备战2022年高考数学压轴题专题2.14 超越方程反解难巧妙构造变简单

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高考数学压轴难题归纳总结提高培优专题2.14 超越方程反解难巧妙构造变简单【题型综述】导数研究超越方程 超越方程是包含超越函数的方程，也就是方程中有无法用自变数的多项式或开方表示的函数，与超越方程相对的是代数方程．超越方程的求解无法利用代数几何来进行．大部分的超越方程求解没有一般的公式，也很难求得解析解．在探求诸如，方程的根的问题时，我们利用导数这一工具和数形结合的数学思想就可以很好的解决．此类题的一般解题步骤是：1、构造函数，并求其定义域．2、求导数，得单调区间和极值点．3、画出函数草图．4、数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与轴的交点情况求解． 【典例指引】例1．已知函数在处取得极小值．（1）求实数的值；（2）设，其导函数为，若的图象交轴于两点且，设线段的中点为，试问是否为的根？说明理由．【思路引导】（1）先求导数，再根据，解得，最后列表验证（2）即研究是否成立，因为，利用，得，所以=0，转化为．其中，最后利用导数研究函数单调性，确定方程解的情况（2）由（1）知函数．∵函数图象与轴交于两个不同的点，（ ），∴，．两式相减得． ．下解．即．令，∵，∴，即．令，．又，∴，∴在上是増函数，则，从而知，故，即不成立．故不是的根．例2．设函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）令，其图象上任意一点处切线的斜率恒成立，求实数的取值范围．（3）当时，方程在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围．【思路引导】（1）先求导数然后在函数的定义域内解不等式和的区间为单调增区间， 的区间为单调减区间；（2）先构造函数再由以其图象上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，知导函数恒成立，再转化为求解；（3）先把握有唯一实数解，转化为有唯一实数解，再利用单调函数求解．【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究方程的根、不等式的恒成立和导数的几何意义，属于难题．利用导数研究函数的单调性的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③令，解不等式得的范围就是递增区间；令，解不等式得的范围就是递减区间．例3．已知函数（）（1）讨论的单调性；（2）若关于的不等式的解集中有且只有两个整数，求实数的取值范围．【思路引导】（1）求出，分两种情况讨论，分别令 得增区间，令得减区间；（2） ，令，利用导数研究其单调性，结合零点定理可得结果．试题解析：（1），当时，在上单调递减，在单调递增；当时，在上单调递增，在单调递减；（2）依题意， ，令，则，令，则，即在上单调递增．又，，存在唯一的，使得．当， 在单调递增；当， 在单调递减．，，，且当时，，又， ，．故要使不等式解集中有且只有两个整数，的取值范围应为． 【同步训练】1．已知函数（），且的导数为．（Ⅰ）若是定义域内的增函数，求实数的取值范围；（Ⅱ）若方程有3个不同的实数根，求实数的取值范围．【思路引导】（Ⅰ）只需，即恒成立，求出即可得结果；（Ⅱ）原方程等价于，研究函数的单调性，结合图象可得结果． 令，解得或．列表得：100增极大值减极小值增由表可知当时， 取得极大值；当时， 取得极小值．又当时，，，此时．因此当时，；当时，；当时， ，因此实数的取值范围是．2．已知函数的图象的一条切线为轴．（1）求实数的值；（2）令，若存在不相等的两个实数满足，求证： ．【思路引导】（1）对函数求导，由题可设切点坐标为，由原函数和切线的斜率为可得方程组，解方程组得值；（2）由题知，可构造去绝对值后的函数，利用导数与函数单调性的关系，判断的单调性，再构造函数，利用导数判断出的单调性，最后可令，利用单调性可得结论． 且在上单调递减，在上单调递增，，当时， ，记，记函数的导函数为，则 3．已知函数（），．（1）若的图象在处的切线恰好也是图象的切线．①求实数的值；②若方程在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围．（2）当时，求证：对于区间上的任意两个不相等的实数， ，都有成立．【思路引导】（1）①首先求函数的图象在处的切线， ， ，又因为切点为，所以切线方程为，于是问题转化为直线与函数图象相切，于是可以根据直线与抛物线相切进行解题；②问题转化为方程在区间内有唯一实数解，参变量分离得，设， ，研究的单调性、极值，转化为直线与有且只有一个交点，（2）当时， 在上单调递增， 在上单调递增，设，则， ，于是问题转化为，构造函数，通过函数在上单调递减，可以求出的取值范围．∵，∴， ，函数单调递增， ， ，函数单调递减，∵， ，且时， ，∴；证明：（2）不妨设，则， ，∴可化为∴设，即，∴在上单调递减，∴恒成立，即在上恒成立，∵，∴，从而，当时，命题成立．4．已知函数．（1）设，①记的导函数为，求；②若方程有两个不同实根，求实数的取值范围；（2）若在上存在一点使成立，求实数的取值范围．【思路引导】（1）①对进行求导，将代入可得的值；②对进行二次求导，判断的单调性得其符号，从而可得的单调性，结合图象的大致形状可得的取值范围；（2）将题意转化为，令，题意等价于在上的最小值小于0，对进行求导，对导函数进行分类讨论，判断单调性得其最值．（2）由题可得，∴，∴，令，则在上的最小值小于0，又，1，当时，即， 在上递减，所以，解得；2，当即， 在递增，∴解得；3，当，即，此时要求又，所以，所以此时不成立，综上或．点睛：本题考查导数的运用：求考查函数与方程的联系单调区间最值，同时考查不等式的存在性转化为求函数的最值问题，正确求导是解题的关键．在正确求导的基础上，利用导数与的关系得到函数的单调区间，也是在高考中的必考内容也是基础内容；注意存在性问题与恒成立问题的区别．5．已知函数．（1）试确定的取值范围，使得函数在上为单调函数；（2）若为自然数，则当取哪些值时，方程在上有三个不相等的实数根，并求出相应的实数的取值范围．【思路引导】（1）先求函数导数，根据导函数零点确定函数单调区间，再根据为某个单调区间的子集得的取值范围，（2）结合三次函数图像确定的取值范围：当,且时，方程在上有可能有三个不等实根，再根据端点值大小确定实数的满足的条件： ，最后解不等式可得实数的取值范围．只需满足即可．因为，且，因而，所以，即，综上所述，当,且时，满足题意，此时实数的取值范围是．6．已知函数，且直线是函数的一条切线．（1）求的值；（2）对任意的，都存在，使得，求的取值范围；（3）已知方程有两个根，若，求证: ．【思路引导】（1）对函数求导， ，设直线与函数相切与点，根据导数的几何意义可得， ，解得，求出；（2）对任意的 ，都存在，使得，只需要的值域是值域的子集，利用导数的方法分别求、的值域，即可求出的取值范围；（3）根据题意得,两式相减得， ，所以，令，则，则，令，对求导，判断的单调，证明． (2) 由（1）得，所以，当， 时， ，所以在上单调递减，所以当， 时， ， ，当时， ，所以在上单调递增，所以当时， ，依题意得 ，所以，解得．(3) 依题意得,两式相减得，所以，方程可转化为7．已知函数（为自然对数的底数，），，．（1）若，，求在上的最大值的表达式；（2）若时，方程在上恰有两个相异实根，求实根的取值范围；（3）若，，求使的图象恒在图象上方的最大正整数．【思路引导】 (1)先求函数导数，根据定义域以及 取值分类讨论导函数是否变号，确定函数单调性，进而确定函数最值，(2)作差函数，求导得原函数先减后增，因此要有两个相异实根，需极小值小于零，两个端点值大于零，解不等式可得的取值范围； (3)实际为一个不等式恒成立问题，先转化为对应函数最值问题（利用导数求差函数最小值），再研究最小值恒大于零问题，继续求导研究函数单调性，并结合零点存在定理限制或估计极点范围，最后范围确定最大正整数．试题解析：(1) 时，,；①当时，，在上为增函数，此时，②当时，，在上为增函数，故在上为增函数，此时③当时，，在上为增函数，在上为减函数，若，即时，故在上为增函数，在上为减函数，此时若，即时，在上为增函数，则此时，综上所述：       （2），，∴在上单调递减，在上单调递增，∴在上恰有两个相异实根， ，实数的取值范围是， 8．设函数．（1）求函数的单调区间；（2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数的值；（3）若方程，有两个不相等的实数根，比较与0的大小．【思路引导】 (1)先求函数导数,再求导函数零点 ,根据定义域舍去,对进行讨论, 时，，单调增区间为．时,有增有减;(2) 函数有两个零点，所以函数必不单调,且最小值小于零 ,转化研究最小值为负的条件:,由于此函数单调递增,所以只需利用零点存在定理探求即可,即取两个相邻整数点代入研究即可得的取值范围,进而确定整数值,（3）根据，所以只需判定大小,由可解得,代入分析只需比较大小, 设,构造函数,利用导数可得最值,即可判定大小． (3)证明：因为是方程的两个不等实根，由(1)知．不妨设，则，．两式相减得，即．所以．因为，点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数．根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式．（2）根据条件，寻找目标函数．一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数．