还剩26页未读，
继续阅读
2021年山东省德州市宁津县中考一模数学试题（word版 含答案）
展开
这是一份2021年山东省德州市宁津县中考一模数学试题（word版 含答案），共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，羊二，直金十两；牛二，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年山东省德州市宁津县中考一模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．2020年7月20日，宁津县人民政府印发《津县城市生活垃圾分类制度实施方案》的通知，全面推行生活垃圾分类．下列垃圾分类标志分别是厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾和可回收物，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．2020年1月12日，世界卫生组织正式将新型冠状病毒命名为，其直径大小约为，，则这种感冒病毒的直径用科学记数法表示（ ）
A． B． C． D．
4．如图，和都是等腰直角三角形，．四边形是平行四边形，下列结论中错误的有（ ）
①以点为旋转中心，逆时针方向旋转后与重合，
②以点为旋转中心，顺时针方向旋转后与重合，
③沿所在直线折叠后，与重合，
④沿所在直线折叠后，与重合，
⑤的面积等于的面积．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．一组数据：5，3，4，x，2，1的平均数是3，则这组数据的方差是（ ）
A． B． C．10 D．
6．如图，在国旗台DF上有一根旗杆AF，国庆节当天小明参加升旗仪式，在B处测得旗杆顶端的仰角为37°，小明向前走4米到达点E，经过坡度为1的坡面DE，坡面的水平距离是1米，到达点D，测得此时旗杆顶端的仰角为53°，则旗杆的高度约为（ ）米．（参考数据：，，）
A．6.29 B．4.71 C．4 D．5.33
7．抛物线图象如图所示，则下面一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
8．一次函数y＝kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象如图所示，则不等式kx+b＞0的解集是（ ）
A．x＞0 B．x＞3 C．x＜0 D．x＜3
9．观察下列图形的规律，依照此规律第9个图形中共有（ ）个点．
A．135 B．140 C．145 D．150
10．布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀，再摸出第二个球，两次都摸出白球的概率是（ ）
A． B． C． D．
11．如图是的直径，内接于，，，则（ ）
A．113° B．103° C．45° D．58°
12．如图平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，反比例函数的图象经过菱形对角线的交点，且与边交于点，点的坐标为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知，，则代数式的值为________________．
14．方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？” 译文为：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问每头牛、每只羊各值金多少两”．若设每头牛值金x两，每只羊值金y两，则可列方程组为____________．
15．如图，在⊙O中，直径AB的长是26，弦CD⊥AB交AB于E，若OE=5，则CD的长度为_____，若∠B=35°，则∠AOC=_____．
16．如图，将矩形沿对角线所在直线翻折后，点与点重合，且交于点，连接．如果，那么的值是_____．
17．如图，切于点，是直径，连接交于，若，，则阴影部分的面积是________．
18．如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端A点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为3m处达到最高，高度为5m，水柱落地处离池中心距离为9m，则水管的长度OA是_____m．
三、解答题
19．先化简：，再从1，2，3中选取一个适当的数代入求值．
20．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．新冠疫情期间某校为了解学生在停课不停学中的阅读情况，（七、八年级学生人数相同），某周从这七、八年级学生中分别随机抽查了40名同学，调查了他们周一至周五的阅读情况，根据调查情况得到如下统计图表：
年级
参加阅读人数
周一
周二
周三
周四
周五
七年级
25
30
40
30
八年级
20
26
24
30
40
合计
45
56
59
70
70
（1）填空： ________；
（2）根据上述统计图表完成下表中的相关统计量：
年级
平均阅读时间的中位数
参加阅读人数的方差
七年级
27分钟
________
八年级
________分钟
46.4
（3）请你结合周一至周五阅读人数统计表，估计该校七、八年级共1120名学生中，周一至周五平均每天有多少人进行阅读？
21．已知：是的对角线．
（1）用直尺和圆规作出线段的垂直平分线，与相交于点，连接．（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，若，求的周长．
22．5G时代的到来，将给人类生活带来巨大改变．现有A、B两种型号的5G手机，进价和售价如表所示：型号价格
进价（元/部）
售价（元/部）
A
3000
3400
B
3500
4000
某营业厅购进A、B两种型号手机共花费32000元，手机销售完成后共获得利润4400元．
（1）营业厅购进A、B两种型号手机各多少部？
（2）若营业厅再次购进A、B两种型号手机共30部，其中B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，请设计一个方案：营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少？
23．如图，是的直径，是的弦，过点作的切线，交的延长线于点，过点作于点，交的延长线于点．
（1）求证：；（2）若，，求的半径．
24．阅读理解：
如图1，Rt△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∠C＝90°，其外接圆半径为R．根据锐角三角函数的定义：sinA＝，sinB＝，可得＝＝c＝2R，即：＝＝＝2R，（规定sin90°＝1）．
探究活动：
如图2，在锐角△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，其外接圆半径为R，那么： （用＞、＝或＜连接），并说明理由．
事实上，以上结论适用于任意三角形．
初步应用：
在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∠A＝60°，∠B＝45°，a＝8，求b．
综合应用：
如图3，在某次数学活动中，小凤同学测量一古塔CD的高度，在A处用测角仪测得塔顶C的仰角为15°，又沿古塔的方向前行了100m到达B处，此时A，B，D三点在一条直线上，在B处测得塔顶C的仰角为45°，求古塔CD的高度（结果保留小数点后一位）．（≈1.732，sin15°＝）
25．如图，函数的图象经过点，两点，，分别是方程的两个实数根，且．
（1）求，的值以及函数的解析式；当时，求函数的最大值和最小值；
（2）设抛物线与轴的另一个交点为，抛物线的顶点为，连接，，，求证：．
参考答案
1．B
【分析】
根据幂的运算性质，可依次判断4个选项的对错.
【详解】
根据幂的运算性质：①; ②; ③; ④，可知：，A错；，C错；，D错．故选B．
【点睛】
本题考查幂的运算性质，要熟练掌握幂的运算公式.
2．B
【分析】
根据轴对称图形和中心对称图形的概念去判断即可．
【详解】
A、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不满足题意；
B、是轴对称图形也是中心对称图形，故满足题意；
C、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不满足题意；
D、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不满足题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了轴对称图形和中心对称图形，关键是紧扣轴对称图形和中心对称图形的概念．
3．C
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．当原数为较大数时，n为整数位数减1；当原数为较小数（大于0小于1的小数）时，n为第一个非0数字前面所有0的个数的相反数．
【详解】
解：∵1nm=10-9m，
∴120nm=120×10-9m=1.2×10-7m．
故选：C．
【点睛】
用科学记数法表示一个数的方法是：
（1）确定a：a是只有一位整数的数；
（2）确定n：当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1时，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零）．
此题需要先换算单位把米换算成纳米，然后再根据科学记数法的方法表示．
4．B
【分析】
由△ACD和△AEB都是等腰直角三角形，∠CAD＝∠EAB＝90°，易证得△ACE≌△ADB，即可得①正确；又由四边形ABCD是平行四边形，易证得△EAC≌△EAD，即可得△ACE≌△ADB≌△ADE，即可判定③④正确；由平行四边形的中心对称性，可得②错误，又由S△ACE＝S△ADB＝AD×BH＝AD•AC＝AC2，S△ABE＝AE•AB＝AB2，AB＞AC，即可判定②错误．继而求得答案．
【详解】
解：①∵△ACD和△AEB都是等腰直角三角形，∠CAD＝∠EAB＝90°，
∴AE＝AB，AC＝AD，∠EAC＝∠BAD，
在△ACE和△ADB中，
∵，
∴△ACE≌△ADB（SAS），
∴△ACE以点A为旋转中心，逆时针方向旋转90°（旋转角为∠EAB＝90°）后与△ADB重合；
故①正确；
②∵平行四边形是中心对称图形，
∴要想使△ACB和△DAC重合，△ACB应该以对角线的交点为旋转中心，顺时针旋转180°，即可与△DAC重合，
故②错误；
③∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD＝45°，
∴∠EAC＝∠BAC+∠CAD＝135°，
∴∠EAD＝360°﹣∠EAC﹣∠CAD＝135°，
∴∠EAC＝∠EAD，
在△EAC和△EAD中，
∵ ，
∴△EAC≌△EAD（SAS），
∴沿AE所在直线折叠后，△ACE与△ADE重合；
故③正确；
④∵由①③，可得△ADB≌△ADE，
∴沿AD所在直线折叠后，△ADB与△ADE重合，
故④正确；
⑤过B作BH⊥AD，交DA的延长线于H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BH＝AC，
∵△ACE≌△ADB，
∵S△ACE＝S△ADB＝AD×BH＝AD•AC＝AC2，
∴S△ABE＝AE•AB＝AB2，AB＞AC，
∴S△ABE＞S△ACE；
故⑤错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质、折叠的性质以及旋转的性质．注意数形结合思想的应用，证得△ACE≌△ADB≌△ADE是解此题的关键．
5．B
【分析】
先由平均数求得x，再根据方差的公式计算．
【详解】
数据5，3，4，x，2，1的平均数是3，则有3(5+3+4+x+2+1)，
解得：x=3，
∴方差S2(4+0+1+0+1+4)=．
故选：B．
【点睛】
本题考查了方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2[(x1)2+(x2)2+…+(xn)2]，其中[x1+x2+…xn]．
6．A
【分析】
过点D作DG⊥BC，根据题意可得DG=FC=1，再根据题意可证，最后相似三角形的性质即可求解．
【详解】
解：过点D作DG⊥BC
∵坡度为1的坡面DE，
∴∠DEG=45°
∵EG=1
∴DG=FC=1
∵∠ADF=53°
∴∠DAF=∠B=37°
∴
令AF=x，则DF=GC=0.75x
解得：
故选：A．
【点睛】
此题主要考查锐角的三角函数、相似三角形的判定与性质，熟练进行逻辑推理是解题关键．
7．A
【分析】
根据抛物线，可以得到a、b、c的正负情况，从而可以得到一次函数y＝bx+c与反比例函数的图象所在的位置，从而可以解答本题．
【详解】
解：由抛物线y＝ax2+bx+c图象开口向下可知a＜0，对称轴在y轴左侧可知b＜0，与y轴在正半轴可知c＞0，
则一次函数y＝bx+c的图象在第一、二、四象限，反比例函数的图象在二、四象限，
故选：A．
【点睛】
本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想确定a、b、c的正负．
8．D
【分析】
从图象上得到函数的增减性及与x轴的交点的横坐标，即能求得不等式kx+b＞0的解集．
【详解】
解：函数y＝kx+b的图象经过点，并且函数值y随x的增大而减小，
所以当x＜3时，函数值大于0，即关于x的不等式kx+b＞0的解集是x＜3．
故选：D．
【点评】
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
9．A
【分析】
仔细观察图形，找到图形变化的规律，然后按规律求解即可．
【详解】
解：第一个图形有3=3×1=3个点，
第二个图形有3+6=3×（1+2）=9个点，
第三个图形有3+6+9=3×（1+2+3）=18个点，
…
则第n个图形有3+6+9+…+3n=3×（1+2+3+…+n）=个点，
当n=9时，=135个点，
故选：A．
【点睛】
本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是能够找到图形的变化规律，然后求解．
10．A
【分析】
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，可求得两次都摸到白球的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】
解：画树状图得：
则共有9种等可能的结果，两次都摸到白球的有4种情况，
∴两次都摸到白球的概率为．
故选A．
【点睛】
此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
11．B
【分析】
根据圆周角的性质可得∠ABC=90°，根据等腰三角形的性质可得∠A=45°，再用三角形内角和可求．
【详解】
解：∵是的直径，
∴∠ABC=90°，
∵，
∴∠A=∠ACB=45°，
∴∠A=∠D=45°，
∴
故选：B．
【点睛】
本题考查了圆周角的性质和等腰三角形的性质，解题关键是熟练运用圆周角的性质求出角的度数，结合已知角的度数进行计算．
12．A
【分析】
根据菱形的性质求出点A坐标，将点A的坐标代入到反比例函数的一般形式后求得k值即可确定函数的解析式，过点A作AM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N，首先求得点B的坐标，然后求得直线BC的解析式，求得直线和双曲线的交点F坐标，然后根据S△OBF＝OB•FH求得即可．
【详解】
解：∵四边形OBCD是菱形，
∴OA＝AC，
∵C（8，4），
∴A（4，2），
把点A（4，2）代入，反比例函数y＝（x＞0）得，，解得k＝8，
∴反比例函数的解析式为y＝；
过点A作AM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N，
设OB＝x，则BC＝x，BN＝8﹣x，
在Rt△CNB中，x2﹣（8﹣x）2＝42，
解得：x＝5，
∴点B的坐标为B（5，0），
设直线BC的函数表达式为y＝ax+b，直线BC过点B（5，0），C（8，4），
∴，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣，
联立方程组得，解得：或，
∴点F的坐标为F（6，），
作FH⊥x轴于H，连接OF，
∴S△OBF＝OB•FH＝×5×＝，
故选：A．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特点、待定系数法确定反比例函数的解析式等知识，解题的关键是能够根据点C的坐标确定点B的坐标，从而确定直线的解析式．
13．
【分析】
原式提取公因式，将已知等式代入计算即可求出值．
【详解】
解：，，
故答案为：．
【点睛】
此题考查了提公因式法的运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
14．
【分析】
根据“有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两”，列出二元一次方程，即可．
【详解】
设每头牛值金x两，每只羊值金y两，
根据题意得：．
故答案是：．
【点睛】
本题主要考查二元一次方程组的实际应用，找出等量关系，列出方程，是解题的关键．
15．24， 70°．
【详解】
∵直径AB的长是26，
∴OC=13，
又∵OE=5，
根据勾股定理得：CE==12，
根据垂径定理知：CE=ED=12，
∴CD=24，
连接OD，
则∠AOD=∠AOC=2∠ABD=70°．
故答案为24，70°．
16．
【分析】
根据矩形的性质得到BC=AD，∠DAB=∠C=90°，AD∥BC，根据折叠的性质得到DE=AD，∠BED=∠DAB=90°，∠ADB=∠BDE，设CD=BE=2x，CF=EF=3x，根据勾股定理得到，求得，根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，求得，于是得到结论．
【详解】
解:∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵矩形沿对角线所在直线翻折后，点与点重合，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴设，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为:．
【点睛】
本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．
17．
【分析】
如图：连接OB、AB，然后根据扇形面积公式求出扇形AOB的面积，再根据三角形的面积公式分别求出△BOC的面积和△CAD的面积，最后根据图形解答即可．
【详解】
解：如图：连接OB、AB，由圆周角定理得，∠AOB=2∠ACB=60°，即∠ACB=30°
∴扇形AOB的面积=
∵AC是圆O的直径，
∴∠ABC=90°，∠ACB=30°
∴AB=AC=3
由勾股定理得，
∴△ABC的面积=
∵OA=OC
∴△BOC的面积=
∵DA切圆O于点A，
∴∠CAD=90°，
∵∠ACB=30°
∴
∴△CAD的面积=
∴阴影部分的面积．
故填：．
【点睛】
本题主要考查的是切线的性质、三角形的面积计算、扇形面积计算，掌握切线的性质、扇形面积公式是解答本题的关键．
18．．
【分析】
设抛物线的表达式为：y=a（x-h）2+k=（x-3）2+5，将点（9，0）代入上式求出a，进而求解．
【详解】
解：设抛物线的表达式为：y=a（x-h）2+k=a（x-3）2+5，
将点（9，0）代入上式并解得：，
故抛物线的表达式为：，
令x=0，则，即
故答案为：
【点睛】
本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，利用顶点式求出解析式是解题关键．
19．-5.
【分析】
直接将括号里面进行通分运算，进而利用分式的混合运算法则计算得出答案．
【详解】
原式
，
当，2时分式无意义，
将，代入原式得：
则原式．
【点睛】
此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．
20．（1）35；（2）32，26；（3）840人
【分析】
（1）由统计表中的相应的合计数据减去八年级周三参加阅读的人数即可得出a的值；
（2）由统计图可得八年级平均阅读时间的中位数；根据统计表中数据得出七年级参加阅读人数的平均数，再按照方差的计算公式即可；
（3）求出抽样中七八年级周一至周五平均每天参加阅读的人数所占的百分比，把这个百分比作为该校七八年级周一至周五平均每天参加阅读的人数所占的百分比，即可计算出至周一周五平均每天参加阅读的人数．
【详解】
（1）由统计表可得：．
（2）由统计图可得八年级平均阅读时间的中位数为24．
七年级参加阅读人数的平均数为：，
七年级参加阅读人数的方差为：
．
（3）（人）．
∴周一至周五平均每天有840人进行阅读．
【点睛】
本题考查了根据统计表计算中位数、方差等统计量，以及根据抽样结果对总体作出估计，熟练掌握相关统计知识及其应用是解题的关键．
21．(1)见解析；（2）8
【分析】
（1）以A、C为圆心，以大于AC的长为半径画弧，两弧交于两点，连接两点即可；
（2）由（1）可得OA=OC，∠AOE=∠COF=90°，再由平行线的性质可得∠AEO=∠CFO，根据AAS即可证明全等．
【详解】
解：（1）如图，为所作；
（2）∵四边形为平行四边形，
∴，
∵点在线段的垂直平分线上，
∴，
∴的周长．
【点睛】
本题考查作图，熟练掌握基本作图是解题关键
22．（1）营业厅购进A、B两种型号手机分别为6部、4部；（2）营业厅购进A种型号的手机10部，B种型号的手机20部时获得最大利润，最大利润是14000元
【分析】
（1）根据题意和表格中的数据，可以得到相应的二元一次方程组，从而可以求得营业厅购进A、B两种型号手机各多少部；
（2）根据题意，可以得到利润与A种型号手机数量的函数关系式，然后根据B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，可以求得A种型号手机数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少．
【详解】
解：（1）设营业厅购进A、B两种型号手机分别为a部、b部，
，
解得，，
答：营业厅购进A、B两种型号手机分别为6部、4部；
（2）设购进A种型号的手机x部，则购进B种型号的手机(30﹣x)部，获得的利润为w元，
w＝(3400﹣3000)x+(4000﹣3500)(30﹣x)＝﹣100x+15000，
∵B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，
∴30﹣x≤2x，
解得，x≥10，
∵w＝﹣100x+15000，k＝﹣100，
∴w随x的增大而减小，
∴当x＝10时，w取得最大值，此时w＝14000，30﹣x＝20，
答：营业厅购进A种型号的手机10部，B种型号的手机20部时获得最大利润，最大利润是14000元．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，以及一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键．
23．（1）见解析；（2）的半径为6．
【分析】
(1)连接，根据切线的性质得到，推出，得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据三角形的外角的性质即可得到结论；
(2)根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】
(1)连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
(2)∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的半径为6．
【点睛】
本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
24．探究活动：＝，＝，＝；初步应用：；综合应用：古塔高度约为36.6m．
【分析】
探究活动：过点C作直径CD交⊙O于点D，连接BD，根据圆周角定理和正弦概念即可得出，同理得出，从而得出答案；
初步应用：根据，得出，即可得出b的值；
综合应用：由题意得：∠D＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝45°，AB＝100，可知∠ACB＝30°．设古塔高DC＝x，则BC＝，灾解直角三角形即可得出答案．
【详解】
解：探究活动：，
理由如下：
如图2，过点C作直径CD交⊙O于点D，连接BD，
∴∠A＝∠D，∠DBC＝90°，
∴sinA＝sinD，sinD＝，
∴，
同理可证：，
∴；
故答案为：＝，＝，＝．
初步应用：
∵，
∴，
∴．
综合应用：
由题意得：∠D＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝45°，AB＝100，
∴∠ACB＝30°．
设古塔高DC＝x，则BC＝，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴古塔高度约为36.6m．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、解直角三角形，添加合适的辅助线是解题的关键．
25．（1），，函数解析式为，当时，；当时，；（2）见解析
【分析】
（1）解方程即可求得m、n的值，从而得A、B两点的坐标，然后用待定系数法即可求得函数的解析式；当时，求出抛物线的对称轴，结合图象即可求出函数在范围内的最大值和最小值；
（2）根据解析式可求得点C的坐标及顶点D的坐标，分别求出△BDC的三边，由勾股定理的逆定理可得此三角形为直角三角形，从而可判定两直角三角形相似．
【详解】
（1）∵，分别是方程的两个实数根，且，
用因式分解法解方程：，
∴，，
∴，，
∴，，
把，代入得，，解得，
∴函数解析式为．
抛物线的对称轴为直线，顶点为，
在范围内，
当时，；当时，；
（2）证明：令，即，
解得，，
∴抛物线与轴的交点为，，
∴，，
∴对称轴为，顶点，即，
∴，，，
∵，
∴是直角三角形，且，
∴，
在和中，，，
∴；
∴；
【点睛】
本题是二次函数的综合题型，其中涉及到用待定系数法求函数的解析式，二次函数在给定范围内的最大值和最小值，三角形的相似，勾股定理的逆定理等知识．在给定范围内求函数的最值时，借助图象直观．
2021年山东省德州市宁津县中考一模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．2020年7月20日，宁津县人民政府印发《津县城市生活垃圾分类制度实施方案》的通知，全面推行生活垃圾分类．下列垃圾分类标志分别是厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾和可回收物，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．2020年1月12日，世界卫生组织正式将新型冠状病毒命名为，其直径大小约为，，则这种感冒病毒的直径用科学记数法表示（ ）
A． B． C． D．
4．如图，和都是等腰直角三角形，．四边形是平行四边形，下列结论中错误的有（ ）
①以点为旋转中心，逆时针方向旋转后与重合，
②以点为旋转中心，顺时针方向旋转后与重合，
③沿所在直线折叠后，与重合，
④沿所在直线折叠后，与重合，
⑤的面积等于的面积．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．一组数据：5，3，4，x，2，1的平均数是3，则这组数据的方差是（ ）
A． B． C．10 D．
6．如图，在国旗台DF上有一根旗杆AF，国庆节当天小明参加升旗仪式，在B处测得旗杆顶端的仰角为37°，小明向前走4米到达点E，经过坡度为1的坡面DE，坡面的水平距离是1米，到达点D，测得此时旗杆顶端的仰角为53°，则旗杆的高度约为（ ）米．（参考数据：，，）
A．6.29 B．4.71 C．4 D．5.33
7．抛物线图象如图所示，则下面一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
8．一次函数y＝kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象如图所示，则不等式kx+b＞0的解集是（ ）
A．x＞0 B．x＞3 C．x＜0 D．x＜3
9．观察下列图形的规律，依照此规律第9个图形中共有（ ）个点．
A．135 B．140 C．145 D．150
10．布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀，再摸出第二个球，两次都摸出白球的概率是（ ）
A． B． C． D．
11．如图是的直径，内接于，，，则（ ）
A．113° B．103° C．45° D．58°
12．如图平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，反比例函数的图象经过菱形对角线的交点，且与边交于点，点的坐标为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知，，则代数式的值为________________．
14．方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？” 译文为：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问每头牛、每只羊各值金多少两”．若设每头牛值金x两，每只羊值金y两，则可列方程组为____________．
15．如图，在⊙O中，直径AB的长是26，弦CD⊥AB交AB于E，若OE=5，则CD的长度为_____，若∠B=35°，则∠AOC=_____．
16．如图，将矩形沿对角线所在直线翻折后，点与点重合，且交于点，连接．如果，那么的值是_____．
17．如图，切于点，是直径，连接交于，若，，则阴影部分的面积是________．
18．如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端A点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为3m处达到最高，高度为5m，水柱落地处离池中心距离为9m，则水管的长度OA是_____m．
三、解答题
19．先化简：，再从1，2，3中选取一个适当的数代入求值．
20．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．新冠疫情期间某校为了解学生在停课不停学中的阅读情况，（七、八年级学生人数相同），某周从这七、八年级学生中分别随机抽查了40名同学，调查了他们周一至周五的阅读情况，根据调查情况得到如下统计图表：
年级
参加阅读人数
周一
周二
周三
周四
周五
七年级
25
30
40
30
八年级
20
26
24
30
40
合计
45
56
59
70
70
（1）填空： ________；
（2）根据上述统计图表完成下表中的相关统计量：
年级
平均阅读时间的中位数
参加阅读人数的方差
七年级
27分钟
________
八年级
________分钟
46.4
（3）请你结合周一至周五阅读人数统计表，估计该校七、八年级共1120名学生中，周一至周五平均每天有多少人进行阅读？
21．已知：是的对角线．
（1）用直尺和圆规作出线段的垂直平分线，与相交于点，连接．（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，若，求的周长．
22．5G时代的到来，将给人类生活带来巨大改变．现有A、B两种型号的5G手机，进价和售价如表所示：型号价格
进价（元/部）
售价（元/部）
A
3000
3400
B
3500
4000
某营业厅购进A、B两种型号手机共花费32000元，手机销售完成后共获得利润4400元．
（1）营业厅购进A、B两种型号手机各多少部？
（2）若营业厅再次购进A、B两种型号手机共30部，其中B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，请设计一个方案：营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少？
23．如图，是的直径，是的弦，过点作的切线，交的延长线于点，过点作于点，交的延长线于点．
（1）求证：；（2）若，，求的半径．
24．阅读理解：
如图1，Rt△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∠C＝90°，其外接圆半径为R．根据锐角三角函数的定义：sinA＝，sinB＝，可得＝＝c＝2R，即：＝＝＝2R，（规定sin90°＝1）．
探究活动：
如图2，在锐角△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，其外接圆半径为R，那么： （用＞、＝或＜连接），并说明理由．
事实上，以上结论适用于任意三角形．
初步应用：
在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∠A＝60°，∠B＝45°，a＝8，求b．
综合应用：
如图3，在某次数学活动中，小凤同学测量一古塔CD的高度，在A处用测角仪测得塔顶C的仰角为15°，又沿古塔的方向前行了100m到达B处，此时A，B，D三点在一条直线上，在B处测得塔顶C的仰角为45°，求古塔CD的高度（结果保留小数点后一位）．（≈1.732，sin15°＝）
25．如图，函数的图象经过点，两点，，分别是方程的两个实数根，且．
（1）求，的值以及函数的解析式；当时，求函数的最大值和最小值；
（2）设抛物线与轴的另一个交点为，抛物线的顶点为，连接，，，求证：．
参考答案
1．B
【分析】
根据幂的运算性质，可依次判断4个选项的对错.
【详解】
根据幂的运算性质：①; ②; ③; ④，可知：，A错；，C错；，D错．故选B．
【点睛】
本题考查幂的运算性质，要熟练掌握幂的运算公式.
2．B
【分析】
根据轴对称图形和中心对称图形的概念去判断即可．
【详解】
A、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不满足题意；
B、是轴对称图形也是中心对称图形，故满足题意；
C、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不满足题意；
D、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不满足题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了轴对称图形和中心对称图形，关键是紧扣轴对称图形和中心对称图形的概念．
3．C
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．当原数为较大数时，n为整数位数减1；当原数为较小数（大于0小于1的小数）时，n为第一个非0数字前面所有0的个数的相反数．
【详解】
解：∵1nm=10-9m，
∴120nm=120×10-9m=1.2×10-7m．
故选：C．
【点睛】
用科学记数法表示一个数的方法是：
（1）确定a：a是只有一位整数的数；
（2）确定n：当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1时，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零）．
此题需要先换算单位把米换算成纳米，然后再根据科学记数法的方法表示．
4．B
【分析】
由△ACD和△AEB都是等腰直角三角形，∠CAD＝∠EAB＝90°，易证得△ACE≌△ADB，即可得①正确；又由四边形ABCD是平行四边形，易证得△EAC≌△EAD，即可得△ACE≌△ADB≌△ADE，即可判定③④正确；由平行四边形的中心对称性，可得②错误，又由S△ACE＝S△ADB＝AD×BH＝AD•AC＝AC2，S△ABE＝AE•AB＝AB2，AB＞AC，即可判定②错误．继而求得答案．
【详解】
解：①∵△ACD和△AEB都是等腰直角三角形，∠CAD＝∠EAB＝90°，
∴AE＝AB，AC＝AD，∠EAC＝∠BAD，
在△ACE和△ADB中，
∵，
∴△ACE≌△ADB（SAS），
∴△ACE以点A为旋转中心，逆时针方向旋转90°（旋转角为∠EAB＝90°）后与△ADB重合；
故①正确；
②∵平行四边形是中心对称图形，
∴要想使△ACB和△DAC重合，△ACB应该以对角线的交点为旋转中心，顺时针旋转180°，即可与△DAC重合，
故②错误；
③∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD＝45°，
∴∠EAC＝∠BAC+∠CAD＝135°，
∴∠EAD＝360°﹣∠EAC﹣∠CAD＝135°，
∴∠EAC＝∠EAD，
在△EAC和△EAD中，
∵ ，
∴△EAC≌△EAD（SAS），
∴沿AE所在直线折叠后，△ACE与△ADE重合；
故③正确；
④∵由①③，可得△ADB≌△ADE，
∴沿AD所在直线折叠后，△ADB与△ADE重合，
故④正确；
⑤过B作BH⊥AD，交DA的延长线于H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BH＝AC，
∵△ACE≌△ADB，
∵S△ACE＝S△ADB＝AD×BH＝AD•AC＝AC2，
∴S△ABE＝AE•AB＝AB2，AB＞AC，
∴S△ABE＞S△ACE；
故⑤错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质、折叠的性质以及旋转的性质．注意数形结合思想的应用，证得△ACE≌△ADB≌△ADE是解此题的关键．
5．B
【分析】
先由平均数求得x，再根据方差的公式计算．
【详解】
数据5，3，4，x，2，1的平均数是3，则有3(5+3+4+x+2+1)，
解得：x=3，
∴方差S2(4+0+1+0+1+4)=．
故选：B．
【点睛】
本题考查了方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2[(x1)2+(x2)2+…+(xn)2]，其中[x1+x2+…xn]．
6．A
【分析】
过点D作DG⊥BC，根据题意可得DG=FC=1，再根据题意可证，最后相似三角形的性质即可求解．
【详解】
解：过点D作DG⊥BC
∵坡度为1的坡面DE，
∴∠DEG=45°
∵EG=1
∴DG=FC=1
∵∠ADF=53°
∴∠DAF=∠B=37°
∴
令AF=x，则DF=GC=0.75x
解得：
故选：A．
【点睛】
此题主要考查锐角的三角函数、相似三角形的判定与性质，熟练进行逻辑推理是解题关键．
7．A
【分析】
根据抛物线，可以得到a、b、c的正负情况，从而可以得到一次函数y＝bx+c与反比例函数的图象所在的位置，从而可以解答本题．
【详解】
解：由抛物线y＝ax2+bx+c图象开口向下可知a＜0，对称轴在y轴左侧可知b＜0，与y轴在正半轴可知c＞0，
则一次函数y＝bx+c的图象在第一、二、四象限，反比例函数的图象在二、四象限，
故选：A．
【点睛】
本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想确定a、b、c的正负．
8．D
【分析】
从图象上得到函数的增减性及与x轴的交点的横坐标，即能求得不等式kx+b＞0的解集．
【详解】
解：函数y＝kx+b的图象经过点，并且函数值y随x的增大而减小，
所以当x＜3时，函数值大于0，即关于x的不等式kx+b＞0的解集是x＜3．
故选：D．
【点评】
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
9．A
【分析】
仔细观察图形，找到图形变化的规律，然后按规律求解即可．
【详解】
解：第一个图形有3=3×1=3个点，
第二个图形有3+6=3×（1+2）=9个点，
第三个图形有3+6+9=3×（1+2+3）=18个点，
…
则第n个图形有3+6+9+…+3n=3×（1+2+3+…+n）=个点，
当n=9时，=135个点，
故选：A．
【点睛】
本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是能够找到图形的变化规律，然后求解．
10．A
【分析】
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，可求得两次都摸到白球的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】
解：画树状图得：
则共有9种等可能的结果，两次都摸到白球的有4种情况，
∴两次都摸到白球的概率为．
故选A．
【点睛】
此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
11．B
【分析】
根据圆周角的性质可得∠ABC=90°，根据等腰三角形的性质可得∠A=45°，再用三角形内角和可求．
【详解】
解：∵是的直径，
∴∠ABC=90°，
∵，
∴∠A=∠ACB=45°，
∴∠A=∠D=45°，
∴
故选：B．
【点睛】
本题考查了圆周角的性质和等腰三角形的性质，解题关键是熟练运用圆周角的性质求出角的度数，结合已知角的度数进行计算．
12．A
【分析】
根据菱形的性质求出点A坐标，将点A的坐标代入到反比例函数的一般形式后求得k值即可确定函数的解析式，过点A作AM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N，首先求得点B的坐标，然后求得直线BC的解析式，求得直线和双曲线的交点F坐标，然后根据S△OBF＝OB•FH求得即可．
【详解】
解：∵四边形OBCD是菱形，
∴OA＝AC，
∵C（8，4），
∴A（4，2），
把点A（4，2）代入，反比例函数y＝（x＞0）得，，解得k＝8，
∴反比例函数的解析式为y＝；
过点A作AM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N，
设OB＝x，则BC＝x，BN＝8﹣x，
在Rt△CNB中，x2﹣（8﹣x）2＝42，
解得：x＝5，
∴点B的坐标为B（5，0），
设直线BC的函数表达式为y＝ax+b，直线BC过点B（5，0），C（8，4），
∴，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣，
联立方程组得，解得：或，
∴点F的坐标为F（6，），
作FH⊥x轴于H，连接OF，
∴S△OBF＝OB•FH＝×5×＝，
故选：A．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特点、待定系数法确定反比例函数的解析式等知识，解题的关键是能够根据点C的坐标确定点B的坐标，从而确定直线的解析式．
13．
【分析】
原式提取公因式，将已知等式代入计算即可求出值．
【详解】
解：，，
故答案为：．
【点睛】
此题考查了提公因式法的运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
14．
【分析】
根据“有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两”，列出二元一次方程，即可．
【详解】
设每头牛值金x两，每只羊值金y两，
根据题意得：．
故答案是：．
【点睛】
本题主要考查二元一次方程组的实际应用，找出等量关系，列出方程，是解题的关键．
15．24， 70°．
【详解】
∵直径AB的长是26，
∴OC=13，
又∵OE=5，
根据勾股定理得：CE==12，
根据垂径定理知：CE=ED=12，
∴CD=24，
连接OD，
则∠AOD=∠AOC=2∠ABD=70°．
故答案为24，70°．
16．
【分析】
根据矩形的性质得到BC=AD，∠DAB=∠C=90°，AD∥BC，根据折叠的性质得到DE=AD，∠BED=∠DAB=90°，∠ADB=∠BDE，设CD=BE=2x，CF=EF=3x，根据勾股定理得到，求得，根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，求得，于是得到结论．
【详解】
解:∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵矩形沿对角线所在直线翻折后，点与点重合，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴设，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为:．
【点睛】
本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．
17．
【分析】
如图：连接OB、AB，然后根据扇形面积公式求出扇形AOB的面积，再根据三角形的面积公式分别求出△BOC的面积和△CAD的面积，最后根据图形解答即可．
【详解】
解：如图：连接OB、AB，由圆周角定理得，∠AOB=2∠ACB=60°，即∠ACB=30°
∴扇形AOB的面积=
∵AC是圆O的直径，
∴∠ABC=90°，∠ACB=30°
∴AB=AC=3
由勾股定理得，
∴△ABC的面积=
∵OA=OC
∴△BOC的面积=
∵DA切圆O于点A，
∴∠CAD=90°，
∵∠ACB=30°
∴
∴△CAD的面积=
∴阴影部分的面积．
故填：．
【点睛】
本题主要考查的是切线的性质、三角形的面积计算、扇形面积计算，掌握切线的性质、扇形面积公式是解答本题的关键．
18．．
【分析】
设抛物线的表达式为：y=a（x-h）2+k=（x-3）2+5，将点（9，0）代入上式求出a，进而求解．
【详解】
解：设抛物线的表达式为：y=a（x-h）2+k=a（x-3）2+5，
将点（9，0）代入上式并解得：，
故抛物线的表达式为：，
令x=0，则，即
故答案为：
【点睛】
本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，利用顶点式求出解析式是解题关键．
19．-5.
【分析】
直接将括号里面进行通分运算，进而利用分式的混合运算法则计算得出答案．
【详解】
原式
，
当，2时分式无意义，
将，代入原式得：
则原式．
【点睛】
此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．
20．（1）35；（2）32，26；（3）840人
【分析】
（1）由统计表中的相应的合计数据减去八年级周三参加阅读的人数即可得出a的值；
（2）由统计图可得八年级平均阅读时间的中位数；根据统计表中数据得出七年级参加阅读人数的平均数，再按照方差的计算公式即可；
（3）求出抽样中七八年级周一至周五平均每天参加阅读的人数所占的百分比，把这个百分比作为该校七八年级周一至周五平均每天参加阅读的人数所占的百分比，即可计算出至周一周五平均每天参加阅读的人数．
【详解】
（1）由统计表可得：．
（2）由统计图可得八年级平均阅读时间的中位数为24．
七年级参加阅读人数的平均数为：，
七年级参加阅读人数的方差为：
．
（3）（人）．
∴周一至周五平均每天有840人进行阅读．
【点睛】
本题考查了根据统计表计算中位数、方差等统计量，以及根据抽样结果对总体作出估计，熟练掌握相关统计知识及其应用是解题的关键．
21．(1)见解析；（2）8
【分析】
（1）以A、C为圆心，以大于AC的长为半径画弧，两弧交于两点，连接两点即可；
（2）由（1）可得OA=OC，∠AOE=∠COF=90°，再由平行线的性质可得∠AEO=∠CFO，根据AAS即可证明全等．
【详解】
解：（1）如图，为所作；
（2）∵四边形为平行四边形，
∴，
∵点在线段的垂直平分线上，
∴，
∴的周长．
【点睛】
本题考查作图，熟练掌握基本作图是解题关键
22．（1）营业厅购进A、B两种型号手机分别为6部、4部；（2）营业厅购进A种型号的手机10部，B种型号的手机20部时获得最大利润，最大利润是14000元
【分析】
（1）根据题意和表格中的数据，可以得到相应的二元一次方程组，从而可以求得营业厅购进A、B两种型号手机各多少部；
（2）根据题意，可以得到利润与A种型号手机数量的函数关系式，然后根据B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，可以求得A种型号手机数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少．
【详解】
解：（1）设营业厅购进A、B两种型号手机分别为a部、b部，
，
解得，，
答：营业厅购进A、B两种型号手机分别为6部、4部；
（2）设购进A种型号的手机x部，则购进B种型号的手机(30﹣x)部，获得的利润为w元，
w＝(3400﹣3000)x+(4000﹣3500)(30﹣x)＝﹣100x+15000，
∵B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，
∴30﹣x≤2x，
解得，x≥10，
∵w＝﹣100x+15000，k＝﹣100，
∴w随x的增大而减小，
∴当x＝10时，w取得最大值，此时w＝14000，30﹣x＝20，
答：营业厅购进A种型号的手机10部，B种型号的手机20部时获得最大利润，最大利润是14000元．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，以及一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键．
23．（1）见解析；（2）的半径为6．
【分析】
(1)连接，根据切线的性质得到，推出，得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据三角形的外角的性质即可得到结论；
(2)根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】
(1)连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
(2)∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的半径为6．
【点睛】
本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
24．探究活动：＝，＝，＝；初步应用：；综合应用：古塔高度约为36.6m．
【分析】
探究活动：过点C作直径CD交⊙O于点D，连接BD，根据圆周角定理和正弦概念即可得出，同理得出，从而得出答案；
初步应用：根据，得出，即可得出b的值；
综合应用：由题意得：∠D＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝45°，AB＝100，可知∠ACB＝30°．设古塔高DC＝x，则BC＝，灾解直角三角形即可得出答案．
【详解】
解：探究活动：，
理由如下：
如图2，过点C作直径CD交⊙O于点D，连接BD，
∴∠A＝∠D，∠DBC＝90°，
∴sinA＝sinD，sinD＝，
∴，
同理可证：，
∴；
故答案为：＝，＝，＝．
初步应用：
∵，
∴，
∴．
综合应用：
由题意得：∠D＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝45°，AB＝100，
∴∠ACB＝30°．
设古塔高DC＝x，则BC＝，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴古塔高度约为36.6m．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、解直角三角形，添加合适的辅助线是解题的关键．
25．（1），，函数解析式为，当时，；当时，；（2）见解析
【分析】
（1）解方程即可求得m、n的值，从而得A、B两点的坐标，然后用待定系数法即可求得函数的解析式；当时，求出抛物线的对称轴，结合图象即可求出函数在范围内的最大值和最小值；
（2）根据解析式可求得点C的坐标及顶点D的坐标，分别求出△BDC的三边，由勾股定理的逆定理可得此三角形为直角三角形，从而可判定两直角三角形相似．
【详解】
（1）∵，分别是方程的两个实数根，且，
用因式分解法解方程：，
∴，，
∴，，
∴，，
把，代入得，，解得，
∴函数解析式为．
抛物线的对称轴为直线，顶点为，
在范围内，
当时，；当时，；
（2）证明：令，即，
解得，，
∴抛物线与轴的交点为，，
∴，，
∴对称轴为，顶点，即，
∴，，，
∵，
∴是直角三角形，且，
∴，
在和中，，，
∴；
∴；
【点睛】
本题是二次函数的综合题型，其中涉及到用待定系数法求函数的解析式，二次函数在给定范围内的最大值和最小值，三角形的相似，勾股定理的逆定理等知识．在给定范围内求函数的最值时，借助图象直观．
相关试卷
2023年山东省德州市宁津县中考数学二模试卷（含解析）： 这是一份2023年山东省德州市宁津县中考数学二模试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年山东省德州市宁津县中考一模数学试题： 这是一份2023年山东省德州市宁津县中考一模数学试题，共3页。
2023年山东省德州市宁津县中考数学一模试卷(含答案解析)： 这是一份2023年山东省德州市宁津县中考数学一模试卷(含答案解析)，共21页。试卷主要包含了5B等内容，欢迎下载使用。
