人教版新课标A3.2.2函数模型的应用实例教学设计

3.2.2函数模型的应用实例

班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________

课前预习 · 预习案

【温馨寄语】

有人说：“人人都可以成为自己的幸运的建筑师。”愿你们在前行的道路上，用自己的双手建造幸运的大厦

【学习目标】

1．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义

2．恰当运用函数的三类表示法(解析式、图象、表格)并借助信息技术解决一些实际问题.

【学习重点】

1．将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义

2．集合的表示方法，即运用集合的列举法与描述法，正确表示一些简单的集合

【学习难点】

运用数学模型分析解决实际问题

对数函数应用题的基本类型和求解策略

知识拓展 · 探究案

【交流展示】

1．某市原来民用电价为0.52元/kW·h，换装分时电表后，峰时段(早上八点到晚上九点)的电价为0.55元/kW·h，谷时段(晚上九点到次日早上八点)的电价为0.35元/kW·h，对于一个平均每月用电量为200kW·h的家庭，要使节省的电费不少于原来电费的10%，则这个家庭每月在峰时段的平均用电量

2．一等腰三角形的周长是20，底边长是关于腰长的函数，它的解析式为

3．某产品按质量分为10个档次，生产第一档(即最低档次)的利润是每件8元.每提高一个档次，利润每件增加2元，但每提高一个档次，在相同的时间内，产量减少3件，如果在规定的时间内，最低档次的产品可生产60件，则在同样的时间内，生产哪一档次的产品的总利润最大？

4．某车间生产某种产品，固定成本为2万元，每生产一件产品，成本增加100元，已知总收益(总收益指工厂出售产品的全部收入，它是成本与总利润的和，单位：元)是年产量(单位：件)的函数，满足关系式：求每年生产多少产品时，总利润最大？此时总利润是多少元？

5．某单位职工工资经过六年翻了三番，则每年比上一年平均增长的百分率是

(下列数据仅供参考：)

6．某人2013年1月1日到银行存入一年期存款元，若年利率为,按复利计算，到2016年1月1日，可取回款            元.

7．如图，开始时桶1中有升水，分钟后剩余的水符合指数衰减曲线，那么桶2中水就是，假设过5分钟后桶1和桶2的水相等，则再过     分钟桶1中的水只有升.

8．某海滨城市现有人口100万人，如果年平均自然增长率为1.2%.解答下面的问题：

(1)写出该城市人口数(万人)与年份(年)的函数关系.

(2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人).

(3) 计算大约多少年后该城市人口将达到120人(精确到1年).

9．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量(只)与引入时间(年)的关系为，若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到

10．燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的专家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数，单位是m/s，其中表示燕子的耗氧量.

(1)当燕子静止时的耗氧量是多少个单位？

(2)当一只两岁燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？

11．今有一组数据，如表所示：

下列函数模型中，最接近地表示这组数据满足的规律的一个是

12．某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，下表是某公司前5天监测到的数据：

则下列函数模型中能较好地反映计算机在第天被感染的数量与之间的关系的是

【学习小结】

1．幂函数模型解析式的两种类型及求解方法

(1)已知函数解析式形式：用待定系数法求解.

(2)解析式形式未知：审清题意，弄清常量，变量等各元素之间的关系，列出两个变量，之间的解析式，进而解决问题.

2．二次函数模型应用题的解法

(1)理解题意，设定变量，.

(2)建立二次函数关系，并注明定义域.

(3)运用二次函数相差知识求解.

(4)回归到应用问题中去，给出答案.

3．一次函数模型的特点和求解方法

(1)一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线.

(2)解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要步骤是：设元、列式、求解.

4．对一次函数解析式的三点说明

解析式：.

(1)一次项的系数.

(2)时，是的正比例函数，即为非零常数).

(3)时，直线必经过一、二象限；时，直线必经过原点；时，直线必经过三、四象限.

5．数据拟合问题的三种求解策略

(1)直接法：若由题中条件能明显确定需要用的数学模型，或题中直接给出了需要用的数学模型，则可直接代入表中的数据，问题即可获解.

(2)列式比较法：若题所涉及的是最优化方案问题，则可根据表格中的数据先列式，然后进行比较.

(3)描点观察法：若根据题设条件不能直接确定需要用哪种数学模型，则可根据表中的数据在直角坐标系中进行描点，作出散点图，然后观察这些点的位置变化情况，确定所需要用的数学模型，问题即可顺利解决.

6．对数函数应用题的基本类型和求解策略

(1)基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数解析式，然后根据实际问题再求解.

(2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义.

7．指数型函数模型在生活中的应用

(1)在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率总理常可以用指数型函数模型表示，通常可以表示为(其中为基础数，为增长率，为时间)的形式.

(2)增长率问题多抽象为指数函数形式，当由指数函数形式来确定相差的量的值要求不严格时，可以通过图象近似求解.是数学常用的方法之一.

【当堂检测】

1．某商人购货，进价按原价扣去25%，他希望对货物订一新价，以便按新价让利20%销售后可获得售价25%的纯利，则此商人经营这种货物的件数与按新价让利总额之间的函数关系是                     .

2．已知镭经过100年，质量便比原来减少4.24%，设质量为1的镭经过年后的剩留量为，则的函数解析式为                 .

3．某企业实行裁员增效.已知现有员工人，每人每年可创纯收益(已扣工资等)1万元，据评估在生产条件不变的条件下，每裁员一人，则留岗员工每人每年可多创收0.01万，但每年需付给每位下岗工人0.4万元的生活费，并且企业正常运转所需人数不得少于现有员工的，设该企业裁员人后年纯收益为万元.

(1)写出关于的函数关系式，并指出的取值范围.

(2) 当时，问该企业应裁员多少人，才能获得最大的经济效益？(注：在保证能取得最大经济效益的情况下，能少裁员，应尽量少裁.)

4．某工厂今年1月，2月，3月生产某产品分别为1万件，1.2万件，1.3万件，为了预测以后每个月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量与月份数的关系，模拟函数可选用二次函数或指数型函数(其中，，为常数).已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问选择以上哪个函数作为模型较好？并说明理由.

答案

【交流展示】

1．D

2．D

3．B

4．y＝R－100Q－20000

.

(1)0≤Q≤400时，，

当Q＝300时，ymax＝25 000.

(2)Q＞400时，y＝60 000－100Q＜20 000，

综合(1)(2)，当每年生产300件产品时，总利润最大，为25 000元.

5．B

6．A

7．10

8．(1)1年后该城市人口总数为y＝100＋100×1.2％＝100×(1＋1.2％)，

2年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2％)2，

3年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2％)3，

……

x年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2％)x(x∈N).

(2)10年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2％)10＝100×1.01210≈112.7(万人).

(3)设x年后人口将达到120万人，

即可得到＝120，

.所以大约16年后该城市人口总数达到120万人.

9．A

10．(1)由题意，当燕子静止时，它的速度υ＝0，

所以，，解得：O＝10，

则燕子静止时的耗氧量是10个单位.

(2)由耗氧量O＝80得：.

11．C

12．C

【当堂检测】

1．(x∉N*)

2．

3．(1)由题意可得

y＝(a－x)(1＋0.01x)－0.4x

，

因为，所以.

即x的取值范围是中的自然数.

(2)因为，且140＜a≤280，所以当a为偶数时，，y取最大值.

当a为奇数时，，y取最大值.

(因为尽可能少裁人，所以舍去.)

答：当员工人数为偶数时，裁员人，才能获得最大的经济效益，当员工人数为奇数时，裁员人，才能获得最大的经济效益.

4．设y1＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则有

解得

所以f(4)＝－0.05×42＋0.35×4＋0.7＝1.3.①

设y2＝g(x)＝mnx＋p则有

解得

所以g(4)＝－0.8×0.54＋1.4＝135.②

比较①，②知，g(4)＝1.35更接近4月份的实际产量1.37万件.故选择y＝－0.8×0.5x＋1.4作为模型较好.