全国统考2022版高考数学大一轮复习第10章圆锥曲线与方程第1讲椭圆1备考试题（含解析）

第十章　圆锥曲线与方程

第一讲　椭　圆

练好题·考点自测 

1.下列说法正确的个数是 (　　)

(1)平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆;(2)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆;(3)椭圆上一点P与两个焦点F1,F2构成△PF1F2的周长为2a+2c(其中a为椭圆的长半轴长,c为椭圆的半焦距);(4)关于x,y的方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)表示的曲线是椭圆;(5)=1(a>b>0)与=1(a>b>0)的焦距相同.

A.1 B.2

C.3 D.4

2.[2021山西运城高三调研]在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为,过F1的直线l交C于A,B两点,且△ABF2的周长为16,那么C的方程为              (　　)

A.=1 B.=1

C.=1 D.=1

3.[2018全国卷Ⅱ,12,5分]已知F1,F2是椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则C的离心率为              (　　)

A. B. 

C. D.

4.[2021贵阳市摸底测试]已知椭圆C:+y2=1的右焦点为F,点P在椭圆C上,O是坐标原点,若|OP|=|OF|,则△OPF的面积是　　　　. 

5.[2021成都市摸底测试]已知点P在椭圆=1(a>b>0)上,F1是椭圆的左焦点,线段PF1的中点在圆x2+y2=a2-b2上.记直线PF1的斜率为k,若k≥1,则椭圆离心率的最小值为　　　　. 

6.[递进型]已知F1,F2分别为椭圆C:+y2=1(a>1)的左、右焦点,点F2关于直线y=x的对称点Q在椭圆上,则长轴

长为　　　　;若P是椭圆上的一点,且|PF1|·|PF2|=,则=　　　　.

拓展变式

1.(1)[2020福建龙岩三校联考]椭圆=1的焦点为F1,F2,P为椭圆上一点,若∠F1PF2=60°,则△F1PF2的面积是 (　　)

A. B. C.16 D.32

(2)[并列型]已知F1,F2分别为椭圆C:=1的左、右焦点,P是C上一任意一点,则|PF1|·|PF2|的最大值为　　　　.若A(0,4),则|AP|-|PF2|的最小值为　　　　. 

2.(1)[2019全国卷Ⅰ,12,5分][文]已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为              (　　)

A.+y2=1 B.=1 

C.=1 D.=1

(2)若椭圆经过两点(1,)和(,),则椭圆的标准方程为　　　　. 

3.如图10-1-2,焦点在x轴上的椭圆=1的离心率e=,F,A分别是椭圆的一个焦点和顶点,P是椭圆上任意一点,则·的最大值为　　　　. 

图10-1-2

4. [2020全国卷Ⅲ,21,12分][文]已知椭圆C:=1(0<m<5)的离心率为,A,B分别为C的左、右顶点.

(1)求C的方程;

(2)若点P在C上,点Q在直线x=6上,且|BP|=|BQ|,BP⊥BQ,求△APQ的面积.

5.[2021上海高三模拟]某海域有A,B两个岛屿,B岛在A岛正东4海里处.经多年观察研究发现,某种鱼群洄游的路线是曲线C,曾有渔船在距A岛、B岛距离和为8海里处发现过鱼群.以A,B所在直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,如图10-1-4.

(1)求曲线C的标准方程;

(2)某日,研究人员在A,B两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号(传播速度相同),A,B两岛收到鱼群在P处反射信号的时间比为5∶3.问:能否确定P处的位置(即点P的坐标).

图10-1-4

答  案

第十章　圆锥曲线与方程

第一讲　椭　圆

1.C　对于(1),由椭圆的定义知,当该常数大于|F1F2|时,其轨迹才是椭圆,而该常数等于|F1F2|时,其轨迹为线段,该常数小于|F1F2|时,轨迹不存在,故(1)错误;对于(2),因为e=,所以e越大,则越小,椭圆就越扁,故(2)错误;对于(3),△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c,故(3)正确;

对于(4),方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)可化为=1,表示的曲线是椭圆,故(4)正确;对于(5),=1(a>b>0)与=1(a>b>0)的焦距都是2,故(5)正确.故选C.

2.D　设椭圆的方程为=1(a>b>0),由e2==1,得a2=2b2,根据椭圆的定义可知△ABF2的周长为4a,所以4a=16,即a=4,a2=16,b2=8,则椭圆的标准方程为=1,故选D.

3.D　由题意可得椭圆的焦点在x轴上,如图D 10-1-1所示,∵△PF1F2为等腰三角形,且∠F1F2P=120°,∴|PF2|=|F1F2|=2c.∵|OF2|=c,∴点P的坐标为(c+2ccos 60°,2csin 60°),即P(2c,c).∵点P在过点A且斜率为的直线上,∴,解得,∴e=,故选D.

图D 10-1-1

4.　设椭圆C的左焦点为F1,连接PF1,则|OP|=|OF|=|F1F|,所以PF1⊥PF,所以S△PFO=×b2tan ×1×1=.

5.1　如图D 10-1-2,设M为PF1的中点,F2为椭圆的右焦点,连接PF2,F2M,OM.因为O,M分别为F1F2,PF1的中点,所以|PF2|=2c,则|PF1|=2a-2c,所以|F1M|=a-c,所以|F2M|=,k=tan∠MF1F2=≥1⇒4c2-(a-c)2≥(a-c)2⇒c2≥a2-2ac⇒e2+2e-1≥0⇒e≥1,所以e的最小值为1.

图D 10-1-2

6.2　　由椭圆C:+y2=1(a>1),知c=,所以F2(,0),点F2关于直线y=x的对称点Q(0,),由点Q在椭圆上得()2=1,即a=,则长轴长为2.

所以椭圆方程为+y2=1,则|PF1|+|PF2|=2a=2,又|PF1|·|PF2|=,所以cos∠F1PF2=,

所以sin∠F1PF2=,则|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2=.

1.A　(1)解法一(常规解法)　由椭圆=1的焦点为F1,F2知,|F1F2|=2c=6,在△F1PF2中,不妨设|PF1|=m,|PF2|=n,则由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=m+n=2a=10.由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2,即(2c)2=m2+n2-2mncos 60°,即36=(m+n)2-3mn=100-3mn,解得mn=.故·|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2=mnsin 60°=.故选A.

解法二(结论解法)　依题意知b=4,由椭圆焦点三角形的相关结论,得=b2tan =16×tan .故选A.

(2)9　4　由=1,可得a=3,c=2,

由椭圆定义可知|PF1|+|PF2|=2a=6,则|PF2|=6-|PF1|,

于是|PF1|·|PF2|=|PF1|·(6-|PF1|)=6|PF1|-|PF1|2.

∵a-c≤|PF1|≤a+c,即1≤|PF1|≤5.

∴当|PF1|=3时,|PF1|·|PF2|取最大值,最大值为18-9=9.

|AP|-|PF2|=|AP|-(2a-|PF1|)=|AP|+|PF1|-6.

又|AP|+|PF1|≥|AF1|(当且仅当P在线段AF1上时取等号),

∴(|AP|-|PF2|)min=|AF1|-6= 6=4.

【方法技巧】　关于|PF1|·|PF2|最大值的求解,还可以利用|PF1|·|PF2|≤()2=9(当且仅当|PF1|=|PF2|=3时等号成立)进行求解.

2.(1)B　设椭圆C的标准方程为=1(a>b>0),因为|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,所以|BF1|=3|F2B|.又|BF1|+|F2B|=2a,所以|F2B|=,则|AF2|=a,|AB|=|BF1|=a,|AF1|=a.

解法一　在△ABF1中,由余弦定理得cos∠BAF1=.因为椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),所以c=1,|F1F2|=2.在△AF1F2中,由余弦定理得|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2-2|AF1||AF2|·cos∠BAF1,即4=a2+a2-2a2·,解得a2=3,所以b2=a2-c2=2.于是椭圆C的标准方程为=1.故选B.

解法二　因为|AF1|=|AF2|=a,所以点A为椭圆的上顶点或下顶点.不妨设A(0,-b),因为=2,所以B(,),代入椭圆方程得=1,解得a2=3.又c=1,所以b2=a2-c2=2.于是椭圆C的标准方程为=1.故选B.

(2)+y2=1　解法一　当椭圆的焦点在x轴上时,设所求椭圆的方程为=1 (a>b>0).

∵椭圆经过两点(1,),(,),∴解得

∴所求椭圆的标准方程为+y2=1;

当椭圆的焦点在y轴上时,设所求椭圆的方程为=1 (a>b>0).

∵椭圆经过两点(1,),(,),

∴解得与a>b矛盾,故舍去.

综上可知,所求椭圆的标准方程为+y2=1.

解法二　设椭圆方程为mx2+ny2=1 (m>0,n>0,m≠n).

∵椭圆过(1,)和(,)两点,

∴解得

∴所求椭圆的标准方程为+y2=1.

3. 4　 由题意知a=2,因为e=,所以c=1,b2=a2-c2=3.故椭圆方程为=1.设P点坐标为(x0,y0),-2≤x0≤2,≤y0≤.因为F(-1,0),A(2,0),=(-1-x0,-y0),=(2-x0,-y0),=1,所以·x0-2+x0+1=(x0-2)2.则当x0=-2时,·取得最大值4.

4.(1)由题设可得,得m2=,

所以C的方程为=1.

(2)设P(xP,yP),Q(6,yQ),根据对称性可设yQ>0,由题意知yP>0.

由已知可得B(5,0),因为BP⊥BQ,所以kBP==,所以直线BP的方程为y=(x-5),

所以|BP|=|yB-yP|=yP,|BQ|=.

因为|BP|=|BQ|,所以yP=1,将yP=1代入C的方程,解得xP=3或-3.

由直线BP的方程得yQ=2或8.

所以点P,Q的坐标分别为P1(3,1),Q1(6,2);P2(-3,1),Q2(6,8).

|P1Q1|=,直线P1Q1的方程为y=x,点A(-5,0)到直线P1Q1的距离为,故△AP1Q1的面积为;

|P2Q2|=,直线P2Q2的方程为y=x+,点A到直线P2Q2的距离为,故△AP2Q2的面积为.

综上,△APQ的面积为.

【解题关键】　解析几何问题解题的关键在于几何条件的转化与应用,本题中相等与垂直关系转化为坐标关系是整个问题的关键环节.

5.(1)把鱼群,A岛,B岛看成点,分别为M,A,B,则|MA|+|MB|=8,

所以曲线C是以A,B为焦点且长轴长为8的椭圆.

设曲线C的方程为=1(a>b>0),则a=4,b==2.所以曲线C的方程是=1.

(2)能确定P处位置,点P坐标为(2,3)或(2,-3).理由如下.

由于A,B两岛收到鱼群反射信号的时间比为5∶3,因此鱼群距A,B两岛的距离比为5∶3,因为|PA|+|PB|=8,

所以鱼群距A,B两岛的距离分别为5海里和3海里.

设P(x,y),由B(2,0),|PB|=3,得=3,

由得x=2,y=±3.所以点P的坐标为(2,3)或(2,-3)