人教版新课标B必修42.3.2向量数量积的运算律习题

这是一份人教版新课标B必修42.3.2向量数量积的运算律习题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．若|a|＝3，|b|＝eq \r(3)，且a与b的夹角为eq \f(π,6)，则|a＋b|＝( )
A．3 B．eq \r(3)
C．21 D．eq \r(21)
[答案] D
[解析] ∵|a|＝3，|b|＝eq \r(3)，a与b的夹角为eq \f(π,6)，
∴|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2
＝9＋2×3×eq \r(3)×cseq \f(π,6)＋3
＝9＋2×3×eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)＋3＝21，
∴|a＋b|＝eq \r(21).
2．(2015·山东临沂高一期末测试)若向量a、b满足|a|＝|b|＝1，且a·(a－b)＝eq \f(1,2)，则向量a与b的夹角为( )
A．eq \f(π,6) B．eq \f(π,3)
C．eq \f(2π,3) D．eq \f(5π,6)
[答案] B
[解析] 设向量a与b的夹角为θ，
∵a·(a－b)＝a2－a·b＝eq \f(1,2)，
∴1－1×1×csθ＝eq \f(1,2)，
∴csθ＝eq \f(1,2)，∵0≤θ≤π，
∴θ＝eq \f(π,3).
3．设a、b、c满足a＋b＋c＝0，且a⊥b，|a|＝1，|b|＝2，则|c|2等于( )
A．1 B．2
C．4 D．5
[答案] D
[解析] ∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，
∴c2＝|c|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝1＋4＝5，故选D．
4．已知两个非零向量a、b满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论正确的是( )
A．a∥b B．a⊥b
C．|a|＝|b| D．a＋b＝a－b
[答案] B
[解析] 本题考查向量的运算．
由题意知|a＋b|＝|a－b|，∴|a＋b|2＝|a－b|2，即a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b－b2，
∴a·b＝0，∴a⊥b.
注意：|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
5．下列各式中正确命题的个数为( )
①(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)，(λ∈R)；
②|a·b|＝|a|·|b|；
③(a＋b)·c＝a·c＋b·c；
④(a·b)·c＝a·(b·c)．
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] B
[解析] ①、③正确，②、④错误．
6．(2015·重庆理，6)若非零向量a、b满足|a|＝eq \f(2\r(2),3)|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为( )
A．eq \f(π,4) B．eq \f(π,2)
C．eq \f(3π,4) D．π
[答案] A
[解析] 设a与b的夹角为θ，根据题意可知，(a－b)⊥(3a＋2b)，得(a－b)·(3a＋2b)＝0，所以3|a|2－a·b－2|b|2＝0,3|a|2－|a|·|b|cs θ－2|b|2＝0，再由|a|＝eq \f(2\r(2),3)|b|得eq \f(8,3)|b|2－eq \f(2\r(2),3)|b|2cs θ－2|b|2＝0，∴cs θ＝eq \f(\r(2),2)，又∵0≤θ≤π，∴θ＝eq \f(π,4).
二、填空题
7．设a、b、c是单位向量，且a－b＝c，则向量a与b的夹角等于________．
[答案] eq \f(π,3)
[解析] ∵a、b、c是单位向量，
∴|a|＝|b|＝|c|＝1.
∵a－b＝c，∴|a－b|＝|c|＝1，
∴|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝1.
∴1－2×1×1×cs〈a，b〉＋1＝1，
∴cs〈a，b〉＝eq \f(1,2).
又∵0≤〈a，b〉≤π，
∴〈a，b〉＝eq \f(π,3)
8．已知两个单位向量e1、e2的夹角为120°，且向量a＝e1＋2e2，b＝4e1，则a·b＝________.
[答案] 0
[解析] ∵|e1|＝|e2|＝1，向量e1与e2的夹角为120°，
∴a·b＝(e1＋2e2)·(4e1)＝4eeq \\al(2,1)＋8e1·e2
＝4＋8×1×1×cs120°＝4＋8×1×1×(－eq \f(1,2))＝0.
三、解答题
9．已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，c＝2a－3b，d＝ma＋b，若c⊥d，求实数m的值．
[解析] a·b＝|a||b|cs60°＝1.
因为c⊥d，所以c·d＝0，即(2a－3b)·(ma＋b)＝2ma2＋(2－3m)a·b－3b2＝2m－12＋2－3m＝0，解得m＝－10.
10．已知a、b满足|a|＝eq \r(3)，|b|＝2，|a＋b|＝eq \r(13)，求a＋b与a－b的夹角θ的余弦值．
[解析] 由已知|a|＝eq \r(3)，|b|＝2，|a＋b|＝eq \r(13)，
∴(a＋b)2＝13.即a2＋2a·b＋b2＝13，
∴2a·b＝6.
∴(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝(a＋b)2－4a·b＝1.
即|a－b|＝1，
故csθ＝eq \f(a＋b·a－b,|a＋b||a－b|)＝－eq \f(\r(13),13).
一、选择题
1．若O为△ABC所在平面内一点，且满足(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→)))·(eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))－2eq \(OA,\s\up6(→)))＝0，则△ABC的形状为( )
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．以上都不对
[答案] C
[解析] 由(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→)))·(eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))－2eq \(OA,\s\up6(→)))＝0
得eq \(CB,\s\up6(→))·(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝0
又∵eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))，∴(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))·(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝0
即|eq \(AB,\s\up6(→))|2－|eq \(AC,\s\up6(→))|2＝0
∴|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(AC,\s\up6(→))|，∴△ABC为等腰三角形．
2．(2014·全国大纲理，4)若向量a、b满足：|a|＝1，(a＋b)⊥a，(2a＋b)⊥b，则|b|＝( )
A．2 B．eq \r(2)
C．1 D．eq \f(\r(2),2)
[答案] B
[解析] 本题考查了平面向量的数量积的运算，由已知(2a＋b)·b＝0，即2a·b＋b·b＝0，(a＋b)·a＝0，所以|a|2＋a·b＝0,2a·b＋|b|2＝0，又|a|＝1所以|b|＝eq \r(2).
3．(2015·陕西理，7)对任意向量a、b，下列关系式中不恒成立的是( )
A．|a·b|≤|a||b|B．|a－b|≤||a|－|b||
C．(a＋b)2＝|a＋b|2D．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2
[答案] B
[解析] A项，|a·b|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(|a||b|cs α))(α为a、b夹角)，因为cs α≤1，所以|a·b|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(|a||b|cs α))≤|a||b|，故A项不符合题意；B项，两边平方得a2＋b2－2a·b≤a2＋b2－2|a||b|，即|a||b|≤a·b＝|a||b|cs α(α为a、b夹角)，当α不为0时，此式不成立，应该为|a||b|≥a·b，故B项符合题意；C项，由向量的运算性质可知，(a＋b)2＝|a＋b|2恒成立，故C项不符合题意；D项，由向量的数量积运算可知，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2恒成立，故D项不符合题意．故选B．
4．已知|a|＝|b|＝1，a⊥b，(2a＋3b)⊥(ka－4b)，则k等于( )
A．－6 B．6
C．3 D．－3
[答案] B
[解析] (2a＋3b)·(ka－4b)＝0，
2k|a|2－8a·b＋3ka·b－12|b|2＝0.
∵|a|＝|b|＝1，a·b＝0，∴2k－12＝0，k＝6.
二、填空题
5．已知向量a、b的夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝eq \r(10)，则|b|＝________.
[答案] 3eq \r(2)
[解析] ∵|2a－b|＝eq \r(4a2＋b2－4a·b)＝eq \r(10)，|a|＝1，
∴4＋b2－4×1×|b|·cs45°＝10.
即|b|2－2eq \r(2)|b|－6＝0.
∴|b|＝3eq \r(2)，或|b|＝－eq \r(2)(舍去)．
6．关于平面向量a、b、c，有下列三个命题：
①若a·b＝a·c，则b＝c.
②若a＝(1，k)，b＝(－2,6)，a∥b，则k＝－3.
③非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为60°.
其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号)
[答案] ②
[解析] ①a·b＝a·c时，a·(b－c)＝0，
∴a⊥(b－c)不一定有b＝c，∴①错．
②a＝(1，k)，b＝(－2,6)，由a∥b知，1×6－(－2k)＝0，∴k＝－3，故②对．
也可以由a∥b，∴存在实数λ，使a＝λb，
即(1，k)＝λ(－2,6)＝(－2λ，6λ)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2λ＝1,6λ＝k))，∴k＝－3.
③非零向量a、b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则三向量a、b、a－b构成正三角形如图．
由向量加法的平行四边形法则知，a＋b平分∠BAC，
∴a＋b与a夹角为30°，③错．
三、解答题
7．已知|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为60°，c＝a＋2b，d＝ma－6b(m∈R)．若c∥d，求|c＋d|.
[解析] ∵c∥d，∴存在惟一实数λ使得c＝λd，
即a＋2b＝λ(ma－6b)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λm＝1,－6λ＝2))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝－\f(1,3),m＝－3)).
∴d＝－3a－6b，∴c＋d＝－2a－4b，
∴|c＋d|2＝|－2a－4b|2＝|2a＋4b|2＝4a2＋16a·b＋16b2
＝4×9＋16×3×2×cs60°＋16×4＝148，
∴|c＋d|＝2eq \r(37).
8．已知|a|＝1，|b|＝eq \r(2).
(1)若a∥b，求a·b；
(2)若a、b的夹角为60°，求|a＋b|；
(3)若a－b与a垂直，求a与b的夹角．
[解析] (1)当＝0°时，a·b＝eq \r(2)，当＝180°时，a·b＝－eq \r(2).
(2)|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝3＋eq \r(2)，|a＋b|＝eq \r(3＋\r(2)).
(3)由(a－b)·a＝0得a2＝a·b，
cs＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(\r(2),2)，＝45°.
9．(2015·山东潍坊高一期末测试)已知向量|a|＝1，|b|＝2.
(1)若a与b的夹角为eq \f(π,3)，求|a＋2b|；
(2)若(2a－b)·(3a＋b)＝3，求a与b的夹角．
[解析] (1)|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2
＝1＋4×1×2×cseq \f(π,3)＋4×4
＝1＋4＋16＝21，
∴|a＋2b|＝eq \r(21).
(2)∵(2a－b)·(3a＋b)＝3，
∴6a2－3a·b＋2a·b－b2＝3，
∴6a2－a·b－b2＝3，
∴6－1×2×cs〈a，b〉－4＝3，
∴cs〈a，b〉＝－eq \f(1,2).
∵0≤〈a，b〉≤π，
∴〈a，b〉＝eq \f(2π,3).