2021年湖北省武汉市武昌区中考数学训练试卷（一）

这是一份2021年湖北省武汉市武昌区中考数学训练试卷（一），共32页。试卷主要包含了四象限，则k＜﹣2等内容，欢迎下载使用。

2021年湖北省武汉市武昌区中考数学训练试卷（一）
一、选择题（本大题共10小题．每小题3分。共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑.
1．（3分）的相反数是（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
2．（3分）不透明的袋子中只有3个黑球和4个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出4个球，下列事件是不可能事件的是（　　）
A．摸出的全部是黑球 B．摸出2个黑球，2个白球
C．摸出的全部是白球 D．摸出的有3个白球
3．（3分）下列图形中，是中心对称但不是轴对称的图形是（　　）
A． B．
C． D．
4．（3分）计算（﹣2a2）3的结果为（　　）
A．﹣2a5 B．﹣8a6 C．﹣8a5 D．﹣6a6
5．（3分）如图立体图形中，三视图都一样的是（　　）
A． B． C． D．
6．（3分）某居委会组织两个检查组．分别对“居民居家安全”和“居民出行安全”的情况进行抽查，若这两个检查组在辖区内的某三个小区中各自随机抽取一个小区进行检查．则他们恰好抽到同一个小区的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．（3分）关于反比例函数y＝的下列说法：①若其图象在第二、四象限，则k＜﹣2：②若其图象上两点A（x1，y1）．B（x2，y2）．当x1＜0＜x2时．y1＜y2，则k＞﹣2；③函数图象与坐标轴没有公共点．其中正确的说法是（　　）
A．① B．①② C．①②③ D．②③
8．（3分）对于实数x，y，我们定义符号max{x，y}的意义：当x≥y时，max{x，y}＝x，当x＜y时，max{x，y}＝y．例如max{﹣1，﹣2}＝﹣1，max{3，π}＝π，则关于x的函数y＝max{3x，x+2}的图象为（　　）
A． B．
C． D．
9．（3分）如图、AB是⊙O1的直径，点O2在AB上．⊙O2经过点A．⊙O1的弦BC与⊙O2相切于点D，若AB＝6，O1O2＝1、则由弧AC、弧AD与线段CD围成阴影部分的面积为（　　）

A． B．﹣ C．﹣ D．+
10．（3分）如图，直线y＝ax与反比例函数y＝，y＝（x＞0）的图象分别交于点A、点B，将直线y＝ax绕点O逆时针旋转一个角度后分别与反比例函数y＝，y＝（x＞0）的图象交于点C、点D．直线BD与y＝的图象交于点E、点F．下列结论：①AC∥BD；②＝；③DF＝BF；④若AD∥y轴，△OAD的面积为k2﹣k1．其中正确的结论有（　　）个

A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本题共6小题，每小题3分。共18分）下列各题不需要写出解答过程。请将结梨直接填写在笞题卡指定位置.
11．（3分）+＝　 　．
12．（3分）在防治新型冠状病毒知识问答中10名参赛选手得分情况如表：
人数
1
3
4
2
分数
80
85
90
95
那么这10名选手所得分数的中位数　 　．
13．（3分）方程﹣＝1的解是　 　．
14．（3分）一艘轮船以20千米/时的速度向正东方向航行，到达A点时测得小岛C在点A北偏东60°方向：继续航行半小时到达B点，这时测得小岛C在点B的东北方向；再继续航行　 　小时，轮船刚好到达小岛C的正南方向（≈1.732，≈1.414）．
15．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）过A（0，m）．B（1，n）两点，mn＜0，对称轴为直线x＝﹣1．下列四个结论：
①bc＜0；
②4a﹣2b+c＝m；
③若m＞0，点P1（t﹣2，y1），P2（t+2，y2）在抛物线上，当y1＞0时，则y2＜0；
④方程a（x﹣1）2÷bx+c＝b有一个根在1和2之间．
其中正确的结论是　 　．（填写序号）
16．（3分）如图是由五个边长相等的小正方形拼接而成的，直线AB过点P，并把图形分成上下面积相等的两部分，则sin∠BAC＝　 　．

三、解答题（共8个小题．共72分）列各题需要在答题卡指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形.
17．（8分）解不等式组请按下列步骤完成解答：
（Ⅰ）解不等式①．得　 　；
（Ⅱ）解不等式②，得　 　；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

（Ⅳ）原不等式组的解集为　 　．
18．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC．AE⊥AD交BD于点E．CF⊥BC交BD于点F．AE＝CF．
求证：BE＝DF．

19．（8分）某学校对试卷讲评课中学生参与的深度和广度进行评价调查，其评价项目为主动质疑、独立思考、专注听讲、讲解题目四项．评价组随机抽取了若干名学生的参与情况，绘制了如图两幅不完整的统计图，请根据图中所给信思解答下列问题：

（1）在这次评价中，一共抽查了　 　名学生；
（2）讲解题目组所在扇形的圆心角的大小是　 　；
（3）如果全市有12000名初中学生，那么在试卷讲评课中，“独立思考”的学生约有多少人？
20．（8分）在如图的网格中建立平面直角坐标系．△ABP的顶熨点坐标分别为A（0，3），B（0，1），P（3，2）．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．画图过程用虚线表示，并回答下列问题：
（1）在图1中．作线段CD．使P为线段CD与线段AB的位似中心．且满足＝；
（2）在图2中，作出△PAB的外心M、并直接写出点M的坐标　 　；
（3）在图2中，作出△PAB的外接圆的切线PE．

21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上．AD是⊙O的切线，CD交⊙O于点E．交AB于点F，点E是DF的中点．
（1）求证：BC＝BF：
（2）若cos∠B＝，AD＝5，求CD的长．

22．（10分）某公司以3万元/吨的价格向养殖户收购海产品后，可以包装后直接销售，也可以深加工后再销售．若包装销售，包装成本为1万元/吨，平均销售价格y（万元/吨）与销售数量x（x≥2）（吨）之间的函数关系如图所示：若是深加工再销售，加工费用s（万元）与加工数量t（吨）之间的函数关系式是s＝12+3t，平均销售价格为9万元/吨＜提示：毛利润＝销售收入﹣营业总成本）．
（1）求该公司包装销售海产品的平均销售价格y（万元/吨）与销售数量x（x≥2）（吨）之间的函数关系式；
（2）设公司购买海产品包装后直接销x吨．则其成本为　 　万元．深加工后再销t吨，其成本为　 　万元；
（3）若该公司准备投入112万元时．求出公司获得的最大毛利润，并写出获得的最大毛利润的收购方案．

23．（10分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点P在AC上，DE⊥DP．＝，连接CE．
（1）求证：∠PCE＝90°；
（2）连PE交DC于点F．若tan∠ADP＝．求的值；
（3）如图2，作DQ⊥PE于Q，当CQ最小时，直接写出AP的长．

24．（12分）如图，抛物线y＝ax2﹣4ax+3a交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴正半轴于点C，OB＝OC，点P在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平面上有两点M（m，﹣m﹣3），N（m+2，﹣m﹣5），求△PMN的面积的最小值；
（3）若tan∠APC＝，求点P的横坐标．


2021年湖北省武汉市武昌区中考数学训练试卷（一）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题．每小题3分。共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑.
1．（3分）的相反数是（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
【分析】根据相反数的概念和绝对值的性质进行解答．
【解答】解：的相反数是﹣．
故选：D．
2．（3分）不透明的袋子中只有3个黑球和4个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出4个球，下列事件是不可能事件的是（　　）
A．摸出的全部是黑球 B．摸出2个黑球，2个白球
C．摸出的全部是白球 D．摸出的有3个白球
【分析】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件．
【解答】解：A、摸出的全部是黑球，是不可能事件；
B、摸出2个黑球，2个白球，是随机事件；
C、摸出的全部是白球，是随机事件；
D、摸出的有3个白球，是随机事件；
故选：A．
3．（3分）下列图形中，是中心对称但不是轴对称的图形是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项错误；
故选：B．
4．（3分）计算（﹣2a2）3的结果为（　　）
A．﹣2a5 B．﹣8a6 C．﹣8a5 D．﹣6a6
【分析】根据积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，计算后直接选取答案．
【解答】解：（﹣2a2）3＝（﹣2）3•（a2）3＝﹣8a6．
故选：B．
5．（3分）如图立体图形中，三视图都一样的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形解答即可．
【解答】解：A、圆柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是圆，故本选项不合题意；
B、圆锥的主视图和左视图是三角形，俯视图是带有圆心的圆，故本选项不合题意；
C、立方体的三视图都是正方形，故本选项符合题意；
D、三棱柱的主视图和俯视图是矩形，左视图是三角形，故本选项不合题意．
故选：C．
6．（3分）某居委会组织两个检查组．分别对“居民居家安全”和“居民出行安全”的情况进行抽查，若这两个检查组在辖区内的某三个小区中各自随机抽取一个小区进行检查．则他们恰好抽到同一个小区的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】将三个小区分别记为A、B、C，列举出所有等情况数和他们恰好抽到同一个小区的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：将三个小区分别记为A、B、C，根据题意列表如下：

A
B
C
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）
由表可知，共有9种等可能结果，其中他们恰好抽到同一个小区的有3种情况，
所以他们恰好抽到同一个小区的概率为＝；
故选：A．
7．（3分）关于反比例函数y＝的下列说法：①若其图象在第二、四象限，则k＜﹣2：②若其图象上两点A（x1，y1）．B（x2，y2）．当x1＜0＜x2时．y1＜y2，则k＞﹣2；③函数图象与坐标轴没有公共点．其中正确的说法是（　　）
A．① B．①② C．①②③ D．②③
【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：若反比例函数y＝的图象在第二、四象限，则k+2＜0，得k＜﹣2，故①正确；
若其图象上两点A（x1，y1）．B（x2，y2）．当x1＜0＜x2时．y1＜y2，则k+2＞0，得k＞﹣2，故②正确；
其图象与坐标轴没有公共点，故③正确；
故选：C．
8．（3分）对于实数x，y，我们定义符号max{x，y}的意义：当x≥y时，max{x，y}＝x，当x＜y时，max{x，y}＝y．例如max{﹣1，﹣2}＝﹣1，max{3，π}＝π，则关于x的函数y＝max{3x，x+2}的图象为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】令3x＝x+2，解得x＝1，画出直线y＝3x和直线y＝x+2的图象即可判断．
【解答】解：令3x＝x+2，解得x＝1，

直线y＝3x和直线y＝x+2的图象如图所示，它们的交点坐标为（1，3），由图象可知，x＜1时，x+2＞3x；
当x＞1时，3x＞x+2，
故关于x的函数y＝max{3x，x+2}的图象是选项C中的图象．
故选：C．
9．（3分）如图、AB是⊙O1的直径，点O2在AB上．⊙O2经过点A．⊙O1的弦BC与⊙O2相切于点D，若AB＝6，O1O2＝1、则由弧AC、弧AD与线段CD围成阴影部分的面积为（　　）

A． B．﹣ C．﹣ D．+
【分析】连接O2D，O1C，O2C，过O1作O1E⊥BC于E，求出AO1＝BO1＝CO1＝3，根据已知条件求出AO2＝DO2＝2，BO2＝4，求出DO2＝BO2，根据切线的性质求出∠O2DB＝90°，根据直角三角形的性质求出∠ABC＝30°，根据勾股定理求出BE＝，BD＝2，根据垂径定理求出BC＝2BE＝3，求出∠CO1B＝120°，根据图形得出阴影部分的面积S＝S﹣（S﹣S）﹣S﹣S，再求出答案即可．
【解答】解：连接O2D，O1C，O2C，过O1作O1E⊥BC于E，则∠O1EB＝90°，

∵AB＝6，
∴AO1＝BO1＝CO1＝3，
∵O1O2＝1，
∴AO2＝3﹣1＝2＝DO2，
BO2＝3+1＝4，
∴DO2＝BO2，
∵⊙O2切BC于D，
∴O2D⊥BC，
即∠O2DB＝90°，
∴∠ABC＝30°，
∴∠AO2D＝∠ABD+∠O2DB＝30°+90°＝120°，
在Rt△O1EB中，∠ABC＝30°，BO1＝3，
∴O1E＝O1B＝1.5，
由勾股定理得：BE＝＝，BD＝＝＝2，
∵O1E⊥BC，O1E过O1，
∴BC＝2BE＝2×＝3，
∵O1C＝O1B，∠ABC＝30°，
∴∠O1CB＝∠ABC＝30°，
∴∠CO1B＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∴阴影部分的面积S＝S﹣（S﹣S）﹣S﹣S
＝×π×32﹣（﹣1.5）﹣﹣
＝+，
故选：A．
10．（3分）如图，直线y＝ax与反比例函数y＝，y＝（x＞0）的图象分别交于点A、点B，将直线y＝ax绕点O逆时针旋转一个角度后分别与反比例函数y＝，y＝（x＞0）的图象交于点C、点D．直线BD与y＝的图象交于点E、点F．下列结论：①AC∥BD；②＝；③DF＝BF；④若AD∥y轴，△OAD的面积为k2﹣k1．其中正确的结论有（　　）个

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①求出AC和BD表达式中的k值，即可求解；
②利用△OAC∽△OBD，则＝，即可求解；
③只有B、D重合时，才有DF＝BF，即可求解；
④由△OAD的面积＝×AD×xA＝×（﹣）＝（﹣）＝（k2﹣k1），即可求解．
【解答】解：①设直线CD的表达式为y＝bx，
联立y＝ax、y＝并解得x＝（负值已舍去），
则y＝ax＝，
故点A的坐标为（，），
同理可得，点B、C、D的坐标分别为（，）、（，）、（，），
设过点（x1，y1）、（x2，y2）的直线表达式为y＝kx+b，
则，故k＝．
由点A、C的坐标知，直线AC表达式中的k值为：k＝＝＝，
同理可得，直线BD表达式中的k值为，
故AC∥BD正确，符合题意；

②由点A的坐标知，OA2＝（）2+（）2＝k1（a+），
同理可得OB2＝k2（a+），
∵AC∥BD，
∴△OAC∽△OBD，
则＝，
故②错误，不符合题意；

③只有B、D重合时，才有DF＝BF，
故③错误，不符合题意；

④若AD∥y轴，则yA＝yD，即＝，即ak2＝bk1，
则△OAD的面积＝×AD×xA＝×（﹣）＝（﹣）＝（k2﹣k1），
故④错误，不符合题意；
故选：A．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分。共18分）下列各题不需要写出解答过程。请将结梨直接填写在笞题卡指定位置.
11．（3分）+＝　7　．
【分析】直接利用二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝3+4
＝7．
故答案为：7．
12．（3分）在防治新型冠状病毒知识问答中10名参赛选手得分情况如表：
人数
1
3
4
2
分数
80
85
90
95
那么这10名选手所得分数的中位数　90　．
【分析】根据中位数的意义求解即可．
【解答】解：将这10名参赛选手的得分从小到大排列处在中间位置的两个数都是90分，因此中位数是90分，
故答案为：90．
13．（3分）方程﹣＝1的解是　x＝﹣　．
【分析】方程两边都乘以（x+2）（x﹣2）得出（x﹣2）（x﹣2）﹣15＝（x+2）（x﹣2），求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：﹣＝1，
方程两边都乘以（x+2）（x﹣2）得：（x﹣2）（x﹣2）﹣15＝（x+2）（x﹣2），
解得：x＝﹣，
经检验x＝﹣是原方程的解，
所以原方程的解是x＝﹣，
故答案为：x＝﹣．
14．（3分）一艘轮船以20千米/时的速度向正东方向航行，到达A点时测得小岛C在点A北偏东60°方向：继续航行半小时到达B点，这时测得小岛C在点B的东北方向；再继续航行　　小时，轮船刚好到达小岛C的正南方向（≈1.732，≈1.414）．
【分析】过C作CD⊥BC交BC的延长线于D，由含30°角的直角三角形的性质得AD＝CD，再证△BDC是等腰直角三角形，得BD＝CD，设BD＝CD＝x千米，则AD＝x千米，然后由AD﹣BD＝AB得出方程，解方程，即可解决问题．
【解答】解：如图，过C作CD⊥BC交BC的延长线于D，
由题意得：AB＝20×＝10（千米），∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∠CBD＝45°，
∴AD＝CD，△BDC是等腰直角三角形，
∴BD＝CD，
设BD＝CD＝x千米，则AD＝x千米，
∵AD﹣BD＝AB，
∴x﹣x＝10，
解得：x＝5+5，
∴BD＝（5+5）千米，
∴＝（小时），
即再继续航行小时，轮船刚好到达小岛C的正南方向，
故答案为：．

15．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）过A（0，m）．B（1，n）两点，mn＜0，对称轴为直线x＝﹣1．下列四个结论：
①bc＜0；
②4a﹣2b+c＝m；
③若m＞0，点P1（t﹣2，y1），P2（t+2，y2）在抛物线上，当y1＞0时，则y2＜0；
④方程a（x﹣1）2÷bx+c＝b有一个根在1和2之间．
其中正确的结论是　①②④　．（填写序号）
【分析】根据图象上点的坐标特征得到bc+m2＝mn，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称性，可对②进行判断；根据二次函数的性质可对③进行判断；根据题意抛物线与x轴的一个交点横坐标在0和1之间，即可得到抛物线向右平移一个单位则交点横坐标在1和2之间，于是可对④进行判断．
【解答】解：∵﹣＝﹣1，
∴a＝b，
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）过A（0，m）．B（1，n）两点，
∴c＝m，a+b+c＝n，
∴b+m＝n，
∴bc+m2＝mn，
∵mn＜0，
∴bc＜0，
∴bc＜0，故①正确；
∵A（0，m）关于对称轴x＝﹣1的对称点为（﹣2，m），
∴4a﹣2b+c＝m，故②正确；
若m＞0，则在对称轴的右侧y随x的增大而减小，
∴抛物线开口向下，
∵当t＝1时，y1＝y2＞0，故③错误；
由题意可知，抛物线与x轴的一个交点横坐标在0和1之间，
当抛物线向右平移一个单位则交点横坐标在1和2之间，即抛物线y＝a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c与x轴交点横坐标在1和2之间，
∴方程a（x﹣1）2÷bx+c＝b有一个根在1和2之间，故④正确；
故答案为①②④．
16．（3分）如图是由五个边长相等的小正方形拼接而成的，直线AB过点P，并把图形分成上下面积相等的两部分，则sin∠BAC＝　　．

【分析】如图，设AQ＝x，BJ＝y，设小正方形的边长为1．构建方程组，求出x，y，再利用勾股定理求出AB，可得结论．
【解答】解：如图，设AQ＝x，BJ＝y，设小正方形的边长为1．

∵PJ∥AC，
∴＝，
∴＝①，
又∵•（y+1）•（3+x）＝②，
由①②，可得y＝，x＝，
∴AC＝3+＝，BC＝1+＝，
∴AB＝＝＝，
∴sin∠BAC＝＝＝，
故答案为：．
三、解答题（共8个小题．共72分）列各题需要在答题卡指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形.
17．（8分）解不等式组请按下列步骤完成解答：
（Ⅰ）解不等式①．得　x≤3　；
（Ⅱ）解不等式②，得　x＞0　；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

（Ⅳ）原不等式组的解集为　0＜x≤3　．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得x≤3，
（Ⅱ）解不等式②，得x＞0，
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

（Ⅳ）原不等式组的解集为0＜x≤3．
故答案为：x≤3，x＞0，0＜x≤3．
18．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC．AE⊥AD交BD于点E．CF⊥BC交BD于点F．AE＝CF．
求证：BE＝DF．

【分析】证明△ADE≌△CBF可得DE＝BF，即可得到结论．
【解答】证明：∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CBF，
∵AE⊥AD，CF⊥BC，
∴∠EAD＝∠FCB＝90°，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（AAS），
∴DE＝BF，
∴DE﹣EF＝BF﹣EF，即BE＝DF．
19．（8分）某学校对试卷讲评课中学生参与的深度和广度进行评价调查，其评价项目为主动质疑、独立思考、专注听讲、讲解题目四项．评价组随机抽取了若干名学生的参与情况，绘制了如图两幅不完整的统计图，请根据图中所给信思解答下列问题：

（1）在这次评价中，一共抽查了　560　名学生；
（2）讲解题目组所在扇形的圆心角的大小是　54°　；
（3）如果全市有12000名初中学生，那么在试卷讲评课中，“独立思考”的学生约有多少人？
【分析】（1）由“专注听讲”的学生数和所占的百分比即可得出抽查的学生总人数；
（2）用360°乘以讲解题目的学生人数所占的百分比即可；
（3）用样本中“独立思考”的学生数占被调查学生数的比例乘以总人数12000可得答案．
【解答】解：（1）在这次评价中，共抽查的学生有：224÷40%＝560（名）．
故答案为：560；

（2）选择“讲解题目”的人数为：560﹣84﹣168﹣224＝84（人），
讲解题目组所在扇形的圆心角的大小是：360°×＝54°．
故答案为：54°；

（3）×12000＝3600（人），
答：在试卷讲评课中，“独立思考”的学生约有3600人．
20．（8分）在如图的网格中建立平面直角坐标系．△ABP的顶熨点坐标分别为A（0，3），B（0，1），P（3，2）．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．画图过程用虚线表示，并回答下列问题：
（1）在图1中．作线段CD．使P为线段CD与线段AB的位似中心．且满足＝；
（2）在图2中，作出△PAB的外心M、并直接写出点M的坐标　（，）　；
（3）在图2中，作出△PAB的外接圆的切线PE．

【分析】（1）如图1中，取格点E，F，连接PE，PF，取格点P，Q，连接PQ交PE于D，取格点M，N，连接MN交PF于C，连接CD，线段CD即为所求作．
（2）作线段PB，AP的垂直平分线交于点M，点M即为所求作．
（3）作PE⊥PM即可．
【解答】解：（1）如图1中，线段CD即为所求作．
（2）如图2中，点M即为所求作，M（，）．
故答案为：（，）．
（3）如图2中，直线PE即为所求作．

21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上．AD是⊙O的切线，CD交⊙O于点E．交AB于点F，点E是DF的中点．
（1）求证：BC＝BF：
（2）若cos∠B＝，AD＝5，求CD的长．

【分析】（1）根据题意和圆周角的定理，三角形内角和，可以得到∠BFC＝∠BCF，然后即可得到结论成立；
（2）根据等腰三角形的性质、勾股定理可以得到DM的长，然后即可得到CD的长．
【解答】（1）证明：∵AD是⊙O的切线，点E是DF的中点，
∴AE＝DF＝EF，
∴∠EAF＝∠EFA，
∵∠CBF＝∠AEF，∠BFC＝∠EFA，
∴∠EAF＝∠BCF，
∴∠BFC＝∠BCF，
∴BC＝BF；
（2）∵AD是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，
∴∠FAD＝90°，∠BCA＝90°，
∵∠BCF＝∠EAF，
∴∠ACD＝∠EAD，
又∵AD是⊙O的切线，点E是DF的中点，
∴AE＝DF＝DE，
∴∠EAD＝∠EDA，
∴∠ACD＝∠EDA，
∴AC＝AD，
∵cos∠B＝，∠BCA＝90°，
∴设BC＝3x，AB＝5x，则AC＝4x，
∵BC＝BF，AD＝AC，AD＝5，
∴AF＝2x，4x＝5，
∴AF＝，
∴DF＝＝，
作AM⊥DF于点M，
∵，
∴，
解得AM＝，
∴DM＝＝＝2，
∵AC＝AD，AM⊥CD，
∴CD＝2DM＝4，
即CD的长是4．

22．（10分）某公司以3万元/吨的价格向养殖户收购海产品后，可以包装后直接销售，也可以深加工后再销售．若包装销售，包装成本为1万元/吨，平均销售价格y（万元/吨）与销售数量x（x≥2）（吨）之间的函数关系如图所示：若是深加工再销售，加工费用s（万元）与加工数量t（吨）之间的函数关系式是s＝12+3t，平均销售价格为9万元/吨＜提示：毛利润＝销售收入﹣营业总成本）．
（1）求该公司包装销售海产品的平均销售价格y（万元/吨）与销售数量x（x≥2）（吨）之间的函数关系式；
（2）设公司购买海产品包装后直接销x吨．则其成本为　4x　万元．深加工后再销t吨，其成本为　（12+6t）　万元；
（3）若该公司准备投入112万元时．求出公司获得的最大毛利润，并写出获得的最大毛利润的收购方案．

【分析】（1）这是一个分段函数，分别求出其函数关系式；
（2）公司购买海产品包装后直接销x吨．则其成本为：（3+1）x万元；深加工后再销t吨，其成本为：3t+12+3t＝（12+6t）万元；
（2）本问是方案设计问题，设包装销售海产为x吨，深加工后再销海产为t吨，根据（2）的结果可求出总成本的表达式，分别求出当2≤x≤8时及当x＞8时w关于x的表达式，并分别求出其最大值．
【解答】解：（1）设x，y的解析式为y＝kx+b，
把x＝2时，y＝12，x＝8时，y＝6得：，
解得：，
∴y＝﹣x+14（2≤x≤8），
由图得：x＞8时，y＝6，
∴y＝；
（2）公司购买海产品包装后直接销x吨．则其成本为：（3+1）x＝4x（万元）；深加工后再销t吨，其成本为：3t+12+3t＝（12+6t）万元，
故答案为：4x，（12+6t）；
（3）设其中包装销售海产为x吨，深加工后再销海产为t吨，
由（2）得：包装销售海产加工成本为：4x万元，深加工后再销海产加工成本为：（12+6t）万元，
∴4x+（12+6t）＝112，化简得：t＝．
∵t≥0，
∴≥0，
解得：x≤25，
设总利润为w万元，
①当2≤x≤8时，
w＝x（﹣x+14）+9t﹣112＝﹣x2+14x+9×﹣112＝﹣x2+14x+150﹣6x﹣112＝﹣x2+8x+38＝﹣（x﹣4）2+54．
∴当x＝4时，有最大毛利润54万元，
此时m＝18，m﹣x＝14；
②当x＞8时，
w＝6x+9t﹣112＝6x+9×﹣112＝38，
∴当x＞8时，有最大毛利润38万元．
∵54＞38，
∴当x＝4时，有最大毛利润54万元，此时，t＝＝14（吨）．
综上所述，收购海产品应是18吨，其中包装销售海产为4吨，深加工后再销海产为14吨，公司能够获得最大毛利润，最大毛利润为54万元．
23．（10分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点P在AC上，DE⊥DP．＝，连接CE．
（1）求证：∠PCE＝90°；
（2）连PE交DC于点F．若tan∠ADP＝．求的值；
（3）如图2，作DQ⊥PE于Q，当CQ最小时，直接写出AP的长．

【分析】（1）根据矩形ABCD的性质，证得△CDE∽△ADP，再利用相似三角形性质即可证明结论；
（2）过点F作FG⊥DP于点G，根据tan∠ADP＝，得出＝，设DG＝a，则FG＝2a，由勾股定理得DF＝a，再根据tan∠DPE＝＝，得出PG＝，运用勾股定理求得PF＝a，即可求得答案；
（3）根据点到直线距离垂线段最短可得当CQ最小时，CQ⊥PE，再由DQ⊥PE于Q，可得C、D、Q在同一条直线上，再证明△PQD≌△PQC（ASA），得出点P为AC的中点即可得出答案．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，AB＝3，AD＝4，
∴∠ADC＝90°，CD＝AB＝3，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∵DE⊥DP，
∴∠PED＝∠ADC＝90°，
∴∠CDE+∠CDP＝∠ADP+∠CDP，
∴∠CDE＝∠ADP，
∴△CDE∽△ADP，
∴∠DCE＝∠DAP，
∵∠DAP+∠ACD＝90°，
∴∠DCE+∠ACD＝90°，
∴∠PCE＝90°；
（2）如图1，过点F作FG⊥DP于点G，
∴∠DGF＝90°，
∴∠DFG+∠FDG＝90°，
∵∠ADP+∠FDG＝90°，
∴∠DFG＝∠ADP，
∴tan∠DFG＝tan∠ADP＝，
∵tan∠DFG＝，
∴＝，
设DG＝a，则FG＝2a，
∴DF＝＝＝a，
∵tan∠DPE＝＝，
∴＝tan∠DPE＝，
∴＝，
∴PG＝，
∴PF＝＝＝a，
∴＝＝；
（3）如图2，作DM⊥AC于M，连接BD，PB，MQ，
∵tan∠DPE＝＝，tan∠DBC＝＝，
∴∠DPE＝∠DBC，
∵DQ⊥PE，
∴∠DQP＝∠BCD＝90°，
∴∠DPE+∠PDQ＝∠DBC+∠BDC＝90°，
∴∠PDQ＝∠BDC，即∠PDB+∠BDQ＝∠BDQ+∠QDC，
∴∠PDB＝∠QDC，
∵＝sin∠DPE＝sin∠DBC＝，
∴＝，
∴△PDB∽△QDC，
∴＝，
∵DB＝＝＝5，
∴＝＝，
∴当CQ最小时，BP最小，
∴当BP⊥AC时，BP最小，
∵BP⊥AC，
∴＝cos∠BAC＝＝，
∴AP＝AB＝×3＝，
故AP＝．


24．（12分）如图，抛物线y＝ax2﹣4ax+3a交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴正半轴于点C，OB＝OC，点P在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平面上有两点M（m，﹣m﹣3），N（m+2，﹣m﹣5），求△PMN的面积的最小值；
（3）若tan∠APC＝，求点P的横坐标．

【分析】（1）根据题意可得C（0，3a），A（1，0），B（3，0），再由OB＝OC，建立方程求解即可；
（2）过点P作PH⊥直线MN于点E，作PE⊥x轴交直线MN于点E，设P（t，t2﹣4t+3），则E（t，﹣t﹣3），可得PE＝t2﹣3t+6，进而可得PH＝PE＝（t﹣）2+，运用二次函数最值可得PH有最小值，即可求得答案；
（3）设P（n，n2﹣4n+3），运用待定系数法求出AP，CD的解析式，再由AP⊥CD，可求得直线PD解析式，再求出点D的坐标，过点D作DK⊥y轴于点K，过点P作PT∥y轴交DK于点T，证明△PDT∽△DCK，应用相似三角形性质即可求出点P的横坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣4ax+3a交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴正半轴于点C，
令x＝0，得y＝3a，
∴C（0，3a），
令y＝0，得ax2﹣4ax+3a＝0，
解得：x1＝1，x2＝3，
∴A（1，0），B（3，0），
∵OB＝OC，
∴3a＝3，
解得：a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3；
（2）∵M（m，﹣m﹣3），N（m+2，﹣m﹣5），
∴M，N在直线y＝﹣x﹣3上，
MN＝＝2，
如图1，过点P作PH⊥直线MN于点E，作PE⊥x轴交直线MN于点E，
设P（t，t2﹣4t+3），则E（t，﹣t﹣3），
∴PE＝t2﹣4t+3﹣（﹣t﹣3）＝t2﹣3t+6，
∵直线y＝﹣x﹣3与x轴交点为F（﹣3，0），与y轴交点为K（0，﹣3），
∴OF＝OK＝3，
∴∠OKF＝45°，
∵PE∥y轴，
∴∠PEH＝∠OKF＝45°，
∵∠PHE＝90°，
∴＝sin∠PEH＝sin45°＝，
∴PH＝PE＝（t2﹣3t+6）＝（t﹣）2+，
∵＞0，
∴当t＝时，PH有最小值，此时△PMN的面积最小，
S△PMN最小值＝MN•PH＝×2×＝；
（3）∵点P在抛物线上，
∴设P（n，n2﹣4n+3），如图2，
设直线AP的解析式为y＝k1x+b1（k1≠0），
直线CD的解析式为y＝k2x+b2（k2≠0），
将A（1，0），P（n，n2﹣4n+3）代入y＝k1x+b1，
得，
解得：，
∴直线AP的解析式为y＝（n﹣3）x+3﹣n，
∵AP⊥CD，
∴k2＝，
将C（0，3）代入y＝x+b2，得：b2＝3，
∴直线CD的解析式为y＝x+3，
联立直线AP，直线CD的解析式，得，
解得：，
∴D（，），
过点D作DK⊥y轴于点K，过点P作PT∥y轴交DK于点T，
∴∠CKD＝∠DTP＝∠CDP＝90°，
∴∠CDK+∠PDT＝∠CDK+∠DCK＝90°，
∴∠PDT＝∠DCK，
∴△PDT∽△DCK，
∴＝＝tan∠APC＝，
∴DT＝2CK，
∵CK＝3﹣，DT＝n﹣，
∴n﹣＝2[3﹣]，
解得：n＝，
∴点P的横坐标为．