高考数学大一轮复习第10章圆锥曲线与方程第4讲圆锥曲线的综合应用2试题文含解析

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第十章　圆锥曲线与方程
第四讲　圆锥曲线的综合问题

1.[2021洛阳市统考]已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12,其左、右焦点分别是F1,F2,如图10-4-1,过F1的直线AB与椭圆相交于A,B两点,且△ABF2的周长为8.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线l:y=x+t与椭圆相交于M,N两点,当坐标原点O位于以MN为直径的圆外时,求t的取值范围.

图10-4-1



2.[2021四省八校联考]已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,直线l与C交于A,B两点,与C的准线交于点M.
(1)若直线l经过点F,且|AB|=4,求直线l的方程.
(2)设直线OA,OB的斜率分别为k1,k2,且k1·k2=-2.
①证明:直线l经过定点,并求出定点的坐标;
②求MA·MB的最小值.








3.[2020全国卷Ⅱ,19,12分][文]已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合,C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A,B两点,交C2于C,D两点,且|CD|=43|AB|.
(1)求C1的离心率;
(2)设M是C1与C2的公共点.若|MF|=5,求C1与C2的标准方程.




4.[2020贵阳市高三摸底测试]已知椭圆C的中心在原点,一个焦点为F1(-3,0),且椭圆C经过点P(3,12).
(1)求椭圆C的方程;
(2)设椭圆C与y轴的正半轴交于点D,直线l:y=kx+m与椭圆C交于A,B两点(l不经过点D),且AD⊥BD,证明:直线l经过定点,并求出该定点的坐标.




5.[2021安徽省四校联考]已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为13,上顶点为M,右焦点为F,坐标原点O到直线MF的距离为223.
(1)求椭圆C的方程;
(2)直线l为抛物线y2=-36x的准线,A,B分别为椭圆的左、右顶点,P为直线l上的任意一点(P不在x轴上),PA交椭圆C于另一点S,PB交椭圆C于另一点T,求证:S,F,T三点共线.







6.[2021八省市新高考适应性考试]双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左顶点为A,右焦点为F,动点B在C上.当BF⊥AF时,|AF|=|BF|.
(1)求C的离心率;
(2)若B在第一象限,证明:∠BFA=2∠BAF.





7.[2021辽宁辽阳调研]已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=23.过椭圆的右焦点F2作长轴的垂线,与椭圆在第一象限交于点P,且满足|PF1||PF2|=7.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若矩形ABCD的四条边均与椭圆相切,求该矩形面积的取值范围.



8.[2020大同市高三调研]已知半圆x2+y2=4(y≥0),动圆与此半圆相切(内切或外切,如图10-4-2),且与x轴相切.
(1)求动圆圆心的轨迹方程,并画出其轨迹.
(2)是否存在斜率为13的直线l,它与(1)中所得的轨迹由左至右顺次交于A,B,C,D四点,且满足|AD|=2|BC|?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.

图10-4-2





9.[2020湖南长郡中学第三次适应性考试][新角度题]已知抛物线G:y2=2px(p>0),其焦点为F,过点F的直线l交抛物线G于A,B两点,交抛物线G的准线于点C.当点F恰好是线段AC的中点时,|BC|=83.
(1)求抛物线G的方程;
(2)点O是坐标原点,设直线OA,OB的斜率分别为k1,k2,直线l的纵截距为1,此时数列{an}满足a1=1,k1+k2=-16an+1+(4an+2)2.设数列{an1+an}的前n项和为Sn,已知存在正整数m,使得m







10.[2020湖南岳阳4月联考][数学文化题]定义椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的“蒙日圆”方程为x2+y2=a2+b2.已知抛物线x2=4y的焦点与椭圆C的一个短轴端点重合,且椭圆C的离心率为63.
(1)求椭圆C的方程和“蒙日圆”E的方程.
(2)过“蒙日圆”E上任意一点P作椭圆C的两条切线PA,PB,A,B为切点,延长PA与“蒙日圆”E交于点Q,O为坐标原点.
①证明:PA⊥PB;
②若直线OP,OQ的斜率kOP,kOQ存在,试判断kOP·kOQ是否为定值.若是,求出该值;若不是,请说明理由.







答 案
第十章　圆锥曲线与方程
第四讲　圆锥曲线的综合问题

1.(1)由椭圆的定义知4a=8,∴a=2.
∵椭圆的离心率e=ca=12,∴c=1,从而b2=a2-c2=3,
∴椭圆C的方程为x24+y23=1.
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2).由y=x+t,3x2+4y2-12=0,得7x2+8tx+4t2-12=0,则Δ=64t2-28(4t2-12)>0,
解得t2<7　①.
x1+x2=-8t7,x1x2=4t2-127.
∵坐标原点O位于以MN为直径的圆外,
∴OM·ON>0,
即x1x2+y1y2>0,x1x2+y1y2=x1x2+(x1+t)(x2+t)=2x1x2+t(x1+x2)+t2=7t2-247>0,解得t2>247　②,
由①②可知247 ∴t的取值范围是(-7,-2427)∪(2427,7).
2.设直线l与C的交点A(x1,y1),B(x2,y2).
(1)易知点F的坐标为(12,0),直线l的斜率不为0,设直线l的方程为x=my+12,
联立x=my+12,y2=2x,消去x,得y2-2my-1=0,
∴y1+y2=2m.
∴|AB|=x1+x2+1=m(y1+y2)+2=2m2+2=4,解得m=±1.
∴直线l的方程为x=±y+12,即y=x-12或y=-x+12.
(2)①设直线l的方程为x=my+n,代入抛物线方程化简得y2-2my-2n=0,
∴y1+y2=2m,y1y2=-2n.∵k1=y1x1,k2=y2x2,k1·k2=y1y2x1x2=y1y2y12y224=4y1y2=-2n=-2,∴n=1,
∴直线l经过定点,且定点坐标为(1,0).
②由①知,直线l的方程为x=my+1.
由x=-12,x=my+1,得M(-12,-32m).
又y1+y2=2m,y1y2=-2,∴x1+x2=2m2+2,x1x2=1.
∴MA=(x1+12,y1+32m),MB=(x2+12,y2+32m),
∴MA·MB=(x1+12)(x2+12)+(y1+32m)(y2+32m)=x1x2+12(x1+x2)+14+y1y2+32m(y1+y2)+(32m)2=m2+94m2+134≥2m2·94m2+134=254,当且仅当m2=94m2,即m=±62时,取等号,∴当m=±62时,MA·MB取得最小值254.
3.(1)由已知可设C2的方程为y2=4cx,其中c=a2-b2.不妨设A,C在第一象限,由题设得A,B的纵坐标分别为b2a,-b2a;C,D的纵坐标分别为2c,-2c,故|AB|=2b2a,|CD|=4c.由|CD|=43|AB|得4c=8b23a,即3×ca=2-2(ca)2.解得ca=-2(舍去)或ca=12.
所以C1的离心率为12.
(2)由(1)知a=2c,b=3c,故C1:x24c2+y23c2=1.
设M(x0,y0),则x024c2+y023c2=1,y02=4cx0,故x024c2+4x03c=1　①.
由于C2的准线为x=-c,所以|MF|=x0+c,而|MF|=5,故x0=5-c,代入①得(5-c)24c2+4(5-c)3c=1,即c2-2c-3=0,解得c=-1(舍去)或c=3.
所以C1的标准方程为x236+y227=1,C2的标准方程为y2=12x.
【解题思路】　(1)首先根据题意设C2的方程为y2=4cx,然后由|AB|与|CD|的关系得关于a,b,c的方程,结合c2=a2-b2,得到关于a,c的方程,即可求得结果;(2)首先用c分别表示出a,b,从而用c表示出椭圆的标准方程,设M(x0,y0),得x024c2+4x03c=1,然后结合抛物线的定义求得c的值,即可求出C1,C2的标准方程.
4.(1)由题意,设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),焦距为2c,另一个焦点为F2,
则c=3,F2(3,0).
在Rt△PF2F1中,|PF1|=|F1F2|2+|PF2|2=72.
由椭圆的定义得2a=|PF1|+|PF2|=72+12=4,则a=2,b=a2-c2=1,
所以椭圆C的方程为x24+y2=1.
(2)由(1)得D(0,1),设A(x1,y1),B(x2,y2).
由y=kx+m,x24+y2=1,消去y得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,易知Δ>0,
则x1+x2=-8km1+4k2,x1x2=4m2-41+4k2,
y1+y2=k(x1+x2)+2m=2m1+4k2,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=m2-4k21+4k2.
由AD⊥BD得DA·DB=x1x2+(y1-1)(y2-1)=0,即5m2-2m-31+4k2=0,
所以5m2-2m-3=0,解得m=1或m=-35.
当m=1时,直线l经过点D,舍去.
当m=-35时,直线l的方程为y=kx-35,
所以直线l经过定点,且该定点的坐标为(0,-35).

5.(1)设F(c,0),根据离心率的定义和面积相等可得ca=13,bca=223,a2=b2+c2,解得a=3,b=22,因此所求的椭圆C的方程为x29+y28=1.
(2)显然A(-3,0),B(3,0),直线l的方程为x=9.
设P的坐标为(9,m)(m≠0),则直线PA的方程为y=m12(x+3),
把它代入椭圆C的方程中,消去y得(128+m2)x2+6m2x+9m2-9×128=0.
根据一元二次方程根与系数的关系知-3xS=9m2-9×128128+m2,
因此S(384-3m2128+m2,64m128+m2).
同理,得T(3m2-9632+m2,-32m32+m2).
由于F(1,0),所以当m≠±8时,kSF=16m64-m2,kFT=16m64-m2,因此kSF=kFT.当m=±8时,易知S,F,T三点共线.
所以S,F,T三点共线.
6.由题意知,点B(c,a+c)在双曲线C上,
则c2a2-(a+c)2b2=1,c2a2-a+cc-a=1,
e2-1+ee-1=1,(e+1)(e-1-1e-1)=0,e=2.
(2)由(1)知ca=2,c=2a,则b2=c2-a2=3a2,
双曲线C的方程为x2a2-y23a2=1,A(-a,0),F(2a,0).
①当BF⊥AF时,|AF|=|BF|,则∠BAF=π4,∠BFA=π2,显然∠BFA=2∠BAF.
②当BF与AF不垂直时,设B(x0,y0),x0>a,y0>0,则3x02-y02=3a2,
tan∠BAF=kAB=y0x0+a,tan∠BFA=-kBF=-y0x0-2a.
tan 2∠BAF=2tan∠BAF1-tan2∠BAF=2y0x0+a1-y02(x0+a)2=2y0(x0+a)(x0+a)2-y02=2y0(x0+a)(x0+a)2-(3x02-3a2)=-y0x0-2a=tan∠BFA.
因为双曲线C的渐近线为y=±3x,所以0<∠BAF<π3,0<∠BFA<π,所以∠BFA=2∠BAF.
综上可知,∠BFA=2∠BAF.
7.(1)由题意可得2c=23,所以c=3.
设|PF2|=x,由|PF1||PF2|=7,可得|PF1|=7x,由椭圆的定义可得2a=x+7x=8x.
在Rt△PF1F2中,|PF1|2=|PF2|2+12,
所以x=12,所以2a=8x=4,即a=2,所以b2=a2-c2=4-3=1.
所以椭圆的标准方程为x24+y2=1.

图D 10-4-1
(2)如图D 10-4-1所示,设矩形ABCD的面积为S.
①当矩形的一边与坐标轴平行时,易知S=8.
②当矩形的各边均不与坐标轴平行时,由矩形及椭圆的对称性,可设其中一边所在直线的方程为y=kx+m,则其对边所在直线的方程为y=kx-m,
由y=kx+m,x2+4y2=4,消去y并整理得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0,由题意可得Δ=0,整理可得4k2+1=m2.
这两条平行线间的距离d1=|2m|1+k2.
设另外两边所在直线的方程分别为y=-1kx+n,y=-1kx-n,同理可得4k2+1=n2,这两条平行线间的距离d2=|2n|1+1k2.
所以矩形的面积S=d1·d2=|2m|1+k2·|2n|1+1k2=4|mnk|1+k2=4·(1+4k2)(4+k2)(1+k2)2=4·4k4+17k2+4(1+k2)2=4·4(1+k2)2+9k2(1+k2)2=4·4+9k2k4+2k2+1=4·4+9k2+1k2+2.
因为k2>0,所以k2+1k2≥2,当且仅当k2=1时取等号,所以9k2+1k2+2∈(0,94],所以4+9k2+1k2+2∈(2,52],所以S∈(8,10].
综上所述,该矩形面积的取值范围为[8,10].
8.(1)设动圆圆心M(x,y),作MN⊥x轴于点N.
①若动圆与半圆外切,则|MO|=2+|MN|,∴x2+y2=y+2,
两边平方得x2+y2=y2+4y+4,化简得y=14x2-1(y>0).
②若动圆与半圆内切,则|MO|=2-|MN|,∴x2+y2=2-y,
两边平方得x2+y2=4-4y+y2,化简得y=-14x2+1(y>0).
综上,当动圆与半圆外切时,动圆圆心的轨迹方程为y=14x2-1(y>0);当动圆与半圆内切时,动圆圆心的轨迹方程为y=-14x2+1(y>0).
动圆圆心的轨迹如图D 10-4-2所示.

图D 10-4-2
(2)假设满足题意的直线l存在,可设l的方程为y=13x+b.依题意,可得直线l与曲线y=14x2-1(y>0)交于A,D两点,与曲线y=-14x2+1(y>0)交于B,C两点.
由y=13x+b,y=14x2-1与y=13x+b,y=-14x2+1,
消去y整理可得3x2-4x-12b-12=0　①与3x2+4x+12b-12=0　②.
设A(xA,yA),B(xB,yB),C(xC,yC),D(xD,yD),则xA+xD=43,xAxD=-12b-123,xB+xC=-43,xBxC=12b-123.
又|AD|=1+(13)2|xA-xD|,|BC|=1+(13)2|xB-xC|,
且|AD|=2|BC|,∴|xA-xD|=2|xB-xC|,即(xA+xD)2-4xAxD=4[(xB+xC)2-4xBxC],
整理得(43)2+4(12b+12)3=4[(-43)2-4(12b-12)3],解得b=23.将b=23代入方程①,得xA=-2,xD=103.
∵函数y=14x2-1(y>0)的定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞),
∴假设不成立,即不存在满足题意的直线l.
9.(1)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(p2,0),准线方程为x=-p2.
依题意知过F的直线l的斜率存在且不为0,故可设其方程为x=ty+p2(t≠0),
由x=ty+p2,y2=2px,消去x并整理,得y2-2pty-p2=0,易知Δ>0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),可得y1y2=-p2.
由点F是线段AC的中点,且C(-p2,-pt),得-p2+x12=p2,-pt+y12=0,
解得x1=3p2,y1=pt,即A(3p2,pt).
由y1y2=-p2,可得y2=-p2pt=-pt,则x2=t(-pt)+p2=-pt2+p2,
即B(-pt2+p2,-pt).
把点B的坐标代入抛物线方程,可得(-pt)2=2p(-pt2+p2),可得t=±33.
不妨令t=-33,则B(p6,33p),C(-p2,3p).
由|BC|=(p6+p2)2+(33p-3p)2=43p=83,可得p=2,
所以抛物线G的方程为y2=4x.
(2)依题意可知直线l过点F(1,0)和(0,1),可得直线l的方程为y=-x+1,
由y=-x+1,y2=4x消去x并整理,得y2+4y-4=0,
则y1+y2=-4,y1y2=-4.
所以k1+k2=y1x1+y2x2=4y1+4y2=4×y1+y2y1y2=4,
则-16an+1+(4an+2)2=4,即an+1=an2+an=an(an+1),
由此可得1an+1=1an(an+1)=1an-1an+1,
所以an1+an=1-1an+1=1-(1an-1an+1).
则S2 020=2 020-[(1a1-1a2)+(1a2-1a3)+…+(1a2020-1a2021)]=2 020-(1a1-1a2021)=2 020-1+1a2021=2 019+1a2021.
由m 而a1=1,an+1=an(an+1)>1,可得m=2 019,
所以正整数m的值为2 019.
10.(1)抛物线x2=4y的焦点为(0,1),由其与椭圆C的一个短轴端点重合,可得b=1.
由椭圆C的离心率e=ca=1-b2a2=63,得a2=3.
所以椭圆C的方程为x23+y2=1,“蒙日圆”E的方程为x2+y2=4.
(2)①当PA和PB中有一条与x轴平行时,易知另一条与x轴垂直,显然PA⊥PB.
当PA和PB均不与x轴平行且不与x轴垂直时,设过点P的椭圆C的斜率存在且不为零的切线的方程为y=kx+m(k≠0),
设P(x0,y0),x0≠±3,由直线y=kx+m(k≠0)过点P,得m=y0-kx0,且x02+y02=4.
由y=kx+m,x23+y2=1,消去y并整理得(3k2+1)x2+6kmx+3m2-3=0,
则Δ=(6km)2-4(3k2+1)(3m2-3)=0,即m2=3k2+1.
将m=y0-kx0代入上式得关于k的方程(x02-3)k2-2x0y0k+y02-1=0.
则kPA·kPB=y02-1x02-3,又x02+y02=4,
所以kPA·kPB=-1,即PA⊥PB.
综上,PA⊥PB.
②当直线PQ的斜率存在时,设直线PQ的方程为y=k1x+m1,
由y=k1x+m1,x2+y2=4,消去y并整理得(k12+1)x2+2k1m1x+m12-4=0,
则Δ=(2k1m1)2-4(k12+1)(m12-4),
由①得m12=3k12+1,代入上式整理得Δ=4k12+12>0.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=-2k1m1k12+1,x1x2=m12-4k12+1,
所以kOP·kOQ=y1x1·y2x2=(k1x1+m1)(k1x2+m1)x1x2=k12x1x2+m1k1(x1+x2)+m12x1x2=k12·m12-4k12+1+m1k1(-2k1m1k12+1)+m12m12-4k12+1=m12-4k12m12-4,
将m12=3k12+1代入上式,得kOP·kOQ=3k12+1-4k123k12+1-4=-13.
当直线PQ的斜率不存在时,不妨设点P在第一象限,则P(3,1),所以kOP=33,易知Q(3,-1),kOQ=-33,所以kOP·kOQ=-13.
综上可知,kOP·kOQ=-13.
【拓展提升】　椭圆的蒙日圆及其几何性质
画法几何学的创始人蒙日发现:在椭圆中,任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上,它的圆心是椭圆中心,半径等于椭圆长、短半轴长平方和的算术平方根,这个圆就是蒙日圆.用符号语言表示为:
过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上任意不同两点M,N作椭圆的切线,若两切线垂直且相交于点P,则动点P的轨迹为圆x2+y2=a2+b2.
椭圆的蒙日圆有如下几何性质.
性质1:过圆x2+y2=a2+b2上的动点P作椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两条切线PM,PN,M,N为切点,则PM⊥PN.
性质2:过圆x2+y2=a2+b2上的动点P作椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两条切线PM,PN,M,N为切点,O为坐标原点,则PO平分椭圆的切点弦MN.
性质3:设P为圆x2+y2=a2+b2上任一点,过点P作椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的切线PM,M为切点,延长PM交圆于点Q,O为坐标原点,若直线OP,OQ的斜率存在,则直线OP,OQ的斜率乘积为定值,即kOP·kOQ=-b2a2.
性质4:设P为圆x2+y2=a2+b2上任一点,过点P作椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两条切线PM,PN,M,N为切点,则S△MON的最大值为ab2,S△MON的最小值为a2b2a2+b2.