北京市房山区2021届高三年级二模考试数学试题及答案

这是一份北京市房山区2021届高三年级二模考试数学试题及答案，共17页。试卷主要包含了05等内容，欢迎下载使用。

数学试卷
2021.05
本试卷共5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保存。
第一部分 （选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1) 已知全集，集合，，则
(A) (B) (C) (D)
(2) 若复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为
(A) (B) 2(C) (D) 或
(3) 在△中，，，，则△的面积为
(A) (B) 6(C) (D)
(4) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是
左视图
1
1
2
2
正视图
俯视图
(A) (B) (C) (D)
(5) 某公司购买一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润（万元）与机器运转时间（年数，）的关系为.要使年平均利润最大，则每台机器运转的年数为
(A) (B) (C) (D)
(6) 已知角的终边经过点，把角的终边绕原点逆时针旋转得到角的终边，则等于
(A) (B) (C) (D)
(7) 设，是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在双曲线上，且，则△的面积为
(A) (B) (C) (D)
(8) 世纪年代，里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用地震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，地震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级，其计算公式为，其中是被测地震的最大振幅，是标准地震的振幅．年月日，我国四川汶川发生了地震，速报震级为里氏级，修订后的震级为里氏级，则修订后的震级与速报震级的最大振幅之比为
(A) (B) (C) (D)
(9) “”是“函数有且只有一个零点”的
(A) 充分而不必要条件(B) 必要而不充分条件
(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件
(10) 为了庆祝中国共产党成立100周年，某校举行了以“重温时代经典，唱响回声嘹亮”为主题的“红歌”歌咏比赛. 该校高三年级有1，2，3，4共四个班参加了比赛，其中有两个班获奖. 比赛结果揭晓之前，甲同学说：“两个获奖班级在2班、3班、4班中”，乙同学说：“2班没有获奖，3班获奖了”，丙同学说：“1班、4班中有且只有一个班获奖”，丁同学说：“乙说得对”. 已知这四人中有且只有两人的说法是正确的，则这两人是（ ）
(A) 乙，丁 (B) 甲，丙(C) 甲，丁 (D)乙，丙
第二部分 （非选择题 共110分）
填空题共5小题，每小题5分，共25分。
(11) 函数的最小正周期为 ．
(12) 若三个点，，中恰有两个点在抛物线上，则该抛物线的方程为 ．
(13) 已知的展开式中，二项式系数之和为，则其各项系数之和为 ．
(14) 已知单位向量，的夹角为，与垂直，则＝ ．
(15) 设，过定点的直线与过定点的直线相交于点，线段是圆的一条动弦，且，给出下列四个结论：
①一定垂直 ②的最大值为
③点的轨迹方程为 ④的最小值为
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
（16）（本小题14分）
如图，在四棱锥中，底面是矩形，点为的中点，平面，，，.
（Ⅰ）求证:；
（Ⅱ）求异面直线与所成角的大小.
A
B
C
D
P
E
（17）（本小题14分）
已知数列是一个公比为的等比数列，，是数列的前项和，再从条件 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①、条件 = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②、条件 = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③中选择一个作为已知，解答下列问题：
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令，求数列的前项和的最小值.
条件 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①: 成等差数列；
条件 = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②: ；
条件 = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③: .
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
（18）（本小题14分）
为了提高中小学生的身体素质，某地区开展了中小学生跳绳比赛系列活动.活动结束后，利用简单随机抽样的方法，抽取了部分学生的成绩，按照不同年龄段分组记录如下表：
假设每个中小学生跳绳成绩是否合格相互独立.
（Ⅰ）从样本中的中小学生随机抽取人，求该同学跳绳成绩合格的概率；
（Ⅱ）从该地区众多中小学的男生、女生中各随机抽取人，记这人中恰有人跳绳成绩合格，求的分布列与数学期望；
（Ⅲ）假设该地区中小学生跳绳成绩合格的概率与表格中该地区中小学生跳绳成绩合格的频率相等，用“”表示第组的同学跳绳成绩合格，“” 表示第组的同学跳绳成绩不合格()，试确定方差中哪个最大？哪个最小？（只需写出结论）．
（19）（本小题15分）
已知函数，.
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）设，当时，求函数在区间上的最大值和最小值；
（Ⅲ）当时，试写出一个实数的值，使得的图像在的图像下方.（不需要说明理由）
（20）（本小题14分）
已知椭圆的离心率为，为坐标原点，是椭圆的右焦点，为椭圆上一点，且轴，．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过椭圆上一点的直线与直线相交于点，与直线相交于点.证明：为定值．
(21) (本小题14分)
已知数集.如果对任意的且，与两数中至少有一个属于，则称数集具有性质.
（Ⅰ）分别判断数集，是否具有性质，并说明理由；
（Ⅱ）设数集具有性质.
= 1 \* GB3 ① 若, 证明：对任意都有是的因数；
= 2 \* GB3 ② 证明：.
北京房山高三二模数学
参考答案
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11） （12） （13） （14） （15）①②
注：第（15）题全部选对得 5 分，不选或有错选得0分，其他得 3 分.
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
解：（Ⅰ）因为⊥底面，
且底面，
所以⊥.……………………1分
因为底面为矩形，
所以⊥.……………………2分
又因为平面，……………………3分
,……………………4分
所以⊥平面.……………………5分
因为平面，
所以.……………………6分
（Ⅱ）解法1：
因为⊥底面，
平面
所以⊥，⊥.
因为平面为矩形，
所以.
……………………7分
分别以为轴、轴、轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则
，，，……………………8分
，……………………9分
.……………………10分
所以.……………………11分
设异面直线与所成的角为，则
，……………………12分
因为……………………13分
所以.
所以异面直线与所成的角的大小是.……………………14分
注明：若这样写
，……………………9分
.……………………10分
设异面直线与所成的角为，则
……………………12分
因为……………………13分
所以.
所以异面直线与所成的角的大小是.……………………14分
解法2:取中点，连接，
因为点为的中点，则∥.……………………7分
所以（或其补角）是异面直线与所成的角.……………………8分
因为底面是矩形，所以,.
又因为为的中位线，所以.……………………9分
又因为⊥底面，平面，
所以⊥，⊥.
在直角三角形中，因为，所以
又因为点为中点，所以……………………10分
同理可得.……………………11分
在△中，因为，
所以.所以△是等腰直角三角形.……………………12分
因为，……………………13分
所以.
所以异面直线与所成的角的大小是.……………………14分
A
B
C
D
P
E
F
（17）解：（Ⅰ）选①： ……………………1分
因为成等差数列，
所以.即，.……………………2分
因为是一个公比为的等比数列，
所以，……………………3分
即.
解得（舍去）或.……………………4分
因为，所以.……………………6分
选②：……………………1分
因为
……………………2分
所以，……………………3分
所以.……………………4分
所以数列是首项，公比的等比数列.
所以.………………………6分
选③：………………………1分
因为，
所以，………………………2分
即.………………………3分
因为，所以.
解得或（舍去）.………………………4分
所以………………………6分
（Ⅱ）解法1：
因为，………………………7分
………………………8分
且有,………………………9分
所数列是以为首项，为公差的等差数列.………………………10分
因为………………………11分
所以………………………12分
………………………13分
当时，有最小值，即为.………………………14分
（Ⅱ）解法2：
依题意得………………………7分
.………………………8分
令，………………………9分
解得.………………………10分
令，………………………11分
解得.
所以数列的前4项都是负值，
从第5项起是正值，………………………12分
所以当时，有最小值，………………………13分
最小值为.………………………14分
（18）解：（Ⅰ）设事件 =“从样本中的中小学生随机抽取1人，该同学跳绳成绩合格”………1分
样本中男生跳绳成绩合格的有：人，
样本中女生跳绳成绩合格的有：人，………………………2分
样本中男、女跳绳成绩合格的共有：，
样本中的男生总人数：人，
样本中的男生总人数：人，
样本中男、女生总数：，………………………3分
所以．………………………4分
（Ⅱ）设事件=“从该地区众多中小学的男生中随机抽取1个，该生跳绳成绩合格”,则
;………………………5分
设事件=“从该地区众多中小学的女生中随机抽取1个，该生跳绳成绩合格”，则
．………………………6分
由题可知的可能取值为，则………………………7分
；……………………8分
．……………………9分
所以的分布列为
……………………10分
所以的数学期望．……………………12分
（Ⅲ）……………………14分
（19）解：（Ⅰ）因为， ……………………1分
.……………………2分
，所以切点为……………………3分
所以曲线在点处的切线方程为……………………4分
（Ⅱ）解法1：
……………………5分
……………………6分
当……………………8分
又因为，所以……………………9分
所以在区间上单调递增.……………………10分
所以，……………………12分
解法2：
，……………………5分
设，……………………6分
.……………………7分
因为所以，……………………8分
所以在区间上单调递增.……………………9分
又因为……………………10分
所以在区间上单调递增.
所以，.……………………12分
解法3：
……………………5分
……………………6分
当……………………7分
所以……………………8分
又因为，所以……………………9分
所以在区间上单调递增.……………………10分
所以，……………………12分
（Ⅲ）写出的任意一个实数即可.……………………15分
（20）（Ⅰ）解法1：
设，，则.……………………1分
又因为，所以.……………………2分
因为，
所以.……………………3分
所以.
因为，解得……………………4分
所以椭圆C的方程为.……………………5分
解法2：
因为椭圆C的离心率为，即，
所以.……………………1分
因为为椭圆上一点，且轴，
所以椭圆过点.……………………2分
所以，所以，解得.……………………3分
因为，
所以，解得，所以.……………………4分
所以椭圆C的方程为.……………………5分
解法3：
因为椭圆C的离心率为，即,……………………1分
不妨设，
因为，所以，所以.
所以椭圆C的方程为.……………………2分
因为为椭圆上一点，且轴，，
所以椭圆过点.……………………3分
所以，解得，所以.……………………4分
所以椭圆C的方程为.……………………5分
（Ⅱ）解法1：
由（Ⅰ）知直线的方程为，
即．……………………6分
因为直线的方程为，
所以直线与的交点为，……………………7分
直线与直线的交点为，……………………8分
则（1）……………………10分
又是上一点，则，……………………11分
代入（1）式得
……………………12分
所以.……………………13分
所以为定值．……………………14分
解法2：
易知直线AF的方程为x＝1，……………………6分
由可得直线与直线AF的交点为.……………………7分
由可得直线与直线AF的交点为.……………………8分
所以.……………………9分
所以.……………………10分
又因为是椭圆上一点，
所以，所以.……………………11分
所以……………………12分
所以.……………………13分
所以为定值．……………………14分
（21）解：（Ⅰ）因为与均不属于数集，
所以数集不具有性质.……………………2分
因为属于数集，
所以数集具有性质.……………………4分
（Ⅱ） = 1 \* GB3 ①因为数集具有性质，
若，即数集中的各个元素都是整数.……………………5分
假设存在一个数不是的因数,……………………6分
因为为整数，且不是的因数，
所以，则，即.……………………7分
而不是的因数，不是整数，，这与数集具有性质相矛盾，
所以假设不成立.……………………8分
所以对任意都有是的因数.……………………9分
= 2 \* GB3 ②因为具有性质P，
所以与中至少有一个属于A，
且，
所以，故.……………………10分
所以.
所以.……………………11分
所以.
所以，故.……………………12分
由A具有性质P可知.
又因为，
所以.……………………13分
.
.
所以.……………………14分
组别
男生
女生
合格
不合格
合格
不合格
第一组
第二组
第三组
第四组
第五组
合计
题号
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
（9）
（10）
答案
(B)
（C）
（A）
（D）
（D）
（C）
（D）
（B）
（A）
(B)