还剩39页未读，
继续阅读
2022年广东省深圳市中考数学终极押题密卷 (2)(word版含答案)
展开
这是一份2022年广东省深圳市中考数学终极押题密卷 (2)(word版含答案)，共42页。
2022年深圳中考数学终极押题密卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2021秋•徐州期末）一个正方体的表面展开图如图所示，将其围成正方体后，“战”字对面的字是（ ）
A．早 B．胜 C．疫 D．情
2．（3分）（2022•广西模拟）下列数中，﹣2的相反数是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
3．（3分）（2022春•兴庆区校级月考）不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（3分）（2022•拱墅区模拟）某学习小组有15人参加捐款，其中小明的捐款数比15人捐款的平均数多2元，据此可知，下列说法错误的是（ ）
A．小明的捐款数不可能最少
B．小明的捐款数可能最多
C．将捐款数按从少到多排列，小明的捐款数一定比第8名多
D．将捐款数按从少到多排列，小明的捐款数可能排在第14位
5．（3分）（2021秋•西青区期末）下列计算结果正确的是（ ）
A．（a3）4＝a12 B．a3•a3＝a9
C．（﹣2a）2＝﹣4a2 D．（ab）2＝ab2
6．（3分）（2021秋•慈利县期末）在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2＝0，则∠C的度数是（ ）
A．45° B．75° C．105° D．120°
7．（3分）（2021秋•岑溪市期末）甲、乙二人同时同地出发，都以不变的速度在300米环形跑道上奔跑，若反向而行，每隔20s相遇一次，若同向而行，则每隔300s相遇一次，已知甲比乙跑得快，设甲每秒跑x米，乙每秒跑y米，则可列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（3分）（2021秋•兰考县期末）在高为60m的小山上，测得山底一建筑物顶端与底部的俯角分别是30°和60°，则这个建筑物的高度是（ ）
A．20m B．30m C．40m D．50m
9．（3分）（2021秋•蓬溪县期末）抛物线y＝2（x﹣3）2+2的顶点坐标是（ ）
A．（﹣3，2） B．（3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（3，﹣2）
10．（3分）（2021秋•拱墅区期末）如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP，设OP与x轴正半轴所夹的锐角为α，则锐角α的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）（2022•张家界一模）分解因式：ax2﹣2axy+ay2＝ ．
12．（3分）（2021秋•大连期末）若x＝1是一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一个根，则m＝ ．
13．（3分）（2021秋•长沙期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，DE垂直平分AC，交BC于点E，CE＝2，则BC＝ ．
14．（3分）（2022•金平区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，△ABC为等腰直角三角形，CB＝CA＝5，点C的坐标为（0，3），点B在x轴正半轴上，点A在第三象限，且在反比例函数（x＜0）的图象上则k的值为 ．
15．（3分）（2022春•长汀县期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．E为线段BD上一点，连结CE，将边BC沿CE折叠，使点B的对称点B'落在CD的延长线上，若AB＝5，BC＝4，则△ACE的面积为 ．
三．解答题（共7小题，满分55分）
16．（6分）（2021秋•思明区校级期末）先化简，再求值：，其中x＝2+．
17．（6分）（2021秋•杭州期末）如图，△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，P是上一点，且∠BAC＝30°．
（1）求∠APC的度数；
（2）若⊙O的半径为6，求的长（结果保留π）．
18．（8分）（2021春•永年区月考）2020年初，为积极响应教育部“停课不停学”的号召，某中学组织本校优秀教师开展线上教学，经过近三个月的线上授课后，在五月初复学．该校为了解学生不同阶段学习效果，决定随机抽取八年级部分学生进行两次跟踪测评，第一次是复学初对线上教学质量测评，第二次是复学一个月后教学质量测评．根据第一次测试的数学成绩制成频数分布直方图（图1）．
复学一个月后，根据第二次测试的数学成绩得到如下统计表：
成绩
30≤x＜40
40≤x＜50
50≤x＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
人数
1
3
3
8
15
m
6
根据以上图表信息，完成下列问题：
（1）m＝ ；
（2）请在图2中作出两次测试的数学成绩折线图，并对两次成绩作出对比分析（用一句话概述）；
（3）某同学第二次测试数学成绩为78分．这次测试中，分数高于78分的至少有多少人？至多有多少人？
（4）请估计复学一个月后该校800名八年级学生数学成绩优秀（80分及以上）的人数．
19．（8分）（2021秋•河口区期末）已知：∠A＝90°，∠ADE＝120°，BD平分∠ADE，AD＝DE．
（1）△BAD与△BED全等吗？请说明理由；
（2）若DE＝2，试求AC与EC的长．
20．（8分）（2021秋•炎陵县期末）攀枝花得天独厚，气候宜人，农产品资源极为丰富，其中晚熟芒果远销北上广等大城市．某水果店购进一批优质晚熟芒果，进价为10元/千克，售价不低于15元/千克，且不超过40元/千克，根据销售情况，发现该芒果在一天内的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）之间的数量满足如下表所示的一次函数关系．
售价x（元/千克）
…
27.5
25
24.5
22
…
销售量y（千克）
…
32.5
35
35.5
38
…
（1）某天这种芒果售价为28元/千克．求当天该芒果销售量
（2）设某天销售这种芒果获利m元，写出m与售价x之间的函数关系式．如果水果店该天获利400元，那么这天芒果的售价为多少元？
21．（9分）（2021秋•成华区期末）如图1，直线y＝﹣x+4与x，y轴的交点分别为点A，B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象的两交点分别为点C，D，点M是反比例函数上一动点．
（1）求△OCD的面积；
（2）是否存在点M，使得△ODM∽△OAD？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）过点M分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为E，F，是否存在点M，使得矩形OEMF与△OCD的重叠部分的面积S等于？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（10分）（2022•永城市校级一模）数学课上，王老师出示了这样一个问题：如图1，在矩形ABCD中，AD＝2AB，E是AB延长线上一点，且BE＝AB，连接DE，交BC于点M，以DE为一边在DE的左下方作正方形DEFG，连接AM．试判断线段AM与DE的位置关系．
探究展示：小明发现，AM垂直平分DE，并展示了如下的证明方法：
证明：∵BE＝AB，∴AE＝2AB．
∵AD＝2AB，∴AD＝AE．
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC．
∴＝（依据1）
∵BE＝AB，∴＝1．∴EM＝DM．
即AM是△ADE的DE边上的中线，
又∵AD＝AE，∴AM⊥DE．（依据2）
∴AM垂直平分DE．
反思交流：
（1）①上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？
②试判断图1中的点A是否在线段GF的垂直平分线上，请直接回答，不必证明；
（2）小颖受到小明的启发，继续进行探究，如图2，连接CE，以CE为一边在CE的左下方作正方形CEFG，发现点G在线段BC的垂直平分线上，请你给出证明；
拓展应用：
（3）如图3，连接CE，以CE为一边在CE的右上方作正方形CEFG，分别以点B，C为圆心，m为半径作弧，两弧交于点M，连接MF．若MF＝AB＝1，请直接写出m的值．
2022年深圳中考数学终极押题密卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2021秋•徐州期末）一个正方体的表面展开图如图所示，将其围成正方体后，“战”字对面的字是（ ）
A．早 B．胜 C．疫 D．情
【考点】专题：正方体相对两个面上的文字．
【专题】探究型；空间观念．
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“战”字对面的字是“情”．
故选：D．
【点评】本题考查了正方体的展开图，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
2．（3分）（2022•广西模拟）下列数中，﹣2的相反数是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
【考点】相反数．
【专题】实数；运算能力．
【分析】根据只有符号不同的两个数是互为相反数，找出﹣2的相反数，然后选择答案即可．
【解答】解：﹣2的相反数的是2．
故选：A．
【点评】本题主要考查了相反数的定义，熟记定义是解题的关键．
3．（3分）（2022春•兴庆区校级月考）不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】在数轴上表示不等式的解集．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；符号意识．
【分析】先把不等式组的解集在数轴上表示出来，找出符合条件的选项即可．
【解答】解：不等式组的解集为1≤x≤3，
在数轴上的表示为：
故选：A．
【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
4．（3分）（2022•拱墅区模拟）某学习小组有15人参加捐款，其中小明的捐款数比15人捐款的平均数多2元，据此可知，下列说法错误的是（ ）
A．小明的捐款数不可能最少
B．小明的捐款数可能最多
C．将捐款数按从少到多排列，小明的捐款数一定比第8名多
D．将捐款数按从少到多排列，小明的捐款数可能排在第14位
【考点】算术平均数．
【专题】统计与概率；数据分析观念．
【分析】根据题意和算术平均数的含义，可以判断各个选项中的说法是否正确．
【解答】解：∵小明的捐款数比15人捐款的平均数多2元，
∴小明的捐款数不可能最少，故选项A正确；
小明的捐款数可能最多，故选项B正确；
将捐款数按从少到多排列，小明的捐款数不一定比第8名多，故选项C错误；
将捐款数按从少到多排列，小明的捐款数可能排在第14位，故选项D正确；
故选：C．
【点评】本题考查算术平均数，解答本题的关键是明确题意，可以判断各个选项中的说法是否正确．
5．（3分）（2021秋•西青区期末）下列计算结果正确的是（ ）
A．（a3）4＝a12 B．a3•a3＝a9
C．（﹣2a）2＝﹣4a2 D．（ab）2＝ab2
【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．
【专题】整式；运算能力．
【分析】根据幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法即可求出答案．
【解答】解：A、原式＝a12，故A符合题意．
B、原式＝a6，故B不符合题意．
C、原式＝4a2，故C不符合题意．
D、原式＝a2b2，故D不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法，本题属于基础题型．
6．（3分）（2021秋•慈利县期末）在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2＝0，则∠C的度数是（ ）
A．45° B．75° C．105° D．120°
【考点】特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．
【分析】根据非负数的性质列出关系式，根据特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：由题意得，sinA﹣＝0，﹣cosB＝0，
即sinA＝，＝cosB，
解得，∠A＝30°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°，
故选：C．
【点评】本题考查的是非负数的性质的应用、特殊角的三角函数值的计算和三角形内角和定理的应用，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
7．（3分）（2021秋•岑溪市期末）甲、乙二人同时同地出发，都以不变的速度在300米环形跑道上奔跑，若反向而行，每隔20s相遇一次，若同向而行，则每隔300s相遇一次，已知甲比乙跑得快，设甲每秒跑x米，乙每秒跑y米，则可列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【分析】利用路程＝速度×时间，结合“若反向而行，每隔20s相遇一次，若同向而行，则每隔300s相遇一次”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵若反向而行，每隔20s相遇一次，且环形跑道的长度为300米，
∴20x+20y＝300；
∵若同向而行，则每隔300s相遇一次，且环形跑道的长度为300米，
∴300x﹣300y＝300．
∴依照题意，可列方程组．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
8．（3分）（2021秋•兰考县期末）在高为60m的小山上，测得山底一建筑物顶端与底部的俯角分别是30°和60°，则这个建筑物的高度是（ ）
A．20m B．30m C．40m D．50m
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】应用题；解直角三角形及其应用；推理能力．
【分析】作CE⊥AB，根据∠DAB可以求得CE的长，根据CE即可求得AE的长，根据CD＝BE＝AB﹣AE即可解题．
【解答】解：如图，作CE⊥AB，
根据题意可知：∠DAB＝90°﹣60°＝30°，AB＝60m，∠ACE＝30°，
∴BD＝AB×tan30°＝60×＝20（m），
∴CE＝BD＝20m，
∵∠ACE＝30°，
∴AE＝CEtan30°＝20×＝20（m），
∴CD＝BE＝AB﹣AE＝60﹣20＝40（m），
故选：C．
【点评】本题考查了查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，特殊角的三角函数值，本题中求得BD的长是解题的关键．
9．（3分）（2021秋•蓬溪县期末）抛物线y＝2（x﹣3）2+2的顶点坐标是（ ）
A．（﹣3，2） B．（3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（3，﹣2）
【考点】二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；符号意识．
【分析】根据y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k）可得答案．
【解答】解：抛物线y＝2（x﹣3）2+2的顶点坐标是（3，2），
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h．
10．（3分）（2021秋•拱墅区期末）如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP，设OP与x轴正半轴所夹的锐角为α，则锐角α的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】解直角三角形；坐标与图形性质．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【分析】要求锐角α的正弦值，想到构造直角三角形，所以过点P作PA⊥x轴，垂足为A，然后在Rt△OAP中即可解答．
【解答】解：过点P作PA⊥x轴，垂足为A，
∵P（3，4），
∴OA＝3，AP＝4，
∴OP＝＝＝5，
在Rt△OAP中，sinα＝＝，
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形，坐标与图形的性质，根据题目的已知条件并结合图形构造直角三角形，是解题的关键．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）（2022•张家界一模）分解因式：ax2﹣2axy+ay2＝ a（x﹣y）2 ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】先提取公因式a，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2．
【解答】解：ax2﹣2axy+ay2，
＝a（x2﹣2xy+y2），
＝a（x﹣y）2．
故答案为：a（x﹣y）2．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
12．（3分）（2021秋•大连期末）若x＝1是一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一个根，则m＝ 2 ．
【考点】一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；推理能力．
【分析】将x＝1代入方程得到关于m的方程，从而可求得m的值．
【解答】解：将x＝1代入得：1﹣3+m＝0，
解得：m＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
13．（3分）（2021秋•长沙期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，DE垂直平分AC，交BC于点E，CE＝2，则BC＝ 3 ．
【考点】含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出AE＝CE＝2，根据等腰三角形的性质求出∠EAC＝∠C＝30°，求出∠BAE＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质求出BE，再求出BC即可．
【解答】解：∵DE垂直平分AC，CE＝2，
∴AE＝CE＝2，
∴∠EAC＝∠C，
∵∠B＝90°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝90°﹣∠C＝60°，∠EAC＝30°，
∴∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC＝30°，
∴BE＝AE＝1，
∴BC＝BE+CE＝1+2＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点，能熟记线段垂直平分线的性质和含30°角的直角三角形的性质是解此题的关键．
14．（3分）（2022•金平区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，△ABC为等腰直角三角形，CB＝CA＝5，点C的坐标为（0，3），点B在x轴正半轴上，点A在第三象限，且在反比例函数（x＜0）的图象上则k的值为 3 ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；等腰直角三角形．
【专题】反比例函数及其应用；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【分析】如图，作AH⊥y轴于H．构造全等三角形即可解决问题．
【解答】解：如图，作AH⊥y轴于H．
∵CA＝CB，∠AHC＝∠BOC，∠ACH＝∠CBO，
∴△ACH≌△CBO，
∴AH＝OC，CH＝OB，
∵C（0，3），BC＝5，
∴OC＝3，OB＝＝4，
∴CH＝OB＝4，AH＝OC＝3，
∴OH＝1，
∴A（﹣3，﹣1），
∵点A在y＝上，
∴k＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查反比例函数的应用、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
15．（3分）（2022春•长汀县期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．E为线段BD上一点，连结CE，将边BC沿CE折叠，使点B的对称点B'落在CD的延长线上，若AB＝5，BC＝4，则△ACE的面积为 ．
【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【分析】由勾股定理得AC＝3，再由面积法求出CD＝，则BD＝＝，然后由折叠的性质得B'C＝BC＝8，BE＝B'E，则B'D＝B'C﹣CD＝，设BE＝B'E＝x，则DE＝BD﹣BE＝﹣x，在Rt△B'DE中，由勾股定理得出方程（）2+（﹣x）2＝x2，解得x＝2，即可解决问题．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4，
∴AC＝＝＝3，
∵CD⊥AB，
∴2S△ABC＝AB•CD＝AC•BC，
∴CD＝＝＝，
在Rt△BCD中，BD＝＝＝，
∵将边BC沿CE折叠，使点B的对称点B'落在CD的延长线上，
∴B'C＝BC＝8，BE＝B'E，
∴B'D＝B'C﹣CD＝4﹣＝，
设BE＝B'E＝x，则DE＝BD﹣BE＝﹣x，
在Rt△B'DE中，由勾股定理得：B'D2+DE2＝B'E2，
即（）2+（﹣x）2＝x2，
解得：x＝2，
∴BE＝2，
∴AE＝AB﹣BE＝5﹣2＝3，
∴△ACE的面积＝AE•CD＝×3×＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了翻折变换的性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握翻折变换的性质，由勾股定理求出BE的长是解题的关键．
三．解答题（共7小题，满分55分）
16．（6分）（2021秋•思明区校级期末）先化简，再求值：，其中x＝2+．
【考点】分式的化简求值．
【专题】计算题；分式；运算能力．
【分析】先将小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的乘法，最后代入求值．
【解答】解：原式＝[]
＝
＝
＝，
当x＝2+时，
原式＝＝＝2+1．
【点评】本题考查分式的化简求值，分母有理化计算，理解二次根式的性质，掌握分式混合运算的运算顺序（先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的）和计算法则是解题关键．
17．（6分）（2021秋•杭州期末）如图，△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，P是上一点，且∠BAC＝30°．
（1）求∠APC的度数；
（2）若⊙O的半径为6，求的长（结果保留π）．
【考点】三角形的外接圆与外心；弧长的计算；圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【分析】（1）首先根据等腰三角形的性质计算出∠B＝75°，再根据圆内接四边形的对角互补可得答案；
（2）连接OA，OC，根据圆周角定理得到∠AOC＝2∠B＝150°，根据弧长公式即可得到结论．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B，
∵∠BAC＝30°，
∴∠B＝＝75°，
∴∠APB＝180°﹣75°＝105°，
（2）连接OA，OC，
∵∠B＝75°，
∴∠AOC＝2∠B＝150°，
∴的长＝＝5π．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，弧长的计算，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
18．（8分）（2021春•永年区月考）2020年初，为积极响应教育部“停课不停学”的号召，某中学组织本校优秀教师开展线上教学，经过近三个月的线上授课后，在五月初复学．该校为了解学生不同阶段学习效果，决定随机抽取八年级部分学生进行两次跟踪测评，第一次是复学初对线上教学质量测评，第二次是复学一个月后教学质量测评．根据第一次测试的数学成绩制成频数分布直方图（图1）．
复学一个月后，根据第二次测试的数学成绩得到如下统计表：
成绩
30≤x＜40
40≤x＜50
50≤x＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
人数
1
3
3
8
15
m
6
根据以上图表信息，完成下列问题：
（1）m＝ 14 ；
（2）请在图2中作出两次测试的数学成绩折线图，并对两次成绩作出对比分析（用一句话概述）；
（3）某同学第二次测试数学成绩为78分．这次测试中，分数高于78分的至少有多少人？至多有多少人？
（4）请估计复学一个月后该校800名八年级学生数学成绩优秀（80分及以上）的人数．
【考点】频数（率）分布折线图；用样本估计总体；频数（率）分布表；频数（率）分布直方图．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【分析】（1）根据频数之和为样本容量进行计算即可；
（2）根据频数可绘制折线统计图；并根据折线的变化趋势得出判断；
（3）根据频数分布情况进行“极值”判断即可；
（4）求出“优秀”所占得百分比即可．
【解答】解：（1）由图1可知，调查人数为2+8+10+15+10+4+1＝50（人），
m＝50﹣1﹣3﹣3﹣8﹣15﹣6＝14；
故答案为：14；
（2）折线图如下图所示，
复学后，学生的成绩总体上有了明显的提升；
（3）某同学第二次测试数学成绩为78分，
这次测试中，分数高于78分的至少有14+6＝20（人），
至多有14+6+（15﹣1）＝34（人），
答：这次测试中，分数高于78分的至少有20人，至多有34人；
（4）800×＝320（人），
答：复学一个月后该校800名八年级学生数学成绩优秀（80分）及以上的有320人．
【点评】本题考查频数分布直方图，掌握频数、频率、总数之间的关系是解决问题的前提．
19．（8分）（2021秋•河口区期末）已知：∠A＝90°，∠ADE＝120°，BD平分∠ADE，AD＝DE．
（1）△BAD与△BED全等吗？请说明理由；
（2）若DE＝2，试求AC与EC的长．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】（1）由“SAS”可证△ADB≌△EDB；
（2）由全等三角形的性质可得∠A＝∠DEB＝90°，AD＝DE＝2，由直角三角形的性质可求解．
【解答】解：（1）△BAD与△BED全等，
理由如下：∵BD平分∠ADE，
∴∠ADB＝∠BDE＝60°，
在△ADB和△EDB中，
，
∴△ADB≌△EDB（SAS）；
（2）∵△ADB≌△EDB，
∴∠A＝∠DEB＝90°，AD＝DE＝2，
∵∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝180°﹣120°＝60°，
∴∠C＝30°，
∴CD＝2DE＝4，CE＝DE＝2，
∴AC＝AD+CD＝6．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
20．（8分）（2021秋•炎陵县期末）攀枝花得天独厚，气候宜人，农产品资源极为丰富，其中晚熟芒果远销北上广等大城市．某水果店购进一批优质晚熟芒果，进价为10元/千克，售价不低于15元/千克，且不超过40元/千克，根据销售情况，发现该芒果在一天内的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）之间的数量满足如下表所示的一次函数关系．
售价x（元/千克）
…
27.5
25
24.5
22
…
销售量y（千克）
…
32.5
35
35.5
38
…
（1）某天这种芒果售价为28元/千克．求当天该芒果销售量
（2）设某天销售这种芒果获利m元，写出m与售价x之间的函数关系式．如果水果店该天获利400元，那么这天芒果的售价为多少元？
【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以计算出该芒果在一天内的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）之间的函数关系式，然后将x＝28代入求出相应的y的值即可；
（2）根据题意和（1）中的函数解析式，可以写出获利m与售价x之间的函数关系式，然后将m＝400代入求出相应的x的值即可，注意x的取值范围．
【解答】解：（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b，
，
解得，
即一次函数的解析式为y＝﹣x+60（15≤x≤40），
当x＝28时，y＝﹣28+60＝32，
答：芒果售价为28元/千克时，当天该芒果的销售量为32千克；
（2）由题意可得：m＝y（x﹣10）＝（﹣x+60）（x﹣10）＝﹣x2+70x﹣600，
当m＝400时，﹣x2+70x﹣600＝400，
解得x1＝20，x2＝50，
∵15≤x≤40，
∴x＝20，
答：获利m与售价x之间的函数关系式是m＝﹣x2+70x﹣600，如果水果店该天获利400元，那么这天芒果的售价为20元．
【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，列出相应的方程．
21．（9分）（2021秋•成华区期末）如图1，直线y＝﹣x+4与x，y轴的交点分别为点A，B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象的两交点分别为点C，D，点M是反比例函数上一动点．
（1）求△OCD的面积；
（2）是否存在点M，使得△ODM∽△OAD？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）过点M分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为E，F，是否存在点M，使得矩形OEMF与△OCD的重叠部分的面积S等于？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】反比例函数综合题．
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【分析】（1）先求点B的坐标为（0，4），点C坐标为（，3），点D坐标为（3，），过点D作DH⊥OB于点H，得S△DCO＝S△OBD﹣S△OBC＝××﹣×4×＝8；
（2）存在点M，使得△ODM∽△OAD，假设存在点M，使得△ODM∽△OAD，此时∠MDO＝45°，以OD为直角边构建等腰直角△NOD，过点N作NP⊥OB于点P，过点D作DQ⊥OA于点Q，先证明△NPO≌△DQO，得点N的坐标为（﹣，3），先求直线DN的函数关系式为：y＝﹣x+，再解方程组：，得点M坐标为（，），再通过计算得AD：OA＝DM：OD，且∠MDO＝∠DAO＝45°，即可证出△MOD∽DOA；
（3）如图，重叠面积为四边形MSOT，设点M坐标为（m，），先表示出点T的坐标为（m，m），点S的坐标为（，），根据矩形OEMF与△OCD的重叠部分的面积S等于，得方程6﹣××﹣×m×＝，即可求解．
【解答】解：（1）当y＝﹣x+4＝0时，x＝4，
∴点B的坐标为（0，4），
解方程组：，
得：或，
∴点C坐标为（，3），点D坐标为（3，），
过点C作CG⊥OB于点G，过点D作DH⊥OB于点H，
∴S△DCO＝S△OBD﹣S△OBC＝××﹣×4×＝8；
（2）存在点M，使得△ODM∽△OAD，
假设存在点M，使得△ODM∽△OAD，此时∠MDO＝45°，
以OD为直角边构建等腰直角△NOD，过点N作NP⊥OB于点P，过点D作DQ⊥OA于点Q，
∴∠NOP+∠POD＝∠DOQ+∠POD＝90°，
∴∠NOP＝∠DOQ，
∵∠NPO＝∠DQO＝90°，NO＝DO，
∴△NPO≌△DQO（AAS），
∴PN＝QD＝，PO＝QO＝3，
∴点N的坐标为（﹣，3），
设直线DN的关系式为：y＝kx+b，
把点D（3，），N（﹣，3）代入，
，
解得：，
直线DN的函数关系式为：y＝﹣x+，
解方程组：，
解得：或，
∴点M坐标为（，），
∴DM＝＝，
OD＝＝2，
OA＝4，
AD＝＝2，
∴AD：OA＝2：4＝：4；DM：OD＝：2＝：4，
∴AD：OA＝DM：OD，且∠MDO＝∠DAO＝45°，
∴△MOD∽DOA，此时M点坐标为（，）；
（3）如图，重叠面积为四边形MSOT，设点M坐标为（m，），
根据点D坐标为（3，），得OD的关系式为：y＝x，
当x＝m时，y＝m，
∴点T的坐标为（m，m），
∴OE＝m，TE＝m，
根据点C坐标为（，3），得OC的关系式为：y＝3x，
当y＝时，3x＝，
解得：x＝，
∴点S的坐标为（，），
∴SF＝，OF＝，
∵矩形OEMF与△OCD的重叠部分的面积S等于，
∴6﹣××﹣×m×＝，
化简得，m4﹣13m2+36＝0，
解得：m＝±2或±3，
∵m＞0，
∴m＝2或3，
∴m点坐标为（2，3）或（3，2）．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数图象交点，三角形面积求法，一次函数解析式求法，三角形全等的判定与性质，解题关键是构建等腰直角三角形，运用方程思想解决问题．
22．（10分）（2022•永城市校级一模）数学课上，王老师出示了这样一个问题：如图1，在矩形ABCD中，AD＝2AB，E是AB延长线上一点，且BE＝AB，连接DE，交BC于点M，以DE为一边在DE的左下方作正方形DEFG，连接AM．试判断线段AM与DE的位置关系．
探究展示：小明发现，AM垂直平分DE，并展示了如下的证明方法：
证明：∵BE＝AB，∴AE＝2AB．
∵AD＝2AB，∴AD＝AE．
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC．
∴＝（依据1）
∵BE＝AB，∴＝1．∴EM＝DM．
即AM是△ADE的DE边上的中线，
又∵AD＝AE，∴AM⊥DE．（依据2）
∴AM垂直平分DE．
反思交流：
（1）①上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？
②试判断图1中的点A是否在线段GF的垂直平分线上，请直接回答，不必证明；
（2）小颖受到小明的启发，继续进行探究，如图2，连接CE，以CE为一边在CE的左下方作正方形CEFG，发现点G在线段BC的垂直平分线上，请你给出证明；
拓展应用：
（3）如图3，连接CE，以CE为一边在CE的右上方作正方形CEFG，分别以点B，C为圆心，m为半径作弧，两弧交于点M，连接MF．若MF＝AB＝1，请直接写出m的值．
【考点】相似形综合题．
【专题】几何综合题；推理能力．
【分析】（1）①根据平行线分线段成比例定理和等腰三角形的性质可得答案；
②根据正方形的性质可证明结论；
（2）过点G作GH⊥BC于点H，利用AAS证明△GHC≌△CBE，得HC＝BE，从而证明BH＝CH；
（3）过点F作FH⊥BC于点H，过点E作EN⊥FH于点N，首先利用AAS证明△ENF≌△EBC，可证明FH垂直平分BC，则点M在直线FH上，当点M在F左侧时，m＝BM＝＝，当点M在F右侧时，m＝BM'＝＝，即可解决问题．
【解答】解：（1）①依据1是：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；
依据2是：等腰三角形的三线合一；
②点A在线段GF的垂直平分线上，理由如下：
∵四边形DEFG是正方形，
∴DE∥FG，
∴点A在线段GF的垂直平分线上，
（2）如图，过点G作GH⊥BC于点H，
∵四边形ABCD是矩形，点E在AB的延长线上，
∴∠CBE＝∠ABC＝∠GHC＝90°，
∴∠BCE+∠BEC＝90°，
∵四边形CEFG为正方形，
∴CG＝CE，∠GCE＝90°，
∴∠BCE+∠BCG＝90°，
∴∠BEC＝∠BCG，
∴△GHC≌△CBE（AAS），
∴HC＝BE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，
∵AD＝2AB，BE＝AB，
∴BC＝2BE＝2HC，
∴HC＝BH，
∴GH垂直平分BC，
∴点G在BC的垂直平分线上；
（3）过点F作FH⊥BC于点H，过点E作EN⊥FH于点N，
∴∠BHN＝∠ENH＝∠ENF＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，点E在AB的延长线上，
∴∠CBE＝∠ABC＝90°，
∴四边形BENH为矩形，
∴BH＝EN，∠BEN＝90°，
∴∠BEC+∠CEN＝90°，
∵四边形CEFG为正方形，
∴EF＝EC，∠CEF＝90°，
∴∠CEN+∠NEF＝90°，
∴∠BEC＝∠NEF，
∵∠CBE＝∠ENF＝90°，
∴△ENF≌△EBC（AAS），
∵四边形ABCE是矩形，
∴AD＝BC，
∵AD＝2AB，AB＝BE，
∴BC＝2BH，
∴BH＝HC，
∴FH垂直平分BC，
∴点M在直线FH上，
当点M在F左侧时，m＝BM＝＝，
当点M在F右侧时，m＝BM'＝＝，
综上：m＝或．
【点评】本题主要考查了矩形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，勾股定理，平行线分线段成比例等知识，证明FH垂直平分BC是解决问题（3）的关键．
考点卡片
1．相反数
（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．
（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．
（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．
2．非负数的性质：绝对值
在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
根据上述的性质可列出方程求出未知数的值．
3．非负数的性质：偶次方
偶次方具有非负性．
任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
4．同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
am•an＝am+n（m，n是正整数）
（2）推广：am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数）
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．
（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．
5．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
6．提公因式法与公式法的综合运用
提公因式法与公式法的综合运用．
7．分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
8．由实际问题抽象出二元一次方程组
（1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
（2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．
（3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：
①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系．
9．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
10．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
11．在数轴上表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【规律方法】不等式解集的验证方法
某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．
12．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
13．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
14．反比例函数综合题
（1）应用类综合题
能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识．
（2）数形结合类综合题
利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法．
15．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
16．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
17．专题：正方体相对两个面上的文字
（1）对于此类问题一般方法是用纸按图的样子折叠后可以解决，或是在对展开图理解的基础上直接想象．
（2）从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
（3）正方体的展开图有11种情况，分析平面展开图的各种情况后再认真确定哪两个面的对面．
18．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
19．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
20．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
21．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
22．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R＝+1，所以r：R＝1：+1．
23．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
24．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
25．弧长的计算
（1）圆周长公式：C＝2πR
（2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．
④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．
26．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
27．相似形综合题
相似形综合题．
28．特殊角的三角函数值
（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝；
sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1；
sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝；
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
29．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
30．解直角三角形的应用-仰角俯角问题
（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．
（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
31．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想．
1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
32．频数（率）分布表
1、在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距，称这样画出的统计图表为频数分布表．
2、列频率分布表的步骤：
（1）计算极差，即计算最大值与最小值的差．
（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）．
（3）将数据分组．
（4）列频率分布表．
33．频数（率）分布直方图
画频率分布直方图的步骤：
（1）计算极差，即计算最大值与最小值的差．（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）．（3）确定分点，将数据分组．（4）列频率分布表．（5）绘制频率分布直方图．
注：①频率分布表列出的是在各个不同区间内取值的频率，频率分布直方图是用小长方形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率．直角坐标系中的纵轴表示频率与组距的比值，即小长方形面积＝组距×＝频率．②各组频率的和等于1，即所有长方形面积的和等于1．③频率分布表在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，不利于分析数据分布的总体态势．④从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体态势，但是从直方图本身得不出原始的数据内容．
34．频数（率）分布折线图
一般利用直方图画频数分布折线图，在频数分布直方图中，把每个小长方形上面的一条边的中点顺次连接起来，得到频数折线图．
注意：折线图要与横轴相交，方法是在直方图的左右两边各延伸一个假想组，并将频数折线两端连接到假想组中点，它主要显示数据的变化趋势．
35．算术平均数
（1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
（2）算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则＝（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数．
（3）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数．
2022年深圳中考数学终极押题密卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2021秋•徐州期末）一个正方体的表面展开图如图所示，将其围成正方体后，“战”字对面的字是（ ）
A．早 B．胜 C．疫 D．情
2．（3分）（2022•广西模拟）下列数中，﹣2的相反数是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
3．（3分）（2022春•兴庆区校级月考）不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（3分）（2022•拱墅区模拟）某学习小组有15人参加捐款，其中小明的捐款数比15人捐款的平均数多2元，据此可知，下列说法错误的是（ ）
A．小明的捐款数不可能最少
B．小明的捐款数可能最多
C．将捐款数按从少到多排列，小明的捐款数一定比第8名多
D．将捐款数按从少到多排列，小明的捐款数可能排在第14位
5．（3分）（2021秋•西青区期末）下列计算结果正确的是（ ）
A．（a3）4＝a12 B．a3•a3＝a9
C．（﹣2a）2＝﹣4a2 D．（ab）2＝ab2
6．（3分）（2021秋•慈利县期末）在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2＝0，则∠C的度数是（ ）
A．45° B．75° C．105° D．120°
7．（3分）（2021秋•岑溪市期末）甲、乙二人同时同地出发，都以不变的速度在300米环形跑道上奔跑，若反向而行，每隔20s相遇一次，若同向而行，则每隔300s相遇一次，已知甲比乙跑得快，设甲每秒跑x米，乙每秒跑y米，则可列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（3分）（2021秋•兰考县期末）在高为60m的小山上，测得山底一建筑物顶端与底部的俯角分别是30°和60°，则这个建筑物的高度是（ ）
A．20m B．30m C．40m D．50m
9．（3分）（2021秋•蓬溪县期末）抛物线y＝2（x﹣3）2+2的顶点坐标是（ ）
A．（﹣3，2） B．（3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（3，﹣2）
10．（3分）（2021秋•拱墅区期末）如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP，设OP与x轴正半轴所夹的锐角为α，则锐角α的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）（2022•张家界一模）分解因式：ax2﹣2axy+ay2＝ ．
12．（3分）（2021秋•大连期末）若x＝1是一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一个根，则m＝ ．
13．（3分）（2021秋•长沙期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，DE垂直平分AC，交BC于点E，CE＝2，则BC＝ ．
14．（3分）（2022•金平区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，△ABC为等腰直角三角形，CB＝CA＝5，点C的坐标为（0，3），点B在x轴正半轴上，点A在第三象限，且在反比例函数（x＜0）的图象上则k的值为 ．
15．（3分）（2022春•长汀县期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．E为线段BD上一点，连结CE，将边BC沿CE折叠，使点B的对称点B'落在CD的延长线上，若AB＝5，BC＝4，则△ACE的面积为 ．
三．解答题（共7小题，满分55分）
16．（6分）（2021秋•思明区校级期末）先化简，再求值：，其中x＝2+．
17．（6分）（2021秋•杭州期末）如图，△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，P是上一点，且∠BAC＝30°．
（1）求∠APC的度数；
（2）若⊙O的半径为6，求的长（结果保留π）．
18．（8分）（2021春•永年区月考）2020年初，为积极响应教育部“停课不停学”的号召，某中学组织本校优秀教师开展线上教学，经过近三个月的线上授课后，在五月初复学．该校为了解学生不同阶段学习效果，决定随机抽取八年级部分学生进行两次跟踪测评，第一次是复学初对线上教学质量测评，第二次是复学一个月后教学质量测评．根据第一次测试的数学成绩制成频数分布直方图（图1）．
复学一个月后，根据第二次测试的数学成绩得到如下统计表：
成绩
30≤x＜40
40≤x＜50
50≤x＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
人数
1
3
3
8
15
m
6
根据以上图表信息，完成下列问题：
（1）m＝ ；
（2）请在图2中作出两次测试的数学成绩折线图，并对两次成绩作出对比分析（用一句话概述）；
（3）某同学第二次测试数学成绩为78分．这次测试中，分数高于78分的至少有多少人？至多有多少人？
（4）请估计复学一个月后该校800名八年级学生数学成绩优秀（80分及以上）的人数．
19．（8分）（2021秋•河口区期末）已知：∠A＝90°，∠ADE＝120°，BD平分∠ADE，AD＝DE．
（1）△BAD与△BED全等吗？请说明理由；
（2）若DE＝2，试求AC与EC的长．
20．（8分）（2021秋•炎陵县期末）攀枝花得天独厚，气候宜人，农产品资源极为丰富，其中晚熟芒果远销北上广等大城市．某水果店购进一批优质晚熟芒果，进价为10元/千克，售价不低于15元/千克，且不超过40元/千克，根据销售情况，发现该芒果在一天内的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）之间的数量满足如下表所示的一次函数关系．
售价x（元/千克）
…
27.5
25
24.5
22
…
销售量y（千克）
…
32.5
35
35.5
38
…
（1）某天这种芒果售价为28元/千克．求当天该芒果销售量
（2）设某天销售这种芒果获利m元，写出m与售价x之间的函数关系式．如果水果店该天获利400元，那么这天芒果的售价为多少元？
21．（9分）（2021秋•成华区期末）如图1，直线y＝﹣x+4与x，y轴的交点分别为点A，B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象的两交点分别为点C，D，点M是反比例函数上一动点．
（1）求△OCD的面积；
（2）是否存在点M，使得△ODM∽△OAD？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）过点M分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为E，F，是否存在点M，使得矩形OEMF与△OCD的重叠部分的面积S等于？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（10分）（2022•永城市校级一模）数学课上，王老师出示了这样一个问题：如图1，在矩形ABCD中，AD＝2AB，E是AB延长线上一点，且BE＝AB，连接DE，交BC于点M，以DE为一边在DE的左下方作正方形DEFG，连接AM．试判断线段AM与DE的位置关系．
探究展示：小明发现，AM垂直平分DE，并展示了如下的证明方法：
证明：∵BE＝AB，∴AE＝2AB．
∵AD＝2AB，∴AD＝AE．
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC．
∴＝（依据1）
∵BE＝AB，∴＝1．∴EM＝DM．
即AM是△ADE的DE边上的中线，
又∵AD＝AE，∴AM⊥DE．（依据2）
∴AM垂直平分DE．
反思交流：
（1）①上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？
②试判断图1中的点A是否在线段GF的垂直平分线上，请直接回答，不必证明；
（2）小颖受到小明的启发，继续进行探究，如图2，连接CE，以CE为一边在CE的左下方作正方形CEFG，发现点G在线段BC的垂直平分线上，请你给出证明；
拓展应用：
（3）如图3，连接CE，以CE为一边在CE的右上方作正方形CEFG，分别以点B，C为圆心，m为半径作弧，两弧交于点M，连接MF．若MF＝AB＝1，请直接写出m的值．
2022年深圳中考数学终极押题密卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2021秋•徐州期末）一个正方体的表面展开图如图所示，将其围成正方体后，“战”字对面的字是（ ）
A．早 B．胜 C．疫 D．情
【考点】专题：正方体相对两个面上的文字．
【专题】探究型；空间观念．
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“战”字对面的字是“情”．
故选：D．
【点评】本题考查了正方体的展开图，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
2．（3分）（2022•广西模拟）下列数中，﹣2的相反数是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
【考点】相反数．
【专题】实数；运算能力．
【分析】根据只有符号不同的两个数是互为相反数，找出﹣2的相反数，然后选择答案即可．
【解答】解：﹣2的相反数的是2．
故选：A．
【点评】本题主要考查了相反数的定义，熟记定义是解题的关键．
3．（3分）（2022春•兴庆区校级月考）不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】在数轴上表示不等式的解集．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；符号意识．
【分析】先把不等式组的解集在数轴上表示出来，找出符合条件的选项即可．
【解答】解：不等式组的解集为1≤x≤3，
在数轴上的表示为：
故选：A．
【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
4．（3分）（2022•拱墅区模拟）某学习小组有15人参加捐款，其中小明的捐款数比15人捐款的平均数多2元，据此可知，下列说法错误的是（ ）
A．小明的捐款数不可能最少
B．小明的捐款数可能最多
C．将捐款数按从少到多排列，小明的捐款数一定比第8名多
D．将捐款数按从少到多排列，小明的捐款数可能排在第14位
【考点】算术平均数．
【专题】统计与概率；数据分析观念．
【分析】根据题意和算术平均数的含义，可以判断各个选项中的说法是否正确．
【解答】解：∵小明的捐款数比15人捐款的平均数多2元，
∴小明的捐款数不可能最少，故选项A正确；
小明的捐款数可能最多，故选项B正确；
将捐款数按从少到多排列，小明的捐款数不一定比第8名多，故选项C错误；
将捐款数按从少到多排列，小明的捐款数可能排在第14位，故选项D正确；
故选：C．
【点评】本题考查算术平均数，解答本题的关键是明确题意，可以判断各个选项中的说法是否正确．
5．（3分）（2021秋•西青区期末）下列计算结果正确的是（ ）
A．（a3）4＝a12 B．a3•a3＝a9
C．（﹣2a）2＝﹣4a2 D．（ab）2＝ab2
【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．
【专题】整式；运算能力．
【分析】根据幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法即可求出答案．
【解答】解：A、原式＝a12，故A符合题意．
B、原式＝a6，故B不符合题意．
C、原式＝4a2，故C不符合题意．
D、原式＝a2b2，故D不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法，本题属于基础题型．
6．（3分）（2021秋•慈利县期末）在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2＝0，则∠C的度数是（ ）
A．45° B．75° C．105° D．120°
【考点】特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．
【分析】根据非负数的性质列出关系式，根据特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：由题意得，sinA﹣＝0，﹣cosB＝0，
即sinA＝，＝cosB，
解得，∠A＝30°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°，
故选：C．
【点评】本题考查的是非负数的性质的应用、特殊角的三角函数值的计算和三角形内角和定理的应用，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
7．（3分）（2021秋•岑溪市期末）甲、乙二人同时同地出发，都以不变的速度在300米环形跑道上奔跑，若反向而行，每隔20s相遇一次，若同向而行，则每隔300s相遇一次，已知甲比乙跑得快，设甲每秒跑x米，乙每秒跑y米，则可列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【分析】利用路程＝速度×时间，结合“若反向而行，每隔20s相遇一次，若同向而行，则每隔300s相遇一次”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵若反向而行，每隔20s相遇一次，且环形跑道的长度为300米，
∴20x+20y＝300；
∵若同向而行，则每隔300s相遇一次，且环形跑道的长度为300米，
∴300x﹣300y＝300．
∴依照题意，可列方程组．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
8．（3分）（2021秋•兰考县期末）在高为60m的小山上，测得山底一建筑物顶端与底部的俯角分别是30°和60°，则这个建筑物的高度是（ ）
A．20m B．30m C．40m D．50m
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】应用题；解直角三角形及其应用；推理能力．
【分析】作CE⊥AB，根据∠DAB可以求得CE的长，根据CE即可求得AE的长，根据CD＝BE＝AB﹣AE即可解题．
【解答】解：如图，作CE⊥AB，
根据题意可知：∠DAB＝90°﹣60°＝30°，AB＝60m，∠ACE＝30°，
∴BD＝AB×tan30°＝60×＝20（m），
∴CE＝BD＝20m，
∵∠ACE＝30°，
∴AE＝CEtan30°＝20×＝20（m），
∴CD＝BE＝AB﹣AE＝60﹣20＝40（m），
故选：C．
【点评】本题考查了查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，特殊角的三角函数值，本题中求得BD的长是解题的关键．
9．（3分）（2021秋•蓬溪县期末）抛物线y＝2（x﹣3）2+2的顶点坐标是（ ）
A．（﹣3，2） B．（3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（3，﹣2）
【考点】二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；符号意识．
【分析】根据y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k）可得答案．
【解答】解：抛物线y＝2（x﹣3）2+2的顶点坐标是（3，2），
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h．
10．（3分）（2021秋•拱墅区期末）如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP，设OP与x轴正半轴所夹的锐角为α，则锐角α的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】解直角三角形；坐标与图形性质．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【分析】要求锐角α的正弦值，想到构造直角三角形，所以过点P作PA⊥x轴，垂足为A，然后在Rt△OAP中即可解答．
【解答】解：过点P作PA⊥x轴，垂足为A，
∵P（3，4），
∴OA＝3，AP＝4，
∴OP＝＝＝5，
在Rt△OAP中，sinα＝＝，
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形，坐标与图形的性质，根据题目的已知条件并结合图形构造直角三角形，是解题的关键．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）（2022•张家界一模）分解因式：ax2﹣2axy+ay2＝ a（x﹣y）2 ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】先提取公因式a，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2．
【解答】解：ax2﹣2axy+ay2，
＝a（x2﹣2xy+y2），
＝a（x﹣y）2．
故答案为：a（x﹣y）2．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
12．（3分）（2021秋•大连期末）若x＝1是一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一个根，则m＝ 2 ．
【考点】一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；推理能力．
【分析】将x＝1代入方程得到关于m的方程，从而可求得m的值．
【解答】解：将x＝1代入得：1﹣3+m＝0，
解得：m＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
13．（3分）（2021秋•长沙期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，DE垂直平分AC，交BC于点E，CE＝2，则BC＝ 3 ．
【考点】含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出AE＝CE＝2，根据等腰三角形的性质求出∠EAC＝∠C＝30°，求出∠BAE＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质求出BE，再求出BC即可．
【解答】解：∵DE垂直平分AC，CE＝2，
∴AE＝CE＝2，
∴∠EAC＝∠C，
∵∠B＝90°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝90°﹣∠C＝60°，∠EAC＝30°，
∴∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC＝30°，
∴BE＝AE＝1，
∴BC＝BE+CE＝1+2＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点，能熟记线段垂直平分线的性质和含30°角的直角三角形的性质是解此题的关键．
14．（3分）（2022•金平区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，△ABC为等腰直角三角形，CB＝CA＝5，点C的坐标为（0，3），点B在x轴正半轴上，点A在第三象限，且在反比例函数（x＜0）的图象上则k的值为 3 ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；等腰直角三角形．
【专题】反比例函数及其应用；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【分析】如图，作AH⊥y轴于H．构造全等三角形即可解决问题．
【解答】解：如图，作AH⊥y轴于H．
∵CA＝CB，∠AHC＝∠BOC，∠ACH＝∠CBO，
∴△ACH≌△CBO，
∴AH＝OC，CH＝OB，
∵C（0，3），BC＝5，
∴OC＝3，OB＝＝4，
∴CH＝OB＝4，AH＝OC＝3，
∴OH＝1，
∴A（﹣3，﹣1），
∵点A在y＝上，
∴k＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查反比例函数的应用、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
15．（3分）（2022春•长汀县期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．E为线段BD上一点，连结CE，将边BC沿CE折叠，使点B的对称点B'落在CD的延长线上，若AB＝5，BC＝4，则△ACE的面积为 ．
【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【分析】由勾股定理得AC＝3，再由面积法求出CD＝，则BD＝＝，然后由折叠的性质得B'C＝BC＝8，BE＝B'E，则B'D＝B'C﹣CD＝，设BE＝B'E＝x，则DE＝BD﹣BE＝﹣x，在Rt△B'DE中，由勾股定理得出方程（）2+（﹣x）2＝x2，解得x＝2，即可解决问题．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4，
∴AC＝＝＝3，
∵CD⊥AB，
∴2S△ABC＝AB•CD＝AC•BC，
∴CD＝＝＝，
在Rt△BCD中，BD＝＝＝，
∵将边BC沿CE折叠，使点B的对称点B'落在CD的延长线上，
∴B'C＝BC＝8，BE＝B'E，
∴B'D＝B'C﹣CD＝4﹣＝，
设BE＝B'E＝x，则DE＝BD﹣BE＝﹣x，
在Rt△B'DE中，由勾股定理得：B'D2+DE2＝B'E2，
即（）2+（﹣x）2＝x2，
解得：x＝2，
∴BE＝2，
∴AE＝AB﹣BE＝5﹣2＝3，
∴△ACE的面积＝AE•CD＝×3×＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了翻折变换的性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握翻折变换的性质，由勾股定理求出BE的长是解题的关键．
三．解答题（共7小题，满分55分）
16．（6分）（2021秋•思明区校级期末）先化简，再求值：，其中x＝2+．
【考点】分式的化简求值．
【专题】计算题；分式；运算能力．
【分析】先将小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的乘法，最后代入求值．
【解答】解：原式＝[]
＝
＝
＝，
当x＝2+时，
原式＝＝＝2+1．
【点评】本题考查分式的化简求值，分母有理化计算，理解二次根式的性质，掌握分式混合运算的运算顺序（先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的）和计算法则是解题关键．
17．（6分）（2021秋•杭州期末）如图，△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，P是上一点，且∠BAC＝30°．
（1）求∠APC的度数；
（2）若⊙O的半径为6，求的长（结果保留π）．
【考点】三角形的外接圆与外心；弧长的计算；圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【分析】（1）首先根据等腰三角形的性质计算出∠B＝75°，再根据圆内接四边形的对角互补可得答案；
（2）连接OA，OC，根据圆周角定理得到∠AOC＝2∠B＝150°，根据弧长公式即可得到结论．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B，
∵∠BAC＝30°，
∴∠B＝＝75°，
∴∠APB＝180°﹣75°＝105°，
（2）连接OA，OC，
∵∠B＝75°，
∴∠AOC＝2∠B＝150°，
∴的长＝＝5π．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，弧长的计算，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
18．（8分）（2021春•永年区月考）2020年初，为积极响应教育部“停课不停学”的号召，某中学组织本校优秀教师开展线上教学，经过近三个月的线上授课后，在五月初复学．该校为了解学生不同阶段学习效果，决定随机抽取八年级部分学生进行两次跟踪测评，第一次是复学初对线上教学质量测评，第二次是复学一个月后教学质量测评．根据第一次测试的数学成绩制成频数分布直方图（图1）．
复学一个月后，根据第二次测试的数学成绩得到如下统计表：
成绩
30≤x＜40
40≤x＜50
50≤x＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
人数
1
3
3
8
15
m
6
根据以上图表信息，完成下列问题：
（1）m＝ 14 ；
（2）请在图2中作出两次测试的数学成绩折线图，并对两次成绩作出对比分析（用一句话概述）；
（3）某同学第二次测试数学成绩为78分．这次测试中，分数高于78分的至少有多少人？至多有多少人？
（4）请估计复学一个月后该校800名八年级学生数学成绩优秀（80分及以上）的人数．
【考点】频数（率）分布折线图；用样本估计总体；频数（率）分布表；频数（率）分布直方图．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【分析】（1）根据频数之和为样本容量进行计算即可；
（2）根据频数可绘制折线统计图；并根据折线的变化趋势得出判断；
（3）根据频数分布情况进行“极值”判断即可；
（4）求出“优秀”所占得百分比即可．
【解答】解：（1）由图1可知，调查人数为2+8+10+15+10+4+1＝50（人），
m＝50﹣1﹣3﹣3﹣8﹣15﹣6＝14；
故答案为：14；
（2）折线图如下图所示，
复学后，学生的成绩总体上有了明显的提升；
（3）某同学第二次测试数学成绩为78分，
这次测试中，分数高于78分的至少有14+6＝20（人），
至多有14+6+（15﹣1）＝34（人），
答：这次测试中，分数高于78分的至少有20人，至多有34人；
（4）800×＝320（人），
答：复学一个月后该校800名八年级学生数学成绩优秀（80分）及以上的有320人．
【点评】本题考查频数分布直方图，掌握频数、频率、总数之间的关系是解决问题的前提．
19．（8分）（2021秋•河口区期末）已知：∠A＝90°，∠ADE＝120°，BD平分∠ADE，AD＝DE．
（1）△BAD与△BED全等吗？请说明理由；
（2）若DE＝2，试求AC与EC的长．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】（1）由“SAS”可证△ADB≌△EDB；
（2）由全等三角形的性质可得∠A＝∠DEB＝90°，AD＝DE＝2，由直角三角形的性质可求解．
【解答】解：（1）△BAD与△BED全等，
理由如下：∵BD平分∠ADE，
∴∠ADB＝∠BDE＝60°，
在△ADB和△EDB中，
，
∴△ADB≌△EDB（SAS）；
（2）∵△ADB≌△EDB，
∴∠A＝∠DEB＝90°，AD＝DE＝2，
∵∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝180°﹣120°＝60°，
∴∠C＝30°，
∴CD＝2DE＝4，CE＝DE＝2，
∴AC＝AD+CD＝6．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
20．（8分）（2021秋•炎陵县期末）攀枝花得天独厚，气候宜人，农产品资源极为丰富，其中晚熟芒果远销北上广等大城市．某水果店购进一批优质晚熟芒果，进价为10元/千克，售价不低于15元/千克，且不超过40元/千克，根据销售情况，发现该芒果在一天内的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）之间的数量满足如下表所示的一次函数关系．
售价x（元/千克）
…
27.5
25
24.5
22
…
销售量y（千克）
…
32.5
35
35.5
38
…
（1）某天这种芒果售价为28元/千克．求当天该芒果销售量
（2）设某天销售这种芒果获利m元，写出m与售价x之间的函数关系式．如果水果店该天获利400元，那么这天芒果的售价为多少元？
【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以计算出该芒果在一天内的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）之间的函数关系式，然后将x＝28代入求出相应的y的值即可；
（2）根据题意和（1）中的函数解析式，可以写出获利m与售价x之间的函数关系式，然后将m＝400代入求出相应的x的值即可，注意x的取值范围．
【解答】解：（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b，
，
解得，
即一次函数的解析式为y＝﹣x+60（15≤x≤40），
当x＝28时，y＝﹣28+60＝32，
答：芒果售价为28元/千克时，当天该芒果的销售量为32千克；
（2）由题意可得：m＝y（x﹣10）＝（﹣x+60）（x﹣10）＝﹣x2+70x﹣600，
当m＝400时，﹣x2+70x﹣600＝400，
解得x1＝20，x2＝50，
∵15≤x≤40，
∴x＝20，
答：获利m与售价x之间的函数关系式是m＝﹣x2+70x﹣600，如果水果店该天获利400元，那么这天芒果的售价为20元．
【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，列出相应的方程．
21．（9分）（2021秋•成华区期末）如图1，直线y＝﹣x+4与x，y轴的交点分别为点A，B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象的两交点分别为点C，D，点M是反比例函数上一动点．
（1）求△OCD的面积；
（2）是否存在点M，使得△ODM∽△OAD？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）过点M分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为E，F，是否存在点M，使得矩形OEMF与△OCD的重叠部分的面积S等于？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】反比例函数综合题．
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【分析】（1）先求点B的坐标为（0，4），点C坐标为（，3），点D坐标为（3，），过点D作DH⊥OB于点H，得S△DCO＝S△OBD﹣S△OBC＝××﹣×4×＝8；
（2）存在点M，使得△ODM∽△OAD，假设存在点M，使得△ODM∽△OAD，此时∠MDO＝45°，以OD为直角边构建等腰直角△NOD，过点N作NP⊥OB于点P，过点D作DQ⊥OA于点Q，先证明△NPO≌△DQO，得点N的坐标为（﹣，3），先求直线DN的函数关系式为：y＝﹣x+，再解方程组：，得点M坐标为（，），再通过计算得AD：OA＝DM：OD，且∠MDO＝∠DAO＝45°，即可证出△MOD∽DOA；
（3）如图，重叠面积为四边形MSOT，设点M坐标为（m，），先表示出点T的坐标为（m，m），点S的坐标为（，），根据矩形OEMF与△OCD的重叠部分的面积S等于，得方程6﹣××﹣×m×＝，即可求解．
【解答】解：（1）当y＝﹣x+4＝0时，x＝4，
∴点B的坐标为（0，4），
解方程组：，
得：或，
∴点C坐标为（，3），点D坐标为（3，），
过点C作CG⊥OB于点G，过点D作DH⊥OB于点H，
∴S△DCO＝S△OBD﹣S△OBC＝××﹣×4×＝8；
（2）存在点M，使得△ODM∽△OAD，
假设存在点M，使得△ODM∽△OAD，此时∠MDO＝45°，
以OD为直角边构建等腰直角△NOD，过点N作NP⊥OB于点P，过点D作DQ⊥OA于点Q，
∴∠NOP+∠POD＝∠DOQ+∠POD＝90°，
∴∠NOP＝∠DOQ，
∵∠NPO＝∠DQO＝90°，NO＝DO，
∴△NPO≌△DQO（AAS），
∴PN＝QD＝，PO＝QO＝3，
∴点N的坐标为（﹣，3），
设直线DN的关系式为：y＝kx+b，
把点D（3，），N（﹣，3）代入，
，
解得：，
直线DN的函数关系式为：y＝﹣x+，
解方程组：，
解得：或，
∴点M坐标为（，），
∴DM＝＝，
OD＝＝2，
OA＝4，
AD＝＝2，
∴AD：OA＝2：4＝：4；DM：OD＝：2＝：4，
∴AD：OA＝DM：OD，且∠MDO＝∠DAO＝45°，
∴△MOD∽DOA，此时M点坐标为（，）；
（3）如图，重叠面积为四边形MSOT，设点M坐标为（m，），
根据点D坐标为（3，），得OD的关系式为：y＝x，
当x＝m时，y＝m，
∴点T的坐标为（m，m），
∴OE＝m，TE＝m，
根据点C坐标为（，3），得OC的关系式为：y＝3x，
当y＝时，3x＝，
解得：x＝，
∴点S的坐标为（，），
∴SF＝，OF＝，
∵矩形OEMF与△OCD的重叠部分的面积S等于，
∴6﹣××﹣×m×＝，
化简得，m4﹣13m2+36＝0，
解得：m＝±2或±3，
∵m＞0，
∴m＝2或3，
∴m点坐标为（2，3）或（3，2）．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数图象交点，三角形面积求法，一次函数解析式求法，三角形全等的判定与性质，解题关键是构建等腰直角三角形，运用方程思想解决问题．
22．（10分）（2022•永城市校级一模）数学课上，王老师出示了这样一个问题：如图1，在矩形ABCD中，AD＝2AB，E是AB延长线上一点，且BE＝AB，连接DE，交BC于点M，以DE为一边在DE的左下方作正方形DEFG，连接AM．试判断线段AM与DE的位置关系．
探究展示：小明发现，AM垂直平分DE，并展示了如下的证明方法：
证明：∵BE＝AB，∴AE＝2AB．
∵AD＝2AB，∴AD＝AE．
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC．
∴＝（依据1）
∵BE＝AB，∴＝1．∴EM＝DM．
即AM是△ADE的DE边上的中线，
又∵AD＝AE，∴AM⊥DE．（依据2）
∴AM垂直平分DE．
反思交流：
（1）①上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？
②试判断图1中的点A是否在线段GF的垂直平分线上，请直接回答，不必证明；
（2）小颖受到小明的启发，继续进行探究，如图2，连接CE，以CE为一边在CE的左下方作正方形CEFG，发现点G在线段BC的垂直平分线上，请你给出证明；
拓展应用：
（3）如图3，连接CE，以CE为一边在CE的右上方作正方形CEFG，分别以点B，C为圆心，m为半径作弧，两弧交于点M，连接MF．若MF＝AB＝1，请直接写出m的值．
【考点】相似形综合题．
【专题】几何综合题；推理能力．
【分析】（1）①根据平行线分线段成比例定理和等腰三角形的性质可得答案；
②根据正方形的性质可证明结论；
（2）过点G作GH⊥BC于点H，利用AAS证明△GHC≌△CBE，得HC＝BE，从而证明BH＝CH；
（3）过点F作FH⊥BC于点H，过点E作EN⊥FH于点N，首先利用AAS证明△ENF≌△EBC，可证明FH垂直平分BC，则点M在直线FH上，当点M在F左侧时，m＝BM＝＝，当点M在F右侧时，m＝BM'＝＝，即可解决问题．
【解答】解：（1）①依据1是：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；
依据2是：等腰三角形的三线合一；
②点A在线段GF的垂直平分线上，理由如下：
∵四边形DEFG是正方形，
∴DE∥FG，
∴点A在线段GF的垂直平分线上，
（2）如图，过点G作GH⊥BC于点H，
∵四边形ABCD是矩形，点E在AB的延长线上，
∴∠CBE＝∠ABC＝∠GHC＝90°，
∴∠BCE+∠BEC＝90°，
∵四边形CEFG为正方形，
∴CG＝CE，∠GCE＝90°，
∴∠BCE+∠BCG＝90°，
∴∠BEC＝∠BCG，
∴△GHC≌△CBE（AAS），
∴HC＝BE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，
∵AD＝2AB，BE＝AB，
∴BC＝2BE＝2HC，
∴HC＝BH，
∴GH垂直平分BC，
∴点G在BC的垂直平分线上；
（3）过点F作FH⊥BC于点H，过点E作EN⊥FH于点N，
∴∠BHN＝∠ENH＝∠ENF＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，点E在AB的延长线上，
∴∠CBE＝∠ABC＝90°，
∴四边形BENH为矩形，
∴BH＝EN，∠BEN＝90°，
∴∠BEC+∠CEN＝90°，
∵四边形CEFG为正方形，
∴EF＝EC，∠CEF＝90°，
∴∠CEN+∠NEF＝90°，
∴∠BEC＝∠NEF，
∵∠CBE＝∠ENF＝90°，
∴△ENF≌△EBC（AAS），
∵四边形ABCE是矩形，
∴AD＝BC，
∵AD＝2AB，AB＝BE，
∴BC＝2BH，
∴BH＝HC，
∴FH垂直平分BC，
∴点M在直线FH上，
当点M在F左侧时，m＝BM＝＝，
当点M在F右侧时，m＝BM'＝＝，
综上：m＝或．
【点评】本题主要考查了矩形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，勾股定理，平行线分线段成比例等知识，证明FH垂直平分BC是解决问题（3）的关键．
考点卡片
1．相反数
（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．
（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．
（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．
2．非负数的性质：绝对值
在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
根据上述的性质可列出方程求出未知数的值．
3．非负数的性质：偶次方
偶次方具有非负性．
任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
4．同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
am•an＝am+n（m，n是正整数）
（2）推广：am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数）
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．
（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．
5．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
6．提公因式法与公式法的综合运用
提公因式法与公式法的综合运用．
7．分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
8．由实际问题抽象出二元一次方程组
（1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
（2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．
（3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：
①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系．
9．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
10．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
11．在数轴上表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【规律方法】不等式解集的验证方法
某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．
12．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
13．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
14．反比例函数综合题
（1）应用类综合题
能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识．
（2）数形结合类综合题
利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法．
15．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
16．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
17．专题：正方体相对两个面上的文字
（1）对于此类问题一般方法是用纸按图的样子折叠后可以解决，或是在对展开图理解的基础上直接想象．
（2）从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
（3）正方体的展开图有11种情况，分析平面展开图的各种情况后再认真确定哪两个面的对面．
18．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
19．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
20．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
21．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
22．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R＝+1，所以r：R＝1：+1．
23．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
24．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
25．弧长的计算
（1）圆周长公式：C＝2πR
（2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．
④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．
26．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
27．相似形综合题
相似形综合题．
28．特殊角的三角函数值
（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝；
sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1；
sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝；
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
29．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
30．解直角三角形的应用-仰角俯角问题
（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．
（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
31．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想．
1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
32．频数（率）分布表
1、在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距，称这样画出的统计图表为频数分布表．
2、列频率分布表的步骤：
（1）计算极差，即计算最大值与最小值的差．
（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）．
（3）将数据分组．
（4）列频率分布表．
33．频数（率）分布直方图
画频率分布直方图的步骤：
（1）计算极差，即计算最大值与最小值的差．（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）．（3）确定分点，将数据分组．（4）列频率分布表．（5）绘制频率分布直方图．
注：①频率分布表列出的是在各个不同区间内取值的频率，频率分布直方图是用小长方形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率．直角坐标系中的纵轴表示频率与组距的比值，即小长方形面积＝组距×＝频率．②各组频率的和等于1，即所有长方形面积的和等于1．③频率分布表在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，不利于分析数据分布的总体态势．④从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体态势，但是从直方图本身得不出原始的数据内容．
34．频数（率）分布折线图
一般利用直方图画频数分布折线图，在频数分布直方图中，把每个小长方形上面的一条边的中点顺次连接起来，得到频数折线图．
注意：折线图要与横轴相交，方法是在直方图的左右两边各延伸一个假想组，并将频数折线两端连接到假想组中点，它主要显示数据的变化趋势．
35．算术平均数
（1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
（2）算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则＝（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数．
（3）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数．
相关试卷
2022年南京中考数学终极押题密卷2： 这是一份2022年南京中考数学终极押题密卷2，共36页。试卷主要包含了计算，+1的结果是 等内容，欢迎下载使用。
2022年广东省深圳市中考数学终极押题密卷 (1)(word版含答案)： 这是一份2022年广东省深圳市中考数学终极押题密卷 (1)(word版含答案)，共41页。
2022年上海中考数学终极押题密卷(word版含答案)： 这是一份2022年上海中考数学终极押题密卷(word版含答案)，共45页。试卷主要包含了平方米等内容，欢迎下载使用。
