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2021年陕西省西安市中考数学一模试题（word版 含答案）
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这是一份2021年陕西省西安市中考数学一模试题（word版 含答案），共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年陕西省西安市中考数学一模试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．的倒数是（ ）
A． B． C． D．2021
2．如图所示的几何体，其俯视图是（ ）
A． B． C． D．
3．截止北京时间10月5日22点前，全球新冠肺炎累计确诊病例已超过35000000例，这个数用科学记数法表示为（ ）
A．0.35×108 B．3.5×107 C．3.5×108 D．0.35×107
4．如图，将一个直角尺的顶点放在尺子的一边，若∠1＝24°，那么∠2的度数是（ ）
A．24° B．56° C．66° D．76°
5．下列运算正确的是（ ）
A．3a2•2a3＝6a5 B．（﹣a2）3＝a6
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．x2+x2＝x4
6．在平面直角坐标系中，若一个正比例函数的图象经过A（m，2），点B（5，n）两点，则m，n一定满足的关系式为（ ）
A．m﹣n＝3 B． C． D．mn＝10
7．如图，在等边△ABC中，作点C关于直线AB的对称点P，过点P作PQ⊥BC，交CB的延长线于点Q，BQ＝5，则AC的长为（ ）
A．5 B．5 C．10 D．15
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，FG＝，AE平分∠BAD交BC于点E．点F，G分别是AD，AE的中点，则BC的长为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．8
9．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，若水面下降2.5m，那么水面宽度为（ ）m．
A．3 B．6 C．8 D．9
10．若直线y＝n截抛物线y＝x2+bx+c所得线段AB＝4，且该抛物线与x轴只有一个交点，则n的值为（ ）
A．﹣1 B．2 C．25 D．4
二、填空题
11．把多项式分解因式的结果是_____________．
12．如图，以正五边形ABCDE的边CD为边作正方形CDFH，使点F，H在其内部，连接FE，则∠DFE＝_____．
13．如图，以平行四边形ABCO的顶点O为原点，边OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，顶点C的坐标是（2，0），tan∠AOC＝2，过点A的反比例函数的图象过BC边的中点D，则k的值是_____．
14．已知矩形ABCD中有一点P，满足PA＝1，PB＝2，PC＝3，则PD＝_____．
三、解答题
15．计算：﹣2sin60°．
16．化简：．
17．如图，已知△ABC，∠BAC＝90°，请用尺规过点A作直线AD交BC于点D，使△ABD与△CAD相似（保留作图痕迹，不写做法）．
18．如图，已知正方形ABCD，点E在边BC上，点F在CD的延长线上，且DF＝BE，求证：AF⊥AE．
19．某中学数学兴趣小组为了了解参加数学学科节学生的年龄情况，随机抽取了其中部分学生的年龄，经过数据整理，绘制出如下不完整的统计图，依据相关信息解答以下问题：
（1）写出被抽取的学生人数 ，并补全条形统计图．
（2）被抽取的学生的年龄的众数是 岁，中位数是 岁．
（3）若共有600名学生参加了本次数学学科节活动，请估计活动中年龄在15岁及以上的学生人数．
20．如图，AB，CD为两栋建筑物，从建物CD顶端C处测得建筑物AB顶端A的俯角为22°，BM为此时阳光下建筑物AB在地面上的影子，且获知此时刻长为1米的标杆影长为1.1米，建筑物AB顶端A在地面上的影子M与墙角D的距离为10m（B、M、D在同一直线上），建筑物CD的高28米，求建筑物AB的高度；（结果保留一位小数）参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）
21．早晨六点，小张开车去距出发地路程为150km的A地，车匀速行驶，在行驶过程中，前方发生交通事故，被堵了一些时间，事故处理后，小张提高速度，继续匀速前进；整个过程中小张出发后行驶的路程y（km）与其行驶时间x（h）的函数关系如图所示，根据图象回答下列问题：
（1）求小张提高速度后y与x的函数表达式；
（2）小张能否在早晨九点之前赶到A地？请说明理由．
22．周天，苗苗准备了5盒外包装完全相同的橡皮泥，准备和好朋友一起做手工，其中2盒红色，2盒黄色，1盒绿色．
（1）若苗苗随机打开一盒橡皮泥，恰巧是红色的概率是 ；
（2）若苗苗同时打开两盒橡皮泥，请你计算两盒颜色恰好相同的概率（请用画树状图或列表的方法求解）
23．已知二次函数y＝x2+bx+c（a≠0）自变量x的值和它对应的函数值y如表所示：
x
……
0
1
2
3
4
……
y
……
3
0
﹣1
0
m
……
（1）请写出关于该二次函数图象的相关信息：
抛物线解析式为 ；抛物线开口向 （填“上”或“下”）；顶点坐标为 ；m的值为 ．
（2）设该二次函数图象与x轴的左交点为B，它的顶点为A，该图象上点C的横坐标为4，求△ABC的面积．
24．如图，已知直线y＝x﹣4与坐标轴分别交于点B、点C，二次函数y＝﹣x2+2x的图像经过点C．
（1）求直线与抛物线的另一个交点A的坐标及线段AB的长；
（2）若点D在x轴的正半轴上，是否存在以点D，C，B构成的三角形与△OAB相似？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（1）如图1，在四边形ABCD中，已知ADBC，点M是CD的中点，连接AM并延长交BC的延长线于点E，若=10，那么= ．
（2）如图2，已知，锐角∠AOB内有一点M，过点M作直线l分别交OA，OB于点P、Q，将直线l绕点M旋转时，发现：当点M恰好是PQ中点时，最小，请证明这个结论．
（3）如图3，已知在直角坐标系中，OA是第一象限的角分线，∠MOx＝30°，且OM＝3，过点M作直线l交OA于点P，交x轴正半轴于点Q，求的最小值及此时直线l的表达式．
参考答案
1．D
【分析】
直接利用倒数的定义分析得出答案．
【详解】
解：的倒数为：2021．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了倒数，正确把握倒数定义是解题关键．
2．A
【分析】
根据俯视图的定义即可求解．
【详解】
由图形可知，这个几何体的俯视图为
故选A．
【点睛】
此题主要考查俯视图的判断，解题的关键是熟知俯视图的定义．
3．B
【分析】
根据科学计数法的要求先确定a的值，再确定10的指数．
【详解】
因为35000000=3.5×107，
故选：B．
【点睛】
本题考查了绝对值大于１的数的科学计数法，记住科学计数法中a的取值范围，避免出错．
4．C
【分析】
先根据两角互余的性质求出的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
【详解】
解：如图：
直尺的两边互相平行
故选C．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．
5．A
【分析】
根据单项式乘单项式、幂的乘方、完全平方公式及合并同类项逐一计算可得．
【详解】
解：A.，此选项正确；
B.，此选项错误；
C. ，此选项错误；
D. ，此选项错误．
故选A．
【点睛】
本题主要考查单项式乘单项式、幂的乘方、完全平方公式及合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键．
6．D
【分析】
设正比例函数解析式为y＝kx（k≠0），再把A、B点的坐标代入得到mk＝2，5k＝n，然后消去k得到m、n的关系式．
【详解】
解：设正比例函数解析式为y＝kx（k≠0），
把A（m，2），点B（5，n）代入得mk＝2，5k＝n，
可得，， 代入mk＝2得，m•＝2，
所以mn＝10．
故选：D．
【点睛】
本题考查了待定系数法求正比例函数解析式：先设出正比例函数的解析式为y＝kx，然后把一组对应值代入求出k即可．
7．C
【分析】
设PC与AB的交点为D，在等边△ABC中，AB=AC，∠A=∠ABC=∠ACB=60°，由点C关于直线AB的对称点P，可得CD平分∠ACB，由PQ⊥BC，可得∠Q=90°，设BC=x，利用三角函数可求CD= ，PC=，再利用三角函数列方程QC=PCcos30°即5+x=,解之即可．
【详解】
解：设PC与AB的交点为D，
在等边△ABC中，AB=AC，∠A=∠ABC=∠ACB=60°，
∵点C关于直线AB的对称点P，
∴PC⊥AB，PD=CD，
∵CD⊥AB，△ABC为等边三角形，
∴CD平分∠ACB，
∴∠DCB=
∵PQ⊥BC，
∴∠Q=90°，
设BC=x，
∴CD=BCcos30°=，
∴PC=2CD=，
∴QC=PCcos30°即5+x=,
解得：x=10．
故选择：C．
【点睛】
本题考查等边三角形选择，轴对称性质，锐角三角函数，掌握等边三角形选择，轴对称性质，锐角三角函数，利用锐角三角函数构造方程是解题关键．
8．C
【分析】
连接DE，由三角形中位线定理求出DE，再根据勾股定理求出CE，角平分线的性质得出△ABE是等腰有直角三角形，求出BE，从而求出BC．
【详解】
解：连接DE，
∵FG＝且F、G分别为AD、AE中点，
∴DE＝2FG＝5，
∵四边形ABCD为矩形，
∴CD＝AB＝4，
在△CDE中，CE＝＝3，
∵AE平分∠BAD，四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD＝∠ABE＝90°，
∴∠BAE＝∠BAD＝45°，
在△ABE中，∠AEB＝90°﹣∠AEB＝45°，
∴∠BAE＝∠AEB＝45°，
△ABE为等腰直角三角形，
∴BE＝AB＝4，
又∵CE＝3，
∴BC＝BE+CE＝4+3＝7．
故选：C．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，三角形中位线的定理等知识；熟练掌握矩形的性质和三角形中位线定理，求出DE的长度是解题的关键．
9．B
【分析】
根据已知确定平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y＝﹣2.5代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．
【详解】
解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），
设顶点式y＝ax2+2，把A点坐标(﹣2，0)代入得a＝﹣0.5，
∴抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，
当水面下降2.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当y＝﹣2.5时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣2.5与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把y＝﹣2.5代入抛物线解析式得出：
﹣2.5＝﹣0.5x2+2，
解得：x＝±3，
∴水面宽度为3﹣(﹣3)＝6（m）．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用．根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键，学会把实际问题转化为二次函数，利用二次函数的性质解决问题．
10．D
【分析】
由抛物线与x轴只有一个交点，得出b2﹣4c＝0，设A、B的交点的横坐标为x1、x2，则x1+x2＝﹣b，x1x2＝c﹣n，由AB＝4，即可得出（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝16，即可得出4n＝16，解得n＝4．
【详解】
解：∵抛物线与x轴只有一个交点，
∴b2﹣4c＝0，
设A、B的交点的横坐标为x1、x2，
∴x1、x2是方程x2+bx+c＝n的两个根，
∴x1+x2＝﹣b，x1x2＝c﹣n，
∵AB＝4，
∴|x1﹣x2|＝4，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝16，
∴（﹣b）2﹣4（c﹣n）＝16，即b2﹣4c+4n＝16，
∴4n＝16，
∴n＝4，
故选：D．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数与方程的关系，根与系数的关系，根据题意得出（﹣b）2﹣4（c﹣n）＝16，即b2﹣4c+4n＝16是解题的关键．
11．3a(x+2)(x-2)
【分析】
先提取公因式3a，再根据平方差公式分解即可.
【详解】
=3a(x+2)(x-2)，
故答案为：3a(x+2)(x-2).
【点睛】
此题考查因式分解的方法：提公因式法、公式法(平方差公式与完全平方公式)，根据多项式的特点选择恰当的因式分解的方法是解题的关键.
12．81°
【分析】
根据正多边形的性质以及内角和求解即可．
【详解】
由正多边形的内角和公式可得：
正五边形ABCDE的内角和为，
∴，
∵四边形CDFH是以CD为边的正方形，
∴，，
∴为等腰三角形，
∴，
故答案为：81°．
【点睛】
本题考查正多边形的性质，理解基本性质是解题关键．
13．
【分析】
作AM⊥x轴于M，DN⊥x轴于N，设A（a，2a），解直角三角形表示出A、D的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k＝a•2a＝（2+）•a，解得a＝，进而即可求得k的值．
【详解】
解：∵四边形ABCO是平行四边形，
∴OA∥BC，OA＝BC，
∴∠DCN＝∠AOC，
作AM⊥x轴于M，DN⊥x轴于N，
∵tan∠AOC＝2，
∴＝2，＝2，
∴设A（a，2a），
∴OM＝a，AM＝2a，，
∵D是BC的中点，，
∴DN＝a，CN＝a，
∵顶点C的坐标是（2，0），
∴ON＝2+a，
∴D（2+，a），
∴a•2a＝（2+）•a，
解得a＝或a＝0（舍去），
∴k＝a•2a＝，
故答案为．
【点睛】
此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质以及解直角三角形，解本题的关键是求出a的值．
14．
【分析】
由ABCD是矩形，过P作GHBC交AB、CD于点G、H，过P作EFAB交AD、BC于点E、F，在所形成的直角三角形中，由勾股定理得出AP2+CP2=BP2+DP2，从而求出DP．
【详解】
解：过点P作GHBC交AB、CD于点G、H，过点P作EFAB交AD、BC于点E、F，
设AE=BF=c，AG=DH=a，GB=HC=b，ED=FC=d
，，，
PA＝1，PB＝2，PC＝3，
即
（负值已舍去）
故答案为：．
【点睛】
本题考查了四边形的综合题，矩形的性质，勾股定理，关键是利用勾股定理列方程组．
15．
【分析】
先化简二次根式、负指数、特殊角三角函数值，再进行计算即可．
【详解】
解：﹣2sin60°，
=，
=
=．
【点睛】
本题考查了实数的运算，包括二次根式、负指数、三角函数等，解题关键是熟记三角函数值，准确运用相关知识进行计算．
16．
【分析】
根据分式运算的顺序和法则进行计算即可．
【详解】
解：，
=
=
=
=．
【点睛】
本题考查了分式的运算，解题关键是熟练运用分式运算法则进行准确计算．
17．答案见解析
【分析】
过点A作AD垂直BC于D，直线AD即为所求直线；在△ABD与△CAD中，有 再证明，从而可得△ABD∽△CAD．
【详解】
解：如图，
AD即为所求直线．
【点睛】
此题主要考查作图法和相似三角形变换，解题的关键在于理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18．见解析
【分析】
根据正方形的性质得到∠B＝∠ADF＝90°，AD＝AB，求出∠ADF，根据SAS即可推出答案，再利用全等三角形的性质解答即可．
【详解】
证明：由正方形ABCD，得 AB＝AD，∠B＝∠ADF＝∠BAD＝90°．
在△ABE和△ADF中，
∴△ABE≌△ADF（SAS）．
∴∠BAE＝∠FAD，AE＝AF．
∴∠BAD＝∠BAE+∠EAD＝∠FAD+∠EAD＝90°．
即∠EAF＝90°．
∴AF⊥AE．
【点睛】
本题主要考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定，垂直的判定等知识点的理解和掌握．关键在于利用SAS判定全等．
19．（1）50，图见解析；（2）15岁，14岁；（3）240人
【分析】
（1）根据12岁的人数和所占的百分比，可以计算出本次被抽查的学生人数，然后即可计算出户14岁和16岁的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（2）根据条形统计图中的数据，可以得到被抽取的学生的年龄的众数和中位数；
（3）根据统计图中的数据，可以计算出活动中年龄在15岁及以上的学生人数．
【详解】
解：（1）被抽取的学生人数：6÷12%＝50（人），
故答案为：50，
14岁的学生有：50×28%＝14（人），
16岁的学生有50﹣6﹣10﹣14﹣18＝2（人），
补全的条形统计图如图所示；
（2）由条形统计图可知，
被抽取的学生的年龄15岁最多，故众数是15岁，从小到大排列后，第25、26个数据都是14岁，所以中位数是14岁，
故答案为：15，14；
（3）600×＝240（人），
即估计活动中年龄在15岁及以上的学生有240人．
【点睛】
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20．16.7米
【分析】
过点A作AN⊥CD于点N，则四边形ABDN是矩形，设AB＝x，则DN＝x，根据此时刻长为1米的标杆影长为1.1米，可得AB：BM＝1：1.1，所以BM＝1.1x（米），可得AN＝BD＝BM+MD＝（1.1x+10）米，CN＝CD﹣DN＝（28﹣x）米，根据锐角三角函数即可求出x的值．
【详解】
解：如图，过点A作AN⊥CD于点N，
则四边形ABDN是矩形，
∴AB＝DN，AN＝BD，
设AB＝x，则DN＝x，
∵此时刻长为1米的标杆影长为1.1米，
∴AB：BM＝1：1.1，
∴BM＝1.1x（米），
∴AN＝BD＝BM+MD＝（1.1x+10）米，
CN＝CD﹣DN＝（28﹣x）米，
在Rt△ACN中，
tan∠CAN＝，
∴≈0.40，
解得x≈16.7，
∴AB≈16.7（米）．
答：建筑物AB的高度约为16.7米．
【点睛】
此题考查了解直角三角形应用﹣仰角俯角问题，平行投影，熟练掌握仰角俯角是解本题的关键．
21．（1）小张提速后y与x的函数表达式为y＝60x﹣40；（2）小张不能在九点前赶到A地，理由见解答．
【分析】
（1）根据函数图象中的数据，可以得到小张提高速度后y与x的函数表达式；
（2）将y＝150代入（1）中的函数解析式，求出对应的x的值，然后即可得到小张能否在九点之前赶到A地．
【详解】
解：(1)由图可知，
设小张提速后y与x的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），把（1.5，50），（2，80）代入得，
∴，
解得：，
即小张提速后y与x的函数表达式为y＝60x﹣40；
（2）小张不能在九点前赶到A地，
理由：当y＝150时，
150＝60x﹣40，
解得，x＝，
∵＞9﹣6，
∴小张不能在九点前赶到某地．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
22．（1）；（2）
【分析】
（1）利用概率公式求解即可．
（2）列表得出所以等可能结果，从中找出符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】
解：（1）若苗苗随机打开一盒橡皮泥，恰巧是红色的概率是；
（2）列表如下：
由表知，共有20中等可能结果，其中两盒颜色恰好相同的有4种结果，
∴两盒颜色恰好相同的概率为=．
【点睛】
本题考查了根据概率公式求概率，用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所以可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
23．（1），上，，3；（2）3
【分析】
（1）根据表格中的数据和二次函数的性质，可以得到该二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和m的值；
（2）根据表格中的数据和题意，可以写出点B，点A，点C的坐标，再求出直线AC和x轴的交点，即可得到△ABC的面积．
【详解】
解：（1）由表格可知，x=1和x=3时的函数值相同，都是0，
∴对称轴为直线x==2，
∴当x=4和x=0时的函数值相等，则m=3，顶点为(2,-1)，
设抛物线解析式为，
把(0,3)代入得，3=4a-1，
则a=1，
∴抛物线解析式为，
即该二次函数图象的开口方向向上，
故答案为，上，(2,-1)，3；
（2）由题意可得，
点B的坐标为(1,0)，点A的坐标为(2,-1)，点C的坐标为(4,3)，
设直线AC的函数解析式为y=kx+b，
∴
解得，
∴直线AC的函数解析式为y=2x-5，
当y=0时，0=2x-5，
解得x=2.5，
则直线AC与x轴的交点为(2.5,0)，
故S△ABC==3．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，求一次函数解析式．解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
24．（1）；（2）存在，或
【分析】
（1）由直线y＝x﹣4与坐标轴分别交于点B、点C，求出点B、点C的坐标，由y＝x﹣4与y＝﹣x2+2x组成方程组，求得方程组的解即可求得点A的坐标，再由点A，B的坐标根据勾股定理，求出线段AB的长；
（2）由OB=OC=4，∠BOC=90°，可得∠BCD=∠ABO=135°，若△BCD与△OAB相似，则∠BCD与∠ABO一定是对应角，点D一定在OC的延长线上，再根据相似三角形的对应边成比例列出方程，即可求出线段CD的长，从而求得点D的坐标．
【详解】
解：（1）∵直线y＝x﹣4与坐标轴分别交于点B、点C，
∴B(0，-4)，C(4，0)，
由，得，，
∴A(-2，-6)，
∴AB=，
（2）存在，
∵OB=OC=4，∠BOC=90°，
∴BC=，∠OBC=∠OCB=45°，
∴∠BCD=∠ABO=135°，
如图1，当∠CBD=∠BOA时，△CBD∽△BOA，
∴，
∴，
解得CD=4，
∴OD=4+4=8，
∴D(8，0)，
如图2，当∠CBD=∠BAO时，△CBD∽△BAO，
∴，
∴，
解得DC=8，
∴OD=4+8=12，
∴D(12，0)，
综上所述，点D的坐标为或．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与性质，两点之间的距离公式，解二元一次方程组，及相似三角形的判定与性质．解（2）题的关键是抓住题中OB=OC这一隐含条件，可得出∠BCD=∠ABO=135°，则∠BCD和∠ABO这两个角相等，再按照∠CBD=∠BOA或∠CBD=∠BAO分类讨论，求出点D坐标．
25．（1）10；（2）见解析；（3）的最小值为，直线l的解析式为
【分析】
（1）证明△ADM≌△ECM即可；
（2）过点M任意作直线CD，交OA于点C，交OB于点D，证明＜即可；
（3）过点P作PB⊥x轴，垂足为B，过点M作MC⊥x轴，垂足为C，利用平行线分线段成比例定理，三角形的中位线定理，求得CQ,PB的长，确定直线上的点的坐标求解即可．
【详解】
（1）∵ADBC，点M是CD的中点，
∴∠ADM=∠ECM，∠DAM=∠CEM，DM=CM，
∴△ADM≌△ECM，
∴= =，
∵=10，
∴=10，
故答案为：10；
（2）过点M任意作直线CD，交OA于点C，交OB于点D，设MC＞MD，过点P作PE∥OB，交CM于点E，根据（1）的结论，当M为PQ的中点时，得=，
∵+=
∴＜，
∴当点M恰好是PQ中点时，最小，
（3）如图，根据（1）结论，得当PM=QM时，最小，
过点P作PB⊥x轴，垂足为B，过点M作MC⊥x轴，垂足为C，
∴MC∥PB，
∵PM=MQ，
∴QC=CB，PB=2MC，
∵∠MOC=30°，OM=3，
∴MC=OMsin30°=，OC=OMcos30°=，
∴OQ+QC=OC=，PB=3，
∴2OQ+2QC=，
∵∠POB=45°，PB=3，
∴OB=3，
∴OQ+2QC=OB=3，
∴OQ=-3，
∴==；
∵OQ=-3，PB=OB=3，
∴Q（-3，0），P（3，3），
设直线PQ的解析式为y=kx+b，根据题意，得，
解得，
∴直线PQ的解析式为y=（）x．
【点睛】
本题考查了三角形的全等和性质，一次函数的解析式，三角函数，中位线定理，平行线分线段成比例定理，面积的最小值，通过构造高线，平行线，为中位线定理，平行线分线段成比例定理的使用创造条件是解题的关键．
2021年陕西省西安市中考数学一模试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．的倒数是（ ）
A． B． C． D．2021
2．如图所示的几何体，其俯视图是（ ）
A． B． C． D．
3．截止北京时间10月5日22点前，全球新冠肺炎累计确诊病例已超过35000000例，这个数用科学记数法表示为（ ）
A．0.35×108 B．3.5×107 C．3.5×108 D．0.35×107
4．如图，将一个直角尺的顶点放在尺子的一边，若∠1＝24°，那么∠2的度数是（ ）
A．24° B．56° C．66° D．76°
5．下列运算正确的是（ ）
A．3a2•2a3＝6a5 B．（﹣a2）3＝a6
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．x2+x2＝x4
6．在平面直角坐标系中，若一个正比例函数的图象经过A（m，2），点B（5，n）两点，则m，n一定满足的关系式为（ ）
A．m﹣n＝3 B． C． D．mn＝10
7．如图，在等边△ABC中，作点C关于直线AB的对称点P，过点P作PQ⊥BC，交CB的延长线于点Q，BQ＝5，则AC的长为（ ）
A．5 B．5 C．10 D．15
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，FG＝，AE平分∠BAD交BC于点E．点F，G分别是AD，AE的中点，则BC的长为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．8
9．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，若水面下降2.5m，那么水面宽度为（ ）m．
A．3 B．6 C．8 D．9
10．若直线y＝n截抛物线y＝x2+bx+c所得线段AB＝4，且该抛物线与x轴只有一个交点，则n的值为（ ）
A．﹣1 B．2 C．25 D．4
二、填空题
11．把多项式分解因式的结果是_____________．
12．如图，以正五边形ABCDE的边CD为边作正方形CDFH，使点F，H在其内部，连接FE，则∠DFE＝_____．
13．如图，以平行四边形ABCO的顶点O为原点，边OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，顶点C的坐标是（2，0），tan∠AOC＝2，过点A的反比例函数的图象过BC边的中点D，则k的值是_____．
14．已知矩形ABCD中有一点P，满足PA＝1，PB＝2，PC＝3，则PD＝_____．
三、解答题
15．计算：﹣2sin60°．
16．化简：．
17．如图，已知△ABC，∠BAC＝90°，请用尺规过点A作直线AD交BC于点D，使△ABD与△CAD相似（保留作图痕迹，不写做法）．
18．如图，已知正方形ABCD，点E在边BC上，点F在CD的延长线上，且DF＝BE，求证：AF⊥AE．
19．某中学数学兴趣小组为了了解参加数学学科节学生的年龄情况，随机抽取了其中部分学生的年龄，经过数据整理，绘制出如下不完整的统计图，依据相关信息解答以下问题：
（1）写出被抽取的学生人数 ，并补全条形统计图．
（2）被抽取的学生的年龄的众数是 岁，中位数是 岁．
（3）若共有600名学生参加了本次数学学科节活动，请估计活动中年龄在15岁及以上的学生人数．
20．如图，AB，CD为两栋建筑物，从建物CD顶端C处测得建筑物AB顶端A的俯角为22°，BM为此时阳光下建筑物AB在地面上的影子，且获知此时刻长为1米的标杆影长为1.1米，建筑物AB顶端A在地面上的影子M与墙角D的距离为10m（B、M、D在同一直线上），建筑物CD的高28米，求建筑物AB的高度；（结果保留一位小数）参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）
21．早晨六点，小张开车去距出发地路程为150km的A地，车匀速行驶，在行驶过程中，前方发生交通事故，被堵了一些时间，事故处理后，小张提高速度，继续匀速前进；整个过程中小张出发后行驶的路程y（km）与其行驶时间x（h）的函数关系如图所示，根据图象回答下列问题：
（1）求小张提高速度后y与x的函数表达式；
（2）小张能否在早晨九点之前赶到A地？请说明理由．
22．周天，苗苗准备了5盒外包装完全相同的橡皮泥，准备和好朋友一起做手工，其中2盒红色，2盒黄色，1盒绿色．
（1）若苗苗随机打开一盒橡皮泥，恰巧是红色的概率是 ；
（2）若苗苗同时打开两盒橡皮泥，请你计算两盒颜色恰好相同的概率（请用画树状图或列表的方法求解）
23．已知二次函数y＝x2+bx+c（a≠0）自变量x的值和它对应的函数值y如表所示：
x
……
0
1
2
3
4
……
y
……
3
0
﹣1
0
m
……
（1）请写出关于该二次函数图象的相关信息：
抛物线解析式为 ；抛物线开口向 （填“上”或“下”）；顶点坐标为 ；m的值为 ．
（2）设该二次函数图象与x轴的左交点为B，它的顶点为A，该图象上点C的横坐标为4，求△ABC的面积．
24．如图，已知直线y＝x﹣4与坐标轴分别交于点B、点C，二次函数y＝﹣x2+2x的图像经过点C．
（1）求直线与抛物线的另一个交点A的坐标及线段AB的长；
（2）若点D在x轴的正半轴上，是否存在以点D，C，B构成的三角形与△OAB相似？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（1）如图1，在四边形ABCD中，已知ADBC，点M是CD的中点，连接AM并延长交BC的延长线于点E，若=10，那么= ．
（2）如图2，已知，锐角∠AOB内有一点M，过点M作直线l分别交OA，OB于点P、Q，将直线l绕点M旋转时，发现：当点M恰好是PQ中点时，最小，请证明这个结论．
（3）如图3，已知在直角坐标系中，OA是第一象限的角分线，∠MOx＝30°，且OM＝3，过点M作直线l交OA于点P，交x轴正半轴于点Q，求的最小值及此时直线l的表达式．
参考答案
1．D
【分析】
直接利用倒数的定义分析得出答案．
【详解】
解：的倒数为：2021．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了倒数，正确把握倒数定义是解题关键．
2．A
【分析】
根据俯视图的定义即可求解．
【详解】
由图形可知，这个几何体的俯视图为
故选A．
【点睛】
此题主要考查俯视图的判断，解题的关键是熟知俯视图的定义．
3．B
【分析】
根据科学计数法的要求先确定a的值，再确定10的指数．
【详解】
因为35000000=3.5×107，
故选：B．
【点睛】
本题考查了绝对值大于１的数的科学计数法，记住科学计数法中a的取值范围，避免出错．
4．C
【分析】
先根据两角互余的性质求出的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
【详解】
解：如图：
直尺的两边互相平行
故选C．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．
5．A
【分析】
根据单项式乘单项式、幂的乘方、完全平方公式及合并同类项逐一计算可得．
【详解】
解：A.，此选项正确；
B.，此选项错误；
C. ，此选项错误；
D. ，此选项错误．
故选A．
【点睛】
本题主要考查单项式乘单项式、幂的乘方、完全平方公式及合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键．
6．D
【分析】
设正比例函数解析式为y＝kx（k≠0），再把A、B点的坐标代入得到mk＝2，5k＝n，然后消去k得到m、n的关系式．
【详解】
解：设正比例函数解析式为y＝kx（k≠0），
把A（m，2），点B（5，n）代入得mk＝2，5k＝n，
可得，， 代入mk＝2得，m•＝2，
所以mn＝10．
故选：D．
【点睛】
本题考查了待定系数法求正比例函数解析式：先设出正比例函数的解析式为y＝kx，然后把一组对应值代入求出k即可．
7．C
【分析】
设PC与AB的交点为D，在等边△ABC中，AB=AC，∠A=∠ABC=∠ACB=60°，由点C关于直线AB的对称点P，可得CD平分∠ACB，由PQ⊥BC，可得∠Q=90°，设BC=x，利用三角函数可求CD= ，PC=，再利用三角函数列方程QC=PCcos30°即5+x=,解之即可．
【详解】
解：设PC与AB的交点为D，
在等边△ABC中，AB=AC，∠A=∠ABC=∠ACB=60°，
∵点C关于直线AB的对称点P，
∴PC⊥AB，PD=CD，
∵CD⊥AB，△ABC为等边三角形，
∴CD平分∠ACB，
∴∠DCB=
∵PQ⊥BC，
∴∠Q=90°，
设BC=x，
∴CD=BCcos30°=，
∴PC=2CD=，
∴QC=PCcos30°即5+x=,
解得：x=10．
故选择：C．
【点睛】
本题考查等边三角形选择，轴对称性质，锐角三角函数，掌握等边三角形选择，轴对称性质，锐角三角函数，利用锐角三角函数构造方程是解题关键．
8．C
【分析】
连接DE，由三角形中位线定理求出DE，再根据勾股定理求出CE，角平分线的性质得出△ABE是等腰有直角三角形，求出BE，从而求出BC．
【详解】
解：连接DE，
∵FG＝且F、G分别为AD、AE中点，
∴DE＝2FG＝5，
∵四边形ABCD为矩形，
∴CD＝AB＝4，
在△CDE中，CE＝＝3，
∵AE平分∠BAD，四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD＝∠ABE＝90°，
∴∠BAE＝∠BAD＝45°，
在△ABE中，∠AEB＝90°﹣∠AEB＝45°，
∴∠BAE＝∠AEB＝45°，
△ABE为等腰直角三角形，
∴BE＝AB＝4，
又∵CE＝3，
∴BC＝BE+CE＝4+3＝7．
故选：C．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，三角形中位线的定理等知识；熟练掌握矩形的性质和三角形中位线定理，求出DE的长度是解题的关键．
9．B
【分析】
根据已知确定平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y＝﹣2.5代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．
【详解】
解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），
设顶点式y＝ax2+2，把A点坐标(﹣2，0)代入得a＝﹣0.5，
∴抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，
当水面下降2.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当y＝﹣2.5时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣2.5与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把y＝﹣2.5代入抛物线解析式得出：
﹣2.5＝﹣0.5x2+2，
解得：x＝±3，
∴水面宽度为3﹣(﹣3)＝6（m）．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用．根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键，学会把实际问题转化为二次函数，利用二次函数的性质解决问题．
10．D
【分析】
由抛物线与x轴只有一个交点，得出b2﹣4c＝0，设A、B的交点的横坐标为x1、x2，则x1+x2＝﹣b，x1x2＝c﹣n，由AB＝4，即可得出（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝16，即可得出4n＝16，解得n＝4．
【详解】
解：∵抛物线与x轴只有一个交点，
∴b2﹣4c＝0，
设A、B的交点的横坐标为x1、x2，
∴x1、x2是方程x2+bx+c＝n的两个根，
∴x1+x2＝﹣b，x1x2＝c﹣n，
∵AB＝4，
∴|x1﹣x2|＝4，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝16，
∴（﹣b）2﹣4（c﹣n）＝16，即b2﹣4c+4n＝16，
∴4n＝16，
∴n＝4，
故选：D．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数与方程的关系，根与系数的关系，根据题意得出（﹣b）2﹣4（c﹣n）＝16，即b2﹣4c+4n＝16是解题的关键．
11．3a(x+2)(x-2)
【分析】
先提取公因式3a，再根据平方差公式分解即可.
【详解】
=3a(x+2)(x-2)，
故答案为：3a(x+2)(x-2).
【点睛】
此题考查因式分解的方法：提公因式法、公式法(平方差公式与完全平方公式)，根据多项式的特点选择恰当的因式分解的方法是解题的关键.
12．81°
【分析】
根据正多边形的性质以及内角和求解即可．
【详解】
由正多边形的内角和公式可得：
正五边形ABCDE的内角和为，
∴，
∵四边形CDFH是以CD为边的正方形，
∴，，
∴为等腰三角形，
∴，
故答案为：81°．
【点睛】
本题考查正多边形的性质，理解基本性质是解题关键．
13．
【分析】
作AM⊥x轴于M，DN⊥x轴于N，设A（a，2a），解直角三角形表示出A、D的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k＝a•2a＝（2+）•a，解得a＝，进而即可求得k的值．
【详解】
解：∵四边形ABCO是平行四边形，
∴OA∥BC，OA＝BC，
∴∠DCN＝∠AOC，
作AM⊥x轴于M，DN⊥x轴于N，
∵tan∠AOC＝2，
∴＝2，＝2，
∴设A（a，2a），
∴OM＝a，AM＝2a，，
∵D是BC的中点，，
∴DN＝a，CN＝a，
∵顶点C的坐标是（2，0），
∴ON＝2+a，
∴D（2+，a），
∴a•2a＝（2+）•a，
解得a＝或a＝0（舍去），
∴k＝a•2a＝，
故答案为．
【点睛】
此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质以及解直角三角形，解本题的关键是求出a的值．
14．
【分析】
由ABCD是矩形，过P作GHBC交AB、CD于点G、H，过P作EFAB交AD、BC于点E、F，在所形成的直角三角形中，由勾股定理得出AP2+CP2=BP2+DP2，从而求出DP．
【详解】
解：过点P作GHBC交AB、CD于点G、H，过点P作EFAB交AD、BC于点E、F，
设AE=BF=c，AG=DH=a，GB=HC=b，ED=FC=d
，，，
PA＝1，PB＝2，PC＝3，
即
（负值已舍去）
故答案为：．
【点睛】
本题考查了四边形的综合题，矩形的性质，勾股定理，关键是利用勾股定理列方程组．
15．
【分析】
先化简二次根式、负指数、特殊角三角函数值，再进行计算即可．
【详解】
解：﹣2sin60°，
=，
=
=．
【点睛】
本题考查了实数的运算，包括二次根式、负指数、三角函数等，解题关键是熟记三角函数值，准确运用相关知识进行计算．
16．
【分析】
根据分式运算的顺序和法则进行计算即可．
【详解】
解：，
=
=
=
=．
【点睛】
本题考查了分式的运算，解题关键是熟练运用分式运算法则进行准确计算．
17．答案见解析
【分析】
过点A作AD垂直BC于D，直线AD即为所求直线；在△ABD与△CAD中，有 再证明，从而可得△ABD∽△CAD．
【详解】
解：如图，
AD即为所求直线．
【点睛】
此题主要考查作图法和相似三角形变换，解题的关键在于理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18．见解析
【分析】
根据正方形的性质得到∠B＝∠ADF＝90°，AD＝AB，求出∠ADF，根据SAS即可推出答案，再利用全等三角形的性质解答即可．
【详解】
证明：由正方形ABCD，得 AB＝AD，∠B＝∠ADF＝∠BAD＝90°．
在△ABE和△ADF中，
∴△ABE≌△ADF（SAS）．
∴∠BAE＝∠FAD，AE＝AF．
∴∠BAD＝∠BAE+∠EAD＝∠FAD+∠EAD＝90°．
即∠EAF＝90°．
∴AF⊥AE．
【点睛】
本题主要考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定，垂直的判定等知识点的理解和掌握．关键在于利用SAS判定全等．
19．（1）50，图见解析；（2）15岁，14岁；（3）240人
【分析】
（1）根据12岁的人数和所占的百分比，可以计算出本次被抽查的学生人数，然后即可计算出户14岁和16岁的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（2）根据条形统计图中的数据，可以得到被抽取的学生的年龄的众数和中位数；
（3）根据统计图中的数据，可以计算出活动中年龄在15岁及以上的学生人数．
【详解】
解：（1）被抽取的学生人数：6÷12%＝50（人），
故答案为：50，
14岁的学生有：50×28%＝14（人），
16岁的学生有50﹣6﹣10﹣14﹣18＝2（人），
补全的条形统计图如图所示；
（2）由条形统计图可知，
被抽取的学生的年龄15岁最多，故众数是15岁，从小到大排列后，第25、26个数据都是14岁，所以中位数是14岁，
故答案为：15，14；
（3）600×＝240（人），
即估计活动中年龄在15岁及以上的学生有240人．
【点睛】
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20．16.7米
【分析】
过点A作AN⊥CD于点N，则四边形ABDN是矩形，设AB＝x，则DN＝x，根据此时刻长为1米的标杆影长为1.1米，可得AB：BM＝1：1.1，所以BM＝1.1x（米），可得AN＝BD＝BM+MD＝（1.1x+10）米，CN＝CD﹣DN＝（28﹣x）米，根据锐角三角函数即可求出x的值．
【详解】
解：如图，过点A作AN⊥CD于点N，
则四边形ABDN是矩形，
∴AB＝DN，AN＝BD，
设AB＝x，则DN＝x，
∵此时刻长为1米的标杆影长为1.1米，
∴AB：BM＝1：1.1，
∴BM＝1.1x（米），
∴AN＝BD＝BM+MD＝（1.1x+10）米，
CN＝CD﹣DN＝（28﹣x）米，
在Rt△ACN中，
tan∠CAN＝，
∴≈0.40，
解得x≈16.7，
∴AB≈16.7（米）．
答：建筑物AB的高度约为16.7米．
【点睛】
此题考查了解直角三角形应用﹣仰角俯角问题，平行投影，熟练掌握仰角俯角是解本题的关键．
21．（1）小张提速后y与x的函数表达式为y＝60x﹣40；（2）小张不能在九点前赶到A地，理由见解答．
【分析】
（1）根据函数图象中的数据，可以得到小张提高速度后y与x的函数表达式；
（2）将y＝150代入（1）中的函数解析式，求出对应的x的值，然后即可得到小张能否在九点之前赶到A地．
【详解】
解：(1)由图可知，
设小张提速后y与x的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），把（1.5，50），（2，80）代入得，
∴，
解得：，
即小张提速后y与x的函数表达式为y＝60x﹣40；
（2）小张不能在九点前赶到A地，
理由：当y＝150时，
150＝60x﹣40，
解得，x＝，
∵＞9﹣6，
∴小张不能在九点前赶到某地．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
22．（1）；（2）
【分析】
（1）利用概率公式求解即可．
（2）列表得出所以等可能结果，从中找出符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】
解：（1）若苗苗随机打开一盒橡皮泥，恰巧是红色的概率是；
（2）列表如下：
由表知，共有20中等可能结果，其中两盒颜色恰好相同的有4种结果，
∴两盒颜色恰好相同的概率为=．
【点睛】
本题考查了根据概率公式求概率，用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所以可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
23．（1），上，，3；（2）3
【分析】
（1）根据表格中的数据和二次函数的性质，可以得到该二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和m的值；
（2）根据表格中的数据和题意，可以写出点B，点A，点C的坐标，再求出直线AC和x轴的交点，即可得到△ABC的面积．
【详解】
解：（1）由表格可知，x=1和x=3时的函数值相同，都是0，
∴对称轴为直线x==2，
∴当x=4和x=0时的函数值相等，则m=3，顶点为(2,-1)，
设抛物线解析式为，
把(0,3)代入得，3=4a-1，
则a=1，
∴抛物线解析式为，
即该二次函数图象的开口方向向上，
故答案为，上，(2,-1)，3；
（2）由题意可得，
点B的坐标为(1,0)，点A的坐标为(2,-1)，点C的坐标为(4,3)，
设直线AC的函数解析式为y=kx+b，
∴
解得，
∴直线AC的函数解析式为y=2x-5，
当y=0时，0=2x-5，
解得x=2.5，
则直线AC与x轴的交点为(2.5,0)，
故S△ABC==3．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，求一次函数解析式．解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
24．（1）；（2）存在，或
【分析】
（1）由直线y＝x﹣4与坐标轴分别交于点B、点C，求出点B、点C的坐标，由y＝x﹣4与y＝﹣x2+2x组成方程组，求得方程组的解即可求得点A的坐标，再由点A，B的坐标根据勾股定理，求出线段AB的长；
（2）由OB=OC=4，∠BOC=90°，可得∠BCD=∠ABO=135°，若△BCD与△OAB相似，则∠BCD与∠ABO一定是对应角，点D一定在OC的延长线上，再根据相似三角形的对应边成比例列出方程，即可求出线段CD的长，从而求得点D的坐标．
【详解】
解：（1）∵直线y＝x﹣4与坐标轴分别交于点B、点C，
∴B(0，-4)，C(4，0)，
由，得，，
∴A(-2，-6)，
∴AB=，
（2）存在，
∵OB=OC=4，∠BOC=90°，
∴BC=，∠OBC=∠OCB=45°，
∴∠BCD=∠ABO=135°，
如图1，当∠CBD=∠BOA时，△CBD∽△BOA，
∴，
∴，
解得CD=4，
∴OD=4+4=8，
∴D(8，0)，
如图2，当∠CBD=∠BAO时，△CBD∽△BAO，
∴，
∴，
解得DC=8，
∴OD=4+8=12，
∴D(12，0)，
综上所述，点D的坐标为或．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与性质，两点之间的距离公式，解二元一次方程组，及相似三角形的判定与性质．解（2）题的关键是抓住题中OB=OC这一隐含条件，可得出∠BCD=∠ABO=135°，则∠BCD和∠ABO这两个角相等，再按照∠CBD=∠BOA或∠CBD=∠BAO分类讨论，求出点D坐标．
25．（1）10；（2）见解析；（3）的最小值为，直线l的解析式为
【分析】
（1）证明△ADM≌△ECM即可；
（2）过点M任意作直线CD，交OA于点C，交OB于点D，证明＜即可；
（3）过点P作PB⊥x轴，垂足为B，过点M作MC⊥x轴，垂足为C，利用平行线分线段成比例定理，三角形的中位线定理，求得CQ,PB的长，确定直线上的点的坐标求解即可．
【详解】
（1）∵ADBC，点M是CD的中点，
∴∠ADM=∠ECM，∠DAM=∠CEM，DM=CM，
∴△ADM≌△ECM，
∴= =，
∵=10，
∴=10，
故答案为：10；
（2）过点M任意作直线CD，交OA于点C，交OB于点D，设MC＞MD，过点P作PE∥OB，交CM于点E，根据（1）的结论，当M为PQ的中点时，得=，
∵+=
∴＜，
∴当点M恰好是PQ中点时，最小，
（3）如图，根据（1）结论，得当PM=QM时，最小，
过点P作PB⊥x轴，垂足为B，过点M作MC⊥x轴，垂足为C，
∴MC∥PB，
∵PM=MQ，
∴QC=CB，PB=2MC，
∵∠MOC=30°，OM=3，
∴MC=OMsin30°=，OC=OMcos30°=，
∴OQ+QC=OC=，PB=3，
∴2OQ+2QC=，
∵∠POB=45°，PB=3，
∴OB=3，
∴OQ+2QC=OB=3，
∴OQ=-3，
∴==；
∵OQ=-3，PB=OB=3，
∴Q（-3，0），P（3，3），
设直线PQ的解析式为y=kx+b，根据题意，得，
解得，
∴直线PQ的解析式为y=（）x．
【点睛】
本题考查了三角形的全等和性质，一次函数的解析式，三角函数，中位线定理，平行线分线段成比例定理，面积的最小值，通过构造高线，平行线，为中位线定理，平行线分线段成比例定理的使用创造条件是解题的关键．
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