全国统考2022版高考数学大一轮复习第7章不等式第2讲二元一次不等式组与简单的线性规划问题2备考试题（含解析）

第七章　不等式

第二讲　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

1.[2021陕西百校联考]已知实数x,y满足约束条件则z=3x+2y的最小值为 (　　)

A.4 B.5 C.6 D.9

2.[2021黑龙江省六校阶段联考]设实数x,y满足约束条件则z=x+2y+5的最大值为 (　　)

A.14  B.10  C.9  D.7

3.[2021南昌市高三测试]已知x,y满足约束条件z=y-x,则zmax-zmin= (　　)

A.0 B.1 C.2 D.4

4.[2021洛阳市统考]若x,y满足约束条件则z=2x-2y的最大值为(　　)

A.32 B.16 C.8 D.4

5.[2021大同市调研测试]已知变量x,y满足则的取值范围是 (　　)

A.[,] B.[,] C.[,] D.[,]

6.[2020洛阳市第一次联考]已知x,y满足条件(k为常数),若目标函数z=x+3y的最大值为8,则k= (　　)

A.-16 B.-6 C.- D.6

7.[2021江西红色七校联考]已知实数x,y满足约束条件则的最小值为　　　　　. 

8.[2020湖北部分重点中学高三测试]已知实数x,y满足则z=2x-y的取值范围是　　　　　　　.  

9.[2020南昌市测试]已知二元一次不等式组表示的平面区域为D,命题p:点(0,1)在区域D内;命题q:点(1,1)在区域D内.则下列命题中,真命题是              (　　)

A.p∧q B.p∧(¬q)

C.(¬p)∧q D.(¬p)∧(¬q)

10.[2020惠州市二调]设p:实数x,y满足(x-1)2+(y-1)2≤2,q:实数x,y满足则p是q的 (　　)

A.必要不充分条件 

B.充分不必要条件

C.充要条件 

D.既不充分也不必要条件

11.[2020广东六校联考]已知点A(2,1),O是坐标原点,点P(x,y)的坐标满足:设z=·,则z的最大值是 (　　)

A.-6 B.1 C.2 D.4

12.[2020南昌市重点中学模拟]记不等式组的解集为D,若∀(x,y)∈D,不等式a≤2x+y恒成立,则a的取值范围是 (　　)

A.(-∞,3] B.[3,+∞)

C.(-∞,6] D.(-∞,8]

13.[2020湖北部分重点中学高三测试]已知x,y满足约束条件若的最大值为2,则m的值为 (　　)

A.4 B.5 C.8 D.9

14.[2020云南三模][双空题]某校同时提供A,B两类线上选修课程:A类选修课每次观看线上直播40分钟,并完成课后作业20分钟,可获得积分5分;B类选修课每次观看线上直播30分钟,并完成课后作业30分钟,可获得积分4分.每周开设2次选修课程,共开设20周,每次均为独立内容,每次只能选择A类、B类课程中的一类学习.当选择A类课程20次,B类课程20次时,可获得总积分　　　　分.如果规定学生观看直播总时间不得少于1 200分钟,课后作业总时间不得少于900分钟,则通过线上选修课的学习,最多可以获得总积分　　　　分. 

答 案

第七章　不等式

第二讲　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

1.A　解法一　作出不等式组表示的平面区域如图D 7-2-11中阴影部分所示,作出直线3x+2y=0并平移,由图知当直线3x+2y-z=0经过点A(0,2)时,z=3x+2y取得最小值,即zmin=3×0+2×2=4,故选A.

解法二　由得此时z=4;由得此时z=5;由得此时z=9.综上所述,z=3x+2y的最小值为4,故选A.

图D 7-2-11

2.A　作出可行域如图D 7-2-12中阴影部分所示.作出直线x+2y=0,平行移动直线x+2y=0,当平移到过点A时,z=x+2y+5取得最大值.联立方程得得A(1,4),将A(1,4)代入目标函数z=x+2y+5,则zmax=1+2×4+5=14,故选A.

图D 7-2-12

3.C　画出可行域如图D 7-2-13中阴影部分所示,作出直线y=x并平移,由图可知,目标函数z=y-x在点(1,2)处取得最大值,zmax=2-1=1,在点(2,1)处取得最小值,zmin=1-2=-1.所以zmax-zmin=1-(-1)=2.故选C.

图D 7-2-13

4.B　解法一　令u=x-2y.作出不等式组表示的平面区域如图D 7-2-14中阴影部分所示,

作出直线x-2y=0并平移,由图知,当目标函数u=x-2y的图象经过点A(-2,-3)时,u取得最大值,即umax=-2-2×(-3)=4.又函数f(u)=2u在定义域内单调递增,所以zmax=(2x-2y)max=24=16,故选B.

图D 7-2-14

解法二　由得此时z=24=16;由得此时z=2-6=;由得此时z=23=8.所以z=2x-2y的最大值为16,故选B.

5.D　画出不等式组表示的平面区域,如图D 7-2-15中阴影部分所示,则的几何意义为过P(x,y)与A(-2,-1)两点的直线的斜率.从图中可知当点P(x,y)为点B(2,0)时,的值最小,为;当点P(x,y)为点D(0,2)时,的值最大,为.所以的取值范围为[,],故选D.

图D 7-2-15

6.B　解法一　由题意易知k<0,在平面直角坐标系中,画出x,y满足的不等式组所表示的平面区域,如图D 7-2-16中阴影部分所示,目标函数z=x+3y可变形为y=x+z,由图可知,当直线y=x+z经过阴影区域中的点A时,截距最大.由得x=y=,即A(,),则zmax=+3×()==8,解得k=-6.故所求实数k的值为-6.故选B.

解法二　由于目标函数z=x+3y的最大值为8,所以直线y=x与直线8=x+3y的交点(2,2)在直线2x+y+k=0上,将x=2,y=2代入2x+y+k=0,得k=-6.故所求实数k的值为-6.故选B.

图D 7-2-16

7.　作出可行域如图D 7-2-17中阴影部分所示,的几何意义为可行域内的点(x,y)到定点

P(-1,0)的距离,由图知,点P(-1,0)与点M(2,2)之间的距离最小,所以()min=.

图D 7-2-17

8.[0,5)　画出不等式组表示的平面区域如图D 7-2-18中阴影部分所示,作出直线2x-y=0,平移可知直线2x-y=z过点C时z最小,由解得即C(,),所以zmin=2×=0.由解得即B(2,-1),将直线2x-y=0往右下方平移的过程中,z的值逐渐增大,所以zmax<2×2-(-1)=5.所以z的取值范围是[0,5).

图D 7-2-18

9.C　平面区域D如图D 7-2-19中的阴影部分所示.由图知点(0,1)不在区域D内,故p为假命题;点(1,1)在区域D内,故q为真命题.所以(¬p)∧q是真命题.故选C.

图D 7-2-19

10.A　(x-1)2+(y-1)2≤2表示的是以(1,1)为圆心,为半径的圆及圆的内部区域,如图D 7-2-20所示.不等式组表示的平面区域为图D 7-2-20中的阴影部分.所以p不能推出q,q能推出p,所以p是q的必要不充分条件,故选A.

图D 7-2-20

11.D　解法一　由题意,作出可行域,如图D 7-2-21中阴影部分所示.z=·=2x+y,作出直线2x+y=0并平移,可知当直线2x+y=z过点C时,z取得最大值.由得即C(1,2),则z的最大值是4,故选D.

解法二　由题意,作出可行域,如图D 7-2-21中阴影部分所示,可知可行域是三角形封闭区域.z=·=2x+y,易知目标函数z=2x+y的最大值在顶点处取得,求出三个顶点的坐标分别为(0,0),(1,2),(-3,0),分别将(0,0),(1,2),(-3,0)代入z=2x+y,对应z的值分别为0,4,-6,故z的最大值是4,故选D.

图D 7-2-21

12.C　不等式组表示的平面区域如图D 7-2-22中阴影部分所示,设z=2x+y,作出直线2x+y=0并平移,由图知目标函数z=2x+y取得最小值的最优解为(1,4),所以目标函数z=2x+y的最小值为6.因为∀(x,y)∈D,不等式a≤2x+y恒成立,所以a≤6,故选C.

图D 7-2-22

13.B　由题意知x≥1,y≥x,则m≥x+y≥2,作出满足约束条件的平面区域如图D 7-2-23中阴影部分所示.显然表示定点P(-1,0)与平面区域内的点(x,y)连线所在直线的斜率,由图可知,当直线经过平面区域的顶点A(1,m-1)时,直线的斜率取得最大值,为=2,解得m=5.故选B.

图D 7-2-23

14.180　190　根据题意知,当选择A类课程20次,B类课程20次时,可获得总积分5×20+4×20=180(分).

设学生选择A类选修课x(x∈N)次,B类选修课y(y∈N)次,

则x,y所满足的约束条件为即

总积分为z=5x+4y.

图D 7-2-24

作出约束条件对应的可行域,如图D 7-2-24中的阴影部分中的整点所示.

由解得可得M(30,10),

平移直线5x+4y=0,当直线z=5x+4y经过可行域的顶点M时,直线z=5x+4y在y轴上的截距最大,此时z取得最大值,即zmax=5×30+4×10=190.

因此,通过线上选修课的学习,最多可以获得总积分190分.