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    新人教B版高中数学必修四 1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算同步测试卷(含解析)
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    高中数学人教版新课标B必修41.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算巩固练习

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    这是一份高中数学人教版新课标B必修41.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算巩固练习,共5页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    一、选择题
    1.已知α=-2,则角α的终边所在的象限是( )
    A.第一象限 B.第二象限
    C.第三象限 D.第四象限
    [答案] C
    [解析] ∵1 rad=(eq \f(180,π))°,∴α=-2 rad=-(eq \f(360,π))°≈-114.6°,故角α的终边所在的象限是第三象限角.
    2.与-eq \f(13π,3)终边相同的角的集合是( )
    A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(-\f(π,3)))B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))
    C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α|α=2kπ+\f(π,3),k∈Z))D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α|α=2kπ+\f(5π,3),k∈Z))
    [答案] D
    [解析] 与-eq \f(13π,3)终边相同的角α=2kπ-eq \f(13π,3),k∈Z,
    ∴α=(2k-6)π+6π-eq \f(13π,3)
    =(2k-6)π+eq \f(5π,3),(k∈Z).
    3.扇形周长为6 cm,面积为2 cm2,则其圆心角的弧度数是( )
    A.1或4 B.1或2
    C.2或4 D.1或5
    [答案] A
    [解析] 设扇形的半径为r,圆心角为α,
    根据题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2r+rα=6,\f(1,2)αr2=2)),解得α=1或4.
    4.已知集合A={α|2kπ≤α≤(2k+1)π,k∈Z},B={α|-4≤α≤4},则A∩B=( )
    A.∅
    B.{α|0≤α≤π|
    C.{α|-4≤α≤4|
    D.{α|-4≤α≤-π或0≤α≤π}
    [答案] D
    [解析] k≤-2或k≥1时A∩B=∅;k=-1时A∩B=[-4,-π];k=0时,A∩B=[0,π];故A∩B=[-4,-π]∪[0,π].故选D.
    5.一条弧所对的圆心角是2 rad,它所对的弦长为2,则这条弧的长是( )
    A.eq \f(1,sin1) B.eq \f(1,sin2)
    C.eq \f(2,sin1) D.eq \f(2,sin2)
    [答案] C
    [解析] 所在圆的半径为r=eq \f(1,sin1),弧长为2×eq \f(1,sin1)=eq \f(2,sin1).
    6.如图中,圆的半径为5,圆内阴影部分的面积是( )
    A.eq \f(175π,36) B.eq \f(125π,18)
    C.eq \f(75π,18) D.eq \f(34π,9)
    [答案] A
    [解析] 40°=40×eq \f(π,180)=eq \f(2π,9),30°=30×eq \f(π,180)=eq \f(π,6),
    ∴S=eq \f(1,2)r2·eq \f(2π,9)+eq \f(1,2)r2·eq \f(π,6)=eq \f(175π,36).
    二、填空题
    7.已知一扇形的周长为eq \f(π,3)+4,半径r=2,则扇形的圆心角为________.
    [答案] eq \f(π,6)
    [解析] 设扇形的圆心角为α,则eq \f(π,3)+4=2r+2α,
    又∵r=2,∴α=eq \f(π,6).
    8.正n边形的一个内角的弧度数等于__________.
    [答案] eq \f(n-2,n)π
    [解析] ∵正n边形的内角和为(n-2)π,
    ∴一个内角的弧度数是eq \f(n-2π,n).
    三、解答题
    9.如果角α与x+eq \f(π,4)终边相同,角β与x-eq \f(π,4)终边相同,试求α-β的表达式.
    [解析] 由题意知α=2nπ+x+eq \f(π,4)(n∈Z),
    β=2mπ+x-eq \f(π,4)(m∈Z),
    ∴α-β=2(n-m)π+eq \f(π,2),即α-β=2kπ+eq \f(π,2)(k∈Z).
    10.设集合A={α|α=eq \f(3,2)kπ,k∈Z},B={β|β=eq \f(5,3)kπ,|k|≤10,k∈Z},求与A∩B的角终边相同的角的集合.
    [解析] 设α0∈A∩B,则α0∈A且α0∈B,
    所以α0=eq \f(3,2)k1π,α0=eq \f(5,3)k2π,所以eq \f(3,2)k1π=eq \f(5,3)k2π,
    即k1=eq \f(10,9)k2.
    因为|k2|≤10,k2∈Z,且k1∈Z,所以k1=0,±10.
    因此A∩B={0,-15π,15π},故与A∩B的角的终边相同的角的集合为{γ|γ=2kπ或γ=(2k+1)π,k∈Z}={γ|γ=nπ,n∈Z}.
    一、选择题
    1.扇形的一条弦长等于半径,则这条弦所对的圆心角是 ____弧度.( )
    A.π B.eq \f(π,2)
    C.eq \f(π,3) D.eq \f(π,4)
    [答案] C
    [解析] ∵圆心角所对的弦长等于半径,
    ∴该圆心角所在的三角形为正三角形,
    ∴圆心角是eq \f(π,3)弧度.
    2.在直角坐标系中,若角α与角β终边关于原点对称,则必有( )
    A.α=-β
    B.α=-2kπ±β(k∈Z)
    C.α=π+β
    D.α=2kπ+π+β(k∈Z)
    [答案] D
    [解析] 将α旋转π的奇数倍得β.
    3.在半径为3 cm的圆中,60°的圆心角所对的弧的长度为( )
    A.eq \f(π,3) cm B.π cm
    C.eq \f(3π,2) cm D.eq \f(2π,3) cm
    [答案] B
    [解析] 由弧长公式得,l=|α|R=eq \f(π,3)×3=π(cm).
    4.下列各对角中终边相同的角是( )
    A.eq \f(π,2)和-eq \f(π,2)+2kπ(k∈Z) B.-eq \f(π,3)和eq \f(22π,3)
    C.-eq \f(7π,9)和eq \f(11π,9) D.eq \f(20π,3)和eq \f(122π,9)
    [答案] C
    [解析] eq \f(11π,9)=2π-eq \f(7π,9),故-eq \f(7π,9)与eq \f(11π,9)终边相同.
    二、填空题
    5.把-eq \f(11π,4)写成θ+2kπ(k∈Z)的形式,使|θ|最小的θ的值是________.
    [答案] -eq \f(3π,4)
    [解析] -eq \f(11π,4)=-eq \f(3π,4)-2π=eq \f(5π,4)-4π,
    ∴使|θ|最小的θ的值是-eq \f(3π,4).
    6.若两个角的差是1°,它们的和是1 rad,则这两个角的弧度数分别是__________.
    [答案] eq \f(180+π,360)、eq \f(180-π,360)
    [解析] 设两角为α、β则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(α-β=\f(π,180),α+β=1)),∴α=eq \f(180+π,360)、β=eq \f(180-π,360).
    三、解答题
    7.x正半轴上一点A绕原点依逆时针方向做匀速圆周运动,已知点A每分钟转过θ角(0<θ≤π),经过2 min到达第三象限,经过14 min回到原来的位置,那么θ是多少弧度?
    [解析] 因为0<θ≤π,所以0<2θ≤2π.
    又因为2θ在第三象限,所以π<2θ因为14θ=2kπ,k∈Z,所以2θ=eq \f(2kπ,7),k∈Z.
    当k分别取4、5时,2θ分别为eq \f(8π,7)、eq \f(10π,7),它们都在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π,\f(3π,2)))内.因此θ=eq \f(4π,7) rad或θ=eq \f(5π,7) rad.
    8.已知扇形面积为25 cm2,当扇形的圆心角为多大时,扇形的周长取最小值?
    [解析] 设扇形的半径是R,弧长是l,扇形的周长为y,则y=l+2R.
    由题意,得eq \f(1,2)lR=25,则l=eq \f(50,R),
    故y=eq \f(50,R)+2R(R>0).
    利用函数单调性的定义,可以证明当0当R>5时,函数y=eq \f(50,R)+2R是增函数.
    所以当R=5时,y取最小值20,此时l=10,α=eq \f(l,R)=2,
    即当扇形的圆心角为2时,扇形的周长取最小值.
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