全国统考2022版高考数学大一轮复习解题思维8高考中概率统计解答题的提分策略备考试题（含解析）

解题思维8　高考中概率、统计解答题的提分策略

1.[2021大庆实验中学模拟,12分]为了普及法律知识,达到“法在心中”的目的,某市组织了普法知识竞赛.统计局调查队随机抽取了甲、乙两个单位各5名职工的成绩(单位:分),成绩如下表所示:

(1)根据表中的数据,分别求出甲、乙两个单位5名职工成绩的平均数和方差.

(2)用简单随机抽样的方法从乙单位5名职工的成绩中抽取2名职工的成绩,求抽取的2名职工的成绩差至少是4分的概率.

2.[2020吉林长春实验中学测试,12分]通常用PM 2.5的值表示空气的污染情况,PM 2.5的值越高,空气污染就越严重,下表是某公园中参加室外锻炼的人数y与PM 2.5的值x的一些数据.

(1)请用相关系数r(精确到0.01)说明y与x之间具有什么样的相关关系;

(2)根据上表提供的数据,估计当PM 2.5的值为40时该公园中参加室外锻炼的人数;

(3)将表格中的数据看作五个点的坐标(xj,yj)(j=1,2,…,5),从这五个点中任意抽取两个点,求这两个点都在圆(x-80)2+(y-90)2=100外的概率.

参考公式:r=;

线性回归方程x+中,,.

参考数据:xIyI=39 200,=34 600,=50 250,≈5.10,≈15.81.

3.[条件创新,12分]某企业销售部门为了解员工的销售能力,按性别利用分层抽样的方法从该部门现有员工中(其中男生占比为45%)随机抽取n名进行问卷调查,并将得分分为1,2,3,4,5五个档次,各档次中参与问卷调查的员工人数如条形图8-1所示.已知第5档的员工人数占总人数的.

图8-1

(1)若将某员工得分所在的档次作为该员工销售的能力基数x0(记能力基数x0=5为能力基数高,其他均为能力基数不高),在能力基数为5的员工中,女生与男生的比例为7∶3,以抽取的n名员工为研究对象,完成下面的2×2列联表,并判断是否有90%的把握认为能力基数高低与性别有关.

(2)为提高员工认知并调动员工自主学习的积极性,部门组织员工参加各种形式的培训讲座.已知每位员工的销售能力指数y、能力基数x0以及参加培训的次数t满足函数关系式y=x0+(1+x0)(1+),如果员工甲的能力基数为4,员工乙的能力基数为2,则在甲不参加培训的情况下,乙至少参加多少次培训,其销售能力指数超过甲?

参考数据及参考公式:ln 3≈1.099,K2=,n=a+b+c+d.

4.[2021湖南省六校联考,12分]随着城市规模的扩大和人们生活水平的日益提高,某市近年机动车保有量逐年递增.根据机动车管理部门的统计数据,以5年为一个研究周期,得到机动车每5年纯增数量(单位:万辆)的情况如下表.

其中i=1,2,3,…,时间变量xI对应的机动车纯增数量为yI,且通过数据分析得到时间变量x与对应的机动车纯增数量y(单位:万辆)具有线性相关关系.

(1)求机动车纯增数量y关于时间变量x的回归方程,并预测2025~2030年间该市机动车纯增数量的值;

(2)该市交通管理部门为了了解市民对“单双号限行”的赞同情况,随机采访了220名市民,将他们的意见和是否拥有私家车情况进行了统计,得到的2×2列联表如下表.

根据列联表判断,能否有99%的把握认为对限行是否赞同与拥有私家车有关?

附:回归直线x+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为

K2=,n=a+b+c+d.

答 案

 　解题思维8　高考中概率、统计解答题的提分策略

1.(1)=90,=90, (2分)

×[(87-90)2+(88-90)2+(91-90)2+(91-90)2+(93-90)2]=, (4分)

×[(86-90)2+(87-90)2+(91-90)2+(92-90)2+(94-90)2]=. (6分)

(2)从乙单位5名职工的成绩中抽取2名职工的成绩,所包含的基本事件有{86,87},{86,91},{86,92},{86,94},{87,91},{87,92},{87,94},{91,92},{91,94},{92,94},共10个.              (8分)

设“从乙单位抽取的2名职工的成绩差至少是4分”为事件M,则M所包含的基本事件有{86,91},{86,92},{86,94},{87,91},{87,92},{87,94},共6个.              (10分)

所以P(M)=,即从乙单位抽取的2名职工的成绩差至少是4分的概率为. (12分)

2.(1)×(110+100+80+60+50)=80,

×(90+95+100+105+110)=100,r=≈-0.99,

所以y关于x之间具有较强的负相关关系. (4分)

(2)≈-0.31,

=100+0.31×80=124.8.

所以y关于x的线性回归方程为=-0.31x+124.8.

当x=40时,=-0.31×40+124.8=112.4≈112.

所以估计当PM 2.5的值为40时该公园中参加室外锻炼的人数为112人. (8分)

(3)易知五个点中,只有点(80,100)(记为点A)在圆上,其余四个点(分别记为点B,C,D,E)都在圆外,

所以从这五个点中任意抽取两个点,基本事件有{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{B,C},{B,D},{B,E},{C,D},{C,E},{D,E},共10个.

两个点都在圆外包含的基本事件为{B,C},{B,D},{B,E},{C,D},{C,E},{D,E},共6个.所以所求概率P=. (12分)

3.(1)由已知及条形图,可得(8+16+22+34)=1,得n=100, (2分)

补全2×2列联表如下表所示.

(4分)

K2的观测值k=≈2.273<2.706, (5分)

所以没有90%的把握认为能力基数高低与性别有关. (6分)

(2)员工甲的销售能力指数y=4+(1+4)(1+)=14. (7分)

员工乙参加t次培训后的销售能力指数y=2+(1+2)(1+)=2+3(1+), (8分)

由已知得2+3(1+)>14,即>3, (9分)

>ln 3,t>15ln 3,t>16.485, (11分)

所以乙至少参加17次培训,其销售能力指数超过甲. (12分)

4.(1)由机动车的纯增数量表可知

(1+2+3+4+5)=3,(3+6+9+15+27)=12,

=5.7, (4分)

因为回归直线x+过样本点的中心(,),所以12=5.7×3+,

解得=-5.1,所以=5.7x-5.1. (6分)

当年度周期为2025~2030时,x=7,所以=5.7×7-5.1= 34.8,

所以2025~2030年间该市机动车约纯增34.8万辆. (8分)

(2)根据列联表,计算得K2的观测值k=≈9.167, (10分)

因为9.167>6.635,

所以有99%的把握认为对限行是否赞同与拥有私家车有关. (12分)