2021届高考数学考前30天冲刺模拟卷（27）

考前30天冲刺高考模拟考试卷（27）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合，，则　　

A． B．， C．， D．，1，

2．（5分）已知正实数，满足，则复数为　　

A． B． C． D．

3．（5分）记为等差数列的前项和，若，且，则的公差为　　

A． B．0 C．2 D．4

4．（5分）某班优秀学习小组有甲、乙、丙、丁、戊共5人，他们排成一排照相，则甲、乙二人相邻的排法种数为　　

A．24 B．36 C．48 D．60

5．（5分）如果在一次实验中，测得的四组数值分别是，，，，则对的线性回归方程是　　

A． B． C． D．

6.（5分）已知，，，则　　

A． B． C． D．

7．（5分）命题：关于的不等式的解集为，的一个充分不必要条件是　　

A． B． C． D．

8．（5分）椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线交椭圆于，两点，已知，，则椭圆的离心率为　　

A． B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分。

9．（3分）2020年的“金九银十”变成“铜九铁十”，全国各地房价“跳水”严重，但某地二手房交易却“逆市”而行．下图是该地某小区2019年12月至2020年12月间，当月在售二手房均价（单位：万元平方米）的散点图．（图中月份代码分别对应2019年12月年12月）

根据散点图选择和两个模型进行拟合，经过数据处理得到的两个回归方程分别为和，并得到以下一些统计量的值：

注：是样本数据中的平均数，是样本数据中的平均数，则下列说法正确的是　　

A．当月在售二手房均价与月份代码呈负相关关系 

B．由预测2021年3月在售二手房均价约为1.0509万元平方米 

C．曲线与都经过点， 

D．模型回归曲线的拟合效果比模型的好

10．（5分）函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，对于函数，下列说法正确的是　　

A．的最小正周期为 

B．的图象关于直线对称 

C．在区间上单调递增 

D．的图象关于点对称

11．（5分）已知，则下列选项正确的是　　

A． 

B． 

C． 

D．展开式中系数最大的为

12．（5分）如图1，在正方形中，点为线段上的动点（不含端点），将沿翻折，使得二面角为直二面角，得到图2所示的四棱锥，点为线段上的动点（不含端点），则在四棱锥中，下列说法正确的有　　

A．、、、四点不共面 

B．存在点，使得平面 

C．三棱锥的体积为定值 

D．存在点使得直线与直线垂直

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）已知向量，与的夹角为，且，则　　．

14．（5分）已知函数满足，则曲线在点处的切线斜率为　　．

15．（5分）莱昂哈德欧拉是科学史上一位杰出的数学家，他的研究论著几乎涉及到所有数学分支，有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的．欧拉发现，不论什么形状的凸多面体，其顶点数、棱数，面数之间总满足数量关系，此式称为欧拉公式．已知某凸八面体，4个面是三角形，3个面是四边形，1个面是六边形，则该八面体的棱数为　　，顶点的个数为　　．

16．（5分）如图，抛物线的焦点为，为抛物线在第一象限内的一点，抛物线在点处的切线与圆相切（切点为且交轴于点，过点作圆的另一条切线（切点为交轴于点．若已知，则的最小值为　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）已知在中，内角，，的对边分别为，，，．

（1）求；

（2）若，，求的面积．

18．（12分）已知数列中，，．

（1）求证：为等比数列，并求的通项公式；

（2）数列满足，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围．

19．（12分）为了树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，加强环境的治理和生态的修复，某市在其辖区内某一个县的27个行政村中各随机选择农田土壤样本一份，对样本中的铅、镉、铬等重金属的含量进行了检测，并按照国家土壤重金属污染评价级标准（清洁、尚清洁、轻度污染、中度污染、重度污染）进行分级，绘制了如图所示的条形图．

（1）从轻度污染以上（包括轻度污染）的行政村中按分层抽样的方法抽取6个，求在轻度、中度、重度污染的行政村中分别抽取的个数；

（2）规定：轻度污染记污染度为1，中度污染记污染度为2，重度污染记污染度为3．从（1）中抽取的6个行政村中任选3个，污染度的得分之和记为，求的数学期望．

20．（12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，，分别为，的中点．

（1）证明：平面；

（2）若，求二面角的余弦值．

21．（12分）椭圆过点，其上，下顶点分别为点，，且直线，的斜率之积为．

（1）求椭圆的方程；

（2）过椭圆的左顶点作两条直线，分别交椭圆于另一点，．若，求证：直线过定点．

22．（12分）已知函数，其中，，为自然对数的底数．

（1）若，且当时，总成立，求实数的取值范围；

（2）若，且存在两个极值点，，求证：．

考前30天冲刺高考模拟考试卷（27）答案

1．解：集合或，又，

所以，．

故选：．

2．解：因为，所以，

故，又，，解得，

所以复数为．

故选：．

3．解：等差数列中，，且，

则，

解得，．

故选：．

4．解：根据题意，先将甲乙看成一个整体，有种顺序，

再将这个整体与剩下3人全排列，有种情况，

则有种排法，

故选：．

5．解：，，

，

，

线性回归方程为．

故选：．

6.解：，

，

再由，得，

．

故选：．

7．解：，

解集为，，

，解得，

故不等式的解集为，的一个充分不必要条件是的真子集，

，

故选：．

8．解：设，

因为，

所以，所以，

因为，所以，所以，

设的中点为，则，，，

，即，

整理可得，即，

解得或1（舍去），所以离心率为，

故选：．

9．解：由散点图可知，随的增加而增加，故错误；

2021年3月，此时，代入，求得1.0509，故正确；

曲线经过点，，曲线经过点，，故错误；

因为，所以模型回归曲线的拟合效果比模型的好，故正确．

故选：．

10．解：因为，

其图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，所以的最小正周期为，正确；

当时，，

此时函数取得最大值，的图象关于直线对称，正确；

当时，，

在区间上单调递增是不正确的，错误；

当时，，

函数的图象关于点对称，正确．

故选：．

11．解：令得，

令得，

则，故错误，

令，得，

则，故正确，

，故错误，

展开式中偶数项系数为负值，奇数项系数为正值，

则系数最大的在，，，中，

展开式的通项公式，

则，，，

则系数最大的为，

故选：．

12．解：对于：假设直线与直线在同一平面上，所以：点在平面上，又点在线段上，平面，

所以点与点重合，与点异于矛盾，

所以直线与必不在同一平面上，即、、、四点不共面，故正确；

对于：当点为线段的中点时，，再取的中点，

则，且，

所以：四边形为平行四边形，

所以，

则：直线平面，故正确；

对于：由题，但的移动会导致点到平面的距离在变化，所以的体积不是定值，故错误；

对于：过点作于，

由于平面平面，平面平面，

所以平面，

过点作于，因为平面平面，

平面平面，

所以平面，

所以，

若存在点使得直线与直线垂直，平面，

平面，

，

所以平面，

所以和于重合，与是以点为直角的三角形矛盾，

所以不存在点，使得直线与直线垂直，故错误．

故选：．

13．解：因为向量，所以，由，

平方得，即，解得，

设，由夹角公式得，，所以，与联立，

解得或，所以或．

故答案为：或．

14．解：函数，可得，

，可得，

即（1），所以（1），

可得，解得，

所以，，

故答案为：3．

15．解：由题意可得，棱数：；

设顶点的个数为，则，解得，

故答案为：15；9．

16．解：抛物线的焦点为，准线方程为，

设，由，即为，

则，

抛物线，可得，所以，

不妨设，则，

，

在中，由正弦定理可得

，

所以，所以，

所以，即，

所以

，

当且仅当，

即时，．

故答案为：．

17．解：（1）因为，

所以由正弦定理可得，

又，

所以，可得，

因为，

可得，即，

因为，

所以．

（2）因为，，，

所以由余弦定理，解得，，

所以．

18．证明：（1）由，得，

，，

数列以为首项，3为公比的等比数列，

，

，

（2），

所以

两式相减得，

所以，所以．

令，易知 单调递增，

若 为偶数，则，所以；

若 为奇数，则，所以，所以．

所以．

19．解：（1）轻度污染以上的行政村共个，

所以抽样比为：，

所以从轻度污染的行政村中抽取个，中度污染的行政村抽取个，

重度污染的行政村抽取个．

（2）的所有可能取值为3，4，5，6，7，

，

，

，

，

，

的分布列为：

．

20．（1）证明：取的中点，连接，，

，分别为，的中点，，，

四边形为平行四边形，

，

又平面，平面，

平面．

（2）解：取的中点，连接，，

菱形的边长为2，且，，，，

，，，

，，即，

，，两两垂直，

故以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，0，，，，，，，，

，，，，1，，，，，

设平面的法向量为，，，则，即，

令，则，，，，，

同理可得，平面的法向量为，1，，

，，

由图可知，二面角为锐角，

故二面角的余弦值为．

21．解：（1）由题意可得，，

所以可得：，

将点的坐标代入可得：，解得，

所以椭圆的方程为：；

（2）证明：由（1）可得，

设，，，，直线的方程为：，

联立直线与椭圆的方程，整理可得：，

，，

可得：，即，

整理可得，

即，

化简可得：，

即，

当，直线的方程为：，

恒过左顶点，不合题意，

当，直线的方程为：，

所以可证得直线恒过定点．

22．解：（1）当，则，

当时，，在，上单调递增，；

当时，在上单调递减，在上单调递增，则，不成立，

实数的取值范围为．

（2）证明：当时，，

函数存在两个极值点，

，即，

由题意知，，为方程的两根，故，

不妨设，则，，

由（1）知，当，即（当且仅当时取等号），

当时，恒有，

，

又，

令，则，

函数在上单调递增，（1），从而，

综上可得：．