180(元)，超过500元，至少付款500×0.9＝450(元)，可知此人第一次购物不超过200元，第二次购物不超过500元，则此人两次购物总金额是168＋eq \f(423,0.9)＝168＋470＝638(元)．若一次购物，应付500×0.9＋138×0.7＝546.6(元)．
[答案] D
9．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋1，x≤0，,1，x>0，))若f(x－4)>f(2x－3)，则实数x的取值范围是( )
A．(－1，＋∞)B．(－∞，－1)
C．(－1,4)D．(－∞，1)
[解析] f(x)的图象如图．由图知，若f(x－4)>f(2x－3)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－4<0，,x－4<2x－3，))
解得－1[答案] C
10．甲、乙二人从A地沿同一方向去B地，途中都使用两种不同的速度v1与v2(v1[解析] 由题意可知，开始时，甲、乙速度均为v1，所以图象是重合的线段，由此排除C，D.再根据v1[答案] A
11．定义在R上的偶函数f(x)对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有eq \f(fx2－fx1,x2－x1)<0，则( )
A．f(3)C．f(－2)[解析] 由已知eq \f(fx2－fx1,x2－x1)<0，得f(x)在x∈[0，＋∞)上单调递减，由偶函数的性质得f(3)[答案] A
12．在实数集R中定义一种运算“*”，使其具有下列性质：
①对任意a，b∈R，a*b＝b*a；
②对任意a∈R，a*0＝a；
③对任意a，b，c∈R，(a*b)*c＝c*(ab)＋(a*c)＋(b*c)－2c.
则实数f(x)＝x*eq \f(x,2)的单调递减区间是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，＋∞))
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(3,2))) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(3,2)))
[解析] 在③中，令c＝0，则a*b＝ab＋a＋b⇒f(x)＝x*eq \f(x,2)＝eq \f(x2,2)＋eq \f(3x,2)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,2)))2－eq \f(9,8)，易知函数f(x)的单调递减区间为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(3,2)))，故选D.
[答案] D
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，x>0，,x＋1，x≤0，))若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于________．
[解析] 若a>0，则2a＋2＝0，得a＝－1，与a>0矛盾，舍去；若a≤0，则a＋1＋2＝0，得a＝－3，所以实数a的值等于－3.
[答案] －3
14．长为4，宽为3的矩形，当长增加x，宽减少eq \f(x,2)时，面积达到最大，此时x的值为________．
[解析] 由题意，S＝(4＋x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－\f(x,2)))，即S＝－eq \f(1,2)x2＋x＋12，∴当x＝1时，S最大．
[答案] 1
15．我国股市中对股票的股价实行涨、跌停制度，即每天的股价最大的涨幅或跌幅为10%，某股票连续四个交易日中前两日每天涨停，后两日每天跌停，则该股票的股价相对于四天前的涨跌情况是________(用数字作答)．
[解析] (1＋10%)2·(1－10%)2＝0.9801，而0.9801－1＝－0.0199，即跌了1.99%.
[答案] 跌了1.99%
16．已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2x＋a，x>1，,3－2ax－1，x≤1))是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为________．
[解析] f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－12＋a－1，x>1，,3－2ax－1，x≤1))
显然函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增．
故由已知可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－2a>0，,a－1≥3－2a×1－1，))
解得1≤a[答案] eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝eq \f(x＋2,x－6).
(1)判断点(3,14)是否在f(x)的图象上；
(2)当x＝4时，求f(x)的值；
(3)当f(x)＝2时，求x的值．
[解] (1)因为f(x)＝eq \f(x＋2,x－6)，所以f(3)＝eq \f(3＋2,3－6)＝－eq \f(5,3)，
所以点(3,14)不在f(x)的图象上．
(2)f(4)＝eq \f(4＋2,4－6)＝－3.
(3)令eq \f(x＋2,x－6)＝2，即x＋2＝2x－12，
解得x＝14.
18．(本小题满分12分)已知f(x)＝eq \f(1,x－1)，x∈[2,6]．
(1)证明f(x)是定义域上的减函数；
(2)求f(x)的最大值和最小值．
[解] (1)证明：设2≤x1因为x1－1>0，x2－1>0，x2－x1>0，
所以f(x1)－f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2)．
所以f(x)是定义域上的减函数．
(2)由(1)的结论可得，f(x)min＝f(6)＝eq \f(1,5)，
f(x)max＝f(2)＝1.
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2.
(1)求实数a的取值范围，使y＝f(x)是区间[－5,5]上的单调函数；
(2)求a的值，使f(x)在区间[－5,5]上的最小值为－1.
[解] (1)∵y＝f(x)是[－5,5]上的单调函数，
∴－a≤－5或－a≥5，即a≥5或a≤－5.
(2)当－a<－5，即a>5时，f(x)在[－5,5]上是增函数，
∴f(x)min＝f(－5)＝25－10a＋2＝－1，
∴a＝eq \f(14,5).∵a>5，∴a＝eq \f(14,5)不合要求，舍去．
当－5≤－a≤5，即－5≤a≤5时，
f(x)min＝f(－a)＝2－a2＝－1，
∴a2＝3，即a＝±eq \r(3).
当－a>5，即a<－5时，f(x)在[－5,5]上是减函数，
∴f(x)min＝f(5)＝25＋10a＋2＝－1，
∴a＝－eq \f(14,5).
∵a<－5，∴a＝－eq \f(14,5)不合要求，舍去，∴a＝±eq \r(3).
20．(本小题满分12分)如图所示，A、B两城相距100 km，某天然气公司计划在两地之间建一天然气站D给A、B两城供气．已知D地距A城x km，为保证城市安全，天然气站距两城市的距离均不得少于10 km.已知建设费用y(万元)与A、B两地的供气距离(km)的平方和成正比，当天然气站D距A城的距离为40 km时，建设费用为1300万元．(供气距离指天然气站到城市的距离)
(1)把建设费用y(万元)表示成供气距离x(km)的函数，并求定义域；
(2)天然气供气站建在距A城多远，才能使建设费用最小，最小费用是多少？
[解] (1)由题意知D地距B城(100－x)km，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(100－x≥10，,x≥10，))∴10≤x≤90.
设比例系数为k，则y＝k[x2＋(100－x)2](10≤x≤90)．
又x＝40时，y＝1300，
所以1300＝k(402＋602)，即k＝eq \f(1,4)，
所以y＝eq \f(1,4)[x2＋(100－x)2]＝eq \f(1,2)(x2－100x＋5000)(10≤x≤90)．
(2)由于y＝eq \f(1,2)(x2－100x＋5000)＝eq \f(1,2)(x－50)2＋1250，
所以当x＝50时，y有最小值为1250万元．
所以当供气站建在距A城50 km时，能使建设费用最小，最小费用是1250万元．
21．(本小题满分12分)设f(x)为定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝－(x－2)2＋2.
(1)求函数f(x)在R上的解析式；
(2)在直角坐标系中画出函数f(x)的图象；
(3)若方程f(x)－k＝0有四个解，求实数k的取值范围．
[解] (1)若x<0，则－x>0，f(x)＝f(－x)
＝－(－x－2)2＋2＝－(x＋2)2＋2，
则f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x－22＋2，x≥0，,－x＋22＋2，x<0.))
(2)图象如图所示，
(3)由于方程f(x)－k＝0的解就是函数y＝f(x)的图象与直线y＝k的交点的横坐标，观察函数y＝f(x)图象与直线y＝k的交点情况可知，当－222．(本小题满分12分)已知f(x)的定义域为(0，＋∞)，且满足f(2)＝1，f(xy)＝f(x)＋f(y)，又当x2>x1>0时，f(x2)>f(x1)．
(1)求f(1)，f(4)，f(8)的值；
(2)若有f(x)＋f(x－2)≤3成立，求x的取值范围．
[解] (1)f(1)＝f(1)＋f(1)，
所以f(1)＝0，f(4)＝f(2)＋f(2)＝1＋1＝2，
f(8)＝f(2)＋f(4)＝1＋2＝3.
(2)因为f(x)＋f(x－2)≤3，
所以f[x(x－2)]≤f(8)，
又因为对于函数f(x)，当x2>x1>0时，
f(x2)>f(x1)，
所以f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>0，,x－2>0，,xx－2≤8，))解得2故x的取值范围为(2,4]．