2021届高考数学考前30天冲刺模拟卷（28）

考前30天冲刺高考模拟考试卷（28）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，则的元素个数为　　

A．0 B．3 C．4 D．5

2．设为虚数单位，，已知是纯虚数，则　　

A．1 B． C． D．

3．随机给如图所示的四块三角形区域涂色，有红，黄，蓝，绿，黑这5种颜色供选择，则“任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同”的概率为　　

A． B． C． D．

4．函数，不等式的解集为　　

A． B． C． D．

5．已知椭圆经过点，当该椭圆的四个顶点构成的四边形的周长最小时，其标准方程为　　

A． B． 

C． D．

6．玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是古代人们用于祭祀神明的一种礼器，距今约5100年．至新石器中晚期，玉琼在江浙一带的良渚文化、广东石峡文化、山西陶寺文化中大量出现，尤以良渚文化的玉璨最发达，出土与传世的数量很多．现一仿古玉琮呈扁矮的方柱体，通高，内圆外方，上下端为圆面的射，中心有一上下垂直相透的圆孔，孔径，外径，试估计该仿古玉琮的体积约为　　（单位：

A．3300 B．3700 C．3900 D．4500

7．已知函数满足恒成立，则实数的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，

8．在中，内角、、所对的边分别为、、，若，角的角平分线交于点，且，，则的值为　　

A． B． C．3 D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分。

9．某俱乐部为了解会员对运动场所的满意程度，随机调查了50名会员，每位会员对俱乐部提供的场所给出满意或不满意的评价，得到如图所示的列联表，经计算的观测值，则可推断出　　

附：

A．该俱乐部的男性会员对运动场所满意的概率的估计值为 

B．调查结果显示，该俱乐部的男性会员比女性会员对俱乐部的场所更满意 

C．有的把握认为男性会员、女性会员对运动场所的评价有差异 

D．有的把握认为男性会员、女性会员对运动场所的评价有差异

10．已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过点的直线与抛物线交于，两点，为线段的中点，为坐标原点，则　　

A．的准线方程为 B．线段长度的最小值为4 

C．的坐标可能为 D．

11．已知为所在平面内一点，则下列正确的是　　

A．若，则点在的中位线上 

B．若，则为的重心 

C．若，则为锐角三角形 

D．若，则与的面积比为

12．矩形中，，，将沿折起，使到的位置，在平面的射影恰落在上，则　　

A．三棱锥的外接球直径为5 

B．平面平面 

C．平面平面 

D．与所成角为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知随机变量服从正态分布，若，则　　．

14．展开式中，含项的系数为　　．

15．已知函数，，（4）（2），且在，上单调．设函数，且的定义域为，，则函数的所有零点之和等于　　．

16．已知等差数列的公差，且，，成等比数列，若，为数列的前项和，则的最小值为　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在中，角，，所对的边分别为，，，且．

（1）求角的大小；

（2）求的取值范围．

18．在①，②，③这三个条件中选择两个，补充在下面的问题中，给出解答．

已知数列的前项和为，满足 _____，_____，又知递增等差数列满足，且，，成等比数列．

（1）求和的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

19．如图，四边形是菱形，，平面，，．

（Ⅰ）上是否存在一点，使得平面？

（Ⅱ）若，求几何体的表面积．

20．某市为了了解本市初中生周末运动时间，随机调查了3000名学生，统计了他们的周末运动时间，制成如图所示的频率分布直方图．

（1）按照分层抽样，从，和，中随机抽取了9名学生．现从已抽取的9名学生中随机推荐3名学生参加体能测试．记推荐的3名学生来自，的人数为，求的分布列和数学期望；

（2）由频率分布直方图可认为：周末运动时间服从正态分布，其中，为周末运动时间的平均数，近似为样本的标准差，并已求得．可以用该样本的频率估计总体的概率，现从本市所有初中生中随机抽取12名学生，记周末运动时间在，之外的人数为，求（精确到．

参考数据1：当时，，，；

参考数据；．

21．已知坐标原点为，双曲线的焦点到其渐近线的距离为，离心率为．

（Ⅰ）求双曲线的方程；

（Ⅱ）设过双曲线上动点，的直线分别交双曲线的两条渐近线于，两点，求的外心的轨迹方程．

22．已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若，函数，且，，，，求实数的取值范围．

考前30天冲刺高考模拟考试卷（28）答案

1．解：集合，，0，1，2，3，，

，

，1，2，3，，

的元素个数为5．

故选：．

2．解：是纯虚数，

，，

解得．

故选：．

3．解：随机给如图所示的四块三角形区域涂色，有红，黄，蓝，绿，黑这5种颜色供选择，

基本事件总数，

有公共边的三角形为同色，先考虑中间一块涂色有5种方法，

其他的三个三角形在剩下的4色中任意涂色均可，方法为，

所求概率为．

故选：．

4．解：时，是增函数；时，是增函数，

又，

在，上单调递增，

由不等式得，，

，解得，

原不等式的解集为：．

故选：．

5．解：由题意椭圆经过点，可得：，

该椭圆的四个顶点构成的四边形的周长．

，当且仅当时，即，取等号．

周长的最小值：．

椭圆方程：．

故选：．

6．解：由题意，该仿古玉琮的体积为底面边长为，高为的长方体的体积减去底面直径为，高为的圆柱的体积．

则．

结合该仿古玉琮外面方形偏低且去掉雕刻部分，可估计该神人纹玉琮王的体积约为．

故选：．

7．解：由，得，得恒成立，

设，则，

当且仅当，即时取“”号，

故，的取值范围是，，

故选：．

8．解：因为，

所以由正弦定理可得，

可得，

因为，

所以，

所以，由，，

所以，

在，中，由余弦定理得：，

，

故，解得：，故，

在中，由余弦定理得：，即，

故．

故选：．

9．解：对于选项，该俱乐部的男性会员对运动场所满意的概率的估计值为，故正确；

对于选项，该俱乐部的女性会员对运动场所满意的概率的估计值为，而，

故该俱乐部的男性会员比女性会员对俱乐部的场所更满意，正确；

对于选项、，经计算的观测值，

则可推断出有的把握认为男性会员、女性会员对运动场所的评价有差异，故正确；

正确则选项错误，故错误．

故选：．

10．解：由抛物线定义可得：，则抛物线方程为：，

所以抛物线的准线方程为：，错误，

抛物线的通径为，所以线段的长度的最小值为4，正确，

设过焦点的直线方程为：与抛物线方程联立可得：

，设，，，，

若的坐标为，则，，

而，解得满足题意，所以正确，

又

，所以正确，

故选：．

11．解：设中点，中点，

若，则，

所以，即，

所以为的三分点，正确；

若，

则，

所以在中线上且，即为三角形重心，正确；

若，则为锐角，但不能确定，，故不一定为锐角三角形，错误；

若，则，

即，

所以为上靠近的三等分点，

所以，

故与的面积比为，正确．

故选：．

12．解：对于，取中点，连接，，

则．

三棱锥的外接球直径为5，故正确；

对于，，，平面，，

又，、平面，平面，

平面，，

，平面，

平面，平面平面，故正确；

对于，，与不垂直，

平面与平面不垂直，故错误；

对于，，是与所成角（或所成角的补角），

，，，

，，

，，

与所成角为，故错误．

故选：．

13．解：随机变量服从正态分布，，

，

．

故答案为：0.77．

14．解：，

故展开式中，含项的系数为，

故答案为：30

15．解：由于函数，，满足（4）（2），

所以（2）（4），且在，上单调．

所以（2），（4），

所以，

故，

由于（2），

所以，

解得，

所以，

故，

令，解得，

由于函数关于，，6对称，

所以零点的和为．

故答案为：12．

解：由，，成等比数列，得，

，又，解得．

，，

，

当时，取最小值为．

故答案为：．

17．解：（1）因为，

由余弦定理可得，

由于，

所以．

（2），

因为，可得，，可得，

所以，可得的范围是，．

18．解：方案一：选择条件①②

（1）由题意，当时，，

即，

化简，得，

，，

当时，由，

可得，

两式相减，可得，

也满足上式，

数列是以1为首项，2为公比的等比数列，

，，

设等差数列的公差为，

则，，

，，成等比数列，

，即，

化简整理，得，

解得（舍去），或，

，．

（2）由（1）知，，

则，

，

两式相减，

可得

，

．

方案二：选择条件①③

（1）由题意，当时，，

即，

化简，得，

将代入，可得，

此时选择条件①③并不能计算出或的值，

无法计算出数列的通项公式，

故方案二不成立．

方案三：选择条件②③

（1）由题意，当时，，

当时，由，

可得，

两式相减，可得，

也满足上式，

数列是以1为首项，2为公比的等比数列，

，，

设等差数列的公差为，

则，，

，，成等比数列，

，即，

化简整理，得，

解得（舍去），或，

，．

（2）由（1）知，，

则，

，

两式相减，

可得

，

．

19．解：（Ⅰ）上存在一点，使得平面，

取的中点，的中点，

如图，连接，，，连接，

四边形是菱形，

，

又点是的中点，

，

，，

四边形是平行四边形，

，

，

又平面，平面，

平面，

上存在一点，满足当时，平面．

（Ⅱ）平面，，平面，

，，

，同理得，，

又四边形是菱形，，，

，，，，，，

，，

，，

几何体的表面积：

，

几何体的表面积为．

20．解：（1）根据分层抽样，从，中抽取6人，在，中抽取3人，

随机变量的可能取值为0，1，2，3，

，

，

，

，

则的分布列为：

．

（2），

又因为，，

所以，

所以或，

则，

所以．

21．解：（Ⅰ）双曲线的渐近线为，即，

又焦点为，，

根据题意可得，

解得，，，

所以双曲线的方程为．

（Ⅱ）双曲线的渐近线方程为，

分别与联立，

解得，，，，

设，分别为，的中点，

所以，，

因为，，

所以，

所以直线的方程为，①

同理直线的方程为，②

联立①②得，

又因为，在双曲线上，

所以，

所以，

所以，即，

所以点的轨迹方程为．

22．解：（1）依题意，，，则△，

若△，即时，，若△，即时，

令，即，故舍去），

当时，即时，，在单调递减，

当时，即时，

当时，，当，时，，

故函数在上单调递增，在，上单调递减；

综上所述，当时，在上单调递减，

当时，在上单调递增，在，上单调递减；

（2）依题意，

不妨设，则等价于，

考察函数，得，令，，

则时，，时，，

所以在区间上是单调递增函数，在区间上是单调递减函数，

故，所以在上单调递减，

从而，即，故，

所以，即恒成立，

设，则在上恒为单调递减函数，

从而恒成立，故，

故，即实数的取值范围为．