2023年湖南省长沙市岳麓区、湘江新区中考数学一模试卷（含解析）

2023年湖南省长沙市岳麓区、湘江新区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各组数中互为相反数的是(    )

A. 与 B. 与 C. 与 D. 与

2.  年湖南湘江新区以高质量项目有效支撑经济高质量发展，共铺排项目个，计划总投资超过亿元将数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  将“非志无以成学”六个字分别写在一个正方体的六个面上，这个正方体的平面展开图如图所示，那么在这个正方体中，和“志”相对的字是(    )

A. 无 B. 以 C. 成 D. 学

5.  如图，过三角形顶点作，，，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  下列说法正确的是(    )

A. 若甲、乙两组数据的平均数相同，，，则甲组数据较稳定
B. 如果明天降水的概率是，那么明天有半天都在降雨
C. 为了解全国中学生视力和用眼卫生情况，适宜采用全面调查
D. 数据，，，，的中位数是，众数是

7.  数学家斐波那契编写的算经中有如下问题：一组人平分元钱，每人分得若干，若再加上人，平分元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第二次分钱的人数设第二次分钱的人数为人，则可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

8.  如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连接外圆上的，两点，并使与车轮内圆相切于点，已知为车轮外圆和内圆的圆心，连接并延长交外圆于点测得，，则车轮的外圆半径是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，已知是的直径，与相切于点，与相交于点，是弧的中点，现有如下几个结论：，，，，其中正确的个数为(    )

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

10.  甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛赛前训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行半天训练结束时，发现甲共当裁判局，乙、丙分别进行了局、局比赛，在这半天的训练中，甲、乙、丙三人共进行的比赛局数为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  方程的解是______．

12.  在平面直角坐标系中，将点向右平移个单位得到的点的坐标为______ ．

13.  已知扇形的半径是，圆心角是，则该扇形的弧长为______ 结果保留．

14.  某商场举行有奖竞猜活动，有，，，四个问题，其中，为体育类问题，，为文化类问题，小华从四个问题中不重复地选择两个，则两个问题类型相同的概率为        ．

15.  如图，矩形中，点在边上，将矩形沿直线折叠，点恰好落在边的点处若，，则的长是______ ．

16.  如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径画弧，与交于点，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，，作直线，分别交，于点，，则的面积为______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

19.  本小题分
如图，点，，，在同一条直线上，，，，且．
求证：≌；
若，，求的长．

20.  本小题分
“交通安全，人人有责”，为唤起人们关注交通事故正在夺去大量生命这一事实，我国把每年的月日定为全国交通安全反思日希望有更多的市民来关注交通安全，认真审视并改正不文明的交通习惯某校开展了“交通安全”知识竞赛，根据竞赛活动的成绩划分了四个等级：合格，良好，优秀，非常优秀现随机抽查部分竞赛成绩的数据进行了整理、绘制成不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题：
填空： ______ ， ______ ，“优秀”对应扇形的圆心角度数为______ ；
请你补全条形统计图；
若全校有名学生参加活动，请你估计其中竞赛成绩等级为“优秀”和“非常优秀”的学生共有多少人？
 

21.  本小题分
甲、乙两旅游爱好者从点出发到点，甲沿的路线，乙沿的路线经测量，点在点的正北方向，点在点的北偏西，点在点的正西方向，点在点的北偏东，米，米
求点到直线的距离；
为方便联系，甲、乙两人各携带一部对讲机，对讲机信号覆盖半径是米，当甲在点，乙在点时，乙能否收到甲的呼叫信号？请说明理由参考数据：，

22.  本小题分
某中学为丰富学生的校园生活，准备从体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同，若购买个足球和个篮球共需元，购买个足球和个篮球共需元．
求购买一个足球、一个篮球各需多少元．
学校准备购买足球和篮球共个，且篮球数量不少于足球数量的请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．

23.  本小题分
如图，点是菱形的对角线上一点，连接并延长，交于，交的延长线于．
求证：；
若，：：，且，求的长．

24.  本小题分
在平面直角坐标系中，给出如下定义：已知两个函数，如果对于任意的自变量，这两个函数对应的函数值记为，，恒有点和点关于点成中心对称此三个点可以重合，则称这两个函数互为“友好函数”例如：和互为“友好函数”．
判断：和；和；，其中互为“友好函数”的是______ 填序号．
若函数的“友好函数”与反比例函数的图象在第一象限内有两个交点点和点．
求的取值范围；
若的面积为，求的值．
若，，三个不同的点均在二次函数为常数，且的“友好函数”的图象上，且满足，若存在常数，使得恒成立，求的取值范围．

25.  本小题分
如图，中，为直角，点为边上一动点不与，重合，以为直径作，与交于点，过点作交的延长线于点与交于点．
求证：；
如果，求证：；
如果，，
令，，求关于的函数关系式；
若，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、与互为倒数，不符合题意；
B、与相同，不符合题意；
C、与是相反数，符合题意；
D、与相同，不符合题意；
故选：．
根据相反数的定义及符号的化简逐一进行判断即可得到答案．
本题考查了相反数，绝对值化简，掌握相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数是关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，故A符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用合并同类项的法则，单项式乘单项式的法则，完全平方公式，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

4.【答案】 

【解析】解：在这个正方体中，和“志”相对的字是成，
故选：．
根据正方体的表面展开图找相对面的方法：“”字两端是对面，即可解答．
本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
．
故选：．
先根据平行线的性质求出的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论．
本题考查的是三角形内角和定理及平行线的性质，熟知三角形的内角和等于是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：、若甲、乙两组数据的平均数相同，，，则乙组数据较稳定，故A不符合题意；
B、如果明天降水的概率是，那么明天降雨的可能性是，故B不符合题意；
C、为了解全国中学生视力和用眼卫生情况，适宜采用抽样调查，故C不符合题意；
D、数据，，，，的中位数是，众数是，故D符合题意；
故选：．
根据概率的意义，方程，众数，中位数，算术平均数，全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答．
本题考查了概率的意义，方程，众数，中位数，算术平均数，全面调查与抽样调查，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：设第二次分钱的人数为人，则第一次分钱的人数为人，
依题意得：．
故选：．
设第二次分钱的人数为人，则第一次分钱的人数为人，根据两次每人分得的钱数相同，即可得出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，连接，
，，
，
，
，
设半径为，则，
根据题意得：，
解得：．
这个车轮的外圆半径长为．
故选：．
根据垂径定理求得，然后根据勾股定理即可求得半径．
本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，作出辅助线构建直角三角形是本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：是的直径，与相切于点，
直径，
故正确；
是弧的中点，
，
，
，
是圆的直径，
，
，
故正确；
是弧的中点，
，
，
，
，
故正确；
若，
，，
，
，
但不一定等于，
不一定等于，
故错误．
正确的结论是，共有个．
故选：．
由切线的性质得到，由等腰三角形的性质得到，由圆周角定理得到，推出，由平行线的性质推出，由条件证明不一定等于．
本题考查切线的性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，直角三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：甲共当裁判局，
乙、丙之间打了局，
又乙、丙分别进行了局、局比赛，
乙与甲打了：局，丙与甲打了：局，
甲、乙、丙三人共打了：局，
故选：．
先确定了乙与丙打了局，乙与甲打了局，丙与甲打了局，进而确定三人一共打的局数，即可得到答案．
本题考查了比的应用，解本题关键根据题目提供的特征和数据，分析其存在的规律和方法，并递推出相关的关系式，从而解决问题．
 

11.【答案】， 

【解析】解：原式为，
，
或，
，．
故答案为，．
有公因式可以提取，故用因式分解法解较简便．
本题考查简单的一元二次方程的解法，在解一元二次方程时应当注意要根据实际情况选择最合适快捷的解法．
 

12.【答案】 

【解析】解：将点向右平移个单位长度，
得到坐标是，即．
故答案为：．
利用点平移的坐标规律，把点的横坐标加，即可得到点的坐标．
此题主要考查坐标与图形变化平移，掌握平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：扇形的半径是，圆心角是，
该扇形的弧长是：．
故答案为：．
根据弧长公式是，代入就可以求出弧长．
本题考查的是扇形的弧长公式的运用，正确记忆弧长公式是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中两个问题类型相同的结果有：，，，，共种，
两个问题类型相同的概率为．
故答案为：．
画树状图得出所有等可能的结果数和两个问题类型相同的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：由翻折而成，
，
在中，
，，
，
，
四边形是矩形，
．
故答案为：．
先根据翻折变换的性质得出，在中利用勾股定理求出的长，再根据求出的长，再由矩形的性质即可得出结论．
本题考查的是图形的翻折变换，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
 

16.【答案】 

【解析】解：，，，
，
，
由作图可知：

直线为线段的垂直平分线，
，
，
，，
∽，
，即，
解得：．
．
利用正切的定义可求出，由题意得，，直线为线段的垂直平分线，得到，证明∽，可得，求得，进一步求得三角形的面积即可．
本题考查作图基本作图，解直角三角形、勾股定理、线段垂直平分线、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
 

17.【答案】解：




． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

18.【答案】解：


，
当时，原式． 

【解析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

19.【答案】证明：，，
，
在和中，
，
≌；
解：≌，
，
，，
，
． 

【解析】由“”可证≌；
由全等三角形的性质可得，即可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

20.【答案】     

【解析】解：总人数为：人，
，
，
“优秀”对应扇形的圆心角度数为，
故答案为：；；；
“优秀”的人数为人；
补全统计图如下：

人．
答：估计其中竞赛成绩等级为“优秀”和“非常优秀”的学生共有大约人．
用“良好”的人数除以它所占百分比可得样本容量，再用“合格”人数除以样本容量可得的值；用“非常优秀”的人数除以样本容量可得的值；用乘“优秀”所占百分比可得“优秀”对应扇形的圆心角度数；
用“优秀”所占百分比乘样本容量可得“优秀”人数，进而补全条形统计图；
用乘样本中竞赛成绩等级为“优秀”和“非常优秀”的学生所占百分比之和即可．
本题考查扇形统计图、条形统计图的意义和制作方法，从统计图中获取数量和数量之间的关系，是解决问题的前提，样本估计总体是统计中常用的方法．
 

21.【答案】如图，过点作的延长线于点，

则，
米，
答：点到直线的距离为米；
乙能收到甲的呼叫信号，理由如下：
过点作于点．
四边形是矩形，
米，
，
米，
米，
对讲机信号覆盖半径是米，
，
能收到． 

【解析】过点作的延长线于点，得出即可求得米；
过点作于点则四边形是矩形，米，可得米，进而求得的长，比较即可得出答案．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

22.【答案】解：设购买一个足球需要元，一个篮球需要元，
根据题意得：，
解得：，
购买一个足球需要元，一个篮球需要元；
设购买篮球个，则购买足球个，
篮球数量不少于足球数量的，
，
解得：，
设所需总费用为元，
根据题意得：，
，
随的增大而增大，
为正整数，
当时，取得最小值，此时，
最省钱的购买方案为：购买篮球个，足球个． 

【解析】设购买一个足球需要元，一个篮球需要元，根据购买个足球和个篮球共需元，购买个足球和个篮球共需元得：，即可解得答案；
设购买篮球个，由篮球数量不少于足球数量的，得，设所需总费用为元，可得：，根据一次函数性质可得答案．
本题考查二元一次方程组和一次函数的应用，涉及不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式．
 

23.【答案】证明：四边形为菱形，
，，
≌，
；
解：四边形为菱形，
，，
，，
∽，
，
，
为的中点，
，
，
由可知，，
，
，
解得：． 

【解析】根据菱形的性质得，，证明≌即可；
由菱形的性质得，可证∽，利用相似比，结合已知：：，，可证为的中点，又，从而得出，已证，把问题转化到中，由勾股定理，列方程求解．
本题考查了全等三角形、相似三角形的判定与性质，菱形的性质及勾股定理的运用，根据菱形的四边相等，对边平行及菱形的轴对称性是解题的关键．
 

24.【答案】 

【解析】解：图象上的点和图象上的点关于成中心对称，
和是“友好函数”；
图象上的点和图象上的点关于成中心对称，
和是“友好函数”；
图象上的点和图象上的点不关于成中心对称，
不是“友好函数”；
互为“友好函数”的是，
故答案为：；
根据“友好函数”的定义得：，
，
，即函数的“友好函数”解析式为，
反比例函数的图象与直线在第一象限内有两个交点，
方程有两个不相等的实数根，且两根均为正数，
整理得：，
且，
解得：；
记直线与坐标轴的交点为，，如图，

在中，令得，令得，
，，
设，的横坐标分别为，，
，是方程的两根，
，，
，
，
，
将代入上式得：
，
解得：，
，
，
解得：，
，
的值为；
由得：，
的“友好函数”解析式为，
，在函数的上，
，，
，
，
，
，
，
点，的纵坐标相等，
抛物线对称轴为直线，即，
，
，
解得：，
设，
当时，；
当时，；
，
恒成立，
，
．
根据“友好函数”的定义逐个判断即可；
求出函数的“友好函数”解析式为，由方程有两个不相等的实数根，且两根均为正数，可得且，即可解得答案；
记直线与坐标轴的交点为，，则，，设，的横坐标分别为，，知，，根据，可得，结合 ，，可得的值为；
由得的“友好函数”解析式为，根据，，，，可得，而抛物线对称轴为直线，即，故，可得：，设，即可得，又恒成立，解得．
本题考查二次函数的综合应用，涉及新定义，三角形面积，函数与方程的关系等知识，解题的关键是读懂新定义，列出相关的方程和不等式解决问题．
 

25.【答案】证明：为直角，
，
，
．
，
，
；
证明：连接，如图，
则，
，
．
，
∽，
，
，
；
，，
．
，，
，．
四边形为圆的内接四边形，
，
，
∽，
，
，
；
，
．
，
，
．
，，
，
，
，
即为的中点．
，
，
．
在中，
，
．
，为的中点，
为的中位线，
，
，
在中，
，
，
，
，
． 

【解析】利用直角三角形的性质，垂直的定义，同角的余角相等解答即可；
连接，利用圆周角定理与已知条件得到，利用相似三角形的判定与性质和同圆的半径相等解答即可得出结论；
利用勾股定理求得，利用，的代数式表示出线段，，再利用相似三角形的判定与性质得出关于，的比例式，整理即可得出结论；
利用平行线的性质，等角的余角相等和等腰三角形的判定与性质得到点为的中点，利用三角形的中位线定理和垂径定理得到，利用直角三角形的边角关系定理求得线段的长，进而求得的长度，则结论可求．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，直角三角形的性质，圆的内接四边形的性质，三角形的中位线的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，连接，充分利用圆周角定理解答是解题的关键．