2021届高考数学考前30天冲刺模拟卷（13）

考前30天冲刺高考模拟考试卷（13）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，，则　　

A． B． C． D．

2．设复数满足，在复平面内对应的点到原点距离的最大值是　　

A．1 B． C． D．3

3．已知，，，则，，的大小关系为　　

A． B． C． D．

4．在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，．若点在边上，且，则　　

A． B． C． D．

5．甲、乙、丙、丁和戊5名学生进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说：“你当然不会是最差的”，则该5人可能的排名情况种数为　　

A．18 B．36 C．54 D．64

6．已知函数，若正实数、满足，则的最小值为　　

A．8 B．4 C． D．

7．已知双曲线，过的右焦点作垂直于渐近线的直线交两渐近线于，两点，，两点分别在一、四象限，若，则双曲线的离心率为　　

A． B． C． D．

8．如图，，，分别是菱形的边，，，上的点，且，，，，现将沿折起，得到空间四边形，在折起过程中，下列说法正确的是　　

A．直线，有可能平行 

B．直线，一定异面 

C．直线，一定相交，且交点一定在直线上 

D．直线，一定相交，但交点不一定在直线上

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分。

9．某高中2020年的高考考生人数是2010年高考考生人数的1.5倍，为了更好地比较该校考生的升学情况，统计了该校2010年和2020年的高考升学率，得到如图柱状图：

则下列说法中正确的有　　

A．与2010年相比，2020年一本达线人数有所减少 

B．2020年二本达线率是2010年二本达线率的1.25倍 

C．2010年与2020年艺体达线人数相同 

D．与2010年相比，2020年不上线的人数有所增加

10．在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是　　

A． 

B．数列是公差为2的等差数列 

C． 

D．数列是等比数列

11．已知函数，，则下列说法正确的是　　

A．是奇函数 

B．是周期函数 

C．的图象在点，处的切线方程为 

D．在区间，上是减函数

12．如图所示，在凸四边形中，对边，的延长线交于点，对边，的延长线交于点，若，，，则　　

A． B． 

C．的最大值为1 D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．展开式的二项式系数之和为32，则展开式中的系数为　　（用数字填写答案）．

14．为巩固交通大整治的成果，某地拟在未来的连续15天中随机选择4天进行交通安全知识的抽查，则选择的4天恰好为连续4天的概率为　　（结果用最简分数表示）

15．若函数在区间，是增函数，则的取值范围是　　．

16．已知函数，若函数恰有5个不同的零点，则实数的取值范围是　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在中，内角，，所对的边分别为，，．已知，．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的值．

18．已知数列各项均为正数，，为等差数列，公差为2．

（1）求数列的通项公式．

（2）求．

19．如图，三棱柱中，，，，，分别为棱，的中点．

（1）在平面内过点作平面交于点，并写出作图步骤，但不要求证明；

（2）若侧面侧面，求直线与平面所成角的正弦值．

20．2020年将全面建成小康社会，是党向人民作出的庄严承诺．目前脱贫攻坚已经进入冲刺阶段，某贫困县平原地区家庭与山区家庭的户数之比为．用分层抽样的方法，收集了100户家庭2019年家庭年收入数据（单位：万元），绘制的频率直方图如图所示，样本中家庭年收入超过1.5万元的有10户居住在山区．

（1）完成2019年家庭年收入与地区的列联表，并判断是否有的把握认为该县2019年家庭年收入超过1.5万元与地区有关．

附：，其中．

（2）根据这100个样本数据，将频率视为概率．为了更好地落实党中央精准扶贫的决策，从2020年9月到12月，每月从该县2019年家庭年收入不超过1.5万元的家庭中选取4户作为“县长联系家庭”，记“县长联系家庭”是山区家庭的户数为，求的分布列和数学期望．

21．已知动点在轴及其上方，且点到点的距离比到轴的距离大1．

（1）求点的轨迹的方程；

（2）若点是直线上任意一点，过点作点的轨迹的两切线、，其中、为切点，试证明直线恒过一定点，并求出该点的坐标．

22．已知函数．

（1）若在上是减函数，求的取值范围；

（2）当时，证明有一个极大值点和一个极小值点．

考前30天冲刺高考模拟考试卷（13）答案

1．解：，，

．

故选：．

2．解：因为，

故复数对应的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，

又，

所以在复平面内对应的点到原点距离的最大值是．

故选：．

3．解：，，，

所以．

故选：．

4．解：因为，

所以为等腰三角形，

因为，，．

由条件可得，

所以，解得，

所以，

可得．

故选：．

5．解：根据题意，甲乙都没有得到冠军，而乙不是最后一名，

分2种情况讨论：

①、甲是最后一名，则乙可以为第二、三、四名，即乙有3种情况，

剩下的三人安排在其他三个名次，有种情况，

此时有种名次排列情况；

②、甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，有种情况，

剩下的三人安排在其他三个名次，有种情况，

此时有种名次排列情况；

则一共有种不同的名次排列情况，

故选：．

6．解：函数，

所以，

所以．

由于函数在定义域上单调递增，

故正实数、满足，

故，

所以，

所以（当且仅当买时，等号成立）．

故选：．

7．解：由题意知：双曲线的右焦点，渐近线方程为，

即，

如下图所示：

由点到直线距离公式可知：，

又，，，，

设，

由双曲线对称性可知，

而，，

由正切二倍角公式可知：，

即，

化简可得：，

由双曲线离心率公式可知：．

故选：．

8．解：，，

，则，且，

又，，

，则，且，

，且，

四边形为平面四边形，故直线，一定共面，故错误；

若直线与平行，则四边形为平行四边形，可得，与矛盾，故错误；

由，且，，，可得直线，一定相交，设交点为，

则，又平面，可得平面，同理，平面，

而平面平面，，即直线，一定相交，且交点一定在直线上，故正确，错误．

故选：．

9．解：设2010年高考的考生人数为，则2020年的高考考生的人数是，

对于，2010年一本达线人数为，2020年一本达线人数为，故选项错误；

对于，2020年二本达线率是，2010年二本达线率是，，故选项正确；

对于，2010年艺体达线人数是，2020年艺体达线人数0.08程，故选项错误；

对于，2010年不上线的人数为，2020年不上线的人数为，故选项正确．

故选：．

10．解：由题设可得：，解得：或，

为整数，，故选项正确；

，选项错误；

又，选项错误；

，，数列是公比为2的等比数列，故选项正确，

故选：．

11．解：对于：函数的定义域是，，故是奇函数，故正确；

对于：不存在非零常数，使得，故不是周期函数，故错误；

对于，

，，故在点，处的切线方程为：，即，故正确；

对于，，时，，，故，

故在区间，上是减函数，故正确．

故选：．

12．解：对于，因为，所以，

整理得，故正确；

对于，过点作，交于点，

则，，

所以，

因为，，，

所以，，，

所以，所以，故正确；

对于，由知，，当且仅当时等号成立，

所以的最小值为4，故错误；

对于，因为，，

所以，，

所以，当且仅当时取等号，故正确．

故选：．

13．解：由题意得，所以，

所以展开式的通项为，令，得，

所以展开式中的系数为，

故答案为：80．

14．解：某地拟在未来的连续15天中随机选择4天进行交通安全知识的抽查，

基本事件总数，

选择的4天恰好为连续4天包含的基本事件个数，

则选择的4天恰好为连续4天的概率为．

故答案为：．

15．解：因为，

所以，

因为在区间，是增函数，

故在，上恒成立，

因为，

所以不等式等价于，

因为，

所以，即的取值范围是，．

故答案为：，．

16．解：当时，由，得，

当时，，单调递增，当时，，单调递减，

又当时，且，

作出的图象如图：

设，则由，得，

可得，

若函数恰有5个不同的零点，

则关于的方程有5个不同的实根，

结合函数的图象及直线得恰有2个不等的实根，

得，，，，

，有2个不等实根，，有3个不等实根，

．

故答案为：，．

17．Ⅰ）解：由，得，

又，得，

两式作比得：，．

由，得，

由余弦定理，得；

（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得，代入，得．

由（Ⅰ）知，为钝角，则为锐角，

．

于是，，

故．

18．解：（1），，

又为等差数列，公差为2，

，

，

数列通项公式为；

（2）由（1）可得：，

，

又，

两式相减得：

．

19．解：（1）取中点，连接，则，

连接，取中点，连接，则，

，即，，，四点共面，

连接交于，连接，则，，，四点共面，

过作交于，即为所求．

（2）作平面，与延长线交于，则，，

，，

，，

，

，

，

作，则直线与平面所成角直线与平面所成角，

，，

设到平面的距离为，则，，

直线与平面所成角的正弦值．

20．解：（1）由频率分布直方图可知，超过1.5万元的频率为，

所以超过1.5万元的户数有户，

又因为平原地区家庭与山区家庭的户数之比为，抽取了100户，

故平原地区的共有60户，山区地区的共有40户，

又样本中家庭年收入超过1.5万元的有10户居住在山区，所以超过1.5万元的有40户居住在平原地区，

不超过1.5万元的有20户住在平原地区，有30户住在山区地区，

故2019年家庭年收入与地区的列联表如下：

则，

所以有的把握认为该县2019年家庭年收入超过1.5万元与地区有关；

（2）由（1）可知，选1户家庭在平原的概率为，山区的概率为，

的可能取值为0，1，2，3，4，

所以，

，

，

，

，

所以的分布列为：

因为服从二项分布，

所以的数学期望．

21解：（1）设点，则，即，

化简得，，．

点的轨迹方程为．（4分）

（2）对函数，求导数．

设切点，则过该切点的切线的斜率为，

切线方程为．即，

设点，由于切线经过点，，

即，

设，则，是方程的两个实数根，

，，（8分）

设为中点，．

，

点，又，

直线的方程为，即，

当，时，方程恒成立．

对任意实数，直线恒过定点．（12分）

22．解：（1）由，

得，

设，

则，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以，

由题意，

所以，

所以的取值范围是，．

（2）证明：当时，，

由于，

所以在上有一个零点，

又在上单调递增，

所以在上有一个零点，设为，

所以，

设，

则，

即在上单调递减，

所以（1），

即，

所以在上有一个零点，

又在上单调递增，

所以在上有一个零点，设为，

所以当时，，

当，时，，

当，时，，

所以在，，上单调递减，在，上单调递增，

所以的极小值为，的极大值是，

所以有一个极大值点和一个极小值点．