高考数学二轮复习专题2.15 参数的分类讨论（原卷版）

第十五讲  参数的分类讨论

【套路秘籍】

用分类讨论思想研究函数的单调性

含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论，常见的分类讨论标准有以下几种可能：

①方程f′(x)＝0是否有根；

②若f′(x)＝0有根，求出根后判断其是否在定义域内；

③若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法．

【套路修炼】

考向一   一次函数型

【例1】已知常数a≠0，f(x)＝aln x＋2x.当f(x)的最小值不小于－a时，求实数a的取值范围．

【举一反三】

1.已知函数f(x)＝＋kln x，k<，求函数f(x)在上的最大值和最小值．

2.已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)．

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)当a>0时，求函数f(x)在[1,2]上的最小值．

考向二 指数型函数中的参数

【例2】已知函数，其中，为自然对数的底数.设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值.

【举一反三】

1．已知函数.

（Ⅰ）求函数极值；

（Ⅱ）若对任意，，求的取值范围.

2.已知函数f(x)＝xex－x－ax2.

(1)当a＝时，求f(x)的单调区间；

(2)当x≥0时，f(x)≥0，求实数a的取值范围．

考向三 对数型函数中的参数

【例3】已知函数 ．

（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；

（2）求 的单调区间．

【举一反三】

1．已知函数，..

（1）求函数的极值点；

（2）若恒成立，求的取值范围.

2．已知函数

(1)讨论函数的单调性；

(2)若，求证：当时，函数的图像恒在函数的图像上方.

考向四 一元二次可因式分解型

【例4】已知函数，试讨论的单调性.

【举一反三】

1. 已知函数g(x)＝ln x＋ax2－(2a＋1)x，若a≥0，试讨论函数g(x)的单调性．

2. 已知函数f(x)＝x2e－ax－1(a是常数)，求函数y＝f(x)的单调区间．

考向五 一元二次函数判别式型

【例5】已知函数

（1）讨论的单调性；

（2）若在定义域内有两个极值点，求证：.

【举一反三】已知函数，其中.

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个极值点，，证明：.

考向六 导数与不等式

【例6】已知函数f(x)＝1－，g(x)＝x－ln x.

(1)证明：g(x)≥1；

(2)证明：(x－ln x)f(x)>1－.

【举一反三】

1．已知函数在点处的切线方程为.

（1）求的值；

（2）证明：当时，.

2. 已知函数f(x)＝xln x－ex＋1.

(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；

(2)证明：f(x)<sin x在(0，＋∞)上恒成立．

考向七 导数与零点

【例7】 已知函数f(x)＝2a2ln x－x2(a>0)．

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)讨论函数f(x)在区间(1，e2)上零点的个数(e为自然对数的底数)．

【举一反三】

1.)已知f(x)＝x2－aln x，a∈R.

(1)求函数f(x)的单调增区间；

(2)若函数f(x)有两个零点，求实数a的取值范围，并说明理由．

(参考求导公式：[f(ax＋b)]′＝af′(ax＋b))

2 .已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝－x2＋ax－3(a为实数)，若方程g(x)＝2f(x)在区间上有两个不等实根，求实数a的取值范围．

3.设函数f(x)＝ln x＋，m∈R.

(1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；

(2)讨论函数g(x)＝f′(x)－的零点的个数．

【套路运用】

1.已知函数（且），求函数的极大值与极小值.

2.讨论函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x的单调性．

3.已知函数f(x)＝x3－ax－1，试讨论f(x)的单调性．

4.已知函数f(x)＝－k，若x＝2是函数f(x)的唯一一个极值点，则实数k的取值范围_．

5.已知函数f(x)＝ex－1－x－ax2.

(1)当a＝0时，求证：f(x)≥0；

(2)当x≥0时，若不等式f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．

6．已知函数f(x)＝ax－ex(a∈R)，g(x)＝.

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)∃x∈(0，＋∞)，使不等式f(x)≤g(x)－ex成立，求a的取值范围．

7．已知函数．

（1）若，证明：当时，；

（2）若在只有一个零点，求的值.

8.已知函数f(x)＝ax2－(a＋1)x＋ln x(a>0)，讨论函数f(x)的单调性．

9．已知函数．

（1）若1是函数的一个极值点，求实数的值；

（2）在（1）的条件下证明：．