全国统考2022版高考数学大一轮复习第10章圆锥曲线与方程第4讲圆锥曲线的综合应用1备考试题（含解析）

第十章　圆锥曲线与方程

第四讲　圆锥曲线的综合问题

拓展变式

1.[2017浙江,21,15分]如图10-4-2,已知抛物线x2=y,点A(,),B(,),抛物线上的点P(x,y)(<x<).过点B作直线AP的垂线,垂足为Q.

图10-4-2

(1)求直线AP斜率的取值范围;

(2)求|PA|·|PQ|的最大值.

2.[2020全国卷Ⅰ,21,12分][文]已知A,B分别为椭圆E:+y2=1(a>1)的左、右顶点,G为E的上顶点,·=8.P为直线x=6上的动点,PA与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D.

(1)求E的方程;

(2)证明:直线CD过定点.

3.[2021武汉四地六校高三联考]已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线xy+12=0相切.

(1)求椭圆C的方程.

(2)已知A(-4,0),过点R(3,0)作与x轴不重合的直线l交椭圆C于P,Q两点,连接AP,AQ,分别交直线x=于M,N两点,若直线MR,NR的斜率分别为k1,k2,问:k1k2是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.

4.[2021湖北省部分重点中学摸底联考]已知点A(1,)在椭圆C:=1(a>b>0)上,O为坐标原点,直线l:=1的斜率与直线OA的斜率之积为.

(1)求椭圆C的方程.

(2)不经过点A的直线m:y=x+t(t≠0)与椭圆C交于P,Q两点,P关于原点的对称点为R(与点A不重合),直线AQ,AR与y轴分别交于点M,N,求证:|AM|=|AN|.

5.[2020山西大同一联]已知椭圆C的中心在原点,焦点在坐标轴上,直线y=x与椭圆C在第一象限内的交点是M,点M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点F2,椭圆C的另一个焦点是F1,且·.

(1)求椭圆C的方程;

(2)若直线l过点(-1,0),且与椭圆C交于P,Q两点,求△F2PQ的内切圆的面积的最大值.

6.[2020湖北省宜昌市三校联考]已知F为椭圆C:=1(a>b>0)的右焦点,点P(2,)在椭圆C上,且PF⊥x轴.

(1)求椭圆C的方程;

(2)如图10-4-4,过点F的直线l分别交椭圆C于A,B两点,交直线x=4于点M.判断PA,PM,PB的斜率是否构成等差数列,并说明理由.

图10-4-4

答  案

第十章　圆锥曲线与方程

第四讲　圆锥曲线的综合问题

1.(1)设直线AP的斜率为k,则k==x.

因为<x<,所以直线AP斜率的取值范围是(-1,1).

(2)解法一　设直线AP的方程为y=k(x+),即kx-y+k+=0,因为BQ⊥AP且B点坐标为(,),所以直线BQ的方程为x+kyk=0.

联立直线AP与BQ的方程,得

解得xQ=.

因为|PA|=(x+)=(k+1),

|PQ|=(xQ-x)=,

所以|PA|·|PQ|=-(k-1)(k+1)3.

令f(k)=-(k-1)(k+1)3,k∈(-1,1),

因为f'(k)=-(4k-2)(k+1)2,

所以f(k)在区间(-1,)上单调递增,(,1)上单调递减,

因此当k=时,|PA|·|PQ|取得最大值.

解法二　连接BP,则|AP|·|PQ|=|AP|·|PB|·cos∠BPQ=·()=·.

易知P(x,x2)(<x<),=(x+,x2),=(2,2),则·=2x+1+2x2=2x2+2x+,=(x+)2+(x2)2=x2+x++x4x2+=x4+x2+x+.

所以|AP|·|PQ|=-x4+x2+x+(<x<).

设f(x)=-x4+x2+x+(<x<),

则f'(x)=-4x3+3x+1=-(x-1)(2x+1)2,

所以f(x)在(,1)上单调递增,在(1,)上单调递减,

所以f(x)max=f(1)=.

故|AP|·|PQ|的最大值为.

2.(1)由题设得A(-a,0),B(a,0),G(0,1).

则=(a,1),=(a,-1).由·=8得a2-1=8,

因为a>1,所以a=3.

所以E的方程为+y2=1.

(2)设C(x1,y1),D(x2,y2),P(6,t).

若t≠0,设直线CD的方程为x=my+n,由题意可知-3<n<3.

由于直线PA的方程为y=(x+3),所以y1=(x1+3).直线PB的方程为y=(x-3),所以y2=(x2-3).

消去t可得3y1(x2-3)=y2(x1+3)　①.

由于=1,故=,则x2-3=,代入①式,可得27y1y2=-(x1+3)(x2+3),又因为x1=my1+n,x2=my2+n,所以x1+x2=m(y1+y2)+2n,x1·x2=m2y1y2+2mn(y1+y2)+n2,所以(27+m2)y1y2+m(n+3)(y1+y2)+(n+3)2=0　②.

将x=my+n代入+y2=1得

(m2+9)y2+2mny+n2-9=0.

所以y1+y2=,y1y2=.代入②式得(27+m2)(n2-9)-2m(n+3)mn+(n+3)2(m2+9)=0.

解得n=-3(舍去)或n=.

故直线CD的方程为x=my+,所以直线CD过定点(,0).

若t=0,则直线CD的方程为y=0,过点(,0).

综上,直线CD过定点(,0).

3.(1)由题意得解得

所以椭圆C的方程为=1.

(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),由题可知PQ斜率不为零,故设直线PQ的方程为x=my+3,

联立直线PQ与椭圆的方程得消去x并整理,得(3m2+4)y2+18my-21=0,Δ>0,

则y1+y2=,y1y2=.

设M(,yM),N(,yN).

由A,P,M三点共线可知,所以yM=·.

同理可得yN=·.

所以k1k2=.

因为(x1+4)(x2+4)=(my1+7)(my2+7)=m2y1y2+7m(y1+y2)+49,

所以k1k2==,

即k1k2为定值,且定值为.

4.(1)设直线OA的斜率为kOA,直线l的斜率为kl.

由题意知,kOA·kl=·==,即a2=4b2.

又点A(1,)在椭圆上,则=1,可得a=2,b=1.

所以椭圆C的方程为+y2=1.

(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),则R(-x1,-y1),

由消去y并整理,得x2+tx+t2-1=0,

Δ=3t2-4(t2-1)=-t2+4>0,即-2<t<2.

x1+x2=t,x1x2=t2-1.

解法一　要证|AM|=|AN|,只需证直线AQ的斜率kAQ与直线AR的斜率kAR互为相反数,即证kAQ+kAR=0.

而kAR+kAQ=

=

=

=

=

=0,

所以|AM|=|AN|.

解法二　设M(0,yM),N(0,yN),要证|AM|=|AN|,即证=.

直线AQ的方程为y+(x-1),令x=0,得yM=,直线AR的方程为y+(x-1),令x=0,得yN=.

则yM+yN==0=,即=,

所以|AM|=|AN|.

5.(1)因为点M在直线y=x上,且点M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点,所以设椭圆C的方程为=1(a>b>0),F2(c,0),所以M(c,c).

易知F1(-c,0),所以·=(-2c,c)·(0,c)=c2=,所以c=1.

由解得

所以椭圆C的方程为=1.

(2)由(1)知,F1(-1,0),由过点F1的直线l与椭圆C交于P,Q两点,得△F2PQ的周长为4a=8.

又·4a·r=4r(r为△F2PQ的内切圆半径),

所以当△F2PQ的面积最大时,△F2PQ的内切圆面积也最大.

设直线l的方程为x=ky-1,P(x1,y1),Q(x2,y2),

联立直线l与椭圆C的方程得消去x并整理,得(4+3k2)y2-6ky-9=0,易知Δ>0,

则

·|F1F2|·|y1-y2|

=

=

=.

令=t,则t≥1,所以.

记f(t)=3t+(t≥1),则f'(t)=3,

当t∈[1,+∞)时,f'(t)>0,则f(t)=3t+在[1,+∞)上单调递增,

所以f(t)min=f(1)=4,所以≤=3,

即当k=0时,△F2PQ的面积取得最大值3.

结合=4r,得r的最大值为.

所以△F2PQ的内切圆的面积的最大值为π.

【精华总结】　本题第(2)问是研究三角形的内切圆面积的最大值问题,解题时用到了等价转化法,即要求△F2PQ的内切圆面积的最大值,可转化为求△F2PQ面积的最大值,于是利用题设条件,结合△F2PQ的面积的表达式建立函数并求解.

6.(1)因为点P(2,)在椭圆C上,且PF⊥x轴,

所以c=2.

设椭圆C的左焦点为E,则|EF|=2c=4,|PF|=,

连接PE,则在Rt△EFP中,|PE|2=|PF|2+|EF|2=18,所以|PE|=3.

所以2a=|PE|+|PF|=4,则a=2,b2=a2-c2=4,

所以椭圆C的方程为=1.

(2)由题意可设直线AB的方程为y=k(x-2),

令x=4,得y=2k,则点M的坐标为(4,2k).

由消去y并整理,得(2k2+1)x2-8k2x+8(k2-1)=0,Δ>0.

设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=　①.

设直线PA,PB,PM的斜率分别为k1,k2,k3,

从而k1=,k2=,k3==k.

因为直线AB的方程为y=k(x-2),则y1=k(x1-2),y2=k(x2-2),

所以k1+k2=()=2k·　②.

将①代入②,得k1+k2=2k·=2k.

又k3=k,所以k1+k2=2k3,

于是直线PA,PM,PB的斜率成等差数列.