宁夏中卫市2021届高三下学期第二次优秀生联考（5月）数学（文）试题+答案

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二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13.8 14.5 15. 16.8
17.解：（1）设等差数列的公差为，
由题设可得：
即 分
所以， 分
∴ 分
由（1）得分
∴ 分
∴ 分
18.解：（1）由题中表格数据可得列联表如下：
分
将列表中的数据代入公式计算得：
的观测值，分
所以在犯错误率不超过0.05的前提下，不能认为是否“喜欢使用支付宝”与年龄有关．分
（2）设事件为“选出的这2人中至少有1名40岁以上用户”，
则事件为“选出的这2人中都是40岁及以下用户”，
由题意，所抽取的5名“支付宝达人”中，40岁及以下的人数为3人，别设为，，，
40岁以上的人数为2人，分别设为，，分
则从5人中选出2人的所有可能结果为：，，，，，，，，，，共10种，
其中，选出的这2人中都是40岁及以下用户的结果为，，，共3种，分
所以,所以．分
19、解：（1）在面中，因为为中点，
设，可得，
又由，所以，所以，分
因为平面，且平面，所以，分
又由，且平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面分
（2）如图所示，过作于点，则，分
因为，所以分
又因为，且，所以平面，
即平面，分
所以，解得，
由，所以为的中点，所以分
20、【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）∵椭圆的离心率为，右焦点到直线的距离为1，
，且，解得，，
椭圆的标准方程为．
（2）设，，由题意知OP的斜率存在，
当OP的斜率为0时，，，
；
当OP的斜率不为0时，设直线OP的方程为，
由，得，解得，
，，
，直线OQ的方程为，
由，得，
，
，
综上所述，．
21、【解答】解：，，
当时，易得时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
当时，易得时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
由代入可得，，，
令，，
则，
令，，则，
即在上单调递增，且，（1），
故存在使得，
从而有在单调递增，在，上单调递减，
故，
故．
法二：令，则，
易得，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
故当时，取得最小值，即，时取等号，
故，当时取等号，
所以当时，恒成立．
综上．
22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的直角坐标方程和曲线的参数方程；
（2）设曲线与曲线在第二象限的交点为，曲线与轴的交点为，点，求的周长的最大值．
【解答】解：（1）曲线的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为：．
曲线的极坐标方程为．转换为直角坐标方程为，整理得，
转换为参数方程为为参数）．
（2）曲线与曲线在第二象限的交点为，，
所以当时，的周长的最大值为．
23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知，，，且．
（1）求的取值范围；
（2）求证：．
解：（1），，且，
，，
，
，
的取值范围为．
（2），，，
，
，
当且仅当时等号成立，
又，．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
C
B
B
C
A
D
C
C
B
A
D
不喜欢使用支付宝
喜欢使用支付宝
合计
40岁及以下人数
10
45
55
40岁以上人数
15
30
45
合计
25
75
100