全国统考2022版高考数学大一轮复习第10章圆锥曲线与方程第2讲双曲线1备考试题（含解析）

第十章　圆锥曲线与方程

第二讲　双曲线

练好题·考点自测 

1.给出以下关于双曲线的命题:

①双曲线=1的渐近线方程是y=±x;

②若点(2,3)在焦距为4的双曲线=1(a>0,b>0)上,则此双曲线的离心率e=2;

③若点F,B分别是双曲线=1(a>0,b>0)的一个焦点和虚轴的一个端点,则线段FB的中点一定不在此双曲线的渐近线上;

④等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于;

⑤若双曲线=1(a>0,b>0)与=1(a>0,b>0)的离心率分别是e1,e2,则=1(称这两条双曲线互为共轭双曲线).

以上说法正确的个数是 (　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

2.[2019全国卷Ⅰ,10,5分][文]双曲线C:=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°,则C的离心率为 (　　)

A.2sin 40° B.2cos 40° C. D.

3.[2020全国卷Ⅱ,9,5分][文]设O为坐标原点,直线x=a与双曲线C:=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点.若△ODE的面积为8,则C的焦距的最小值为              (　　)

A.4 B.8 C.16 D.32

图10-2-1

4.[2021大同市调研测试]如图10-2-1,双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作线段F2P与C交于点Q,且Q为PF2的中点.若等腰三角形PF1F2的底边PF2的长等于C的半焦距,则C的离心率为              (　　)

A. B.

C. D.

5.[2018天津,7,5分]已知双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为              (　　)

A.=1 B.=1

C.=1 D.=1

6.[2020北京,14,5分]已知双曲线C:=1,则C的右焦点的坐标为　　　　;C的焦点到其渐近线的距离是　　　　. 

7.[2020全国卷Ⅰ,15,5分]已知F为双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点,A为C的右顶点,B为C上的点,且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3,则C的离心率为　　　　. 

拓展变式

1.(1)[2020广东七校第一次联考]P是双曲线C:y2=1右支上一点,直线l是双曲线C的一条渐近线.P在l上的射影为Q,F1是双曲线C的左焦点,则|PF1|+|PQ|的最小值为              (　　)

A.1 B.2+ C.4+ D.2+1

(2)[2020全国卷Ⅰ,11,5分][文]设F1,F2是双曲线C:x2=1的两个焦点,O为坐标原点,点P在C上且|OP|=2,则△PF1F2的面积为              (　　)

A. B.3 C. D.2

2.[2020天津,7,5分]设双曲线C的方程为=1(a>0,b>0),过抛物线y2=4x的焦点和点(0,b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行,另一条渐近线与l垂直,则双曲线C的方程为              (　　)

A.=1 B.x2=1

C.y2=1 D.x2-y2=1

3.[2020成都三诊]已知F1,F2是双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点,经过点F2且与x轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点A,且≤∠F1AF2≤,则该双曲线离心率的取值范围是              (　　)

A.[,] B.[,3] C.[3,] D.[,3]

答  案

第十章　圆锥曲线与方程

第二讲　双曲线

1.D　对于①,双曲线=1的渐近线方程应是y=±x,故①不正确;

对于②,双曲线的焦点为(-2,0),(2,0),

2a=||=2,a=1,从而离心率e=2,所以②正确;

对于③,F(±c,0),B(0,±b),FB的中点坐标(±,±)不满足双曲线的渐近线方程y=±x,所以③正确;

对于④,由等轴双曲线的性质可得④正确;

对于⑤,由共轭双曲线的性质可知⑤正确.故选D.

2.D　依题意知,=tan 130°=tan(130°-180°)=-tan 50°,两边同时平方得=tan250°=e2-1,e2=1+tan250°=,又e>1,∴e=,选D.

【拓展结论】　实际上,若双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为θ,则该双曲线的离心率e=||.

3.B　由题意知双曲线的渐近线方程为y=±x.因为D,E分别为直线x=a与双曲线C的两条渐近线的交点,所以不妨设D(a,b),E(a,-b),所以S△ODE=×a×|DE|=×a×2b=ab=8,所以c2=a2+b2≥2ab=16,当且仅当a=b=2时等号成立.所以c≥4,所以2c≥8,所以C的焦距的最小值为8,故选B.

4.C　连接F1Q,由△PF1F2是以PF2为底边的等腰三角形,且Q是PF2的中点,知F1Q⊥PF2,又|PF2|=c,所以|QF2|=,由双曲线的定义可得|F1Q|=+2a,根据F1Q⊥PF2和|F1F2|=2c得,()2+(+2a)2=(2c)2,化简整理得7c2-4ac-8a2=0,方程两边同时除以a2得7e2-4e-8=0,又e>1,所以e=,故选C.

5.C　解法一　因为直线AB经过双曲线的右焦点,所以不妨取A(c,),B(c,),取双曲线的一条渐近线为直线bx-ay=0,由点到直线的距离公式可得d1=,d2=,因为d1+d2=6,所以=6,所以2b=6,得b=3.因为双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为2,即=2,所以=4,所以=4,解得a2=3,所以双曲线的方程为=1,故选C.

解法二　由直线AB过双曲线的右焦点且垂直于x轴,d1+d2=6,得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3,所以b=3.因为双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为2,所以=2,所以=4,所以=4,解得a2=3,所以双曲线的方程为=1,故选C.

6.(3,0)　　双曲线C:=1中,c2=6+3=9,∴c=3,则C的右焦点的坐标为(3,0),C的渐近线方程为y=±x,即x±y=0,则C的焦点到其渐近线的距离d=.

7.2　设B(c,yB),因为B为双曲线C:=1上的点,所以=1,所以.因为AB的斜率为3,所以yB=,=3,所以b2=3ac-3a2,所以c2-a2=3ac-3a2,所以c2-3ac+2a2=0,解得c=a(舍去)或c=2a,所以C的离心率e==2.

【易错警示】　本题的易错点有两处:一是忽视题眼“AB的斜率为3”,由得yB=±;二是将双曲线中a,b,c的关系式与椭圆中a,b,c的关系式搞混.

1.(1)D　设双曲线的右焦点为F2,因为|PF1|-|PF2|=2,所以|PF1|=2+|PF2|,|PF1|+|PQ|=2+|PF2|+|PQ|.当且仅当Q,P,F2三点共线,且P在Q,F2之间时,|PF2|+|PQ|最小,且最小值为点F2到直线l的距离.由题意可得直线l的方程为y=±x,焦点F2(,0),点F2到直线l的距离d=1,故|PQ|+|PF1|的最小值为2+1,故选D.

(2)B　解法一　设F1,F2分别为双曲线C的左、右焦点,则由题意可知F1(-2,0),F2(2,0),又|OP|=2,所以|OP|=|OF1|=|OF2|,所以△PF1F2是直角三角形,所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=16.不妨令点P在双曲线C的右支上,则有|PF1|-|PF2|=2,两边平方,得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=4,又|PF1|2+|PF2|2=16,所以|PF1|·|PF2|=6,则|PF1|·|PF2|=×6=3,故选B.

解法二(结论解法)　设F1,F2分别为双曲线C的左、右焦点,则由题意可知F1(-2,0),F2(2,0),又|OP|=2,所以|OP|=|OF1|=|OF2|,所以△PF1F2是直角三角形,所以=3(其中θ=∠F1PF2),故选B.

解法三　设点P的坐标为(xP,yP),因为|OP|=2,则=4,把=4代入双曲线方程得|yP|=,所以|F1F2|·|yP|,由题意可知|F1F2|=4,所以×4×=3.故选B.

2.D　解法一　由题知y2=4x的焦点坐标为(1,0),则过焦点和点(0,b)的直线方程为x+=1,而=1的渐近线方程为=0和=0,由l与一条渐近线平行,与一条渐近线垂直,得a=1,b=1,故选D.

解法二　由题知双曲线C的两条渐近线互相垂直,则a=b,即渐近线方程为x±y=0,排除B,C.又知y2=4x的焦点坐标为(1,0),l过点(1,0),(0,b),所以=-1,b=1,故选D.

3.A　不妨设A在第一象限,将x=c代入y=x得A(c,),

所以tan∠F1AF2=∈[tan,tan],即≤≤1,

即≤≤1⇒1≤≤3⇒1≤≤3⇒1≤e2≤3⇒5≤e2≤13⇒≤e≤.故选A.