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高考数学二轮复习专题2.15 参数的分类讨论(原卷版)
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第十五讲 参数的分类讨论【套路秘籍】用分类讨论思想研究函数的单调性含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论,常见的分类讨论标准有以下几种可能:①方程f′(x)=0是否有根;②若f′(x)=0有根,求出根后判断其是否在定义域内;③若根在定义域内且有两个,比较根的大小是常见的分类方法.【套路修炼】考向一 一次函数型【例1】已知常数a≠0,f(x)=aln x+2x.当f(x)的最小值不小于-a时,求实数a的取值范围.【举一反三】1.已知函数f(x)=+kln x,k<,求函数f(x)在上的最大值和最小值.2.已知函数f(x)=ln x-ax(a∈R).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)当a>0时,求函数f(x)在[1,2]上的最小值. 考向二 指数型函数中的参数【例2】已知函数,其中,为自然对数的底数.设是函数的导函数,求函数在区间上的最小值.【举一反三】1.已知函数.(Ⅰ)求函数极值;(Ⅱ)若对任意,,求的取值范围.2.已知函数f(x)=xex-x-ax2.(1)当a=时,求f(x)的单调区间;(2)当x≥0时,f(x)≥0,求实数a的取值范围. 考向三 对数型函数中的参数【例3】已知函数 .(1)当 时,求曲线 在点 处的切线方程;(2)求 的单调区间.【举一反三】1.已知函数,..(1)求函数的极值点;(2)若恒成立,求的取值范围.2.已知函数(1)讨论函数的单调性;(2)若,求证:当时,函数的图像恒在函数的图像上方. 考向四 一元二次可因式分解型【例4】已知函数,试讨论的单调性.【举一反三】1. 已知函数g(x)=ln x+ax2-(2a+1)x,若a≥0,试讨论函数g(x)的单调性.2. 已知函数f(x)=x2e-ax-1(a是常数),求函数y=f(x)的单调区间. 考向五 一元二次函数判别式型【例5】已知函数(1)讨论的单调性;(2)若在定义域内有两个极值点,求证:.【举一反三】已知函数,其中.(1)讨论的单调性;(2)若有两个极值点,,证明:. 考向六 导数与不等式【例6】已知函数f(x)=1-,g(x)=x-ln x.(1)证明:g(x)≥1;(2)证明:(x-ln x)f(x)>1-. 【举一反三】1.已知函数在点处的切线方程为.(1)求的值;(2)证明:当时,.2. 已知函数f(x)=xln x-ex+1.(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)证明:f(x)<sin x在(0,+∞)上恒成立. 考向七 导数与零点【例7】 已知函数f(x)=2a2ln x-x2(a>0).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)讨论函数f(x)在区间(1,e2)上零点的个数(e为自然对数的底数).【举一反三】1.)已知f(x)=x2-aln x,a∈R.(1)求函数f(x)的单调增区间;(2)若函数f(x)有两个零点,求实数a的取值范围,并说明理由.(参考求导公式:[f(ax+b)]′=af′(ax+b))2 .已知函数f(x)=xln x,g(x)=-x2+ax-3(a为实数),若方程g(x)=2f(x)在区间上有两个不等实根,求实数a的取值范围.3.设函数f(x)=ln x+,m∈R.(1)当m=e(e为自然对数的底数)时,求f(x)的极小值;(2)讨论函数g(x)=f′(x)-的零点的个数.【套路运用】1.已知函数(且),求函数的极大值与极小值.2.讨论函数f(x)=ex(ex-a)-a2x的单调性.3.已知函数f(x)=x3-ax-1,试讨论f(x)的单调性.4.已知函数f(x)=-k,若x=2是函数f(x)的唯一一个极值点,则实数k的取值范围_.5.已知函数f(x)=ex-1-x-ax2.(1)当a=0时,求证:f(x)≥0;(2)当x≥0时,若不等式f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.6.已知函数f(x)=ax-ex(a∈R),g(x)=.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)∃x∈(0,+∞),使不等式f(x)≤g(x)-ex成立,求a的取值范围.7.已知函数.(1)若,证明:当时,;(2)若在只有一个零点,求的值.8.已知函数f(x)=ax2-(a+1)x+ln x(a>0),讨论函数f(x)的单调性.9.已知函数.(1)若1是函数的一个极值点,求实数的值;(2)在(1)的条件下证明:.
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