北京市房山区2020届高三衔接诊断测试（一模）数学试题

   房山区2020年第一次模拟检测

高三数学

本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第一部分 （选择题 共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）复数

（2）函数的最小正周期为

（3）已知向量，，若与共线，则

（4）在二项式的展开式中，的系数为

（5）下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是

（6）某三棱锥的三视图如右图所示，则该三棱锥的体积为

（A）                                     （B）

（C）                                      （D）

（7）已知函数若，且在上单调递增，则的取值范围是

（8）设是公差为的等差数列，为其前项和，则“”是“，”的

（9）已知直线：与圆：交于，两点，则使弦长为整数的直线共有

（10）党的十八大以来，脱贫工作取得巨大成效，全国农村贫困人口大幅减少．下面的统计图反映了

年我国农村贫困人口和农村贫困发生率的变化情况（注：贫困发生率贫困人数（人）统计人数（人））．根据统计图提供的信息，下列推断不正确的是

（A）年，全国农村贫困人口逐年递减

（B）年，全国农村贫困发生率较上年下降最多的是年

（C）年，全国农村贫困人口数累计减少万

（D）年，全国各省份的农村贫困发生率都不可能超过

第二部分 （非选择题 共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

（11）已知集合，，，则___________．

（12）设抛物线经过点，则抛物线的焦点坐标为___________．

（13）已知是各项均为正数的等比数列，，，则的通项公式          ；设数列的前项和为，则          ．

（14）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点，则的最小值是          ．

③函数的值域为；

      ④函数有且只有一个零点．

其中正确结论的序号是              ．

注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得5分，不选或有错选得分，其他得3分。

三、解答题共6题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（16）（本小题14分）

在△中，，，           ．（补充条件）

（Ⅰ）求△的面积；

（Ⅱ）求．

从①，②，③这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。

（17）（本小题14分）

随着移动互联网的发展，越来越多的人习惯用手机应用程序（简称app）获取新闻资讯．为了解用户对某款新闻类app的满意度，随机调查了名用户，调研结果如下表：（单位：人）

（Ⅰ）从所有参与调研的人中随机选取人，估计此人“不满意”的概率；

（Ⅱ）从参与调研的青年人和中年人中各随机选取人，估计恰有人“满意”的概率；

（Ⅲ）现需从参与调研的老年人中选择人作进一步访谈，若在“满意”、“一般”、“不满意”的老年人中各取人，这种抽样是否合理？说明理由．

（18）（本小题14分）

如图，在四棱锥中，平面，，，，，点为棱的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）求二面角的余弦值．

（19）（本小题14分）

已知椭圆过，两点．

（Ⅰ）求椭圆的方程和离心率的大小；  

（Ⅱ）设，是轴上不同的两点，若两点的纵坐标互为倒数，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为，判断直线与轴的位置关系，并证明你的结论．

（20）（本小题15分）

已知函数．

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）讨论函数的单调性；

（Ⅲ）若，设函数，在上的最大值不小于，求的取值范围．

（21）（本小题14分）

在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“拓展”．如数列，第次“拓展”后得到数列，，，第次“拓展”后得到数列，，，，．设数列，，经过第次“拓展”后所得数列的项数记为，所有项的和记为．

（Ⅰ）求，；

（Ⅱ）若，求的最小值；

（Ⅲ）是否存在实数，，，使得数列为等比数列？若存在，求，，满足的条件；若不存

在，说明理由．