2021年高考考前最后一课-数学（正式版）

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目 录
考前预测篇
【考前预测篇1】热点试题精做……………………………………………………………………01
【考前预测篇2】命题专家押题……………………………………………………………………19
命题猜想篇
【高考命题猜想1】与平面向量中有关的范围和最值问题………………………………………26
【高考命题猜想2】零点问题……………………………………...........................……………….31
【高考命题猜想3】解三角形的最值问题…………………………………………………………37
考前技巧篇
【考前技能篇1】高考数学核心考点解题方法与策略……………………………………………42
【考前技能篇2】高考数学三种题型的答题技巧…………………………………………………48
【考前技能篇3】数学解答题的“偷分”技
巧…………………………… 54
考前提醒篇
【考场注意篇1】高考数学临场解题策略……………………………………………………………59
【考场注意篇2】高考数学阅卷和答题卡的注意事项……………………………………………64
考后心理篇
【考后调整篇】高考考后那些事…………………………………………………………………71
终极押题
2021年高考数学（理）终极押题卷（试卷） 80
2021年高考数学（文）终极押题卷（试卷） 86
2021年（新高考）数学终极押题卷（试卷） 92
2021年高考数学（理）终极押题卷（全解全析） 98
2021年高考数学（文）终极押题卷（全解全析） 108
2021年新高考数学终极押题卷（全解全析） 117

一、考前预测篇
【考前预测篇1】热点试题精做
1．（2021.云南省玉溪第一中学高三第二次月考）已知集合，，，则（ ）
A． B．0 C．2 D．4
【答案】A
【详解】由题意，，，又，故，得，故选：A．
2．(2021.云南师范大学附属中学第四次高考适应性月考)已知集合A＝{1，2，3，4，5}，集合B＝{x|}，则A∩B中元素的个数为（ ）
A．4 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】因为， ，所以，中含有两个元素，故选：C．
3．(2021.陕西省西安中学高三下学期第二次模拟考试)设，是两平面，，是两直线．下列说法正确的是（ ）
①若，则
②若，，则
③若，，则
④若，，，，则
A．①③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【解析】由平行公理知①对，
垂直于同一平面的两条直线平行，故②对，
垂直于同一直线的两个平面平行，故③对，
由面面垂直性质定理知④对．
故选：D．
4．（2021·贵州省铜仁第一中学高三第二次模拟）函数的部分图象是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】函数是偶函数，排除AD;
且
当 排除B,选C．
5．（2021.云南省玉溪第一中学高三第二次月考）已知函数是定义域为的偶函数，当时，，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
∵是定义域为R的偶函数，当时，
∴当时，，所以.
，故，分别求解，或
即可得解为，故选：B．
6．(2021.宁夏银川一中高三第六次月考)已知函数与函数的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由得：
由题意可知在上有解
即：在上有解
即与在上有交点

时，，则单调递增；，，则单调递减
当时，取极大值为：
函数与的图象如下图所示：

当与相切时，即时，
切点为，则
若与在上有交点，只需
即：
本题正确选项：
7．(2021.云南师大附中高三高考适应性月考卷（五）)已知函数f（x）＝cosx，若x1，时，有，则（ ）
A．x1＞x2 B．x1＜x2 C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，令，则为偶函数．当时，，令 ，则，则在上恒成立，所以在上单调递减，又，所以在上恒成立，所以在上单调递增．再结合为偶函数，从而当，且 时必有，即.
故选：D
8．（2021·全国高三其他模拟）教育改革的核心是课程改革，新课程改革的核心理念就是教育以人为本，即一切为了每一位学生的发展．为满足新课程的三维目标要求，某校开设类选修课4门，类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中至少选一门，则不同的选法共有（ ）
A．24种 B．48种 C．32种 D．64种
【答案】B
【解析】分两种情况：第一种，选择1门类选修课和2门类选修课，有种选法；
第二种，选择2门选修课和1门类选修课，有种选法，
故共有48种选法．
故选：B
9．（2021·北京房山区·高三一模）“十三五”期间，我国大力实施就业优先政策，促进居民人均收入持续增长.下面散点图反映了2016-2020年我国居民人均可支配收入(单位：元)情况.根据图中提供的信息，下列判断不正确的是（ ）

A．2016-2020年，全国居民人均可支配收入每年都超过20000元
B．2017-2020年，全国居民人均可支配收入均逐年增加
C．根据图中数据估计，2015年全国居民人均可支配收入可能高于20000元
D．根据图中数据预测，2021年全国居民人均可支配收入一定大于30000元
【答案】D
【解析】A：由散点图可知：2016-2020年，全国居民人均可支配收入每年都超过20000元，所以本判断正确；
B：由散点图可知：2017-2020年，全国居民人均可支配收入均逐年增加，所以本判断正确；
C：根据图中数据估计，2015年全国居民人均可支配收入可能高于20000元，所以本判断正确；
D：根据图中数据预测，2021年全国居民人均可支配收入有可能大于30000元，不是一定大于30000元，所以本判断不正确，故选：D．
10．（2021·天津红桥区·高三一模）某校对高三年级800名学生的数学成绩进行统计分析.全年级同学的成绩全部介于80分与150分之间，将他们的成绩按照，，，，，，分组，整理得到如下频率分布直方图，则成绩在内的学生人数为（ ）

A．200 B．240 C．360 D．280
【答案】B
【解析】从全体学生中根据成绩采用分层抽样的方法抽取800名同学的试卷进行分析, 则从成绩在 [120,130) 内的学生中抽取的人数为：
800
故选：B
11．（2021·辽宁高三二模（文））已知向量、满足，，，则（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【解析】
故选：C．
12．（2021·北京西城区·高三一模）在中，，点P是的中点，则（ ）
A． B．4 C． D．6
【答案】C
【解析】解：如图建立平面直角坐标系，则，，，
所以，，所以，故选：C

13．（2021·安徽合肥市·高三二模（文））如图，在中，D，E是AB边上两点，，且，，，的面积成等差数列.若在内随机取一点，则该点取自的概率是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，，
因为，，，的面积成等差数列.
设面积依次为，则，则，
所以，，，的面积依次为，
所求概率为．
故选：A．
14．（2021·全国高三专题练习（理））已知数列的前项和满足，记数列的前项和为，．则使得成立的的最大值为（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
【答案】C
【解析】当时，；当时，；而也符合，
∴，.又，
∴，要使，
即，得且，则的最大值为19.故选：C．
15．（2021·全国高三其他模拟（理））四面体的顶点，，，在同个球面上，平面，，，，，则该四面体的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示，作外接圆，过作直线平面，
又平面，，连接，并延长交球于，
连接，与的交点为球心，，则，
在中，由余弦定理得
，，
又由正弦定理得(为外接圆半径)，
，.

故选：C．
16．（2021·四川成都市·高三二模（理））已知四面体的所有棱长均为，，分别为棱，的中点，为棱上异于，的动点．有下列结论：
①线段的长度为1；
②若点为线段上的动点，则无论点与如何运动，直线与直线都是异面直线；
③的余弦值的取值范围为；
④周长的最小值为．
其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】在棱长为的正方体上取如图所示的四个顶点依次连接，即可得到棱长为四面体，
显然，分别为正方体前后两个面的中心，故线段的长度为正方体棱长，故 ①对；
对于②：如图，取为的中点，取为的中点，取为的中点，则由正方体的性质易知，该三点在一条直线上，故此时与相交于，故②错；
对于③，，，又有
故
故点无限接近点时，会无限接近，故的余弦值的取值范围不为，③错误；
对于④，如图将等边三角形与铺平，放在同一平面上，故有，当且仅当为中点时取最小值
故在正方体中
故周长的最小值为,故④对
故选：B

17．（2021·辽宁高三二模（理））双曲线的左、右焦点分别为、，是双曲线上一点，轴，，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题设，，由轴，知，
∴，又，
∴，得，又，得，
∴，又渐近线方程为，即等价于.
故选：C．
18．（2021·全国高三其他模拟（理））已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】抛物线的焦点为，则椭圆的一个焦点为，则，解得，所以的离心率为.
故选：B．
19．（2021·辽宁高三二模）已知点，分别是双曲线：的左，右焦点，为坐标原点，点在双曲线的右支上，且满足，，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，
所以，故为直角三角形，且，
∴.
由双曲线定义可得.
∵，∴，
∵，∴.
又，
整理得.
所以.
所以，
又，所以，
所以双曲线的离心率的取值范围为.
故选：B
20．（2021·全国高三其他模拟（理））已知函数，则在处的切线斜率为___________.
【答案】
【解析】，由导数的几何意义，可得.故答案为：3e2
21．（2021·全国高三专题练习）关于函数有如下四个命题：
①的最小正周期为2；
②的图象关于点对称；
③若，则的最小值为；
④的图象与曲线共有4个交点．
其中所有真命题的序号是__________．
【答案】①②④
【解析】由图可得：，的最小正周期为2，①正确；
，的图象关于点对称，②正确；
离轴最近的对称轴为，所以若，则的最小值为，③错误；
在轴右边离最近的对称为，，而，在上是减函数，因此的图象在第一象限每个周期内与的图象都有两个交点，在区间上有两个交点，在区间上有两个交点，从而在上有4个交点，④正确；
故答案为：①②④．
22．(2021.云南师范大学高三第七次月考）已知点O为坐标原点，抛物线与过焦点的直线交于A，B两点，则等于___________.
【答案】
【解析】设，，
当直线斜率不存在时，，
所以.
当直线斜率存在时，设方程为，
与抛物线联立方程得：
所以，
∴.
故答案为：.
23．（2021.西安高中高三下学期第二次模拟测试）某地区进行疾病普查，为此要检验每一人的血液，如果当地有人，若逐个检验就需要检验次，为了减少检验的工作量，我们把受检验者分组，假设每组有个人，把这个个人的血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，这个人的血液全为阴性，因而这个人只要检验一次就够了，如果为阳性，为了明确这个个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这个人再逐个进行检验，这时个人的检验次数为次.假设在接受检验的人群中，每个人的检验结果是阳性还是阴性是独立的，且每个人是阳性结果的概率为.
（1）为熟悉检验流程，先对3个人进行逐个检验，若，求3人中恰好有1人检测结果为阳性的概率；
（2）设为个人一组混合检验时每个人的血需要检验的次数.
①当，时，求的分布列；
②是运用统计概率的相关知识，求当和满足什么关系时，用分组的办法能减少检验次数.
【解析】
（1）对3人进行检验，且检验结果是独立的，设事件：3人中恰有1人检测结果为阳性，则其概率
（2）①当，时，则5人一组混合检验结果为阴性的概率为，每人所检验的次数为次，若混合检验结果为阳性，则其概率为，则每人所检验的次数为次，故的分布列为






②分组时，每人检验次数的期望如下


∴
不分组时，每人检验次数为1次，要使分组办法能减少检验次数，需 即
所以当时，用分组的办法能减少检验次数.
24．（2021.贵阳一中高三第八次月考）如图，在直三棱柱中，平面，其垂足D落在直线上．

（1）求证：；
（2）若P是线段AB上一点，，，三棱锥的体积为，求二面角的平面角的余弦值．
【解析】（1）∵是直三棱柱，∴，
又平面，∴，，∴平面，
平面，∴．
（2）由（1）知平面，
∴，，∴，
设，则，
∵，，，，
∴，∴
∴，∴，
如图建立空间直角坐标系，

，，，，，

平面的一个法向量是，
设平面的一个法向量是，．
，令，
所以
二面角的平面角为，则．
25．（2021.银川一中高三第6次月考）在平面直角坐标系中，己知圆心为点Q的动圆恒过点，且与直线相切，设动圆的圆心Q的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）过点F的两条直线、与曲线相交于A、B、C、D四点，且M、N分别为、的中点.设与的斜率依次为、，若，求证：直线MN恒过定点.
【解析】（1）由题意，设，
因为圆心为点Q的动圆恒过点，且与直线相切，
可得，化简得.
（2）设，的方程分别为，，
联立方程组，整理得，
所以，则，同理
所以，
由，可得，
所以直线的方程为
整理得，所以直线恒过定点.
26．（2021.衡水中学高三上学期第二次调研）定义可导函数在x处的弹性函数为，其中为的导函数．在区间D上，若函数的弹性函数值大于1，则称在区间D上具有弹性，相应的区间D也称作的弹性区间．
（1）若，求的弹性函数及弹性函数的零点；
（2）对于函数（其中e为自然对数的底数）
（ⅰ）当时，求的弹性区间D；
（ⅱ）若在（i）中的区间D上恒成立，求实数t的取值范围．
【解析】（1）由，可得，则，
令，解得，
所以弹性函数的零点为.
（2）（ⅰ）当时，函数，可得函数的定义域为，
因为，
函数是弹性函数，
此不等式等价于下面两个不等式组：
（Ⅰ） 或（Ⅱ），
因为①对应的函数就是，
由，所以在定义域上单调递增，
又由，所以①的解为；
由可得，
且在上恒为正，
则在上单调递增，所以，故②在上恒成立，
于是不等式组（Ⅰ）的解为，
同①的解法，求得③的解为；
因为时，④，所以不成立，
所以不等式（Ⅱ）无实数解，
综上，函数的弹性区间.
（ⅱ）由在上恒成立，可得在上恒成立，
设，则，
而，由（ⅰ）可知，在上恒为正，
所以，函数在上单调递增，所以，
所以，即实数的取值范围是.

【考前预测篇2】命题专家押题
1．已知集合,，则=（ ）
A． B．
C． D．
【解析】选D,，=.注意注意代表元素的字母是x还是y.
2．已知复数，则复数在复平面内对应的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【解析】选D，，所以对应点坐标为（-1,0）.
3．下列说法错误的是（　 　）
A．命题“若x2﹣4x+3=0，则x=3”的逆否命题是“若x≠3，则x2﹣4x+3≠0”
B．“x＞1”是“|x|＞0”的充分不必要条件
C．命题p：“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”，则¬p：“∀x∈R，x2+x+1≥0”
D．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题
【解析】选D．若p∧q为假命题，则p、q至少有一个为假命题.
4．设，是单位向量，且，的夹角为60°，则的模为（ ）
A． B．13 C．4 D．16
【解析】选A．
5．函数的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（）
A． B．
C． D．
【解析】选C．由图象可知最小正周期T=，，
所以，
所以函数的单调递减区间为，
，即，．
6．钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC= ，则AC=( )
A． 5 B． C． 2 D． 1
【解析】选B．
,此时三角形ABC为等腰直角三角形，不合题意；
.
7．的展开式中的系数为（ ）
A．10 B．20 C．40 D．80
【解析】选C．.
8．函数的图象大致形状为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】选A．，
，
所以为偶函数，排除CD；，排除B．
9．设Sn是公差不为0的等差数列的前n项和，且_____.
【解析】填18.由题意,.
10．已知是球面上的四点，且，若三棱锥的体积的最大值为，则球的体积为________________.
【解析】填.由题意可知，当是等腰直角三角形时，，则有,.
11．已知点F1,F2是椭圆C:的左、右焦点，以F1为圆心，F1F2为半径的圆与椭圆在第一象限的交点为P.若椭圆C的离心率为，且,则椭圆C的方程为_______.
【解析】填.由题意知①,
②，所以，
椭圆C的方程为.
12．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的5个小球，这些小球除标注数字外完全相同，现从中随机取2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是________．
【解析】填.两个数之和为3或6的有：（1，2），（1，5），（2，4）共三种，从5个球中取出两个球有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）共10种取法，.
13．2020年，全球70多亿人口受影响、30余万人的生命被夺走。一场来势汹汹的新冠肺炎疫情，成为二战结束以来最严重的全球公共卫生突发事件。面对肆虐的疫情，人们寄希望于今早开发出有效的疫苗，摆脱病毒带来的威胁。如今，多国在研发领域按下“快进键”，中国不仅在进度上是“第一梯队”，更提出新冠疫苗研发完成并投入使用后，将作为全球公共产品。现某科研团队为了考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下列联表。

患病
未患病
总计
服用药
10
45

没服用药


50
总计
30


（1）请将上面的列联表补充完整；
（2）能否有97.5%的把握认为药物对预防疾病有效？说明你的理由；
（3）为了进一步研究，现按分层抽样的方法从未患病动物中抽取10只，设其中未服用药的动物数为只，求的分布列与期望.
下面的临界值表供参考:

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（参考公式 其中）
【解析】（1）列联表补充如下

患病
未患病
总计
服用药
10
45
55
没服用药
20
30
50
总计
30
75
105
（2）∵
∴
∵
∴有97.5%的把握认为药物对预防疾病有效。
（3）根据题意，10只未患病动物中，有6只服用药，4只没服用药；所以的值可能为0，1，2，3，4
， ， ，
， ，
分布列如下:
ξ
0
1
2
3
4
P





则
14．已知椭圆C:x24+y23=1的左、右焦点为F1,F2，点Pm,n在椭圆C上.
（1）设点P到直线l:x=4的距离为d，证明：dPF2为定值；
（2）若0