专题5.2 解析几何与平面向量相结合问题-2020届高考数学压轴题讲义(选填题)（解析版）

一．方法综述

向量具有代数与几何形式的双重身份，平面向量与解析几何的交汇是新课程高考命题改革的发展方向和必然趋势.

平面向量与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，目标是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算.或者考虑向量运算的几何意义，利用其几何意义解决有关问题. 

二．解题策略

类型一  利用向量垂直的充要条件，化解解析几何中的垂直问题

【例1】【河北省石家庄市2019届高三3月检测】已知双曲线的左，右焦点分别是，，若双曲线右支上存在一点，使（为坐标原点），且，则实数的值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

∵,如图设N为的中点：即，∴，

又双曲线的实轴长为，

∴设则=x+，在直角三角形中，由勾股定理得：

=4=80，解得x=,

所以, 则实数=3,

故选：C．

【指点迷津】由向量加法法则结合三角形中位线性质，可得△MF1F2是以为F1F2斜边的直角三角形．由此设运用勾股定理算出与，得到结论．

【举一反三】

1.【山东省济南市2019届高三3月模拟】设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为(   )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

设，则

由椭圆的定义，可以得到

,

在中，有，解得

在中，有

整理得，

故选C项.

2.已知双曲线的右顶点为，抛物线的焦点为．若在的渐近线上存在点，使得，则的离心率的取值范围是 （    ）

A．     B．     C．     D．

【答案】B

【解析】由题意得，，设，由，得，因为在的渐近线上存在点，则，

即 ，又因为为双曲线，则，故选B．

【指点迷津】本题主要考查了双曲线的基本性质的应用，抛物线基本性质的应用，向量数量积坐标运算以及一元二次方程根的判别式的运用，属于中档题，首先可画一张草图，分析其中的几何关系，然后将系用代数形式表示出来，即可得到一个一元二次方程，若要使得一元二次方程有实数解， ，水到渠成，即可得到答案，因此将几何关系转化成方程是解题的关键．

类型二  利用向量平行的充要条件，灵活转换解析几何中的平行或共线问题

【例2】过双曲线（，）的右焦点作圆的切线，切点为．直线交抛物线于点，若（为坐标原点），则双曲线的离心率为（    ）

A．     B．     C．     D．

【答案】B

，变形可得，两边同除以，有，所以（负值已经舍去），故选B．

【指点迷津】本题主要考查利用抛物线及双曲线的定义、双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题．求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系．求离心率问题应先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的等式，从而求出的值．本题是利用点到直线的距离等于圆半径构造出关于的等式，最后解出的值．

【举一反三】

1.【江西省上饶市2019届高三二模】设抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于、两点，满足，若，则（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

因为，所以,因为、共线，所以,

,解得,又，所以，选B.

2.已知为双曲线上不同三点，且满足（为坐标原点），直线的斜率记为，则的最小值为（    ）

A． 8    B． 4    C． 2    D． 1

【答案】B

【指点迷津】涉及到的知识点有平面向量共线定理，直线斜率的计算公式，基本不等式等． 首先得出原点为线段AB的中点，再求出直线PA，PB斜率的表达式， 算出为定值，再由基本不等式求出最小值．

类型三  将向量的坐标表示和运算转化为点的坐标和曲线的方程

【例3】已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点逆时针方向旋转角得到点．设平面内曲线上的每一点绕原点沿逆时针方向旋转后得到点的轨迹是曲线，则原来曲线的方程是（    ）

A．     B．     C．     D．

【答案】A

【解析】设平面内曲线上的点，则其绕原点沿逆时针方向旋转后得到点，∵点在曲线上，∴，整理得 ．故选A．

【指点迷津】求轨迹方程是解析几何中的重要内容，是高考命题的热点和重点．主要考查学生的数形结合思想、等价转化思想、逻辑推理能力、分类讨论及创新思维，属于较高的能力考查．求轨迹方程常用的方法有：直接法、定义法、几何法、相关点法、参数法、交轨法、点差法等．本题主要是考查几何法中的三角形重心的向量表示及重心坐标公式，然后根据相关点法可以求出点的轨迹方程．

【举一反三】【广东省江门市2019届高考一模】直角坐标系中，已知两点，，点满足，其中，且．则点的轨迹方程为（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

由，且λ+μ＝1，得＝，

∴，即，则C、A、B三点共线．

设C（x，y），则C在AB所在的直线上，

∵A（2，1）、B（4，5），

∴AB所在直线方程为 ，整理得：．

故P的轨迹方程为：．

故选：A.

类型四  利用向量相等的关系，把几何问题代数化

【例4】【福建省莆田市2019届高三下学期检测】已知直线过抛物线：的焦点，交于两点，交的准线于点.若，且，则（）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

结合题意，绘制图形，可知

，结合，可知，所以

设，所以，解得，

故设F的坐标为，则A的坐标为，

代入抛物线方程，得到，解得，故选B.

抛物线方程，得到，解得，故选B.

【指点迷津】本题主要结合题意，绘制图形，利用抛物线的性质，建立方程，将几何问题代数化，计算p值.求解此类问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系．

【举一反三】已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为、，过点作圆：的切线，切点为，且直线与双曲线的一个交点满足，设为坐标原点，若，则双曲线的渐近线方程为（   ）

A．     B．     C．     D．

【答案】C

【解析】，故，即，故点为线段的中点，连接，则为的中位线，且，故，且，故点在双曲线的右支上，，则在中，由勾股定理可得， ，即，解得，故，故双曲线的渐近线方程为，故选C．

类型五  利用向量夹角，化解解析几何中的角度问题

【例5】已知点是双曲线的左焦点，点是该双曲线的右顶点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，若是钝角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是（   ）

A．     B．     C．     D．

【答案】D

【指点迷津】求双曲线离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和转化为关于的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围，在列方程或不等式的过程中，要考虑到向量这一重要工具在解题中的应用．求双曲线离心率主要以选择、填空的形式考查，解答题不单独求解，穿插于其中，难度中等偏高，属于对能力的考查．

【举一反三】如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，为椭圆的顶点， 为右焦点，延长与交于点，若为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围是（      ）

A．     B．     C．     D．

【答案】C

【解析】如图所示， 为与的夹角，设椭圆长半轴、短半轴、半焦距分别为， ， ， 向量的夹角为钝角时， ，又，两边除以得，即，解集，又，故选C．

类型六  利用向量数量积，求解解析几何中的数量关系问题

【例6】如图，椭圆，圆，椭圆的左右焦点分别为，过椭圆上一点和原点作直线交圆于两点，若，则的值为___________．

【答案】

【指点迷津】本题主要考查利用余弦定理、平面向量数量积公式及向量的几何运算、圆的性质及椭圆的定义，性质，属于难题．求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系；同时，由于综合性较强，不能为了追求速度而忽视隐含条件的挖掘．本题解题的关键点是利用向量这一工具将问题转化后再利用椭圆定义及余弦定理解答．

【举一反三】【上海市闵行区七宝中学2019届高三3月月考】已知是平面内两个互相垂直的单位向量，且此平面内另一向量在满足，均能使成立 ，则的最小值是_________.

【答案】

【解析】

因为是平面内两个互相垂直的单位向量，

所以可设 ，

，

，

又，

，

即，

它表示的圆心在，半径为的圆，

表示圆上的点到的距离，

圆心到点的距离为，

的最大值为，

要使恒成立，

即的最小值是，故答案为.

三．强化训练

一、选择题

1．已知过点的直线与圆相交于、两点，若，则点的轨迹方程是（   ）

A．     B．     C．     D．

【答案】B

【解析】设，，过点的直线为，

由得，直线代入得

则，

即，，所以，故选B

2．【山东省烟台市2019届高三高考一模】已知、分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点且满足，若直线与双曲线的另一个交点为，则的面积为（   ）

A．12 B． C．24 D．

【答案】C

【解析】

解：设，，

∵、分别为双曲线的左、右焦点，

∴，.

∵，

∴，

∴，

∴，

即，

∴，

解得，，

设，则，

在中可得，

解得，

∴，

∴的面积.

故选：C．

3．【贵州省2019年高考适应】已知点是双曲线的右焦点，过原点且倾斜角为的直线与的左、右两支分别交于，两点，且，若，则的离心率取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

如图：∵，∴F在以AB为直径的圆上，O为AB中点，则OA=OB=OF=c，

且, 过O作OC则C为AF的中点，∴CF=，OC=，

∴AE=，AF=，∴，

∴，∴，

故选D.

4．【广西壮族自治区柳州市2019届3月模拟】已知双曲线的左、右焦点为、，双曲线上的点满足恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（  ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

∵是的边上的中线，

∴．

∵，

∴，当且仅当三点共线时等号成立．

又，，

∴，

∴，

又，

∴．故离心率的取值范围为．

故选C．

5．【山东师范大学附属中学2019届高三四模】已知直线与圆交于不同的两点A，B，O是坐标原点，且有，那么k的取值范围是　　

A． B．2  C． D．2

【答案】B

【解析】

根据题意，圆的圆心为，半径，设圆心到直线的距离为d；

若直线与圆交于不同的两点A，B，则，则有；

设与的夹角即，

若，即，变形可得，则，

当时，，

若，则，解可得，

则k的取值范围为；

故选：B．

6．【2019年3月2019届高三第一次全国大联考】已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点的直线交双曲线的右支于，两点，且．过双曲线的右顶点作平行于双曲线的一条渐近线的直线，若直线交线段于点，且，则双曲线的离心率(   )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

因为，所以，．

因为，所以是线段的中点．

又直线过双曲线的右顶点且平行于双曲线的一条渐近线，，所以，

化简可得，所以，

所以，结合解得．

本题选择C选项.

7．【安徽省六安市毛坦厂中学2019届高三3月月考】已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过右焦点作其渐近线的垂线，垂足为，交双曲线右支于点，若，且，则双曲线的离心率为（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

依题可知，不妨设渐近线方程为，代入点到直线的距离公式得，从而，又由双曲线的定义可知，所以在中，由余弦定理得，化简得，即，所以离心率为.故选A.

8．【重庆市南开中学2019届高三第三次检测】如图，抛物线：，圆：，过焦点的直线从上至下依次交，于点，，，.若，为坐标原点，则（   ）

A．-2 B．1 C．4 D．

【答案】B

【解析】

由题可设A，其中a>0,d＜0.

又焦点F(1,0)，

所以|FD|=1+，

所以|AB|=|FA|-|OB|=，

由题得.

所以，

所以1.

故选：B

9．【江西省南昌市2019届高三一模】已知，，为圆上的动点，，过点作与垂直的直线交直线于点，则的横坐标范围是(   )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

设P（），则Q（2，2），

当≠0时，

kAP，kPM，

直线PM：y﹣（x﹣），①

直线QB：y﹣0（x），②

联立①②消去y得x，

∴，由||＜1得x2＞1，得|x|＞1，

当＝0时，易求得|x|＝1，

故选：A．

10．【山东省济宁市2019届高三一模】已知双曲线的左、右焦点分别为，圆与双曲线在第一象限内的交点为M，若．则该双曲线的离心率为

A．2 B．3 C． D．

【答案】D

【解析】

根据题意可画出以上图像，过点作垂线并交于点，

因为，在双曲线上，

所以根据双曲线性质可知，，即，，

因为圆的半径为，是圆的半径，所以，

因为，，，，

所以，三角形是直角三角形，

因为，所以，，即点纵坐标为，

将点纵坐标带入圆的方程中可得，解得，，

将点坐标带入双曲线中可得，

化简得，，，，故选D.

11.【广西桂林市，贺州市，崇左市2019年高三下学期3月联合调研】已知为椭圆上三个不同的点，为坐标原点，若，则的面积为（  ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

设直线，与椭圆方程联立可得

，，

设，则，，

代入得,

，

于是 ，

,故选C.

二、填空题

12．【上海市金山区2019届高三二模】正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，动点P满足，若，其中m、nR，则的最大值是________

【答案】

【解析】

建立如图所示的直角坐标系，则A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），D（﹣1，1），P（，），所以（1，sinθ+1），（2，0），（0，2），

又，

所以，则，

其几何意义为过点E（﹣3，﹣2）与点P（sinθ，cosθ）的直线的斜率，

设直线方程为y+2k（x+3），点P的轨迹方程为x2+y2＝1，

由直线与圆的位置关系有：，

解得：，即的最大值是1，

故答案为：1

13．【河南省洛阳市2019届高三第二次统考】已知直线与圆：相交于，两点，为圆周上一点，线段的中点在线段上，且，则______．

【答案】

【解析】

依据题意作出如下图象，其中，垂足为，

所以点为线段的中点，

由题可得：原点到直线的距离，

不妨令，由可得：，，

则：，

在中，有，

在中，有，

联立方程组（1）（2），解得：

14．【福建省永安市第三中学2019届高三4月测试】已知分别为双曲线的左、右焦点，M为双曲线右支上一点且满足，若直线与双曲线的另一个交点为N，则的面积为__________.

【答案】24

【解析】

设||＝m，||＝n，

∵分别为双曲线的左、右焦点，

∴m﹣n＝2a＝4，||＝2c＝2

∵，

∴，

∴m2+n2＝4c2＝40，

∴（m﹣n）2＝m2+n2﹣2mn，

即2mn＝40﹣16＝24，

∴mn＝12，

解得m＝6，n＝2，

设||＝t，则||＝2a+t＝4+t

在Rt中可得（4+t）2＝（t+2）2+62，

解得t＝6，

∴|MN|＝6+2＝8，

∴的面积S|MN|•|M|8×6＝24

故答案为24．

15．【贵州省2019年高考适应】抛物线的焦点为，在上存在，两点满足，且点在轴上方，以为切点作的切线，与该抛物线的准线相交于，则的坐标为__________.

【答案】

【解析】

作出抛物线的准线l：x＝﹣1，设A、B在l上的射影分别是C、D，

连接AC、BD，过B作BE⊥AC于E

∵3，∴设||＝m，则||＝3m，

由点A、B分别在抛物线上，结合抛物线的定义，得

||＝||＝m，||＝||＝3m，

∴||＝2m

因此，Rt△ABE中，cos∠BAE，得∠BAE＝60°

所以，直线AB的倾斜角∠AFx＝60°，

得直线AB的斜率k＝tan60°．

直线AB的方程为y（x﹣1），代入y2＝4x，可得3x2﹣10x+3＝0，

∴x＝3或x，

∵A在x轴上方，

∴A（3，，∴设过A的切线的斜率为m，则切线的方程为，

与联立得到，，可得，

∴过A的切线的方程为，与x＝-1联立可得

∴的坐标为

故答案为．

16．【浙江省杭州第十四中学2019届高三12月月考】在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．则_______；若，则点A的横坐标为___．

【答案】-20    3   

【解析】

画出图像如下图所示，由于是圆的直径，故，所以三角形和三角形为直角三角形.在中，，，故，且.所以当，即时，三角形为等腰直角三角形，故，所以，所以，故的横坐标是点横坐标的倍，即为.

17．【上海市南洋模范中学2019届高三3月月考】以正方形的四个顶点分别作为椭圆的两个焦点和短轴的两个端点，，，是椭圆上的任意三点（异于椭圆顶点），若存在锐角，使，（0为坐标原点）则直线，的斜率乘积为___.

【答案】或-2

【解析】

由题意可设椭圆方程为，

又设A（，），B（，），

因为M点在该椭圆上，

∴，则

又因为A、B点在也该椭圆上，

∴，

∴，

即直线OA、OB的斜率乘积为，

同理当椭圆方程为时直线OA、OB的斜率乘积为﹣2．

故答案为：或﹣2．