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2021年湖南省娄底市娄星区中考数学模拟试卷
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这是一份2021年湖南省娄底市娄星区中考数学模拟试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，综合题等内容，欢迎下载使用。
2021年湖南省娄底市娄星区中考数学模拟试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）
1．（3分）﹣2021的倒数是（ ）
A．2021 B． C．﹣2021 D．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣b2 B．2a+b＝2ab
C．（a3）2＝a6 D．（﹣2a）2＝﹣4a4
3．（3分）下列结论中，不一定成立的是（ ）
A．平行四边形对边平行
B．平行四边形对角相等
C．平行四边形对角线互相平分
D．平行四边形对角线相等
4．（3分）某地一周七天的最高气温（单位：°C）分别如下：25，20，17，18，14，17，11，这组数据的中位数是（ ）
A．18 B．17 C．14 D．20
5．（3分）如图，AB∥CD，EF交AB于点G，EM平分∠CEF，∠FGB＝70°，则∠BME的度数为（ ）
A．70° B．50° C．65° D．55°
6．（3分）如图，BD与CE相交于点A，DE∥BC，DE：BC＝2：3，则△ABC与△ADE的面积之比为（ ）
A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．9：4
7．（3分）国家统计局2021年1月18日发布数据，2020年我国国内生产总值（GDP）首次突破100万亿元大关，达到101.6万亿元，其中101.6万亿元用科学记数法表示为（ ）
A．1.016×1010元 B．1.016×1012元
C．1.016×1014元 D．1.016×1016元
8．（3分）在下列图形中：等边三角形、平行四边形、等腰直角三角形、矩形，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形 B．平行四边形
C．等腰直角三角形 D．矩形
9．（3分）方程根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．有一个实数根
10．（3分）入射光线和平面镜的夹角为40°，转动平面镜，使入射角减小10°，反射光线与入射光线的夹角和原来相比较将（ ）
A．减小40° B．减小10° C．减小20° D．不变
11．（3分）如图，在⊙O中，OA、OB为半径，AB、AC、BC为弦，若∠OAB＝70°，则∠C的度数为（ ）
A．40° B．70° C．20° D．30°
12．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②2a﹣b＞0；③4a﹣2b+c＜0；④（a+c）2＜b2．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
13．（3分）从，π，0，3.14，，0.2020020002…（两个2之间依次多一个0）这六个数中随机抽取一个，抽到有理数的概率是 ．
14．（3分）函数的自变量x的取值范围是 ．
15．（3分）将7个棱长为1的小立方体摆成如图所示几何体，该几何体的俯视图的面积为 ．
16．（3分）如图，点A，C均在双曲线上运动，AB⊥x轴，AC＝BC，则△ABC的面积是 ．
17．（3分）材料：从A、B、C三人中选取二人当代表，有A和B、A和C、B和C三种不同的选法，抽象成数学模型是：从3个元素中选取2个元素组合，记作．一般地，从m个元素中选取n个元素组合，记作．
问题：从7个人中选取4个人当代表，不同的选法有 种．
18．（3分）如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，摆第n个图案需要 枚棋子．
三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
19．（6分）计算：．
20．（6分）先化简，然后从﹣2，0，1，2中选一个合适的数代入求值．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
21．（8分）为了解中学生对我国传统节日习俗的知晓情况，某校数学兴趣小组在全校开展了随机调查，将调查结果进行量化，量化分数T分成四个层次：A.90≤T≤100，B.80≤T＜90，C.60≤T＜80，D．T＜60，把所得数据绘制成了两个统计图，请根据图中信息解答下列问题：
（1）本次一共随机调查了 名学生，扇形统计图中C所在扇形的圆心角是 度．
（2）计算D层次（T＜60）的学生人数并补全条形统计图．
（3）若该校共有6000名学生，则对我国传统节日习俗知晓（T≥80）的学生大约有多少人？
22．（8分）为积极响应党中央号召，推进乡村振兴，某地区对A、B两地间的公路进行改建，如图，A、B两地间有一座山，汽车原来从A地到B地需要途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶，已知AC＝40千米，∠A＝30°，∠B＝45°．
（1）开通隧道前，汽车从A到B地大约要走多少千米？
（2）开通隧道后，汽车从A到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米，参考数据：，）．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
23．（9分）2021年是中国共产党建党100周年，全国上下正在开展党史学习教育活动．为给党员提供学习资料，某单位计划花6000元购进《论中国共产党历史》和《中国共产党简史》共200本，其中《论中国共产党历史》的价格是26元/本，《中国共产党简史》的价格是42元/本．求：
（1）该单位计划购进《论中国共产党历史》和《中国共产党简史》各多少本？
（2）为节约开支，该单位决定只购进这两种书共100本，总费用不超过3500元．那么，该单位最少要购进《论中国共产党历史》多少本？
24．（9分）已知：如图所示，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC的延长线上一点，过点A作AF∥BE，交线段ED的延长线于点F，连接AE、CF．
（1）求证：AF＝CE；
（2）若AF＝CF＝4，∠AFD＝30°，求EF的长．
六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
25．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC、AC交于点D、E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．
（1）求证：直线DF是⊙O的切线；
（2）求证：BC2＝4CF•AB；
（3）若⊙O的半径为2，∠CDF＝22.5°，求图中阴影部分的面积．
26．（10分）如图，抛物线y＝a（x+3）（x﹣1）与x轴相交于A、B两点（点A在点B右侧），过点A的直线交抛物线于另一点C，点C的坐标为（﹣2，6）．
（1）求a的值及直线AC的函数关系式；
（2）P是线段AC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点M，交x轴于点N．
①求线段PM长度的最大值；
②在抛物线上是否存在这样的点M，使得△CMP与△APN相似？如果存在，请求出满足条件的点M的坐标；如果不存在，请说明理由．
2021年湖南省娄底市娄星区中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）
1．（3分）﹣2021的倒数是（ ）
A．2021 B． C．﹣2021 D．
【分析】直接利用倒数的定义得出答案．
【解答】解：﹣2021的倒数是：﹣．
故选：D．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣b2 B．2a+b＝2ab
C．（a3）2＝a6 D．（﹣2a）2＝﹣4a4
【分析】直接利用完全平方公式以及幂的乘方运算法则、积的乘方运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：A、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故此选项错误；
B、2a+b，无法计算，故此选项错误；
C、（a3）2＝a6，故此选项正确；
D、（﹣2a）2＝4a4，故此选项错误；
故选：C．
3．（3分）下列结论中，不一定成立的是（ ）
A．平行四边形对边平行
B．平行四边形对角相等
C．平行四边形对角线互相平分
D．平行四边形对角线相等
【分析】根据平行四边形的性质进行逐一判断即可．
【解答】解：因为平行四边形的对边平行，对角相等，对角线互相平分，
但是对角线不一定相等，矩形的对角线相等．
所以不一定成立的是D选项．
故选：D．
4．（3分）某地一周七天的最高气温（单位：°C）分别如下：25，20，17，18，14，17，11，这组数据的中位数是（ ）
A．18 B．17 C．14 D．20
【分析】根据中位数的定义直接求解即可．
【解答】解：把这些数从小到大排列为11，14，17，17，18，20，25，
则中位数是17．
故选：B．
5．（3分）如图，AB∥CD，EF交AB于点G，EM平分∠CEF，∠FGB＝70°，则∠BME的度数为（ ）
A．70° B．50° C．65° D．55°
【分析】由平行线的性质得出∠FED＝∠FGB＝70°，由角平分线的定义得出∠CEF＝110°，再由平行线的性质得出即可得出∠BME的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠FED＝∠FGB＝70°，
∴∠CEF＝110°，
∵EM平分∠CEF，
∴∠CEM＝∠CEF＝55°，
∴∠BME＝55°．
故选：D．
6．（3分）如图，BD与CE相交于点A，DE∥BC，DE：BC＝2：3，则△ABC与△ADE的面积之比为（ ）
A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．9：4
【分析】根据两直线平行，得到两组内错角相等，所以△ADE∽△ABC，然后根据面积比等于相似比的平方计算即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠E＝∠C，∠D＝∠B，
∴△ADE∽△ABC，
∵DE：BC＝2：3，
∴，
∴．
故选：D．
7．（3分）国家统计局2021年1月18日发布数据，2020年我国国内生产总值（GDP）首次突破100万亿元大关，达到101.6万亿元，其中101.6万亿元用科学记数法表示为（ ）
A．1.016×1010元 B．1.016×1012元
C．1.016×1014元 D．1.016×1016元
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：101.6万亿元＝1016000亿元＝10600000000000元＝1.016×1014元．
故选：C．
8．（3分）在下列图形中：等边三角形、平行四边形、等腰直角三角形、矩形，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形 B．平行四边形
C．等腰直角三角形 D．矩形
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；
B、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项不合题意；
C、等腰直角三角形是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；
D、矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
9．（3分）方程根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．有一个实数根
【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：∵△＝（2）2﹣4×（﹣3）＝24＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
10．（3分）入射光线和平面镜的夹角为40°，转动平面镜，使入射角减小10°，反射光线与入射光线的夹角和原来相比较将（ ）
A．减小40° B．减小10° C．减小20° D．不变
【分析】要知道入射角和反射角的概念：入射光线与法线的夹角，反射角是反射光线与法线的夹角，在光反射时，反射角等于入射角．
【解答】解：入射光线与平面镜的夹角是40°，所以入射角为90°﹣40°＝50°．
根据光的反射定律，反射角等于入射角，反射角也为50°，所以入射光线与反射光线的夹角是100°．
入射角减小10°，变为50°﹣10°＝40°，所以反射角也变为40°，此时入射光线与法线的夹角为80°．
则反射光线与入射光线间的夹角和原来比较将减小20°．
故选：C．
11．（3分）如图，在⊙O中，OA、OB为半径，AB、AC、BC为弦，若∠OAB＝70°，则∠C的度数为（ ）
A．40° B．70° C．20° D．30°
【分析】先由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠AOB＝40°，再由圆周角定理求解即可．
【解答】解：∵OA＝OB，∠OAB＝70°，
∴∠OBA＝∠OAB＝70°，
∴∠AOB＝180°﹣2×70°＝40°，
∴∠C＝∠AOB＝20°，
故选：C．
12．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②2a﹣b＞0；③4a﹣2b+c＜0；④（a+c）2＜b2．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据函数的图象，可以得到a＜0，b＜0，c＞0，对称轴在x＝﹣1右边，x＝﹣2时和x＝﹣1时对应的函数值的正负，然后通过灵活变形得到题目中各结论所求的式子的结果，然后对照判断各个选项即可解答本题．
【解答】解：①根据函数图象的开口向下知，a＜0，
∵对称轴为直线x＝﹣在y轴左边，
∴﹣＜0，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＞0．
故①正确；
②∵抛物线的对称轴在（﹣1，0）的右边，
∴﹣＞﹣1，
∴＜1，
∵a＜0，
∴b＞2a，
∴2a﹣b＜0，
故②错误；
③由函数图象可知，当x＝﹣2时，y＜0，
即y＝4a﹣2b+c＜0，
故③正确；
④（a+c）2﹣b2＝（a+c+b）（a+c﹣b）＜0，故④正确；
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
13．（3分）从，π，0，3.14，，0.2020020002…（两个2之间依次多一个0）这六个数中随机抽取一个，抽到有理数的概率是 ．
【分析】根据概率公式计算即可；
【解答】解：∵，π，0，3.14，，0.2020020002…（两个2之间依次多一个0）这六个数中有理数有0，3.14，共3个，
∴随机抽取一个，抽到有理数的概率是＝，
故答案为：．
14．（3分）函数的自变量x的取值范围是 x≤1 ．
【分析】根据二次根式的意义，列不等式求x的取值范围．
【解答】解：根据二次根式的意义，
1﹣x≥0，解得x≤1．
15．（3分）将7个棱长为1的小立方体摆成如图所示几何体，该几何体的俯视图的面积为 4 ．
【分析】据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上面看，底层是两个小正方形，上层是两个小正方形，
所以该几何体的俯视图的面积为4．
故答案为：4．
16．（3分）如图，点A，C均在双曲线上运动，AB⊥x轴，AC＝BC，则△ABC的面积是 2 ．
【分析】过点C作CD⊥AB于D，CE⊥x轴于点E，利用点A，C均在双曲线上，设A（a，），C（b，），用A，C的坐标表示相应线段的长度；利用等腰三角形的三线合一的性质得出a，b的关系，由三角形的面积公式计算可得结论．
【解答】解：过点C作CD⊥AB于D，CE⊥x轴于点E，如下图：
∵点A，C均在双曲线上运动，
∴设A（a，），C（b，）．
∴OB＝a，OE＝b，AB＝，CE＝．
∴BE＝OE﹣OB＝b﹣a．
∵CD⊥AB，CE⊥x轴，AB⊥x轴，
∴四边形DBEC为矩形．
∴BD＝CE＝，CD＝BE＝b﹣a．
∵AC＝BC，CD⊥AB，
∴AB＝2BD．
∴．
∴b＝2a．
∴＝××（b﹣a）＝××a＝2．
故答案为：2．
17．（3分）材料：从A、B、C三人中选取二人当代表，有A和B、A和C、B和C三种不同的选法，抽象成数学模型是：从3个元素中选取2个元素组合，记作．一般地，从m个元素中选取n个元素组合，记作．
问题：从7个人中选取4个人当代表，不同的选法有 35 种．
【分析】根据材料的计算方法，即可得出结论．
【解答】解：由题意得，从7个人中选取4个人当代表，不同的选法有＝＝35（种），
故答案为35．
18．（3分）如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，摆第n个图案需要 （3n2+3n+1） 枚棋子．
【分析】本题可依次解出n＝1，2，3，…，图案需要的棋子枚数．再根据规律以此类推，可得出第n个图案需要的棋子枚数．
【解答】解：∵n＝1时，总数是6+1＝7；
n＝2时，总数为6×（1+2）+1＝19；
n＝3时，总数为6×（1+2+3）+1＝37枚；
…；
∴n＝n时，有6×（1+2+3+…n）+1＝6×+1＝（3n2+3n+1）枚．
故答案为：（3n2+3n+1）．
三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
19．（6分）计算：．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝﹣1+1﹣2×+2021
＝﹣1+1﹣+2021
＝2021．
20．（6分）先化简，然后从﹣2，0，1，2中选一个合适的数代入求值．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则运算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝[+]•
＝•
＝•
＝
＝，
∵x＝﹣2，0，2时，原式没有意义，
∴当x＝1时，原式＝＝﹣6．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
21．（8分）为了解中学生对我国传统节日习俗的知晓情况，某校数学兴趣小组在全校开展了随机调查，将调查结果进行量化，量化分数T分成四个层次：A.90≤T≤100，B.80≤T＜90，C.60≤T＜80，D．T＜60，把所得数据绘制成了两个统计图，请根据图中信息解答下列问题：
（1）本次一共随机调查了 200 名学生，扇形统计图中C所在扇形的圆心角是 54 度．
（2）计算D层次（T＜60）的学生人数并补全条形统计图．
（3）若该校共有6000名学生，则对我国传统节日习俗知晓（T≥80）的学生大约有多少人？
【分析】（1）根据A的人数和所占的百分比求出总人数，用360°乘以C所占的百分比即可得出答案；
（2）用总人数减去其它层次的人数求出D层次（T＜60）的学生人数，再补全统计图即可；
（3）用总人数乘以（T≥80）的学生所占的百分比即可．
【解答】解：（1）本次一共随机调查的学生数是：60÷30%＝200（名），
扇形统计图中C所在扇形的圆心角是：360°×＝54°；
故答案为：200，54；
（2）D层次（T＜60）的学生人数有：200﹣60﹣100﹣30＝10（人），补全统计图如下：
（3）6000×＝4800（人），
答：对我国传统节日习俗知晓（T≥80）的学生大约有4800人．
22．（8分）为积极响应党中央号召，推进乡村振兴，某地区对A、B两地间的公路进行改建，如图，A、B两地间有一座山，汽车原来从A地到B地需要途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶，已知AC＝40千米，∠A＝30°，∠B＝45°．
（1）开通隧道前，汽车从A到B地大约要走多少千米？
（2）开通隧道后，汽车从A到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米，参考数据：，）．
【分析】（1）开通隧道前，汽车从A地到B地要走的距离为AC+BC的长，利用角的正弦值和余弦值即可算出．
（2）开通隧道后，汽车从A地到B地要走的距离为AB的长，汽车从A地到B地比原来少走的路程为AC+BC﹣AB的长，利用角的余弦值和正切值即可算出．
【解答】解：（1）如图，过点C作AB的垂线CD，垂足为D，
∵AB⊥CD，AC＝40千米，∠A＝30°，∠B＝45°．
∴BD＝CD＝AC＝20千米，
∴BC＝CD＝20（千米），
∴AC+BC＝40+20≈40+1.41×20＝68.2（千米）．
∴开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走68.2千米；
（2）∵AD＝AC•cos30°＝40×＝20（千米），
∴BD＝CD＝AC＝40×＝20（千米），
∴AB＝AD+BD＝20+20≈20×1.73+20＝54.6（千米）．
∴汽车从A地到B地比原来少走的路程为：
AC+BC﹣AB＝68.2﹣54.6＝13.6（千米）．
∴开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走13.6千米．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
23．（9分）2021年是中国共产党建党100周年，全国上下正在开展党史学习教育活动．为给党员提供学习资料，某单位计划花6000元购进《论中国共产党历史》和《中国共产党简史》共200本，其中《论中国共产党历史》的价格是26元/本，《中国共产党简史》的价格是42元/本．求：
（1）该单位计划购进《论中国共产党历史》和《中国共产党简史》各多少本？
（2）为节约开支，该单位决定只购进这两种书共100本，总费用不超过3500元．那么，该单位最少要购进《论中国共产党历史》多少本？
【分析】（1）设计划购进《论中国共产党历史》x本，由“6000元购进《论中国共产党历史》和《中国共产党简史》共200本”，列出方程，可求解；
（2）设计划购进《论中国共产党历史》a本，由“总费用不超过3500元”，列出不等式，可求解．
【解答】解：（1）设计划购进《论中国共产党历史》x本，
由题意可得：26x+42（200﹣x）＝6000，
解得：x＝150，
∴x﹣150＝50（本），
答：该单位计划购进《论中国共产党历史》150本，《中国共产党简史》50本；
（2）设计划购进《论中国共产党历史》a本，
由题意可得：26x+42（100﹣x）≤3500，
解得：x≥，
答：该单位最少要购进《论中国共产党历史》44本．
24．（9分）已知：如图所示，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC的延长线上一点，过点A作AF∥BE，交线段ED的延长线于点F，连接AE、CF．
（1）求证：AF＝CE；
（2）若AF＝CF＝4，∠AFD＝30°，求EF的长．
【分析】（1）利用AAS证明△ADF≌△CDE可得AF＝CE；
（2）先判断四边形AFCE为菱形，由菱形的性质结合勾股定理可求解．
【解答】（1）证明：∵D点为AC的中点，
∴AD＝CD，
∵AF∥BE，
∴∠FAD＝∠ECD，
在△ADF和△CDE中，
，
∴△ADF≌△CDE（AAS），
∴AF＝CE；
（2）∵AF∥BE，AF＝CE，
∴四边形AFCE为平行四边形，
∵AF＝CF＝4，
∴四边形AFCE为菱形，
∴AD⊥EF，EF＝2FD，
∵∠AFD＝30°，
∴AD＝AF＝2，
∴FD＝，
∴EF＝2FD＝．
六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
25．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC、AC交于点D、E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．
（1）求证：直线DF是⊙O的切线；
（2）求证：BC2＝4CF•AB；
（3）若⊙O的半径为2，∠CDF＝22.5°，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OD，由DF⊥AC，证明OD∥AC即可；
（2）连接AD，由△ADC∽△DFC，可得＝，即CD2＝CF•AC，再证明CD＝BC即可；
（3）连接AD，OE，根据已知求出∠AOE＝90°，从而可得S扇形AOE和S△AOE，即可得到答案．
【解答】解：（1）连接OD，如图：
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB，
∴∠C＝∠ODB，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥AC，
∴直线DF是⊙O的切线；
（2）连接AD，如图：
∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵DF⊥AC，
∴∠DAC＝90°﹣∠ADF＝∠FDC，
而∠C＝∠C，
∴△ADC∽△DFC，
∴＝，即CD2＝CF•AC，
∵AB＝AC，∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴CD＝BC，
∴（BC）2＝CF•AB，
∴BC2＝4CF•AB；
（3）连接AD，OE，如图：
∵DF⊥AC，∠CDF＝22.5°，
∴∠C＝∠B＝67.5°，
∴∠BAC＝45°，
∵OA＝OE，
∴∠AOE＝90°，
∵⊙O的半径为2，
∴S扇形AOE＝π，S△AOE＝2，
∴S阴影＝S扇形AOE﹣S△AOE＝π﹣2．
26．（10分）如图，抛物线y＝a（x+3）（x﹣1）与x轴相交于A、B两点（点A在点B右侧），过点A的直线交抛物线于另一点C，点C的坐标为（﹣2，6）．
（1）求a的值及直线AC的函数关系式；
（2）P是线段AC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点M，交x轴于点N．
①求线段PM长度的最大值；
②在抛物线上是否存在这样的点M，使得△CMP与△APN相似？如果存在，请求出满足条件的点M的坐标；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点C的坐标为（﹣2，6）代入抛物线解析式中即可求出a，令y＝0，求出A点坐标即可求出直线AC解析式；
（2）①设M点坐标为（m，﹣2m2﹣4m+6），表示出PM的长即可找到PM最大值；
②为使得△CMP与△APN相似，分情况讨论∠PNA＝∠CMP＝90°或∠PNA＝∠MCP＝90°时M不同位置，利用相似三角形性质即可求出M点的坐标．
【解答】解：（1）将点C的坐标为（﹣2，6）代入抛物线y＝a（x+3）（x﹣1）中，
∴6＝a（﹣2+3）（﹣2﹣1），
解得：a＝﹣2，
∴抛物线解析式为：y＝﹣2（x+3）（x﹣1）＝﹣2x2﹣4x+6，
令y＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1，
∴A（1，0），B（﹣3，0），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，将A、C两点坐标代入得；
，
解得：，
∴直线AC的解析式为：y＝﹣2x+2．
（2）①设P点的横坐标为m（﹣2≤m≤1），
则P（m，﹣2m+2），M（m，﹣2m2﹣4m+6），
∴PM＝﹣2m2﹣4m+6﹣（﹣2m+2）＝﹣2（m+）2+，
∵﹣2＜0，
∴当m＝﹣时，PMmax＝，
②存在，M（0，6）或M（﹣，），理由如下：
∵∠APN＝∠CPM，∠PNA＝90°，
∴要使△CMP与△APN相似，则使∠PNA＝∠CMP＝90°或∠PNA＝∠MCP＝90°，
情况一：当∠PNA＝∠CMP＝90°，此时MN与y轴重合，N与O重合，CM⊥MP，如图所示：
故yC＝yM＝6，
∴当y＝6时，﹣2x2﹣4x+6＝6，
解得：x1＝﹣2（舍去），x2＝0，
∴此时M坐标为（0，6），
情况二：当∠PNA＝∠MCP＝90°，如图所示：
此时，△CMP∽△NAP，
又∵△HMC∽△CMP，△OAD∽△NAP，
∴△HMC∽△OAD，
∴，
设M（m，﹣2m2﹣4m+6），其中﹣2≤m≤1，则CH＝m+2，MH＝﹣2m2﹣4m+6﹣6＝﹣2m2﹣4m，
直线AC的解析式为：y＝﹣2x+2．令x＝0，y＝2，
∴OD＝2，
而OA＝1，
∴，
解得：m＝﹣2（舍去）或m＝﹣，
当m＝﹣，﹣2m2﹣4m+6＝，
∴M（﹣，），
综上所述，M（0，6）或M（﹣，）．
2021年湖南省娄底市娄星区中考数学模拟试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）
1．（3分）﹣2021的倒数是（ ）
A．2021 B． C．﹣2021 D．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣b2 B．2a+b＝2ab
C．（a3）2＝a6 D．（﹣2a）2＝﹣4a4
3．（3分）下列结论中，不一定成立的是（ ）
A．平行四边形对边平行
B．平行四边形对角相等
C．平行四边形对角线互相平分
D．平行四边形对角线相等
4．（3分）某地一周七天的最高气温（单位：°C）分别如下：25，20，17，18，14，17，11，这组数据的中位数是（ ）
A．18 B．17 C．14 D．20
5．（3分）如图，AB∥CD，EF交AB于点G，EM平分∠CEF，∠FGB＝70°，则∠BME的度数为（ ）
A．70° B．50° C．65° D．55°
6．（3分）如图，BD与CE相交于点A，DE∥BC，DE：BC＝2：3，则△ABC与△ADE的面积之比为（ ）
A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．9：4
7．（3分）国家统计局2021年1月18日发布数据，2020年我国国内生产总值（GDP）首次突破100万亿元大关，达到101.6万亿元，其中101.6万亿元用科学记数法表示为（ ）
A．1.016×1010元 B．1.016×1012元
C．1.016×1014元 D．1.016×1016元
8．（3分）在下列图形中：等边三角形、平行四边形、等腰直角三角形、矩形，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形 B．平行四边形
C．等腰直角三角形 D．矩形
9．（3分）方程根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．有一个实数根
10．（3分）入射光线和平面镜的夹角为40°，转动平面镜，使入射角减小10°，反射光线与入射光线的夹角和原来相比较将（ ）
A．减小40° B．减小10° C．减小20° D．不变
11．（3分）如图，在⊙O中，OA、OB为半径，AB、AC、BC为弦，若∠OAB＝70°，则∠C的度数为（ ）
A．40° B．70° C．20° D．30°
12．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②2a﹣b＞0；③4a﹣2b+c＜0；④（a+c）2＜b2．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
13．（3分）从，π，0，3.14，，0.2020020002…（两个2之间依次多一个0）这六个数中随机抽取一个，抽到有理数的概率是 ．
14．（3分）函数的自变量x的取值范围是 ．
15．（3分）将7个棱长为1的小立方体摆成如图所示几何体，该几何体的俯视图的面积为 ．
16．（3分）如图，点A，C均在双曲线上运动，AB⊥x轴，AC＝BC，则△ABC的面积是 ．
17．（3分）材料：从A、B、C三人中选取二人当代表，有A和B、A和C、B和C三种不同的选法，抽象成数学模型是：从3个元素中选取2个元素组合，记作．一般地，从m个元素中选取n个元素组合，记作．
问题：从7个人中选取4个人当代表，不同的选法有 种．
18．（3分）如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，摆第n个图案需要 枚棋子．
三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
19．（6分）计算：．
20．（6分）先化简，然后从﹣2，0，1，2中选一个合适的数代入求值．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
21．（8分）为了解中学生对我国传统节日习俗的知晓情况，某校数学兴趣小组在全校开展了随机调查，将调查结果进行量化，量化分数T分成四个层次：A.90≤T≤100，B.80≤T＜90，C.60≤T＜80，D．T＜60，把所得数据绘制成了两个统计图，请根据图中信息解答下列问题：
（1）本次一共随机调查了 名学生，扇形统计图中C所在扇形的圆心角是 度．
（2）计算D层次（T＜60）的学生人数并补全条形统计图．
（3）若该校共有6000名学生，则对我国传统节日习俗知晓（T≥80）的学生大约有多少人？
22．（8分）为积极响应党中央号召，推进乡村振兴，某地区对A、B两地间的公路进行改建，如图，A、B两地间有一座山，汽车原来从A地到B地需要途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶，已知AC＝40千米，∠A＝30°，∠B＝45°．
（1）开通隧道前，汽车从A到B地大约要走多少千米？
（2）开通隧道后，汽车从A到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米，参考数据：，）．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
23．（9分）2021年是中国共产党建党100周年，全国上下正在开展党史学习教育活动．为给党员提供学习资料，某单位计划花6000元购进《论中国共产党历史》和《中国共产党简史》共200本，其中《论中国共产党历史》的价格是26元/本，《中国共产党简史》的价格是42元/本．求：
（1）该单位计划购进《论中国共产党历史》和《中国共产党简史》各多少本？
（2）为节约开支，该单位决定只购进这两种书共100本，总费用不超过3500元．那么，该单位最少要购进《论中国共产党历史》多少本？
24．（9分）已知：如图所示，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC的延长线上一点，过点A作AF∥BE，交线段ED的延长线于点F，连接AE、CF．
（1）求证：AF＝CE；
（2）若AF＝CF＝4，∠AFD＝30°，求EF的长．
六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
25．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC、AC交于点D、E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．
（1）求证：直线DF是⊙O的切线；
（2）求证：BC2＝4CF•AB；
（3）若⊙O的半径为2，∠CDF＝22.5°，求图中阴影部分的面积．
26．（10分）如图，抛物线y＝a（x+3）（x﹣1）与x轴相交于A、B两点（点A在点B右侧），过点A的直线交抛物线于另一点C，点C的坐标为（﹣2，6）．
（1）求a的值及直线AC的函数关系式；
（2）P是线段AC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点M，交x轴于点N．
①求线段PM长度的最大值；
②在抛物线上是否存在这样的点M，使得△CMP与△APN相似？如果存在，请求出满足条件的点M的坐标；如果不存在，请说明理由．
2021年湖南省娄底市娄星区中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）
1．（3分）﹣2021的倒数是（ ）
A．2021 B． C．﹣2021 D．
【分析】直接利用倒数的定义得出答案．
【解答】解：﹣2021的倒数是：﹣．
故选：D．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣b2 B．2a+b＝2ab
C．（a3）2＝a6 D．（﹣2a）2＝﹣4a4
【分析】直接利用完全平方公式以及幂的乘方运算法则、积的乘方运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：A、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故此选项错误；
B、2a+b，无法计算，故此选项错误；
C、（a3）2＝a6，故此选项正确；
D、（﹣2a）2＝4a4，故此选项错误；
故选：C．
3．（3分）下列结论中，不一定成立的是（ ）
A．平行四边形对边平行
B．平行四边形对角相等
C．平行四边形对角线互相平分
D．平行四边形对角线相等
【分析】根据平行四边形的性质进行逐一判断即可．
【解答】解：因为平行四边形的对边平行，对角相等，对角线互相平分，
但是对角线不一定相等，矩形的对角线相等．
所以不一定成立的是D选项．
故选：D．
4．（3分）某地一周七天的最高气温（单位：°C）分别如下：25，20，17，18，14，17，11，这组数据的中位数是（ ）
A．18 B．17 C．14 D．20
【分析】根据中位数的定义直接求解即可．
【解答】解：把这些数从小到大排列为11，14，17，17，18，20，25，
则中位数是17．
故选：B．
5．（3分）如图，AB∥CD，EF交AB于点G，EM平分∠CEF，∠FGB＝70°，则∠BME的度数为（ ）
A．70° B．50° C．65° D．55°
【分析】由平行线的性质得出∠FED＝∠FGB＝70°，由角平分线的定义得出∠CEF＝110°，再由平行线的性质得出即可得出∠BME的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠FED＝∠FGB＝70°，
∴∠CEF＝110°，
∵EM平分∠CEF，
∴∠CEM＝∠CEF＝55°，
∴∠BME＝55°．
故选：D．
6．（3分）如图，BD与CE相交于点A，DE∥BC，DE：BC＝2：3，则△ABC与△ADE的面积之比为（ ）
A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．9：4
【分析】根据两直线平行，得到两组内错角相等，所以△ADE∽△ABC，然后根据面积比等于相似比的平方计算即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠E＝∠C，∠D＝∠B，
∴△ADE∽△ABC，
∵DE：BC＝2：3，
∴，
∴．
故选：D．
7．（3分）国家统计局2021年1月18日发布数据，2020年我国国内生产总值（GDP）首次突破100万亿元大关，达到101.6万亿元，其中101.6万亿元用科学记数法表示为（ ）
A．1.016×1010元 B．1.016×1012元
C．1.016×1014元 D．1.016×1016元
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：101.6万亿元＝1016000亿元＝10600000000000元＝1.016×1014元．
故选：C．
8．（3分）在下列图形中：等边三角形、平行四边形、等腰直角三角形、矩形，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形 B．平行四边形
C．等腰直角三角形 D．矩形
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；
B、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项不合题意；
C、等腰直角三角形是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；
D、矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
9．（3分）方程根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．有一个实数根
【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：∵△＝（2）2﹣4×（﹣3）＝24＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
10．（3分）入射光线和平面镜的夹角为40°，转动平面镜，使入射角减小10°，反射光线与入射光线的夹角和原来相比较将（ ）
A．减小40° B．减小10° C．减小20° D．不变
【分析】要知道入射角和反射角的概念：入射光线与法线的夹角，反射角是反射光线与法线的夹角，在光反射时，反射角等于入射角．
【解答】解：入射光线与平面镜的夹角是40°，所以入射角为90°﹣40°＝50°．
根据光的反射定律，反射角等于入射角，反射角也为50°，所以入射光线与反射光线的夹角是100°．
入射角减小10°，变为50°﹣10°＝40°，所以反射角也变为40°，此时入射光线与法线的夹角为80°．
则反射光线与入射光线间的夹角和原来比较将减小20°．
故选：C．
11．（3分）如图，在⊙O中，OA、OB为半径，AB、AC、BC为弦，若∠OAB＝70°，则∠C的度数为（ ）
A．40° B．70° C．20° D．30°
【分析】先由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠AOB＝40°，再由圆周角定理求解即可．
【解答】解：∵OA＝OB，∠OAB＝70°，
∴∠OBA＝∠OAB＝70°，
∴∠AOB＝180°﹣2×70°＝40°，
∴∠C＝∠AOB＝20°，
故选：C．
12．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②2a﹣b＞0；③4a﹣2b+c＜0；④（a+c）2＜b2．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据函数的图象，可以得到a＜0，b＜0，c＞0，对称轴在x＝﹣1右边，x＝﹣2时和x＝﹣1时对应的函数值的正负，然后通过灵活变形得到题目中各结论所求的式子的结果，然后对照判断各个选项即可解答本题．
【解答】解：①根据函数图象的开口向下知，a＜0，
∵对称轴为直线x＝﹣在y轴左边，
∴﹣＜0，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＞0．
故①正确；
②∵抛物线的对称轴在（﹣1，0）的右边，
∴﹣＞﹣1，
∴＜1，
∵a＜0，
∴b＞2a，
∴2a﹣b＜0，
故②错误；
③由函数图象可知，当x＝﹣2时，y＜0，
即y＝4a﹣2b+c＜0，
故③正确；
④（a+c）2﹣b2＝（a+c+b）（a+c﹣b）＜0，故④正确；
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
13．（3分）从，π，0，3.14，，0.2020020002…（两个2之间依次多一个0）这六个数中随机抽取一个，抽到有理数的概率是 ．
【分析】根据概率公式计算即可；
【解答】解：∵，π，0，3.14，，0.2020020002…（两个2之间依次多一个0）这六个数中有理数有0，3.14，共3个，
∴随机抽取一个，抽到有理数的概率是＝，
故答案为：．
14．（3分）函数的自变量x的取值范围是 x≤1 ．
【分析】根据二次根式的意义，列不等式求x的取值范围．
【解答】解：根据二次根式的意义，
1﹣x≥0，解得x≤1．
15．（3分）将7个棱长为1的小立方体摆成如图所示几何体，该几何体的俯视图的面积为 4 ．
【分析】据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上面看，底层是两个小正方形，上层是两个小正方形，
所以该几何体的俯视图的面积为4．
故答案为：4．
16．（3分）如图，点A，C均在双曲线上运动，AB⊥x轴，AC＝BC，则△ABC的面积是 2 ．
【分析】过点C作CD⊥AB于D，CE⊥x轴于点E，利用点A，C均在双曲线上，设A（a，），C（b，），用A，C的坐标表示相应线段的长度；利用等腰三角形的三线合一的性质得出a，b的关系，由三角形的面积公式计算可得结论．
【解答】解：过点C作CD⊥AB于D，CE⊥x轴于点E，如下图：
∵点A，C均在双曲线上运动，
∴设A（a，），C（b，）．
∴OB＝a，OE＝b，AB＝，CE＝．
∴BE＝OE﹣OB＝b﹣a．
∵CD⊥AB，CE⊥x轴，AB⊥x轴，
∴四边形DBEC为矩形．
∴BD＝CE＝，CD＝BE＝b﹣a．
∵AC＝BC，CD⊥AB，
∴AB＝2BD．
∴．
∴b＝2a．
∴＝××（b﹣a）＝××a＝2．
故答案为：2．
17．（3分）材料：从A、B、C三人中选取二人当代表，有A和B、A和C、B和C三种不同的选法，抽象成数学模型是：从3个元素中选取2个元素组合，记作．一般地，从m个元素中选取n个元素组合，记作．
问题：从7个人中选取4个人当代表，不同的选法有 35 种．
【分析】根据材料的计算方法，即可得出结论．
【解答】解：由题意得，从7个人中选取4个人当代表，不同的选法有＝＝35（种），
故答案为35．
18．（3分）如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，摆第n个图案需要 （3n2+3n+1） 枚棋子．
【分析】本题可依次解出n＝1，2，3，…，图案需要的棋子枚数．再根据规律以此类推，可得出第n个图案需要的棋子枚数．
【解答】解：∵n＝1时，总数是6+1＝7；
n＝2时，总数为6×（1+2）+1＝19；
n＝3时，总数为6×（1+2+3）+1＝37枚；
…；
∴n＝n时，有6×（1+2+3+…n）+1＝6×+1＝（3n2+3n+1）枚．
故答案为：（3n2+3n+1）．
三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
19．（6分）计算：．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝﹣1+1﹣2×+2021
＝﹣1+1﹣+2021
＝2021．
20．（6分）先化简，然后从﹣2，0，1，2中选一个合适的数代入求值．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则运算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝[+]•
＝•
＝•
＝
＝，
∵x＝﹣2，0，2时，原式没有意义，
∴当x＝1时，原式＝＝﹣6．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
21．（8分）为了解中学生对我国传统节日习俗的知晓情况，某校数学兴趣小组在全校开展了随机调查，将调查结果进行量化，量化分数T分成四个层次：A.90≤T≤100，B.80≤T＜90，C.60≤T＜80，D．T＜60，把所得数据绘制成了两个统计图，请根据图中信息解答下列问题：
（1）本次一共随机调查了 200 名学生，扇形统计图中C所在扇形的圆心角是 54 度．
（2）计算D层次（T＜60）的学生人数并补全条形统计图．
（3）若该校共有6000名学生，则对我国传统节日习俗知晓（T≥80）的学生大约有多少人？
【分析】（1）根据A的人数和所占的百分比求出总人数，用360°乘以C所占的百分比即可得出答案；
（2）用总人数减去其它层次的人数求出D层次（T＜60）的学生人数，再补全统计图即可；
（3）用总人数乘以（T≥80）的学生所占的百分比即可．
【解答】解：（1）本次一共随机调查的学生数是：60÷30%＝200（名），
扇形统计图中C所在扇形的圆心角是：360°×＝54°；
故答案为：200，54；
（2）D层次（T＜60）的学生人数有：200﹣60﹣100﹣30＝10（人），补全统计图如下：
（3）6000×＝4800（人），
答：对我国传统节日习俗知晓（T≥80）的学生大约有4800人．
22．（8分）为积极响应党中央号召，推进乡村振兴，某地区对A、B两地间的公路进行改建，如图，A、B两地间有一座山，汽车原来从A地到B地需要途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶，已知AC＝40千米，∠A＝30°，∠B＝45°．
（1）开通隧道前，汽车从A到B地大约要走多少千米？
（2）开通隧道后，汽车从A到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米，参考数据：，）．
【分析】（1）开通隧道前，汽车从A地到B地要走的距离为AC+BC的长，利用角的正弦值和余弦值即可算出．
（2）开通隧道后，汽车从A地到B地要走的距离为AB的长，汽车从A地到B地比原来少走的路程为AC+BC﹣AB的长，利用角的余弦值和正切值即可算出．
【解答】解：（1）如图，过点C作AB的垂线CD，垂足为D，
∵AB⊥CD，AC＝40千米，∠A＝30°，∠B＝45°．
∴BD＝CD＝AC＝20千米，
∴BC＝CD＝20（千米），
∴AC+BC＝40+20≈40+1.41×20＝68.2（千米）．
∴开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走68.2千米；
（2）∵AD＝AC•cos30°＝40×＝20（千米），
∴BD＝CD＝AC＝40×＝20（千米），
∴AB＝AD+BD＝20+20≈20×1.73+20＝54.6（千米）．
∴汽车从A地到B地比原来少走的路程为：
AC+BC﹣AB＝68.2﹣54.6＝13.6（千米）．
∴开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走13.6千米．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
23．（9分）2021年是中国共产党建党100周年，全国上下正在开展党史学习教育活动．为给党员提供学习资料，某单位计划花6000元购进《论中国共产党历史》和《中国共产党简史》共200本，其中《论中国共产党历史》的价格是26元/本，《中国共产党简史》的价格是42元/本．求：
（1）该单位计划购进《论中国共产党历史》和《中国共产党简史》各多少本？
（2）为节约开支，该单位决定只购进这两种书共100本，总费用不超过3500元．那么，该单位最少要购进《论中国共产党历史》多少本？
【分析】（1）设计划购进《论中国共产党历史》x本，由“6000元购进《论中国共产党历史》和《中国共产党简史》共200本”，列出方程，可求解；
（2）设计划购进《论中国共产党历史》a本，由“总费用不超过3500元”，列出不等式，可求解．
【解答】解：（1）设计划购进《论中国共产党历史》x本，
由题意可得：26x+42（200﹣x）＝6000，
解得：x＝150，
∴x﹣150＝50（本），
答：该单位计划购进《论中国共产党历史》150本，《中国共产党简史》50本；
（2）设计划购进《论中国共产党历史》a本，
由题意可得：26x+42（100﹣x）≤3500，
解得：x≥，
答：该单位最少要购进《论中国共产党历史》44本．
24．（9分）已知：如图所示，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC的延长线上一点，过点A作AF∥BE，交线段ED的延长线于点F，连接AE、CF．
（1）求证：AF＝CE；
（2）若AF＝CF＝4，∠AFD＝30°，求EF的长．
【分析】（1）利用AAS证明△ADF≌△CDE可得AF＝CE；
（2）先判断四边形AFCE为菱形，由菱形的性质结合勾股定理可求解．
【解答】（1）证明：∵D点为AC的中点，
∴AD＝CD，
∵AF∥BE，
∴∠FAD＝∠ECD，
在△ADF和△CDE中，
，
∴△ADF≌△CDE（AAS），
∴AF＝CE；
（2）∵AF∥BE，AF＝CE，
∴四边形AFCE为平行四边形，
∵AF＝CF＝4，
∴四边形AFCE为菱形，
∴AD⊥EF，EF＝2FD，
∵∠AFD＝30°，
∴AD＝AF＝2，
∴FD＝，
∴EF＝2FD＝．
六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
25．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC、AC交于点D、E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．
（1）求证：直线DF是⊙O的切线；
（2）求证：BC2＝4CF•AB；
（3）若⊙O的半径为2，∠CDF＝22.5°，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OD，由DF⊥AC，证明OD∥AC即可；
（2）连接AD，由△ADC∽△DFC，可得＝，即CD2＝CF•AC，再证明CD＝BC即可；
（3）连接AD，OE，根据已知求出∠AOE＝90°，从而可得S扇形AOE和S△AOE，即可得到答案．
【解答】解：（1）连接OD，如图：
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB，
∴∠C＝∠ODB，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥AC，
∴直线DF是⊙O的切线；
（2）连接AD，如图：
∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵DF⊥AC，
∴∠DAC＝90°﹣∠ADF＝∠FDC，
而∠C＝∠C，
∴△ADC∽△DFC，
∴＝，即CD2＝CF•AC，
∵AB＝AC，∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴CD＝BC，
∴（BC）2＝CF•AB，
∴BC2＝4CF•AB；
（3）连接AD，OE，如图：
∵DF⊥AC，∠CDF＝22.5°，
∴∠C＝∠B＝67.5°，
∴∠BAC＝45°，
∵OA＝OE，
∴∠AOE＝90°，
∵⊙O的半径为2，
∴S扇形AOE＝π，S△AOE＝2，
∴S阴影＝S扇形AOE﹣S△AOE＝π﹣2．
26．（10分）如图，抛物线y＝a（x+3）（x﹣1）与x轴相交于A、B两点（点A在点B右侧），过点A的直线交抛物线于另一点C，点C的坐标为（﹣2，6）．
（1）求a的值及直线AC的函数关系式；
（2）P是线段AC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点M，交x轴于点N．
①求线段PM长度的最大值；
②在抛物线上是否存在这样的点M，使得△CMP与△APN相似？如果存在，请求出满足条件的点M的坐标；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点C的坐标为（﹣2，6）代入抛物线解析式中即可求出a，令y＝0，求出A点坐标即可求出直线AC解析式；
（2）①设M点坐标为（m，﹣2m2﹣4m+6），表示出PM的长即可找到PM最大值；
②为使得△CMP与△APN相似，分情况讨论∠PNA＝∠CMP＝90°或∠PNA＝∠MCP＝90°时M不同位置，利用相似三角形性质即可求出M点的坐标．
【解答】解：（1）将点C的坐标为（﹣2，6）代入抛物线y＝a（x+3）（x﹣1）中，
∴6＝a（﹣2+3）（﹣2﹣1），
解得：a＝﹣2，
∴抛物线解析式为：y＝﹣2（x+3）（x﹣1）＝﹣2x2﹣4x+6，
令y＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1，
∴A（1，0），B（﹣3，0），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，将A、C两点坐标代入得；
，
解得：，
∴直线AC的解析式为：y＝﹣2x+2．
（2）①设P点的横坐标为m（﹣2≤m≤1），
则P（m，﹣2m+2），M（m，﹣2m2﹣4m+6），
∴PM＝﹣2m2﹣4m+6﹣（﹣2m+2）＝﹣2（m+）2+，
∵﹣2＜0，
∴当m＝﹣时，PMmax＝，
②存在，M（0，6）或M（﹣，），理由如下：
∵∠APN＝∠CPM，∠PNA＝90°，
∴要使△CMP与△APN相似，则使∠PNA＝∠CMP＝90°或∠PNA＝∠MCP＝90°，
情况一：当∠PNA＝∠CMP＝90°，此时MN与y轴重合，N与O重合，CM⊥MP，如图所示：
故yC＝yM＝6，
∴当y＝6时，﹣2x2﹣4x+6＝6，
解得：x1＝﹣2（舍去），x2＝0，
∴此时M坐标为（0，6），
情况二：当∠PNA＝∠MCP＝90°，如图所示：
此时，△CMP∽△NAP，
又∵△HMC∽△CMP，△OAD∽△NAP，
∴△HMC∽△OAD，
∴，
设M（m，﹣2m2﹣4m+6），其中﹣2≤m≤1，则CH＝m+2，MH＝﹣2m2﹣4m+6﹣6＝﹣2m2﹣4m，
直线AC的解析式为：y＝﹣2x+2．令x＝0，y＝2，
∴OD＝2，
而OA＝1，
∴，
解得：m＝﹣2（舍去）或m＝﹣，
当m＝﹣，﹣2m2﹣4m+6＝，
∴M（﹣，），
综上所述，M（0，6）或M（﹣，）．
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