高中数学必修第一册质量检测（一）

这是一份高中数学必修第一册质量检测（一），共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》，在这四句诗中，可以作为命题的是( )
A．红豆生南国 B．春来发几枝
C．愿君多采撷 D．此物最相思
[解析] 本题考查命题的概念．“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以本句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题，故选A.
[答案] A
2．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，则A∩B＝( )
A．{1} B．{4}
C．{1,3} D．{1,4}
[解析] 由题意得，B＝{1,4,7,10}，所以A∩B＝{1,4}．
[答案] D
3．已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}．若P∪M＝P，则a的取值范围是( )
A．{a|a≤－1} B．{a|a≥1}
C．{a|－1≤a≤1} D．{a|a≤－1或a≥1}
[解析] 由P∪M＝P，可知M⊆P，即a∈P，因为集合P＝{x|－1≤x≤1}，所以－1≤a≤1.
[答案] C
4．设全集U＝{1,2,3,4}，集合M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}，则∁U(M∩N)＝( )
A．{1,2} B．{2,3}
C．{2,4} D．{1,4}
[解析] 因为M∩N＝{2,3}，所以∁U(M∩N)＝{1,4}．
[答案] D
5．集合A＝{(x，y)|y＝3x－2}，B＝{(x，y)|y＝x＋4}，则A∩B＝( )
A．{3,7} B．{(3,7)}
C．(3,7) D．{x＝3，y＝7}
[解析] 联立A与B中方程得：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝3x－2，,y＝x＋4，))
消去y得：3x－2＝x＋4，解得：x＝3，
把x＝3代入得：y＝9－2＝7，
∴方程组的解为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝7，))
∵A＝{(x，y)|y＝3x－2}，B＝{(x，y)|y＝x＋4}，
∴A∩B＝{(3,7)}，故选B.
[答案] B
6．设x∈R，则“x>1”是“x3>1”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] 本题主要考查充要条件的判断．∵x>1，∴x3>1.又x3－1>0，即(x－1)(x2＋x＋1)>0，解得x>1，∴“x>1”是“x3>1”的充要条件，故选C.
[答案] C
7．对于命题“我们班学生都是团员”，给出下列三种否定：
①我们班学生不都是团员；
②我们班有学生不是团员；
③我们班学生都不是团员．
正确答案的序号是( )
A．①② B．①②③
C．①③ D．②③
[答案] A
8．下列四个选项中，p是q的必要不充分条件的是( )
A．p：a>b，q：a2>b2 B．p：a>b，q：a＋3>b＋3
C．q：A⊆B，p：A＝B D．p：x2>4，q：x>3
[解析] A中p是q的既不充分也不必要条件；B中p是q的充要条件；C中p是q的充分不必要条件，故选D.
[答案] D
9．设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝( )
A．{1，－3} B．{1,0}
C．{1,3} D．{1,5}
[解析] 因为A∩B＝{1}，所以1∈B，所以1是方程x2－4x＋m＝0的根，所以1－4＋m＝0，解得m＝3，则方程为x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，所以B＝{1,3}．
[答案] C
10．“a＝－1”是“函数y＝ax2＋2x－1只有一个零点”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] 本题综合考查函数零点与充分条件、必要条件的判断．当a＝－1时，函数y＝ax2＋2x－1＝－x2＋2x－1只有一个零点1；若函数y＝ax2＋2x－1只有一个零点，则a＝－1或a＝0.所以“a＝－1”是“函数y＝ax2＋2x－1只有一个零点”的充分不必要条件，故选B.
[答案] B
11．设集合A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{4,5,6,7,8}，则满足S⊆A且S∩B≠∅的集合S的个数是( )
A．57 B．56
C．49 D．8
[解析] 集合S满足S⊆A且S∩B≠∅，即集合S是集合A的子集，且至少含有4,5,6中的一个元素，因此集合S的个数为26－23＝64－8＝56.
[答案] B
12．设A，B是有限集，定义：d(A，B)＝card(A∪B)－card(A∩B)，其中card(A)表示有限集A中元素的个数．
命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d(A，B)>0”的充分必要条件；
命题②：对任意有限集A，B，C，d(A，C)≤d(A，B)＋d(B，C)．( )
A．命题①和命题②都成立
B．命题①和命题②都不成立
C．命题①成立，命题②不成立
D．命题①不成立，命题②成立
[解析] 本题结合新定义考查充要条件的判断及命题真假性的判断．由题意，d(A，B)＝card(A)＋card(B)－2card(A∩B)≥0，对于命题①，A＝B⇔card(A∪B)＝card(A∩B)⇔d(A，B)＝0，∴A≠B⇔d(A，B)>0，命题①成立．对于命题②，由韦恩图易知命题②成立，下面给出严格证明：d(A，C)≤d(A，B)＋d(B，C)⇔card(A)＋card(C)－2card(A∩C)≤card(A)＋card(B)－2card(A∩B)＋card(B)＋card(C)－2card(B∩C)⇔card(A∩C)≥card(A∩B)＋card(B∩C)－card(B)⇒card(A∩C)≥card[(A∪C)∩B]－card(A∩B∩C)－card(B)．因为card(A∩C)≥0且card[(A∪C)∩B]－card(A∩B∩C)－card(B)≤0，故命题②成立．故选A.
[答案] A
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．命题“∃x∈{正实数}，使eq \r(x)[解析] 原命题的否定为“∀x∈{正实数}，使eq \r(x)≥x”，是假命题．
[答案] 假
14．若M，N为非空集合，且M≠N，则“a∈M或a∈N”是“a∈(M∩N)”的________________条件．
[答案] 必要不充分
15．已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．
[解析] 因为集合A＝{m＋2,2m2＋m}，且3∈A，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋2＝3，,2m2＋m≠3，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2m2＋m＝3，,m＋2≠3.))解得m＝－eq \f(3,2).
[答案] －eq \f(3,2)
16．设集合M＝{x|－2[解析] 由M∪N＝M得N⊆M，
当N＝∅时，2t＋1≤2－t，即t≤eq \f(1,3)，此时M∪N＝M成立．
当N≠∅时，由下图可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－t<2t＋1，,2t＋1≤5，,2－t≥－2，))解得eq \f(1,3)综上可知，实数t的取值范围是{t|t≤2}．
[答案] {t|t≤2}
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知集合A＝{x|－4≤x≤－2}，集合B＝{x|x＋3≥0}．
求：(1)A∩B；(2)A∪B；(3)∁R(A∩B)．
[解] 由已知得B＝{x|x≥－3}，
(1)A∩B＝{x|－3≤x≤－2}．
(2)A∪B＝{x|x≥－4}．
(3)∁R(A∩B)＝{x|x<－3或x>－2}．
18．(本小题满分12分)写出下列命题的否定，并判断真假．
(1)面积相等的三角形全等．
(2)存在m≤1，使方程x2－2x＋m＝0有实根．
(3)垂直于同一条直线的两条直线平行．
[解] (1)存在面积相等的三角形不全等，为真命题．
(2)∀m≤1，方程x2－2x＋m＝0没有实根，为假命题．
(3)存在垂直于同一条直线的两条直线不平行，为真命题．
19．(本小题满分12分)设集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．
(1)若A＝{x∈Z|－2≤x≤5}，求A的非空真子集的个数；
(2)若A∩B＝B，求实数m的取值范围．
[解] (1)∵A＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，∴A的非空真子集有28－2＝254(个)．
(2)∵A∩B＝B，∴B⊆A.
当B＝∅时，m＋1>2m－1，∴m<2；
当B≠∅时，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋1≤2m－1，,m＋1≥－2，,2m－1≤5，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m≥2，,m≥－3，,m≤3，))∴2≤m≤3.
综上可知，实数m的取值范围是{m|m≤3}．
20．(本小题满分12分)设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax＝1}．“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，试求满足条件的实数a组成的集合．
[解] ∵A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，
又“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，∴BA.
当B＝∅时，得a＝0；
当B≠∅时，由题意得B＝{1}或B＝{2}．
则当B＝{1}时，得a＝1；当B＝{2}时，得a＝eq \f(1,2).
综上所述，实数a组成的集合是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，1，\f(1,2))).
21．(本小题满分12分)是否存在实数p，使“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围．
[解] x2－x－2>0的解集是{x|x>2或x<－1}，
由4x＋p<0得x<－eq \f(p,4).
要想使x<－eq \f(p,4)时，x>2或x<－1成立，
必须有－eq \f(p,4)≤－1，即p≥4.
所以p≥4时，“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的充分条件．
22．(本小题满分12分)设集合A＝{x|x2＋4x＝0，x∈R}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}，若B⊆A，求实数a的值．
[解] A＝{x|x2＋4x＝0}＝{－4,0}．
∵B⊆A，∴分B＝A，BA两种情况讨论．
①当A＝B时，B＝{－4,0}．
即－4,0是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两根，于是得a＝1.
②当BA时，若B＝∅，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，解得a<－1.
若B≠∅，则B＝{－4}或{0}，
Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1，
验证知B＝{0}满足条件．
综上可知，所求实数a的值为a＝1或a≤－1.