人教A必修3高中数学综合检测卷

模块综合检测

(时间:120分钟　满分:150分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.某工厂有高级技工4 200人,初级技工1 200人,为了解技工的技能情况,用分层抽样的方法从该工厂抽取一个容量为n的样本进行测试,已知从高级技工中抽取70人,则n为(　　)

A.100 B.150 C.200 D.90

解析:由题意得,,∴n=90.

答案:D

2.从一堆苹果中任取10个,称得它们的质量如下(单位:克):

125　120　122　105　130　114　116　95　120　134

则样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为(　　)

A.0.2 B.0.3

C.0.4 D.0.5

解析:由已知落在[114.5,124.5)内的数据有120,122,116,120,共4个,故所求频率为=0.4.

答案:C

3.在第3,6,16路公共汽车的一个停靠站,假定这个停靠站在同一时刻只能停靠一辆汽车,有一位乘客需乘3路或6路车到厂里.已知3路车、6路车在5分钟内到此停靠站的概率分别为0.2和0.6,则此乘客在5分钟内能乘到所需车的概率为(　　)

A.0.2 B.0.6

C.0.8 D.0.12

解析:由已知乘3路车、6路车彼此互斥,故乘客在5分钟内乘到车的概率为0.2+0.6=0.8.

答案:C

4.某产品分为优质品、合格品、次品三个等级.生产中出现合格品的概率为0.25,出现次品的概率为0.03.在该产品中任抽一件,则抽得优质品的概率是(　　)

A.0.28 B.0.72

C.0.75 D.0.97

解析:根据题意,抽得优质品的概率是P=1-0.25-0.03=0.72,故选B.

答案:B

5.如图所示是一个容量为100的样本的频率分布直方图,则由图形中的数据,样本落在[15,20]内的频数为(　　)

A.20 B.30

C.40 D.50

解析:样本落在[15,20]内的频率是1-5×(0.04+0.1)=0.3,则样本落在[15,20]内的频数为0.3×100=30.

答案:B

6.执行如图所示的程序框图,若输入x=4,则输出y的值为(　　)

A.- B.4

C. D.1

解析:x=4,y=×4-1=1,|1-4|<1不成立;x=1,y=×1-1=-<1不成立;x=-,y=-1=-<1成立,输出-.

答案:A

7.有四个游戏盘,如图,如果撒一粒黄豆落在阴影部分,则可中奖.小明希望中奖机会大一些,他应选择的游戏盘为              (　　)

解析:根据几何概型公式计算可得A,B,C,D对应的概率分别为,1-,故应选择的游戏盘为A.

答案:A

8.阅读下列程序:

若输入x=-2,则输出结果y为(　　)

A.0 B.-1

C.-2 D.9

解析:输入x=-2,则x=-2<0成立,则y=2×(-2)+3=-1,故输出-1.

答案:B

9.某个班有45名学生,学校为了了解他们的身体发育状况,决定分成男生、女生两部分分层抽样,若每个女生被抽取的概率为0.2,抽取了3名女生,则男生应抽取(　　)

A.3名 B.4名

C.5名 D.6名

解析:由于抽样时每个个体被抽到的概率相等,则抽样比等于每个女生被抽取的概率0.2,则有女生=15(名),所以本班男生有45-15=30(名).

所以男生应抽取30×0.2=6(名).

答案:D

10.某工厂对一批产品进行了抽样检测.下图是根据抽样检测后的产品净重(单位:克)数据绘制的频率分布直方图,其中产品净重的范围是[96,106],样本数据分组为[96,98),[98,100),[100,102),[102,104),[104,106],已知样本中产品净重小于100克的个数是36,则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是              (　　)

A.90 B.75

C.60 D.45

解析:设样本容量是n,产品净重小于100克的概率为(0.050+0.100)×2=0.300,已知样本中产品净重小于100克的个数是36,则=0.300,所以n=120.净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100+0.150+0.125)×2=0.75.

所以样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0.75=90.

答案:A

11.设a是从集合{1,2,3,4}中随机取出的一个数,b是从集合{1,2,3}中随机取出的一个数,构成一个基本事件(a,b).记“这些基本事件中,满足logba≥1”为事件E,则E发生的概率是(　　)

A. B.

C. D.

解析:由已知所求的基本事件为(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3)共12个.

满足条件的事件是满足logba≥1,可以列举出所有的事件,当b=2时,a=2,3,4,当b=3时,a=3,4,共有3+2=5个,∴根据古典概型的概率公式得到概率是.

答案:B

12.某地区100个家庭收入从低到高是 5 800元,…,10 000元各不相同,在输入计算机时,把最大的数错误地输成100 000元,则依据错误数字算出的平均值与实际数字的平均值的差是(　　)

A.900元 B.942元

C.90 000元 D.1 000元

解析:设实际数字的平均值为,错误数字的平均值为,则+900,所以=900.

答案:A

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)

13.1021(3)化为十进制的数是　　　　　. 

解析:1×33+0×32+2×31+1×30=27+6+1=34.

答案:34

14.某中学期中考试后,对成绩进行分析,求出了外语成绩x对总成绩y的回归直线方程是=7.3x-96.9,如果该校李明的外语成绩是95分,那么他的总成绩可能是　　　　　分.(精确到整数) 

解析:当x=95时,=7.3×95-96.9≈597.

答案:597

15.在一个盒中装有6支圆珠笔,其中3支一等品,2支二等品和1支三等品,从中任取3支,恰有2支一等品的概率是　　　　　. 

解析:设一等品为1,2,3,二等品为4,5,三等品为6,从中任取3支,基本事件为(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,2,6),(1,3,4),(1,3,5),(1,3,6),(1,4,5),(1,4,6),(1,5,6),(2,3,4),(2,3,5),(2,3,6),(2,4,5),(2,4,6),(2,5,6),(3,4,5),(3,4,6),(3,5,6),(4,5,6),共20个,其中恰有2支一等品有(1,2,4),(1,2,5),(1,2,6),(1,3,4),(1,3,5),(1,3,6),(2,3,4),(2,3,5),(2,3,6),共9个,恰有两支一等品的概率P=.

答案:

16.对一个做直线运动的质点的运动过程观测了8次,得到如下表所示的数据.

在上述统计数据的分析中,一部分计算见如图所示的算法程序框图(其中是这8个数据的平均数),则输出的s的值是　　　　　. 

解析:=(40+41+43+43+44+46+47+48)÷8=44,该程序框图是计算这8个数据的方差,经计算得s=7,则输出7.

答案:7

三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)某校社团活动开展得有声有色,极大地推动了学生的全面发展,深受学生欢迎,每届高一新生都踊跃报名加入.现已知高一某班60名同学中有4名男同学和2名女同学参加心理社.现从这6名同学中随机选取2名同学代表社团参加校际交流(每名同学被选到的可能性相同).

(1)在该班随机选取1名同学,求该同学参加心理社团的概率;

(2)求从参加心理社的6名同学中选出的2名同学代表至少有1名女同学的概率.

解:(1)依题意,该班60名同学中有6名同学参加心理社,所以在该班随机选取1名同学,该同学参加心理社的概率为.

(2)设A,B,C,D表示参加心理社的男同学,a,b表示参加心理社的女同学,则从6名同学中选出的2名同学代表共有15种等可能的结果:AB,AC,AD,Aa,Ab,BC,BD,Ba,Bb,CD,Ca,Cb,Da,Db,ab,其中至少有1名女同学的结果有9种:Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb,Da,Db,ab,故所求概率为P=.

18.(12分)对某400件元件进行寿命追踪调查,情况分布如下:

(1)列出寿命与频数对应表;

(2)计算元件寿命在[500,800)h以内的频率.

解:(1)由于频率=,每组的频数=频率×400,计算得寿命与频数对应表:

(2)设“元件寿命在[500,600)h以内”为事件A,“元件寿命在[600,700)h以内”为事件B,“元件寿命在[700,800)h以内”为事件C,“元件寿命在[500,800)h以内”为事件D,则事件A,B,C两两互斥,且D=A∪B∪C,

由题意,得P(A)=0.10,P(B)=0.15,P(C)=0.40,则P(D)=P(A)+P(B)+P(C)=0.10+0.15+0.40=0.65,即元件寿命在[500,800)h以内的频率为0.65.

19.(12分)从高三年级中抽出50名学生参加数学竞赛,由成绩得到如下的频率分布直方图.

试利用频率分布直方图求:

(1)这50名学生成绩的众数与中位数;

(2)这50名学生的平均成绩.

解:(1)由图可知第四个小矩形最高,则众数为75分.

又因为前3个小长方形的面积为(0.004+0.006+0.02)×10=0.3,

第四个长方形的面积为0.03×10=0.3,且0.3+0.3>0.5,

所以中位数应位于第四个小长方形内.设中位数的值为x,又第四个小长方形的高为0.03,令0.03(x-70)=0.2,得x≈76.7,故中位数为76.7分.

(2)样本平均值应是频率分布直方图的“重心”,即所有数据的平均数,取每个小长方形底边的中点值乘每个小长方形的面积,然后求和即可.

故平均成绩为45×(0.004×10)+55×(0.006×10)+65×(0.02×10)+75×(0.03×10)+85×(0.024×10)+95×(0.016×10)=76.2(分).

20.(12分)右边茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数.乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以X表示.

(1)如果X=8,求乙组同学植树棵数的平均数和方差;

(2)如果X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵数为19的概率.

解:(1)当X=8时,由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数为8,8,9,10,所以平均数为.

方差为s2=

.

(2)记甲组四名同学为A1,A2,A3,A4,他们植树的棵数依次为9,9,11,11;乙组四名同学为B1,B2,B3,B4,他们植树的棵数依次为9,8,9,10.

分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,所有可能的结果有16个,它们是:

(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,B4),

(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,B4),

(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),(A3,B4),

(A4,B1),(A4,B2),(A4,B3),(A4,B4).

用C表示:“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件,则C中的结果有4个,它们是:(A1,B4),(A2,B4),(A3,B2),(A4,B2),故所求概率为P(C)=.

2.1(12分)某城镇社区为了丰富辖区内广大居民的业余文化生活,创建了社区“文化丹青”大型活动场所,配备了各种文化娱乐活动所需要的设施,让广大居民健康生活、积极向上,社区最近四年内在“文化丹青”上的投资金额统计数据如表:(为了便于计算,把2015年简记为5,其余以此类推)

(1)利用所给数据,求出投资金额y与年份x之间的回归直线方程x+;

(2)预测该社区2019年在“文化丹青”上的投资金额.

附:对于一组数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其回归直线x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为.

解:(1)由题意得×(5+6+7+8)=6.5,

×(15+17+21+27)=20,

(xi-)(yi-)=(5-6.5)×(15-20)+(6-6.5)×(17-20)+(7-6.5)×(21-20)+(8-6.5)×(27-20)=20,

(xi-)2=(5-6.5)2+(6-6.5)2+(7-6.5)2+(8-6.5)2=5,

∴=4,

∴=20-4×6.5=-6.

∴回归直线方程为=4x-6.

(2)当x=9时,=4×9-6=30,故预测该社区2019年在“文化丹青”上的投资金额为30万元.

2.2(12分)某保险公司利用简单随机抽样方法,对投保车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下:

(1)若每辆车的投保金额均为2 800元,估计赔付金额大于投保金额的概率;

(2)在样本车辆中,车主是新司机的占10%,在赔付金额为4 000元的样本车辆中,车主是新司机的占20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为4 000元的概率.

解:(1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”,B表示事件“赔付金额为4 000元”,以频率估计概率得P(A)==0.15,P(B)==0.12.

由于投保金额为2 800元,赔付金额大于投保金额对应的情形是3 000元和4 000元,所以估计其概率为P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27.

(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔金额为4 000元”,由已知,样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000=100(辆),而赔付金额为4 000元的车辆中,车主为新司机的有0.2×120=24(辆).

所以样本车辆中新司机获赔金额为4 000元的频率为=0.24,由频率估计概率得P(C)=0.24.