北京市海淀区2021届高三年级二模考试数学试题

海淀区2020-2021学年第二学期期末练习

高三数学

2021.05

本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第一部分(选择题共40分)

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

(1)在平面直角坐标系xOy中，角θ以Ox为始边，终边经过点，则

(A)    (B)    (C)    (D)

(2)设.若，则

(A)-1   (B)-2   (C)1   (D)2

(3)已知，则

(A)      (B)

(C)      (D)

(4)已知F为抛物线的焦点， 是该抛物线上的一点.若，则

(A)     (B)

(C)      (D)

(5)向量a，b，c在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若e为与c同方向的单位向量，则

(A)1.5  (B)2  (C)-4.5  (D)-3

(6)已知实数x，y满足，则x的最大值是

(A)3   (B)2   (C)-1   (D)-3

(7)已知指数函数，将函数的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数的图象，再将的图象向右平移2个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合，则a的值是

(A)    (B)    (C)    (D)

(8)已知正方体 (如图1)，点P在侧面内(包括边界).若三棱锥的俯视图为等腰直角三角形(如图2)，则此三棱锥的左视图不可能是

(9)已知实数是“”的

(A)充分而不必要条件    (B)必要而不充分条件

(C)充分必要条件     (D)既不充分也不必要条件

(10)已知函数，若对于任意正数k，关于x的方程都恰有两个不相等的实数根，则满足条件的实数a的个数为

(A)0   (B)1   (C)2   (D)无数

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

(11)已知数列满足，则的前6项和为           。

(12)已知的展开式的二项式系数之和为16，则           ；各项系数之和为         。(用数字作答)

(13)在△ABC中， ，则△ABC的面积为            。

(14)已知双曲线的左焦点为F1，A，B为双曲线M上的两点，O为坐标原点若四边形为菱形，则双曲线M的离心率为         。

(15)普林斯顿大学的康威教授于1986年发现了一类有趣的数列并命名为“外观数列”( Look and say sequence)，该数列的后一项由前一项的外观产生.以为首项的“外观数列”记作Ai，其中为，即第一项为1，外观上看是1个1，因此第二项为11；第二项外观上看是2个1，因此第三项为21；第三项外观上看是1个2，1个1，因此第四项为1211，…，按照相同的规则可得其它Ai，例如A3为给出下列四个结论：

①若的第n项记作an，Aj的第n项记作bn，其中，则；

②中存在一项，该项中某连续三个位置上均为数字3；

③的每一项中均不含数字4；

④对于的第k项的首位数字与的第k+2项的首位数字相同。

其中所有正确结论的序号是           。

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

(16)(本小题共14分)

如图，在三棱锥中， 分别是AC，PC的中点.

(Ⅰ)求证：平面；

(Ⅱ)求二面角的余弦值

(17)(本小题共14分)

已知函数的部分图象如图所示。

(Ⅰ)直接写出的值；

(Ⅱ)再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求函数在区间上的最小值。

条件①：直线为函数的图象的一条对称轴；

条件②： 为函数的图象的一个对称中心

(18)(本小题共14分)

为迎接2022年北京冬季奥运会，普及冬奥知识，某地区小学联合开展了“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动.现从参加该活动的学生中随机抽取了30名学生，将他们的竞赛成绩(单位：分)用茎叶图记录如下：

(Ⅰ)从该地区参加该活动的男生中随机抽取1人，估计该男生的竞赛成绩在90分以上的概率；

(Ⅱ)从该地区参加该活动的全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取2人，估计这4人中男生竞赛成绩在90分以上的人数比女生竞赛成绩在90分以上的人数多的概率；

(Ⅲ)为便于普及冬奥知识，现从该地区某所小学参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机选取10名男生、10名女生作为冬奥宜传志愿者.记这10名男生竞赛成绩的平均数为，这10名女生竞赛成绩的平均数为，能否认为，说明理由.

(19)(本小题共14分)

椭圆的左、右焦点分别为是椭圆C上一点，且

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)M，N是y轴上的两个动点(点M与点E位于x轴的两侧)， ，直线EM交x轴于点P，求的值.

(20)(本小题共15分)

已知函数

(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程；

(Ⅱ)求的单调区间；

(Ⅲ)若关于x的方程有两个不相等的实数根，记较小的实数根为，求证：

(21)(本小题共14分)

已知有限集X，Y，定义集合，表示集合X中的元素个数。

(Ⅰ)若，求集合和，以及的值；

(Ⅱ)给定正整数n，集合对于实数集的非空有限子集A，B，定义集合

①求证: ；

②求的最小值。