2023年高考数学一轮复习课时规范练17定积分与微积分基本定理含解析新人教A版理

课时规范练17　定积分与微积分基本定理

基础巩固组

1.(2021新疆乌鲁木齐三模)计算定积分dx=(　　)

A. B. C. D.

2.(2021安徽安庆模拟)一物体在力F(x)=4x-1(单位:N)的作用下,沿着与力F(x)相同的方向,从x=1 m处运动到x=3 m处,则力F(x)所做的功为(　　)

A.16 J B.14 J C.12 J D.10 J

3.给出如下命题:

①(-1)dx=1 dt=b-a(a,b为常数,且a<b);

②dx=dx=;

③f(x)dx=2f(x)dx(a>0).

其中真命题的个数为(　　)

A.0 B.1 C.2 D.3

4.(2021吉林长春二模)若(a-x2)dx=,则a=　　　　　. 

5.(2021甘肃兰州模拟)dx=　　　　　. 

6.(2021四川绵阳中学高三月考)曲线y=cosx与x轴在区间上所围成的区域部分的面积为　　　　　. 

7.(2021青海西宁一模)若曲线y=与直线x=m,y=0所围成封闭图形的面积为m2,则正实数m=　　　　　. 

8.(2021四川攀枝花诊断)在平面直角坐标系中,已知直线l:y=2与抛物线C:y=x2交于A,B两点,则直线与抛物线C所围成的封闭图形的面积为　　　　　. 

综合提升组

9.(2021云南昆明二模)如图,设直线y=1与y轴交于点A,与曲线y=x3交于点B,O为原点,记线段OA,AB及曲线y=x3围成的区域为Ω,在Ω内随机取一个点P,已知点P取在△OAB内的概率等于,则图中阴影部分的面积为(　　)

A. B. C. D.

10.物体A以速度v=3t2+1(t的单位:s,v的单位:m/s)在一直线上运动,在此直线上,物体A出发的同时,物体B在物体A的正前方5 m处以v=10t(t的单位:s,v的单位:m/s)的速度与A同向运动,则两物体相遇时物体A运动的距离为　　　　　m. 

11.(2021河南新乡模拟)函数的图象f(x)=与x轴所围成的封闭图形的面积为　　　　　. 

创新应用组

12.(2021安徽黄山一模)已知函数f(x)=ex,过点(1,0)作曲线f(x)的切线l,则直线l与曲线f(x)及y轴围成的图形的面积为　　　　　. 

13.(2021江西南昌十中高三月考)[x+ln(x+)]dx=　　　　　. 

14.直线y=kx分抛物线y=x-x2与x轴所围图形为面积相等的两部分,求k的值.

答案：

课时规范练

1.B　解析:dx=x2=22-12+-1=

2.B　解析:根据定积分的物理意义,力F(x)所做的功为(4x-1)dx=(2x2-x)=14.

3.B　解析:由于(-1)dx=a-b,1dt=b-a,所以①错误;由定积分的几何意义知,dx和dx都表示半径为1的圆面积的,所以都等于,所以②正确;只有当函数f(x)为偶函数时,才有f(x)dx=2f(x)dx,所以③错误,故选B.

4.2　解析:若(a-x2)dx=,

则,即a-,所以a=2.

5.8π　解析:根据题意可知dx表示以原点为圆心,4为半径的半圆的面积,则dx=π×42=8π.

6.4　解析:作出函数y=cosx在区间上的图象如图所示:

由图象可知,曲线y=cosx与x轴在区间上所围成的区域部分的面积为S=2cos xdx=2sin x=4.

7　解析:由定积分的几何意义可得m2=dx=,

解得m=

8　解析:联立得A(-2,2),B(2,2).所以弦AB与抛物线C所围成的封闭图形的面积为dx=

9.B　解析:联立解得

则区域Ω的面积为(1-x3)dx==1-,

∵在Ω内随机取一个点P,点P取在△OAB内的概率等于,∴点P取在阴影部分的概率等于1-,∴图中阴影部分的面积为

10.130　解析:设t=a时两物体相遇,依题意(3t2+1)dt-10tdt=5,即a3+a-5a2=5,(a-5)(a2+1)=0,解得a=5,所以(3t2+1)dt=53+5=130.故两物体相遇时物体A运动的距离为130m.

11.12　解析:由题意可得,围成的封闭图形的面积为

S=(x+4)dx+4cos xdx=+4sin x=0-(8-16)+4sin-0=12.

12.e2-1　解析:由f'(x)=ex,过点(1,0)作曲线f(x)的切线l,设切点为(x0,),

则斜率k=,所以切线l的方程为y-(x-x0).因为切线过点(1,0),则-(1-x0),解得x0=2,所以切线l的方程为y=e2x-e2,直线l与曲线y=f(x)及y轴围成的图形的面积为[ex-(e2x-e2)]dx=ex-e2x2-e2x=e2-1.

13.0　解析:因为y=x为奇函数,所以xdx=0,设g(x)=ln(x+),其定义域为R,且g(-x)=ln[-x+]=ln(-x+)=-ln(x+)=-g(x),所以g(x)=ln(x+)为奇函数,函数图象关于原点对称,所以[ln(x+)]dx=0,

所以[x+ln(x+)]dx

=xdx+[ln(x+)]dx=0.

14.解:如图所示,抛物线y=x-x2与x轴两交点的横坐标为x1=0,x2=1,

所以抛物线与x轴所围图形的面积S=(x-x2)dx=x3又因为由此可得,抛物线y=x-x2与y=kx两交点的横坐标为x3=0,x4=1-k(0<k<1),

所以(x-x2-kx)dx=(1-k)3.

又知S=,所以(1-k)3=,于是k=1-=1-