2021年浙江省宁波市余姚市初中学业水平考试适应性测试数学试题（word版 含答案）

这是一份2021年浙江省宁波市余姚市初中学业水平考试适应性测试数学试题（word版 含答案），共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年浙江省宁波市余姚市初中学业水平考试适应性测试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．的绝对值是（ ）
A．2021 B． C． D．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．近年来，华为手机越来越受到消费者的青睐，2020年第三季度，华为手机销量为2880万部．将2880万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．下列说法正确的是（ ）
A．为了解三名学生的视力情况，采用抽样调查
B．“任意画一个三角形，其内角和是”是必然事件
C．要调查某班同学最喜爱的文艺节目，应该关注的统计量是众数
D．小聪和小明最近5次数学测验成绩的平均分和方差分别为分，分，分，分，则小聪的数学成绩较为稳定
5．下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中，主视图、左视图、俯视图都相同的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图摆放的一副学生用直角三角板，，与相交于点G，当时，的度数是（ ）

A．135° B．120° C．115° D．105°
7．我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐. 问人数和车数各多少？设车辆，根据题意，可列出的方程是 ( )．
A． B．
C． D．
8．如图，四边形的顶点，，都在上，，，，则的弧长为（ ）


A． B． C． D．
9．已知二次函数的图象经过点，，且，则的值不可能是（ ）
A． B． C．0 D．
10．如图，点，，分别在等边的三边上，且，过点，，分别作，，边的垂线，得到．若要求的面积，则只需知道（ ）


A．的长 B．的长 C．的长 D．的长

二、填空题
11．分解因式：______．
12．若在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
13．一个仅装有球的不透明布袋里共有3个球（只有颜色不同），其中2个是红球，1个是白球，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出都是红球的概率是_____．
14．已知x=﹣1是一元二次方程ax2+bx﹣10=0的一个解，且a≠﹣b，则的值为__．
15．如图，中，，，点在的延长线上，且，连接并延长，作于，若，则的面积为______．

16．如图，一次函数与反比例函数（，）的图象交于，两点，与轴交于点．若，的面积为5，则的正切值为______，的值为______．


三、解答题
17．（1）化简．
（2）解不等式．
18．如图，由24个边长为1的小正方形组成的的网格中，的顶点都在格点（小正方形的顶点）上．请在所给的网格中分别画一条线段，并同时满足如下条件：
①点，分别在，边上．
②点，都是格点．
③图1中满足，图2中满足．

19．某校随机抽取九年级部分同学接受一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，学校收集并整理数据后，将减压方式分为五类，并绘制了图1、图2两个不完整的统计图，请根据图中的信息解答下列问题：
（1）求该校九年级接受调查的人数并补全条形统计图．
（2）计算扇形统计图中的“体育活动”所对应的圆心角度数．
（3）若该校九年级有450名学生，请估计该校九年级学生中喜欢“听音乐”方式进行考前减压的人数．

20．为进一步加强疫情防控工作，避免在测温过程中出现人员聚集现象，某学校决定安装红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温（如图1），其红外线探测点可以在垂直于地面的支杆上下调节（如图2），已知探测最大角（）为，探测最小角（）为．
（1）若该设备的安装高度为1.6米时，求测温区域的宽度．
（2）该校要求测温区域的宽度为，请你帮助学校确定该设备的安装高度．
（结果精确到，参考数据：，，，，，）

21．如图，已知二次函数的图象经过点．
（1）求该二次函数的表达式．
（2）求该二次函数图象的顶点坐标．
（3）点在该二次函数图象上，若点到轴的距离小于3，请根据图象直接写出的取值范围．

22．，两地相距200千米，早上8：00货车从地出发将一批防疫物资运往地，出发1.6小时后，货车出现了故障，货车离开地的路程（）与时间（）的函数关系如图所示、
（1）求货车刚出发时候的速度．
（2）若货车司机经过48分钟维修排除了故障，继续运送物资赶往地．
①应防疫需要，现要求该批次物资运到地的时间不迟于当天中午12：00，那么货车的速度至少应该提速到多少？
②在货车从地出发半小时后，地派出了30名医务人员乘坐大巴车前往地进行医疗支援，若货车在排除故障后以①中所求速度的最小值匀速赶往地，大巴车的速度为．求大巴车在行进途中与货车相遇时，离地还有多少千米？

23．如果等腰三角形一边上的高线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“优美三角形”，这条边为“优美边”．
（1）在如图1所示的12个小正方形组成的网格中，，两点在小正方形的顶点上，若点也在小正方形的顶点上，且是“优美三角形”，请在图中各画一个满足条件的，并直接写出的正切值．
（2）如图2，已知四边形是菱形，，点，同时从，出发以相同的速度向终点运动．
①当，是“优美三角形”，且为“优美边”时，求的值．
②试探究，在运动过程中（不含起点），的范围与是“优美三角形”的个数之间的关系（不需要说明理由）．

24．如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，是轴正半轴上一动点，以为直径画交轴于点，连结，过点作交于点，连结，．
（1）求的度数
（2）求证：∽．
（3）如图2，连结，过点作于点，过点作交的延长线于点，设点的横坐标为．
①用含的代数式表示．
②记，求关于的函数表达式．



参考答案
1．A
【分析】
根据绝对值的定义即可求解．
【详解】
的绝对值是2021
故选A．
【点睛】
此题主要考查绝对值的求解，解题的关键是熟知绝对值的定义与性质．
2．D
【分析】
根据完全平方公式可判定A，积的乘方与幂的乘方可判定B，合并同类项可判断C，利用幂的乘方可判定D即可；
【详解】
解：A.，故选项A计算错误，不符合题意；
B. ，故选项B计算错误，不符合题意；
C. ，故选项C计算错误，不符合题意；
D. ，故选项D计算正确，故符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了幂的运算公式、完全平方公式、合并同类项，准确分析判断是解题的关键．
3．C
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【详解】
解：万=104
2880万=2.88×103×104=2.88×107．
故选择：C．
【点睛】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．C
【分析】
A、根据普查与抽查的概念判断即可；B、根据三角形的内角定理判断即可；C、根据众数的意义判断即可；D、根据平方数与方差的意义判断即可．
【详解】
解：了解三名学生的视力情况，由于总体数量较少，且容易操作，因此宜采取普查，因此选项A不符合题意；
任意画一个三角形，其内角和是360°是不可能事件，因此选项B不符合题意；
根据众数的意义可得选项C符合题意；
小聪和小明最近5次数学测验成绩的平均分和方差分别为分，分，分，分，则小明的数学成绩较为稳定，因此D不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查普查、抽查，三角形的内角和，方差和概率的意义，理解各个概念的内涵是正确判断的前提．
5．A
【分析】
根据题意分别画出各项三视图即可判断．
【详解】
各选项主视图、左视图、俯视图如下:
A．,满足题意;
B．,不满足题意;
C．,不满足题意;
D． ,不满足题意;
故选A．
【点睛】
本题考查几何体的三视图,关键在于牢记三视图的画法．
6．D
【分析】
过点G作，则有，，又因为和都是特殊直角三角形，，可以得到，有即可得出答案．
【详解】
解：过点G作，有，
∵在和中，
∴
∴，
∴
故的度数是105°．

【点睛】
本题主要考查了平行线的性质和三角形内角和定理，其中平行线的性质为：两直线平行，内错角相等；三角形内角和定理为：三角形的内角和为180°；其中正确作出辅助线是解本题的关键．
7．B
【分析】
根据题意，表示出两种方式的总人数，然后根据人数不变列方程即可.
【详解】
根据题意可得：每车坐3人，两车空出来，可得人数为3（x-2）人；每车坐2人，多出9人无车坐，可得人数为（2x+9）人，所以所列方程为：3（x-2）=2x+9.
故选B.
【点睛】
此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是找到问题中的等量关系：总人数不变，列出相应的方程即可.
8．A
【分析】
求出∠BAC，利用弧长公式计算即可．
【详解】
解：∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∵∠BAD=140°，
∴∠ABC=40°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=40°，
∴∠BAC=180°-80°=100°，
∴的长=，
故选：A．
【点睛】
本题考查弧长公式，平行线的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
9．D
【分析】
根据二次函数图象上点的坐标特征得到m+1＜3﹣m或m≤﹣1，解得即可．
【详解】
解：∵二次函数y＝a（x﹣m）2（a＞0），
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝m，
∵图象经过点A（﹣1，p），B（3，q），且p＜q，
∴m+1＜3﹣m或m≤﹣1
解得m＜1，
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
10．B
【分析】
先证△DEF是等边三角形，可得△DEF的面积=，设AP= BQ=CR=a，AC=BC=AB=b，利用直角三角形的性质可求DF=，即可求解．
【详解】
解：如图，设DR交AB于J．延长QF交AC于N，

∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，
∵RJ⊥AB，
∴∠AJR=90°，
∵PE⊥BC，∠B=60°，
∴∠JPD=30°，
∴∠PDJ=∠EDF=60°，
同法可证，∠DEF=∠DFE=60°，
∴△DEF是等边三角形，
∴△DEF的面积=，
∵AP=CR=BQ，
∴CQ=AR，
在△ARJ和△CNQ中，
，
∴△ARJ≌△CNQ（AAS），
∴AJ=CN，
设AP=BQ=CR=a，AC=BC=AB=b，
∴AR=b-a，
∵∠ARJ=30°，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴△DEF的面积=，
∴只要知道AP的长，可求△DEF的面积，
故选：B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，利用参数求出DF的长是本题的关键．
11．
【分析】
利用完全平方公式分解即可
【详解】

故答案为：.
【点睛】
本题考查因式分解问题，掌握因式分解的方法，会根据具体的内容选用公式法进行因式分解是解题关键.
12．
【分析】
直接利用分式有意义则分母不等于零即可得出答案．
【详解】
解：在实数范围内有意义，
故x-3≠0，
解得：x≠3．
故答案为：x≠3．
【点睛】
此题主要考查了分式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．
13．
【详解】
试题分析：根据题意画出相应的树状图，

所以一共有9种情况，两次摸到红球的有4种情况，
∴两次摸出都是红球的概率是，
故答案为．
考点：列表法与树状图求概率
14．5
【分析】
把x=﹣1代入方程ax2+bx﹣10=0可得a、b的关系，再化简分式后整体代入即可求得结果.
【详解】
解：∵x=﹣1是一元二次方程ax2+bx﹣10=0的一个解，∴，∴.
∵a≠﹣b，∴，∴.
故答案为5.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解的概念和分式的化简与求值，由已知得出a、b的关系再整体代入求值是解题的关键.
15．
【分析】
过点B作BF⊥CD于F，由“AAS”可证△BFC≌△CEA，可得CF＝AE＝，BF＝CE，由平行线分线段成比例可求EF＝DF，由三角形中位线定理可求BF＝CE＝，由三角形面积公式可求解．
【详解】
解：如图，过点B作BF⊥CD于F，

∴∠BFC＝∠AEC＝90°，
∴∠BCF+∠FBC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCF+∠ACE＝90°，
∴∠ACE＝∠FBC，
在△BFC与△CEA中，
，
∴△BFC≌△CEA（AAS），
∴CF＝AE＝，BF＝CE，
∵BF⊥CD，AE⊥CD，
∴BF∥AE，
∴，
∴EF＝DF，
又∵AB＝BD，
∴BF＝AE＝，
∴CE＝BF＝，
∴EF＝＝DF，
∴△BCD的面积＝×CD×BF＝×（）×＝．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行线分线段成比例，三角形中位线定理，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．
16．2 12
【分析】
设直线与x轴的交点为D，则D（2b,0），C（0，b），可求tan∠OCA，根据OA=OC，得∠OCA=∠CAO，即tan∠OCA=tan∠CAO；设点A的坐标为（，），点B的坐标为（，），则=，，是方程=的两个根，利用OA=OC和一元二次方程根与系数的关系定理计算即可．
【详解】
设直线与x轴的交点为D，
∵
∴D（2b,0），C（0，b），
∴OD=2b，OC=b，
∴tan∠OCA=，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠CAO，
∴tan∠OCA=tan∠CAO=2
故答案为：2；
设点A的坐标为（，），点B的坐标为（，），则，是方程=的两个根，
∴，是方程的两个根，
∴+=2b，=2k，
∴=，
∵OA=OC，
∴
∴，
解得b=，
∴+=，
∴=，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得=4或=-4（舍去）
∴==6，
∵=2k，
∴2k=24，
∴k=12，
故答案为：12；
故答案为：2,12．
【点睛】
本题考查了一次函数与反比例函数的相交，一元二次方程的解法，根与系数的关系定理，两点间的距离公式，等腰三角形的性质，灵活用等腰三角形的性质构造等式，构造一元二次方程是解题的关键．
17．（1）；（2）
【分析】
（1）根据整式的运算法则即可化简求解．
（2）根据不等式的性质即可求解．
【详解】
解：（1）原式


（2）

．
【点睛】
此题主要考查整式与不等式的运算，解题的关键是熟知其运算法则．
18．见解析
【分析】
直接利用网格结合三角形中位线性质以及结合勾股定理得出符合题意的答案．
【详解】
解：图1中满足，图2中满足．



【点睛】
此题主要考查了应用设计与作图，正确结合网格分析是解题关键．
19．（1）50人，见解析；（2）108°；（3）108人
【分析】
（1）先根据百分比计算总人数，再计算“听音乐”方式减压的人数
（2）用360°乘以“体育活动”所对应的所占百分比
（3）用总人数乘以喜欢“听音乐”方式的百分比即可
【详解】
解：（1）（人）；
“听音乐”方式减压的人数：
（人）；

（2）；
（3）（人）．
【点睛】
本题考查条形统计图、用样本估计全体、扇形圆心角度数、熟练掌握整体和各部分百分比的关系是解题的关键
20．（1）2.2米；（2）1.84米
【分析】
（1）利用探测最大角（）为的正切求出BC与探测最小角（）为的正切求AC，作差即可；
（2）利用探测最大角，找出BC用OC表示的关系式，再利用探测最小角的正切值构造方程，求解即可．
【详解】
解：（1）在中，
∵，
∴，
在中，
∵
∴
∴（米）
（2）在中，，
即，
∴设，则．
在中，，
即，
∴（米）．
经检验符合要求，
故该设备的安装高度为1.84米．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，掌握三角形中边角关系，锐角的正切与边的关系是解题关键．
21．（1）；（2）；（3）．
【分析】
（1）把点P（-3，6）代入中，即可求解；
（2）把二次函数的表达式化为顶点式即可得该二次函数图象的顶点坐标；
（3）由点Q到y轴的距离小于3，可得-3＜m＜3，在此范围内求n即可．
【详解】
解：（1）把点P（-3，6）代入中，
得：6=×（-3）2-（-3）+c，
解得：，
∴该二次函数的表达式为；
（2）y=x2-x-=（x-1）2-2，
∴该二次函数图象的顶点坐标为（1，-2）；
（3）∵点Q到y轴的距离小于3，
∴|m|＜3，
∴-3＜m＜3，
∵x=-3时，y=x2-x-=×（-3）2-（-3）-=6，
x=3时，y=x2-x-=×32-3-=0，
又∵顶点坐标为（1，-2），
∴-3＜m＜3时，n≥-2，
∴-2≤n＜6．
【点睛】
本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征是解题的关键．
22．（1）；（2）①；②120km或75km
【分析】
（1）根据图中的信息可知货车出发1.6小时行驶80km，即可求解；
（2）①先求出货车司机排除了故障的时间，根据路程÷速度＝时间即可求出货车的速度至少应该提速到多少；②求出货车司机排除了故障后的函数关系式和大巴车函数关系式，联立方程组即可．
【详解】
解：（1）货车刚出发时候的速度为：（km/h）．
（2）①设货车的速度至少应该提速到 km/h，则
，
解得：
∴货车的速度至少应该提速到km/h．
②大巴车行驶的路程与货车出发时间之间的函数关系为：．
货车修车时与大巴车相遇，即y=80时，，解得，
此时，离B地还有：200﹣80＝120（km），
根据题意可求得货车维修后继续行驶阶段，
货车的路程与货车出发时间之间的函数关系为：
，即．
联立方程可得：解之得：．
∴大巴车在行进途中与货车相遇时，离B地还有：200﹣125＝75（km），
答：大巴车在行进途中与货车相遇时，离B地还有120km或75km．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，解题的关键是明确题意，根据图象找出所求问题需要的条件．
23．（1）见解析；1或2；（2）①；②当时，是“优美三角形”的个数为0个；当时，是“优美三角形”的个数为1个；当时，是“优美三角形”的个数为2个
【分析】
（1）作出满足条件的三角形即可解决问题．
（2）①如图2中，连接AC，BD交于点O，AC交PQ于点J．设CJ=m，则PJ=QJ=2m，AJ=4m，求出OJ，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
②寻找特殊位置tanα的值，可得结论．
【详解】
解：（1）如图1中，左边图中，当高AH=BC=2时，tan∠ABC=．
右边图中，当AB=AC，∠BAC=90°时，AB边上的高AC=AB，此时tan∠ABC=tan45°=1．

（2）①如图2中，连接AC，BD交于点O，AC交PQ于点J．

∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，CB=CD，∠BAD=∠BCD=2α，
∴∠ACB=∠ACQ=α，
∵BP=DQ，
∴CP=CQ，
∴，
∴PQ∥BD，
∴AC⊥PQ，
∵△APQ是“优美三角形”，且PQ为“优美边”，
∴AJ=PQ，
∵tan∠ACB=，
∴可以假设CJ=m，则PJ=JQ=2m，AJ=PQ=4m，
∴AC=5m，
∴OA=OC=m，OJ=OC-JC=m，
∵PJ∥OB，
∴．
②如图3-1中，当P，Q分别与B，D重合时，PQ是“优美边”，tanα=．

如图3-2中，当α=45°，P，Q分别与B，D重合时，AD，AB是“优美边”，此时tan?=1，

如图3-3中，当α＞45°时，存在两个“优美三角形”（其中一个是等腰直角三角形）．

综上所述，当0＜tanα≤时，不存在“优美三角形”，当＜tanα≤1时，存在一个“优美三角形”，当tanα＞1时，存在两个“优美三角形”．
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，“优美三角形”，“优美边”的定义，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题．
24．（1）45°；（2）见解析；（3）①；②
【分析】
（1）证明∠EAD＝90°＋45°＝135°，则∠DBE＋∠EAD＝180°，即可求解；
（2）由∠AOB＝∠AOD＋90°＝135°＝∠DAE，即可求解；
（3）①由△ADE∽△OAB得到，即，即可求解；
②证明△DEB∽△DBM，则得到， 利用，代入即可求解．
【详解】
（1）∵是直径
∴
∵
∴
∵
∴
∴
（2）∵
又∵
∴∽
（3）∵∽
∴即
∴
∴
∵
∴
∴
∴
②过点作交延长线于点，连结．

∵
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴∽
∴
∴
∴．
【点睛】
本题是圆的综合题，主要考查了函数的基本知识、圆的基本性质、三角形相似等，综合性强，难度大，正确作出辅助线是本题解题的关键．