全国统考2022版高考数学大一轮复习第9章直线和圆的方程第1讲直线方程与两直线的位置关系2备考试题（含解析）

第九章　直线和圆的方程

第一讲　直线方程与两直线的位置关系

1.[改编题]下列说法正确的是 (　　)

A.“a=-1”是“直线a2x-y+1=0与直线x-ay-2=0互相垂直”的充要条件

B.直线ax+2y+6=0与直线x+(a-1)y+a2 -1=0互相平行,则a=-1

C.过(x1,y1),(x2,y2 )两点的所有直线的方程为

D.经过点(1,1) 且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=0

2.[2021湖北宜昌模拟]如图9-1-1,已知A(4,0)、 B(0,4), 从点P(2, 0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上,最后经直线OB反射后又回到P点,则光线所经过的路程是              (　　)

A.2 　　B.3

C.6 　　　　D.2

图9-1-1

3.[2021天津模拟]已知点A(-1,1)、B(1,2)、C(0,-1), 过点C的直线l与线段AB有公共点,则直线l的斜率k的取值范围是              (　　)

A. [-2,3] B. [-2,0)∪(0,3]

C. (-∞,-2]∪[3,+∞) D.以上都不对

4.[2020江西模拟]“m=4”是“直线mx+(3m-4)y+3=0与直线2x+my+3=0平行”的 (　　)

A.充分而不必要条件 

B.必要而不充分条件

C.充要条件 

D.既不充分也不必要条件

5.[2020甘肃模拟]已知直线l1:xsin α+y-1=0,直线l2:x-3ycos α+1=0,若l1⊥l2,则sin 2α= (　　)

A. B.- C. D.-

6.已知直线l1:ax+by+1=0与直线l2:2x+y-1=0互相垂直,且l1经过点(-1,0),则b=　　　　. 

7.[2020福建宁德诊断]我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术,即圆内接正多边形的边数无限增加时,其面积可无限逼近圆面积.这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就.现作出圆x2+y2=2的一个内接正八边形,使该正八边形的其中4个顶点在平面直角坐标系的坐标轴上,则下列4条直线中不是该正八边形的一条边所在直线的是              (　　)

A.x+(-1)y-=0  B.(1-)x-y+=0

C.x-(+1)y+=0 D.(-1)x-y+=0

8.[2020安徽皖江名校第一次联考]过原点O作直线l:(2m+n)x+(m-n)y-2m+2n=0的垂线,垂足为P,则点P到直线x-y+3=0的距离的最大值为              (　　)

A.+1 B.+2 

C.2+1 D.2+2

9.[2020安徽十校高三摸底考试]已知直线l过点(3,0)且不与x轴垂直,圆C:x2+y2-2y=0,若直线l上存在一点M,使OM交圆C于点N,且,其中O为坐标原点,则直线l的斜率的最小值为              (　　)

A.-1 B.- C.- D.-

10.[2017全国卷Ⅰ,20,12分]设A,B为曲线C:y=上两点,A与B的横坐标之和为4.

(1)求直线AB的斜率;

(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AM⊥BM,求直线AB的方程.

答 案

第九章　直线和圆的方程

第一讲　直线方程与两直线的位置关系

1.B　对于A:当a=-1时, “直线a2x-y+1=0与直线x-ay-2=0互相垂直”,当直线a2x-y+1=0与直线x-ay -2=0互相垂直时,即a2+(-1)×(-a)=0,解得a=-1或a=0,故“a=-1”是“直线a2x-y+1=0与直线x-ay-2=0互相垂直”的充分不必要条件,故A错误;对于B:直线ax+2y+6=0与直线x+(a-1)y+a2-1=0互相平行,则a(a-1)=2×1,且2(a2-1)≠6(a-1),解得a=-1,故B正确;对于C:过(x1,y1),(x2,y2) (且x1≠x2,y1≠y2)两点的所有直线的方程为,故C错误;对于D:经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程有两种情况.①经过原点的直线为x-y=0,②当直线不经过原点时,设在坐标轴上的截距为a,则直线方程为=1,所以=1,解得a=2 ,故x+y-2=0 , 故D错误.

2.D　点P关于y轴的对称点P'的坐标是(-2,0) ,设点P关于直线AB:x+y-4=0的对称点为P″(a,b) ,由解得故光线所经过的路程|P'P″|==2, 故选D.

3.C　如图D 9-1-3所示,∵过点C的直线l与线段AB有公共点,∴直线l的斜率k≥kBC或k≤kAC,又kBC==3,kAC==-2.∴k≥3或k≤-2,∴直线l的斜率k的取值范围是(-∞,-2]∪[3,+∞),故选C.

图D 9-1-3

4.C　由m=4,易得直线4x+8y+3=0与直线2x+4y+3=0平行;由直线mx+(3m-4)y+3=0与直线2x+my+3=0平行,得,解得m=2或m=4,经检验,当m=2时,直线2x+2y+3=0与直线2x+2y+3=0重合,故m=4,所以“m=4”是“直线mx+(3m-4)y+3=0与直线2x+my+3=0平行”的充要条件,故选C.

5.A　因为l1⊥l2,所以sin α-3cos α=0,所以tan α=3,所以sin 2α=2sin αcos α=.故选A.

6.-2　因为l1⊥l2,所以2a+b=0,又-a+1=0,所以b=-2.

7.C　作出符合题意的圆内接正八边形ABCDEFGH,如图D 9-1-4所示,易知A(,0),B(1,1),C(0,),D(-1,1),则直线AB,BC,CD的方程分别为y=(x),y=(1)x+,y=(1)x+.整理为一般式,即x+(1)y=0,(1)x-y+=0,(1)x-y+=0,分别对应题中的A,B,D选项.故选C.

图D 9-1-4

8.A　将(2m+n)x+(m-n)y-2m+2n=0整理,得(2x+y-2)m+(x-y+2)n=0.由题意得解得可知直线l过定点Q(0,2).由题意知点O与点P重合或直线OP⊥l,所以点P的轨迹是以OQ为直径的圆,圆心为(0,1),半径为1.因为圆心(0,1)到直线x-y+3=0的距离d=,所以点P到直线x-y+3=0的距离的最大值为+1.故选A.

9.B　设点M(x,y),由,得N(,),又点N(,)在圆C上,则()2+()2-2·=0,即x2+y2-6y=0.设直线l的方程为y=k(x-3),∵点M在直线l上,∴直线l与曲线x2+y2-6y=0有交点,∴≤3,解得≤k≤0,则直线l的斜率的最小值为,故选B.

10.(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1≠x2,y1=,y2=,x1+x2=4,

于是直线AB的斜率k==1.

(2)由y=,得y'=.设M(x3,y3),由题设及(1)知=1,

解得x3=2,于是M(2,1).

设直线AB的方程为y=x+m,则线段AB的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+1|.

将y=x+m代入y=得x2-4x-4m=0.

Δ=16(m+1)>0,则m>-1,

解得x1=2+2,x2=2-2.

从而|AB|=|x1-x2|=4.

由题设知|AB|=2|MN|,即4=2(m+1),解得m=7.

所以直线AB的方程为y=x+7.