2021届高考数学考前30天冲刺模拟卷（8）

考前30天冲刺高考模拟考试卷（8）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合，，则　　

A．， B．， C．， D．，

2．（5分）复数的共轭复数的虚部为　　

A． B． C． D．

3．（5分）采购经理指数，是通过对企业采购经理的月度调查结果统计汇总、编制而成的指数，它涵盖了企业采购、生产、流通等各个环节包括制造业和非制造业领域，是国际上通用的监测宏观经济走势的先行性指数之一，具有较强的预测、预警作用．如图为国家统计局所做的我国2019年12月及2020年月份的采购经理指数的折线图，若指数为，则说明与上月比较无变化，根据此图，下列结论正确的　　

A．2020年1至12月的指数的最大值出现在2020年3月份 

B．2020年1至12月的指数的中位数为 

C．2020年1至3月的指数的平均数为 

D．2020年1月至3月的月指数相对10月至12月，波动性更大

4．（5分）函数的图象可能是　　

A． B． 

C． D．

5．（5分）已知，，则的值为　　

A． B． C．或 D．或

6．（5分）已知实数，，成等差数列，则点到直线的最大距离是　　

A． B．1 C． D．2

7．（5分）如图，已知，分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左支交于、两点，连接，，在中，，，则双曲线的离心率为　　

A．2 B． C． D．

8．（5分）已知函数，，函数，若，对恒成立，则实数的取值范围为　　

A．， B．， C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分。

9．（5分）已知，，，则　　

A．曲线与轴围成的几何图形的面积小于1 

B．函数图象关于直线对称 

C． 

D．函数在上单调递增

10．（5分）已知，则下列选项一定正确的是　　

A． B． 

C． D．

11．（5分）正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点．则　　

A．直线与直线垂直 

B．直线与平面平行 

C．平面截正方体所得的截面面积为 

D．点和点到平面的距离相等

12．（5分）在中，若，角的平分线交于，且，则下列说法正确的是　　

A．若，则的面积是 

B．若，的外接圆半径是 

C．若，则 

D．的最小值是

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）二项展开式，则　；　　．

14．（5分）某农业局为支持该县扶贫工作，决定派出5男3女共8名农技人员分成两组分配到2个贫困村进行扶贫，若每组至少3人，且每组都有男农技人员，则不同分配方案

有　　种（用数字作答）．

15．（5分）已知抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，垂直于点，与轴交于点，为坐标原点，且，则　　．

16．（5分）已知为不共线的单位向量，设，，若对任意向量，均有成立，向量夹角的最大值是　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）已知数列的前项和为，点，在函数的图象上，

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

18．（12分）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，．

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）求的最大值．

19．（12分）在四棱锥中，四边形为平行四边形，为等腰直角三角形，，，，，．

（1）求证：；

（2）求直线与面所成角的正弦值．

20．（12分）乒乓球是中国国球，它是一种世界流行的球类体育项目．某中学为了鼓励学生多参加体育锻炼，定期举办乒乓球竞赛，该竞赛全程采取“一局定输赢”的比赛规则，首先每个班级需要对本班报名学生进行选拔，选取3名学生参加校内终极赛与其他班级学生进行同台竞技．

（Ⅰ）若高三（1）班共有6名男生和4名女生报名，且报名参赛的选手实力相当，求高三（1）班选拔的校内终极赛参赛选手均为男生的概率．

（Ⅱ）若高三（1）班选拔的选手甲、乙、丙分别与高三（2）班选拔的选手，，对抗，甲、乙、丙获胜的概率分别为，，，且甲、乙丙三人之间获胜与否互不影响，记为在这次对抗中高三（1）班3名选手获胜的人数，．

（ⅰ）求；

（ⅱ）求随机变量的分布列与数学期望．

21．（12分）已知椭圆的焦距为，点关于直线的对称点在椭圆上．

（1）求椭圆的方程；

（2）如图，椭圆的上、下顶点分别为，，过点的直线与椭圆相交于两个不同的点，．

①求面积的最大值；

②当与相交于点时，试问：点的纵坐标是否是定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．

22．（12分）已知函数，．

（1）讨论函数的单调性；

（2）令，若存在，，且时，，证明：．

考前30天冲刺高考模拟考试卷（8）答案

1．解：，，

，．

故选：．

2．解：，

，

复数的共轭复数的虚部为，

故选：．

3．解：根据折线图可得，2020年月的指数的最大值出现在2020年11月，故错误；

根据中位数的定义，将2020年月的指数按从小到大的顺序排列后，可知排在第五和第六位的两个数据的平均数即为中位数，即可得中位数为，故错误；

根据平均数的定义，可求得2020年月的指数的平均数为，故错误；

根据图中折线可得，2020年1月至3月的指数相对10月至12月，波动性更大，故正确．

故选：．

4．解：函数，

，

函数为奇函数，关于原点对称，排除，

当时，，排除，，

故选：．

5．解：，

，可得：，

，

，

．

故选：．

6．解：由，，成等差数列，得，所以；

则点到直线的距离是

，

由，即，

所以．当且仅当时取等号，

所以，

即点到直线的最大距离是．

故选：．

7．解：设，由双曲线的定义可得，

由，可得，即有，

因为为等腰三角形，

所以，

解得，

在△中，，

化为，即有．

故选：．

8．解：，对恒成立，

即，化为：，

令，，

，

，可得时，函数取得极小值即最小值，（1），

恒成立，

函数在上单调递增，

而，

，

，即，

令，，

，可得时，函数取得极大值即最大值．

．

故选：．

9．解：．曲线与轴围成的几何图形的面积等于1，因此不正确；

．函数图象关于直线对称，可得正确；

．，，因此正确；

．函数在上单调递减，可得不正确．

故选：．

10．解：由，得，，

，，，

，，，，正确，

，正确，

，，

，正确，

，，，

，

当且仅当，即时取等号，

又，，错误，

故选：．

11．解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系

则，0，，，2，，，2，，，0，，，0，，，0，，，2，，

对于，，0，，，2，，

，直线与直线不垂直，故错误；

对于，，2，，，2，，，2，，

设平面的法向量，，，

则，取，得，1，，

，平面，

直线与平面平行，故正确；

对于，连接，，，分别是，的中点，

面截正方体所得的截面为梯形，

面截正方体所得的截面面积为：

，故正确；

对于，由知平面的法向量，1，，

点到平面的距离，

点到平面的距离，

点和点到平面的距离相等，故正确．

故选：．

12．解：因为为的平分线，，

所以，

，则，

由正弦定理得，

所以，

，正确；

若，，由正弦定理得，

所以的外接圆半径，错误；

若，由正弦定理得，，

因为与互补，

所以，，正确；

设，则，，

因为，，

所以，

令，则，，

所以，

当且仅当，即或时取等号，

所以或（舍，

故有最小值时，为，正确．

故选：．

13．解：对于二项展开式，令，可得．

令，可得，

再令，可得，

两式相减除以2，可得，

故答案为：32；．

解：根据题意，分2种情况讨论：

①一组3人，另一组5人，有种；

②两组均为4人，有种，

所以共有种不同的分配方案，

故答案为：180．

15．解：由抛物线方程可得：，准线方程为,

由抛物线定义可得，

如图所示，，设与轴交于点，

因为，,且，

所以,所以,则,

所以,代入抛物线方程可得,

所以,

故答案为：5．

16．解：设向量、的夹角为，、的夹角为，

由

，

且得，，

所以，

即，

所以，

所以，

即恒成立；

所以对任意恒成立，

则△，

解得；

又，，

所以，，

即，夹角的最大值是．

故答案为：．

17．解：（1）由题意可知：

当，．（4分）

又因为（5分）

所以．（6分）

（2）（8分）

所以．（12分）

18．解：（Ⅰ），

由正弦定理，化简可得：，

，

，，

可得，

．

（Ⅱ）由，，由正弦定理，

所以，，

所以，

因为，所以，可得，

因此，的最大值为，当且仅当，即时取得．

19．证明：（1）取的中点，连接与，

为等腰直角三角形，，，

又，，且、面，平面，

面，，

为的中点，，

，，则；

解：（2）以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴，

以过且垂直与平面的直线为轴建立空间直角坐标系，

则，0，，，1，，，0，，

由已知可得，则是边长为1的等边三角形，则，，，

，，，，，，，，，

设平面的一个法向量为，

由，取，得，

设直线与面所成角为，

则．

直线与面所成角的正弦值为．

20．解：（Ⅰ）设“高三（1）班选拔的参数选手均为男生”为事件，则；

（Ⅱ）（ⅰ）由题意，，解得；

（ⅱ）随机变量的可能取值为0，1，2，3，

所以，

，

，

，

故的分布列为：

所以的数学期望．

21．解：（1）因为点关于直线的对称点为，

且在椭圆上，所以，

又，，

则，

所以椭圆的方程为．

（2）①设直线的方程为，，，，，

点到直线的距离为消去整理得：，

由△，可得，

且，，

，

设，则，

当且仅当即时等号成立，

的面积的最大值为，

②由题意得，，，

联立方程组，消去得，

又，解得，

故点的纵坐标为定值1．

22．解：（1）的定义域为，

，当时，

当时，由得，由得，

当时，在上单调递增，

当时，在上单调递减，在单调递增．

（2）证明：，

，，

，

令，则，

在上单调递增，

不妨设，，

，

，

，，

下面证明，

令，只需证，只需证，

设，则，

在递增，（1），

即成立，，

即．

，

当且仅当，即，时等号成立，

，

或，

的取值范围为．