高中数学人教版新课标B必修41.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算巩固练习

这是一份高中数学人教版新课标B必修41.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算巩固练习，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知α＝－2，则角α的终边所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] C
[解析] ∵1 rad＝(eq \f(180,π))°，∴α＝－2 rad＝－(eq \f(360,π))°≈－114.6°，故角α的终边所在的象限是第三象限角．
2．与－eq \f(13π,3)终边相同的角的集合是( )
A．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))B．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))
C．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α|α＝2kπ＋\f(π,3)，k∈Z))D．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α|α＝2kπ＋\f(5π,3)，k∈Z))
[答案] D
[解析] 与－eq \f(13π,3)终边相同的角α＝2kπ－eq \f(13π,3)，k∈Z，
∴α＝(2k－6)π＋6π－eq \f(13π,3)
＝(2k－6)π＋eq \f(5π,3)，(k∈Z)．
3．扇形周长为6 cm，面积为2 cm2，则其圆心角的弧度数是( )
A．1或4 B．1或2
C．2或4 D．1或5
[答案] A
[解析] 设扇形的半径为r，圆心角为α，
根据题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2r＋rα＝6,\f(1,2)αr2＝2))，解得α＝1或4.
4．已知集合A＝{α|2kπ≤α≤(2k＋1)π，k∈Z}，B＝{α|－4≤α≤4}，则A∩B＝( )
A．∅
B．{α|0≤α≤π|
C．{α|－4≤α≤4|
D．{α|－4≤α≤－π或0≤α≤π}
[答案] D
[解析] k≤－2或k≥1时A∩B＝∅；k＝－1时A∩B＝[－4，－π]；k＝0时，A∩B＝[0，π]；故A∩B＝[－4，－π]∪[0，π]．故选D．
5．一条弧所对的圆心角是2 rad，它所对的弦长为2，则这条弧的长是( )
A．eq \f(1,sin1) B．eq \f(1,sin2)
C．eq \f(2,sin1) D．eq \f(2,sin2)
[答案] C
[解析] 所在圆的半径为r＝eq \f(1,sin1)，弧长为2×eq \f(1,sin1)＝eq \f(2,sin1).
6．如图中，圆的半径为5，圆内阴影部分的面积是( )
A．eq \f(175π,36) B．eq \f(125π,18)
C．eq \f(75π,18) D．eq \f(34π,9)
[答案] A
[解析] 40°＝40×eq \f(π,180)＝eq \f(2π,9)，30°＝30×eq \f(π,180)＝eq \f(π,6)，
∴S＝eq \f(1,2)r2·eq \f(2π,9)＋eq \f(1,2)r2·eq \f(π,6)＝eq \f(175π,36).
二、填空题
7．已知一扇形的周长为eq \f(π,3)＋4，半径r＝2，则扇形的圆心角为________．
[答案] eq \f(π,6)
[解析] 设扇形的圆心角为α，则eq \f(π,3)＋4＝2r＋2α，
又∵r＝2，∴α＝eq \f(π,6).
8．正n边形的一个内角的弧度数等于__________．
[答案] eq \f(n－2,n)π
[解析] ∵正n边形的内角和为(n－2)π，
∴一个内角的弧度数是eq \f(n－2π,n).
三、解答题
9．如果角α与x＋eq \f(π,4)终边相同，角β与x－eq \f(π,4)终边相同，试求α－β的表达式．
[解析] 由题意知α＝2nπ＋x＋eq \f(π,4)(n∈Z)，
β＝2mπ＋x－eq \f(π,4)(m∈Z)，
∴α－β＝2(n－m)π＋eq \f(π,2)，即α－β＝2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)．
10．设集合A＝{α|α＝eq \f(3,2)kπ，k∈Z}，B＝{β|β＝eq \f(5,3)kπ，|k|≤10，k∈Z}，求与A∩B的角终边相同的角的集合．
[解析] 设α0∈A∩B，则α0∈A且α0∈B，
所以α0＝eq \f(3,2)k1π，α0＝eq \f(5,3)k2π，所以eq \f(3,2)k1π＝eq \f(5,3)k2π，
即k1＝eq \f(10,9)k2.
因为|k2|≤10，k2∈Z，且k1∈Z，所以k1＝0，±10.
因此A∩B＝{0，－15π，15π}，故与A∩B的角的终边相同的角的集合为{γ|γ＝2kπ或γ＝(2k＋1)π，k∈Z}＝{γ|γ＝nπ，n∈Z}．
一、选择题
1．扇形的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角是 ____弧度．( )
A．π B．eq \f(π,2)
C．eq \f(π,3) D．eq \f(π,4)
[答案] C
[解析] ∵圆心角所对的弦长等于半径，
∴该圆心角所在的三角形为正三角形，
∴圆心角是eq \f(π,3)弧度．
2．在直角坐标系中，若角α与角β终边关于原点对称，则必有( )
A．α＝－β
B．α＝－2kπ±β(k∈Z)
C．α＝π＋β
D．α＝2kπ＋π＋β(k∈Z)
[答案] D
[解析] 将α旋转π的奇数倍得β.
3．在半径为3 cm的圆中，60°的圆心角所对的弧的长度为( )
A．eq \f(π,3) cm B．π cm
C．eq \f(3π,2) cm D．eq \f(2π,3) cm
[答案] B
[解析] 由弧长公式得，l＝|α|R＝eq \f(π,3)×3＝π(cm)．
4．下列各对角中终边相同的角是( )
A．eq \f(π,2)和－eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z) B．－eq \f(π,3)和eq \f(22π,3)
C．－eq \f(7π,9)和eq \f(11π,9) D．eq \f(20π,3)和eq \f(122π,9)
[答案] C
[解析] eq \f(11π,9)＝2π－eq \f(7π,9)，故－eq \f(7π,9)与eq \f(11π,9)终边相同．
二、填空题
5．把－eq \f(11π,4)写成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ的值是________．
[答案] －eq \f(3π,4)
[解析] －eq \f(11π,4)＝－eq \f(3π,4)－2π＝eq \f(5π,4)－4π，
∴使|θ|最小的θ的值是－eq \f(3π,4).
6．若两个角的差是1°，它们的和是1 rad，则这两个角的弧度数分别是__________．
[答案] eq \f(180＋π,360)、eq \f(180－π,360)
[解析] 设两角为α、β则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(α－β＝\f(π,180),α＋β＝1))，∴α＝eq \f(180＋π,360)、β＝eq \f(180－π,360).
三、解答题
7．x正半轴上一点A绕原点依逆时针方向做匀速圆周运动，已知点A每分钟转过θ角(0<θ≤π)，经过2 min到达第三象限，经过14 min回到原来的位置，那么θ是多少弧度？
[解析] 因为0<θ≤π，所以0<2θ≤2π.
又因为2θ在第三象限，所以π<2θ因为14θ＝2kπ，k∈Z，所以2θ＝eq \f(2kπ,7)，k∈Z.
当k分别取4、5时，2θ分别为eq \f(8π,7)、eq \f(10π,7)，它们都在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))内．因此θ＝eq \f(4π,7) rad或θ＝eq \f(5π,7) rad.
8．已知扇形面积为25 cm2，当扇形的圆心角为多大时，扇形的周长取最小值？
[解析] 设扇形的半径是R，弧长是l，扇形的周长为y，则y＝l＋2R.
由题意，得eq \f(1,2)lR＝25，则l＝eq \f(50,R)，
故y＝eq \f(50,R)＋2R(R>0)．
利用函数单调性的定义，可以证明当0当R>5时，函数y＝eq \f(50,R)＋2R是增函数．
所以当R＝5时，y取最小值20，此时l＝10，α＝eq \f(l,R)＝2，
即当扇形的圆心角为2时，扇形的周长取最小值．