专题2.3 平面向量中范围、最值等综合问题-2020届高考数学压轴题讲义(选填题)（解析版）

一．方法综述

平面向量中的最值与范围问题是一种典型的能力考查题，能有效地考查学生的思维品质和学习潜能，能综合考察学生分析问题和解决问题的能力，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，是高考的热点，也是难点，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等，解决思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数（二次函数、三角函数）的最值或应用基本不等式，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合，应用图形的几何性质．

二．解题策略

类型一  与向量的模有关的最值问题

【例1】【安徽省黄山市2019届高三一模】如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为（     ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

设，，则三角形的面积为，解得，

由，且C，P，D三点共线，可知，即，

故.

以所在直线为轴，以点为坐标原点，过点作的垂线为轴，建立如图所示的坐标系，

则，，，，

则，，，

则（当且仅当即时取“=”）.

故的最小值为.

【指点迷津】三点共线的一个向量性质：已知O、A、B、C是平面内的四点，则A、B、C三点共线的充要条件是存在一对实数、，使，且.

【举一反三】

1、【宁夏六盘山高级中学2019届高三下学期二模】如图，矩形中边的长为，边的长为，矩形位于第一象限，且顶点分别位于轴、轴的正半轴上（含原点）滑动，则的最大值为（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

如图，设，

则

因为

所以

则

所以的最大值为

所以选B

 2、【浙江省湖州三校2019年高考模拟】已知向量，的夹角为，且，则的最小值为（   ）

A． B． C．5 D．

【答案】B

【解析】

由题意可设,，

因此表示直线上一动点到定点距离的和,因为关于直线的对称点为，所以选B.

3、【四川省成都外国语学校2019届高三3月月考】在平面直角坐标系中，，若，则的最小值是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

由于，即，即，所以在以原点为圆心，半径为的圆上.得到三点共线.画出图像如下图所示，由图可知，的最小值等于圆心到直线的距离减去半径，直线的方程为，圆心到直线的距离为，故的最小值是，故选C.

类型二  与向量夹角有关的范围问题

【例2】【四川省成都市实验外国语学校2019届高三10月月考】已知向量与的夹角为，，，，，在时取得最小值若，则夹角的取值范围是______.

【答案】

【解析】

，，

，

在时取得最小值

解可得：

则夹角的取值范围

本题正确结果：

【指点迷津】求变量的取值范围、最值，往往要将目标函数用某个变量表示，转化为求函数的最值问题，期间要注意变量之间的关系，进而得解．

【举一反三】

1、非零向量满足=，，则的夹角的最小值是       ．

【答案】

【解析】由题意得，，整理得，即

，，夹角的最小值为.

2、【上海市2019年1月春季高考】在椭圆上任意一点，与关于轴对称，若有，则与的夹角范围为____________

【答案】

【解析】

由题意：，

设，，因为，则

与结合    ，又   

与结合，消去，可得：

所以

本题正确结果：

类型三   与向量投影有关的最值问题

【例3】【辽宁省沈阳市郊联体2019届高三一模】若平面向量，满足||=|3|=2，则在方向上的投影的最大值为（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

因为，所以，

在方向上的投影为，其中为，的夹角．

又，故．

设，则有非负解，故 ，

故，故，故选A．

【指点迷津】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用 ；（2）计算角，.特别地，两个非零向量垂直的充要条件是.另外，的几何意义就是向量在向量的投影与模的乘积，向量在向量的投影为．

【举一反三】

1、已知的外接圆的圆心为，半径为2，且，则向量在向量方向上的投影为(      )

A. 3    B.     C. -3    D.

【答案】B

本题选择B选项.

2、设， ， ，且，则在上的投影的取值范围(   )

A.     B.     C.     D.

【答案】D

当时，

当

故当时， 取得最小值为，即

当时， ，即

综上所述故答案选

类型四  与平面向量数量积有关的最值问题

【例4】【辽宁省鞍山市第一中学2019届高三一模】中，，，，且，则的最小值等于　　

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

由题意知，向量，且，

可得点D在边BC上，，

所以，则，即，

所以时以C为直角的直角三角形．

如图建立平面直角坐标系，设，则，

则，，当时，则最小，最小值为．

故选：C．

【指点迷津】平面向量数量积的求法有：①定义法；②坐标法；③转化法；其中坐标法是同学们最容易忽视的解题方法，要倍加注视，若有垂直或者容易出现垂直的背景可建立平面直角坐标系，利用坐标法求解.

【举一反三】

1、已知正方形的边长为，点是边上的动点，则的最大值为（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】A

2、【辽宁省鞍山市第一中学2019届高三一模】中，，，，且，则的最小值等于　　

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

由题意知，向量，且，

可得点D在边BC上，，

所以，则，即，

所以时以C为直角的直角三角形．

如图建立平面直角坐标系，设，则，

则，，当时，则最小，最小值为．

故选：C．

3、已知圆的半径为2，是圆上任意两点，且，是圆的一条直径，若点满足（），则的最小值为（   ）

A. -1    B. -2    C. -3    D. -4

【答案】C

类型五  平面向量系数的取值范围问题

【例5】在矩形中， 动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为（      ）

A.     B.     C.     D.

【答案】A

∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=，

设点P的坐标为（cosθ+1， sinθ+2），

∵，

∴（cosθ+1， sinθ+2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ），

∴cosθ+1=λ， sinθ+2=2μ，

∴λ+μ=cosθ+sinθ+2=sin（θ+φ）+2，其中tanφ=2，

∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，

∴1≤λ+μ≤3，

故λ+μ的最大值为3，

故选：A

【指点迷津】（1）向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题；

（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题；

（3）向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.

【举一反三】

1、【云南省昆明市云南师范大学附属中学2019届高三上学期第四次月考】已知正方形ABCD的边长为1，动点P满足，若，则的最大值为　　

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

解：以A为原点建立如图所示的直角坐标系：

则，，，，设， ,则由得，化简得：，又，，，，表示圆上的点到原点的距离得平方，其最大值等于圆心到原点的距离加半径的平方，即，

故选：C．

2.已知，点在内，且与的夹角为，设，则的值为（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】

如图所示，建立直角坐标系．由已知，

，则

故选B

3.【上海市金山区2019届高三二模】正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，动点P满足，若，其中m、nR，则的最大值是________

【答案】

【解析】

建立如图所示的直角坐标系，则A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），D（﹣1，1），P（，），所以（1，sinθ+1），（2，0），（0，2），

又，

所以，则，

其几何意义为过点E（﹣3，﹣2）与点P（sinθ，cosθ）的直线的斜率，

设直线方程为y+2k（x+3），点P的轨迹方程为x2+y2＝1，

由直线与圆的位置关系有：，

解得：，即的最大值是1，

故答案为：1

类型六  平面向量与三角形四心的结合

【例6】已知的三边垂直平分线交于点， 分别为内角的对边，且，则的取值范围是__________．

【答案】

【指点迷津】平面向量中有关范围最值问题的求解通常有两种思路：①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．

【举一反三】

1、如图，为的外心，为钝角，是边的中点，则的值为（    ）

A. 4    B.     C.    D.

【答案】B

2.已知点是锐角三角形的外心，若（， ），则（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】∵O是锐角△ABC的外心，

∴O在三角形内部，不妨设锐角△ABC的外接圆的半径为1，

又，

∴||=| |，

可得=++2mn⋅，

而⋅=||⋅||cos∠A0B<||⋅||=1.

∴1=++2mn⋅<+2mn，

∴ <−1或 >1，如果 >1则O在三角形外部，三角形不是锐角三角形，

∴ <−1，

故选：C.

3、在中， ， ，若为外接圆的圆心（即满足），则的值为__________.

【答案】8

【解析】设BC的中点为D，连结OD,AD，则，则：

三．强化训练

1.【宁夏平罗中学2019届高三上期中】已知数列是正项等差数列，在中，，若，则的最大值为（　　）

A．1 B．                     C． D．

【答案】C

【解析】

解：∵，故三点共线，

又∵，

∴，

数列是正项等差数列，故

∴，解得：，

故选：C．

2.【山东省聊城市第一中学2019届高三上期中】已知M是△ABC内的一点，且，，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为1，，，则的最小值是（  ）

A．2    B．8    C．6    D．3

【答案】D

【解析】

∵，，∴，化为．

∴．

∴．则，

而 =5+4=9，

当且仅当，即时取等号，

故的最小值是9，故选：D．

3．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟《黄金卷三》】已知是边长为的正三角形，且，，设函数，当函数的最大值为-2时，（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

,

因为是边长为的正三角形，且，

所以

又因，代入得

所以当时，取得最大，最大值为

所以，解得，舍去负根.

故选D项.

4．【辽宁省鞍山市第一中学2019届高三一模】已知平面向量，，满足，若，则的最小值为　　

A． B． C． D．0

【答案】B

【解析】

因为平面向量，，满足，，

，，

设，，，

，

所以的最小值为．

故选：B．

5.已知直线分别于半径为1的圆O相切于点 若点在圆O的内部（不包括边界），则实数的取值范围是(     )

A.     B.     C.     D.

【答案】B

6.【河南省南阳市第一中学2019届高三第十四次考试】已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足， 则的最大值是（　）

A．1 B．2 C． D．

【答案】C

【解析】

解：以所在直线建立平面直角坐标系，

设，， ，

因为

所以，

即，故，

令（为参数），

所以，

因为，

所以，，故选C.

7．【四川省成都市外国语学校2019届高三一诊】如图所示，在中，，点在线段上，设，，，则的最小值为（   ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

解：．

∵，，三点共线，

∴．即．由图可知．

∴．

令，得，

令得或（舍）．

当时，，当时，．

∴当时，取得最小值 .

故选：D．

8．【安徽省宣城市2019届高三第二次调研】在直角三角形中，，，，在斜边的中线上，则的最大值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

解：以A为坐标原点，以AB，AC方向分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，

则B（2，0），C（0，4），中点D(1,2)

设 ，所以 ，

时，最大值为．

故选：B．

二、填空题

9.在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．若对任意λ∈R，不等式恒成立，则的最大值为_____．

【答案】2

【解析】由，两边平方得，，则，则，又，则，即，由，从而，即，，从而问题可得解.

10.【2019年3月2019届高三第一次全国大联考】已知的内角所对的边分别为，向量，，且，若，则面积的最大值为________．

【答案】

【解析】

由，得，

整理得．

由余弦定理得，

因为，

所以．

又 ，当且仅当时等号成立，

所以，

所以，

即．

故答案为：．

11.【四川省广元市2019届高三第二次高考适应】在等腰梯形ABCD中，已知，，，，动点E和F分别在线段BC和DC上，且，，则的最小值为______．

【答案】

【解析】

解：等腰梯形ABCD中，已知，，，，

，

，

，，

，

，

，

则

当且仅当即时有最小值

故答案为：

12.【上海市七宝中学2019届高三下学期开学】若边长为6的等边三角形ABC，M是其外接圆上任一点，则的最大值为______．

【答案】

【解析】

解：是等边三角形，三角形的外接圆半径为，

以外接圆圆心为原点建立平面直角坐标系，设，．

设，

则，．

．

的最大值是．

故答案为．

13．【天津市第一中学2019届高三下学期第四次月考】在中，已知为直角，，若长为的线段以点为中点，则的最大值为________

【答案】0

【解析】

即的最大值为0.

14．【安徽省黄山市2019届高三第二次检测】已知是锐角的外接圆圆心，是最大角，若，则的取值范围为________.

【答案】

【解析】

设是中点，根据垂径定理可知，依题意，即，利用正弦定理化简得.由于，所以，即.由于是锐角三角形的最大角，故，故.

15．【北京市大兴区2019届高三4月一模】已知点，，点在双曲线的右支上，则的取值范围是_________．

【答案】

【解析】

设点P(x,y),（x＞1），所以，

因为，当y＞0时，y=,

所以，

由于函数在[1，+∞）上都是增函数，

所以函数在[1，+∞）上是增函数，

所以当y＞0时函数f(x)的最小值=f(1)=1.即f(x)≥1.

当y≤0时，y=,

所以，

由于函数在[1，+∞）上都是增函数，

所以函数在[1，+∞）上是减函数，

所以当y≤0时函数k(x)＞0.

综上所述，的取值范围是.

16．【上海市青浦区2019届高三二模】已知为的外心，，，则的最大值为________

【答案】

【解析】

设的外接圆半径为1，以外接圆圆心为原点建立坐标系，

因为，所以，

不妨设，，，

则，，，

因为，所以，

解得，

因为在圆上，

所以，

即，

所以，

所以，

解得或，

因为只能在优弧上，所以，

故