全国统考2022版高考数学大一轮复习第7章不等式第1讲不等关系与一元二次不等式1备考试题（含解析）

第七章　不等式

第一讲　不等关系与一元二次不等式

练好题·考点自测 

1.下列结论中,正确的个数为 (　　)

①两个实数a,b之间,有且只有a>b,a=b,a<b三种关系中的一种;

②若>1,则a>b;

③一个不等式的两边同时加上或同时乘以同一个数,不等号方向不变;

④一个非零实数越大,则其倒数就越小;

⑤a>b>0,c>d>0⇒;

⑥ab>0且a>b⇒.

A.2 B.3 C.4 D.5

2.下列说法中,正确的个数为 (　　)

(1)若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则必有a>0.

(2)若不等式ax2+bx+c>0的解集是(-∞,x1)∪(x2,+∞),则方程ax2+bx+c=0的两个根是x1和x2.

(3)若方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0的解集为R.

(4)不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ=b2-4ac≤0.

(5)≥0⇔(x-a)(x-b)≥0(a≠b).

(6)(x+1)≥0的解集为[1,+∞).

A.2 B.3 C.4 D.5

3.[2019全国卷Ⅱ,12,5分]设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且当x∈(0,1]时,f(x)=x(x-1).若对任意x∈(-∞,m],都有f(x)≥,则m的取值范围是              (　　)

A.(-∞,] B.(-∞,]

C.(-∞,] D.(-∞,]

4.[2019天津,10,5分][文]设x∈R,使不等式3x2+x-2<0成立的x的取值范围为　　　　. 

5.[2019北京,14,5分][文]李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.

①当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付　　　　元; 

②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为　　　　. 

拓展变式

1.[2016北京,5,5分]已知x,y∈R,且x>y>0,则(　　)

A.>0 B.sinx-sin y>0

C.()x-()y<0 D.lnx+lny>0

2.(1)不等式(x+5)(3-2x)≥6的解集是 (　　)

A.{x|x≤-1或x≥} B.{x|-1≤x≤}

C.{x|x≤或x≥1} D.{x|≤x≤1}

(2)已知不等式ax2-bx-1≥0的解集是[,],则不等式x2-bx-a<0的解集为　　　　. 

3.已知关于x的不等式2x-1>m(x2-1).

(1)　　　　实数m,使不等式对任意x∈R恒成立(填存在、不存在); 

(2)若对于m∈[-2,2],不等式恒成立,则实数x的取值范围为　　　　; 

(3)若对于x∈(1,+∞),不等式恒成立,则实数m的取值范围为　　　　. 

答  案

第七章　不等式

第一讲　不等关系与一元二次不等式

1.B　由不等关系及不等式的性质可知①⑤⑥正确.对于②,当a=-2,b=-1时,a<b,故②错误;对于③,当不等式的两边同时乘以同一个负数时,不等号的方向改变,故③错误;对于④,如2>-2,,故④错误.故选B.

2.B　由三个“二次”间的关系可知(1)(2)正确;对于(3),当a<0时,解集为∅,故(3)错误;对于(4),当a=b=c=0时也满足不等式在R上恒成立,故(4)错误;对于(5),等价符号的右侧缺少条件“x≠b”,故(5)错误;对于(6),解不等式可知(6)正确.故选B.

3.B　当-1<x≤0时,0<x+1≤1,则f(x)=f(x+1)=(x+1)x;当1<x≤2时,0<x-1≤1,则f(x)=2f(x-1)=2(x-1)(x-2);当2<x≤3时,0<x-2≤1,则f(x)=2f(x-1)=22f(x-2)=22(x-2)(x-3);…….

由此可得f(x)=

据此作出函数f(x)的图象,如图D 7-1-1所示.可知当2<x≤3时,令22(x-2)(x-3)=,整理得(3x-7)(3x-8)=0,解得x=或x=,将这两个值标注在图中.要使对任意x∈(-∞,m],都有f(x)≥,则必有m≤,即实数m的取值范围是(-∞,],故选B.

图D 7-1-1

4.(-1,)　3x2+x-2<0即(3x-2)(x+1)<0,所以-1<x<.

5.①130　顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,总价为60+80=140(元),又140>120,所以优惠10元,顾客实际需要付款130元.

②15　设顾客一次购买的水果总价为m元.由题意易知,当0<m<120时,x=0,当m≥120时,(m-x)×80%≥m×70%,得x≤对任意m≥120恒成立.又≥15,所以x的最大值为15.

1.C　解法一(特殊值法)　由题意知,x>y>0,对于选项A,取x=1,y=,则=1-2=-1<0,排除A;对于选项B,取x=π,y=,则sin x-sin y=sin π-sin=-1<0,排除B;对于选项D,取x=2,y=,则ln x+lny=ln (xy)=ln 1=0,排除D.选C.

解法二(单调性法)　因为函数y=()x在R上单调递减,且x>y>0,所以()x<()y,即()x-()y<0.

2.(1)D　不等式(x+5)(3-2x)≥6可化为2x2+7x-9≤0,所以(2x+9)(x-1)≤0,解得≤x≤1.所以不等式(x+5)(3-2x)≥6的解集是{x|≤x≤1}.故选D.

(2)(2,3)　由题意知,是方程ax2-bx-1=0的两根,所以由根与系数的关系得解得不等式x2-bx-a<0即x2-5x+6<0,解集为(2,3).

3.(1)不存在　原不等式等价于mx2-2x+(1-m)<0,

当m=0时,-2x+1<0不恒成立;

当m≠0时,若mx2-2x+(1-m)<0对于任意x∈R恒成立,

则m<0且Δ=4-4m(1-m)<0,解得m∈⌀.

综上,不存在实数m,使不等式恒成立.

(2)(,)　设f(m)=(x2-1)m-(2x-1),

当m∈[-2,2]时,f(m)<0恒成立.

而f(m)在m∈[-2,2]时表示线段,故f(m)<0在[-2,2]上恒成立⇔⇔

由①得<x<.

由②得x<或x>.

所以x的取值范围是(,).

(3)(-∞,0]　因为x>1,所以m<.

令2x-1=t(t>1),则x2-1=,

所以m<.

设g(t)=t+2,t∈(1,+∞),显然g(t)在(1,+∞)上为增函数,

所以g(t)>0,所以m≤0.