专题2.15 超越方程反解难，巧妙构造变简单-2020届高考数学压轴题讲义(解答题)（解析版）

【题型综述】

导数研究超越方程 

超越方程是包含超越函数的方程，也就是方程中有无法用自变数的多项式或开方表示的函数，与超越方程相对的是代数方程．超越方程的求解无法利用代数几何来进行．大部分的超越方程求解没有一般的公式，也很难求得解析解．

在探求诸如，方程的根的问题时，我们利用导数这一工具和数形结合的数学思想就可以很好的解决．

此类题的一般解题步骤是：

1、构造函数，并求其定义域．

2、求导数，得单调区间和极值点．

3、画出函数草图．

4、数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与轴的交点情况求解．

【典例指引】

例1．已知函数在处取得极小值．

（1）求实数的值；

（2）设，其导函数为，若的图象交轴于两点且，设线段的中点为，试问是否为的根？说明理由．

【思路引导】

（1）先求导数，再根据，解得，最后列表验证（2）即研究是否成立，因为，利用，得，所以=0，转化为．其中，最后利用导数研究函数单调性，确定方程解的情况

（2）由（1）知函数．

∵函数图象与轴交于两个不同的点，（ ），

∴，．

两式相减得

．学*科网

．

下解．即．

令，∵，∴，即．

令，．

又，∴，

∴在上是増函数，则，

从而知，故，即不成立．

故不是的根．学*科网

例2．设函数

（1）当时，求函数的单调区间；[来源:Zxxk.Com]

（2）令，其图象上任意一点处切线的斜率恒成立，求实数的取值范围．

（3）当时，方程在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围．

【思路引导】

（1）先求导数然后在函数的定义域内解不等式和的区间为单调增区间， 的区间为单调减区间；（2）先构造函数再由以其图象上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，知导函数恒成立，再转化为求解；（3）先把握有唯一实数解，转化为有唯一实数解，再利用单调函数求解．

[来源:Z.xx.k.Com]

【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究方程的根、不等式的恒成立和导数的几何意义，属于难题．利用导数研究函数的单调性的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③令，解不等式得的范围就是递增区间；令，解不等式得的范围就是递减区间．

例3．已知函数（）

（1）讨论的单调性；

（2）若关于的不等式的解集中有且只有两个整数，求实数的取值范围．

【思路引导】

（1）求出，分两种情况讨论，分别令 得增区间，令得减区间；（2） ，令，利用导数研究其单调性，结合零点定理可得结果．

试题解析：

（1），当时，在上单调递减，在单调递增；当时，在上单调递增，在单调递减；

（2）依题意， ，

令，则，学*科网

令，则，即在上单调递增．

又，，

存在唯一的，使得．

当， 在单调递增；

当， 在单调递减．

，，，

且当时，，

又， ，．学*科网

故要使不等式解集中有且只有两个整数，的取值范围应为．

【新题展示】

1．【2019山西祁县中学上学期期末】已知函数,．若

（1）求实数的值；

（2）若关于的方程有实数解，求实数的取值范围．

【思路引导】

（1）求出函数的导数，得到关于a的方程，解出即可；

（2）得到xlnxk，令g（x）＝xlnx，根据函数的单调性求出k的范围即可．

【解析】

所以当时，，即的值域为．

所以使方程有实数解的的取值范围．

2．【2019浙江台州上学期期末】设函数，R．

（Ⅰ）求函数在处的切线方程；

（Ⅱ）若对任意的实数，不等式恒成立，求实数的最大值；

（Ⅲ）设，若对任意的实数，关于的方程有且只有两个不同的实根，求实数的取值范围．

【思路引导】

（Ⅰ）求出函数在处的导数后可得切线方程．

（Ⅱ）参变分离后求函数的最小值可得的最大值．

（Ⅲ）因为，故无零根，参变分离后考虑的图像与直线总有两个不同的交点，从而得到实数的取值范围．

【解析】

（Ⅰ），. 且，所以在处的切线方程为. 

所以

. （其中）    

所以的最大值为.

（ⅰ）当时，即时，则，即在，单调递增，且当时，的取值范围为；当时，的取值范围为.此时对任意的实数，原方程恒有且只有两个不同的解. 

（ⅱ）当时，有两个非负根，，所以在，，单调递增，单调递减，所以当时有4个交点，或有3个交点，均与题意不合，舍去.

（ⅲ）当时，则有两个异号的零点，，不妨设，则在，单调递增；在，单调递减.

当时，的取值范围为，

当时，的取值范围为，

所以当时，对任意的实数，原方程恒有且只有两个不同的解.

所以有，，得.

由，得，即.

所以，，.

故

.所以.                                             

所以当或时，原方程对任意实数均有且只有两个解.

3．【2019浙江杭州高级中学上学期期中】已知函数.

（1）若关于的方程在内有两个不同的实数根，求实数的取值范围.

（2）求证：当时，.

【思路引导】

（1）关于的方程在内有两个不同的实数根等价于，x与y=a有两个不同的交点；

（2）要证当时，即证

【解析】

（2）证明：，

由得在上单调递增，

又,

根据零点存在定理可知，存在，使得

当时，，f（x）在上单调递减；

当时，，f（x）在上单调递增；

故.由，得到，

即，，

故，其中，

令，，

由，得到在上单调递减，

故，即，

综上：有当时，.

【同步训练】

1．已知函数（），且的导数为．

（Ⅰ）若是定义域内的增函数，求实数的取值范围；

（Ⅱ）若方程有3个不同的实数根，求实数的取值范围．

【思路引导】

（Ⅰ）只需，即恒成立，求出即可得结果；（Ⅱ）原方程等价于，研究函数的单调性，结合图象可得结果．

令，解得或．

列表得：

由表可知当时， 取得极大值；

当时， 取得极小值．

又当时，，，此时．学*科网

因此当时，；当时，；当时， ，因此实数的取值范围是．[来源:学#科#网Z#X#X#K]

2．已知函数的图象的一条切线为轴．（1）求实数的值；（2）令，若存在不相等的两个实数满足，求证： ．

【思路引导】

（1）对函数求导，由题可设切点坐标为，由原函数和切线的斜率为可得方程组，解方程组得值；（2）由题知，可构造去绝对值后的函数，利用导数与函数单调性的关系，判断的单调性，再构造函数，利用导数判断出的单调性，最后可令，利用单调性可得结论．

且在上单调递减，在上单调递增，

，

当时， ，学*科网

记，

记函数的导函数为，则

3．已知函数（），．

（1）若的图象在处的切线恰好也是图象的切线．

①求实数的值；[来源:学*科*网Z*X*X*K][来源:学&科&网]

②若方程在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围．

（2）当时，求证：对于区间上的任意两个不相等的实数， ，都有

成立．

【思路引导】

（1）①首先求函数的图象在处的切线， ， ，又因为切点为，所以切线方程为，于是问题转化为直线与函数图象相切，于是可以根据直线与抛物线相切进行解题；②问题转化为方程在区间内有唯一实数解，参变量分离得，设， ，研究的单调性、极值，转化为直线与有且只有一个交点，（2）当时， 在上单调递增， 在上单调递增，设，则， ，于是问题转化为，构造函数，通过函数在上单调递减，可以求出的取值范围．

∵，∴， ，函数单调递增， ， ，函数单调递减，

∵， ，且时， ，

∴；

证明：（2）不妨设，则， ，

∴可化为

∴

设，即，∴在上单调递减，

∴恒成立，即在上恒成立，

∵，∴，

从而，当时，命题成立．[来源:学_科_网]

4．已知函数．

（1）设，

①记的导函数为，求；

②若方程有两个不同实根，求实数的取值范围；

（2）若在上存在一点使成立，求实数的取值范围．

【思路引导】

（1）①对进行求导，将代入可得的值；②对进行二次求导，判断的单调性得其符号，从而可得的单调性，结合图象的大致形状可得的取值范围；（2）将题意转化为，令，题意等价于在上的最小值小于0，对进行求导，对导函数进行分类讨论，判断单调性得其最值．

（2）由题可得，∴，∴，

令，则在上的最小值小于0，

又，

1，当时，即， 在上递减，所以，解得；

2，当即， 在递增，∴解得；

3，当，即，此时要求又，

所以，

所以此时不成立，

综上或．学*科网

点睛：本题考查导数的运用：求考查函数与方程的联系单调区间最值，同时考查不等式的存在性转化为求函数的最值问题，正确求导是解题的关键．在正确求导的基础上，利用导数与的关系得到函数的单调区间，也是在高考中的必考内容也是基础内容；注意存在性问题与恒成立问题的区别．

5．已知函数．[来源:Z&xx&k.Com]

（1）试确定的取值范围，使得函数在上为单调函数；

（2）若为自然数，则当取哪些值时，方程在上有三个不相等的实数根，并求出相应的实数的取值范围．

【思路引导】

（1）先求函数导数，根据导函数零点确定函数单调区间，再根据为某个单调区间的子集得的取值范围，（2）结合三次函数图像确定的取值范围：当,且时，方程在上有可能有三个不等实根，再根据端点值大小确定实数的满足的条件：

，最后解不等式可得实数的取值范围．

只需满足即可．

因为，且，

因而，

所以，即，学*科网

综上所述，当,且时，满足题意，此时实数的取值范围是．

6．已知函数，且直线是函数的一条切线．

（1）求的值；

（2）对任意的，都存在，使得，求的取值范围；

（3）已知方程有两个根，若，求证: ．

【思路引导】

（1）对函数求导， ，设直线与函数相切与点，根据导数的几何意义可得， ，解得，求出；（2）对任意的 ，都存在，使得，只需要的值域是值域的子集，利用导数的方法分别求、的值域，即可求出的取值范围；（3）根据题意得,两式相减得， ，所以

，令，则，则

，令，对求导，判断的单调，证明．

(2) 由（1）得，所以，当， 时， ，所以在上单调递减，所以当， 时， ， ，当时， ，所以在上单调递增，所以当时， ，依题意得 ，所以，解得．

(3) 依题意得,两式相减得，所以，方程可转化为

7．已知函数（为自然对数的底数，），，．

（1）若，，求在上的最大值的表达式；

（2）若时，方程在上恰有两个相异实根，求实根的取值范围；

（3）若，，求使的图象恒在图象上方的最大正整数．

【思路引导】

 (1)先求函数导数，根据定义域以及 取值分类讨论导函数是否变号，确定函数单调性，进而确定函数最值，(2)作差函数，求导得原函数先减后增，因此要有两个相异实根，需极小值小于零，两个端点值大于零，解不等式可得的取值范围； (3)实际为一个不等式恒成立问题，先转化为对应函数最值问题（利用导数求差函数最小值），再研究最小值恒大于零问题，继续求导研究函数单调性，并结合零点存在定理限制或估计极点范围，最后范围确定最大正整数．

试题解析：

(1) 时，,；

①当时，，在上为增函数，此时，

②当时，，在上为增函数，

故在上为增函数，此时

③当时，，在上为增函数，在上为减函数，

若，即时，故在上为增函数，在上为减函数，

此时

若，即时，在上为增函数，则此时，

综上所述：      

（2），，

∴在上单调递减，在上单调递增，

∴在上恰有两个相异实根，

，

实数的取值范围是，

8．设函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数的值；

（3）若方程，有两个不相等的实数根，比较与0的大小．

【思路引导】

 (1)先求函数导数,再求导函数零点 ,根据定义域舍去,对进行讨论, 时，，单调增区间为．时,有增有减;(2) 函数有两个零点，所以函数必不单调,且最小值小于零 ,转化研究最小值为负的条件:,由于此函数单调递增,所以只需利用零点存在定理探求即可,即取两个相邻整数点代入研究即可得的取值范围,进而确定整数值,（3）根据，所以只需判定大小,由可解得,代入分析只需比较大小, 设,构造函数,利用导数可得最值,即可判定大小．

(3)证明：因为是方程的两个不等实根，由(1)知．

不妨设，则，．

两式相减得，

即．[来源:Zxxk.Com]

所以．因为，

点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数．根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式．（2）根据条件，寻找目标函数．一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数．