2021中卫高三下学期第二次优秀生联考（5月）数学（理）试题含答案

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2021年中卫市高考第二次优秀生联考

理科数学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅱ卷第22、23题为选考题，其他题为必考题。考生做答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上。

2、选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的，请将正确的答案涂到答题卡上）

1.已知全集，集合与关系的Venn图如图所示，

   则阴影部分表示集合的元素共有（    ）

A.1个        B.2个        C.3个        D.4个

2.设复数（是虚数单位），则（    ）

A．              B．            C．            D．  

3.从4位男生，2位女生中选3人组队参加学习强国答题比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法种数共有（    ）

A.8                B. 12               C. 16              D. 20

4.已知实数，满足，则的最大值为（    ）

A.             B.                 C.               D.

5.已知，则（    ）

A．             B．               C．            D．  

6.已知函数的图象关于直线对称，在时，单调递增．若，，（其中为自然对数的底数，为圆周率），

则的大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.  

7.已知直线与圆相交于不同的两点、，为坐标原点，且，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

8.设直三棱柱的所有顶点都在一个球面上，且球的体积是，

，°，则此直三棱柱的高是（    ）

A．  B．             C．    D.

9.设抛物线（）的焦点为，过点作倾斜角为的直线交抛物线

于点，（点位于轴上方），是坐标原点，记△和△的面积分

别为，，则 （    ）

   A.               B.                 C.              D.

10.《九章算术》卷五《商功》中，把正四棱台形状的建筑物称为“方亭”.沿“方亭”上底面的一组对边作垂直于底面的两截面，去掉截面之间的几何体，将“方亭”的两个边角块合在一起组成的几何体称为“刍甍”.现记截面之间几何体体积为，“刍甍”的体积为，若，台体的体积公式为，其中分别为台体的上、下底面的面积.则“方亭”的上、下底面边长之比为

   A.           B.         C.        D.

11.已知，且，的夹角为，若向量，则的取值范围是

A.         B.       C.        D.     

12.已知函数，则下列结论不正确的是（    ）

A. 函数在上单调递减

B. 函数在上有极小值

C. 方程在上只有一个实根

D. 方程在上有两个实根

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知函数，则曲线在处的切线方程为        .

14.某市倡导高中学生暑假期间参加社会公益活动.据调查统计，全市高中学生参加该活动的累计时长(小时)近似服从正态分布，人均活动时间约40小时.若某高中学校1000学生中参加该活动时间在30至50小时之间的同学约有300人.据此，可推测全市名学生中，累计时长超过50小时的人数大约为        .

15.已知，分别为双曲线（，）的左、右焦点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为. 连接，设直线，的斜率分别为，，若，则双曲线的离心率为        .

16.钝角的面积是，，，角的平分线交于点，则        .

三、解答题：（本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本题满分12分）

数列的前项和为，，对任意的有，.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设数列，，，求数列的通项公式.

18．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，⊥平面，∥，，，.

（Ⅰ）求证：⊥；

（Ⅱ）设为棱上一点，且∥平面，求二面角的大小.

19. （本小题满分12分）

某中学组织学生前往电子科技产业园，学习加工制造电子产品.该电子产品由，两个系统组成，其中系统由3个电子元件组成，系统由5个电子元件组成. 各个电子元件能够正常工作的概率均为()，且每个电子元件能否正常工作相互独立.每个系统中有超过一半的电子元件正常工作，则该系统可以正常工作，否则就需要维修.

（Ⅰ）当时，每个系统维修费用均为200元.设为该电子产品需要维修的总费用，求的分布列与数学期望；

（Ⅱ）当该电子产品出现故障时，需要对该电子产品，两个系统进行检测.从，两个系统能够正常工作概率的大小判断，应该优先检测哪个系统？

20．（本题满分12分）

已知函数.

（Ⅰ）若，求实数的值；

（Ⅱ）求证：().

21．（本小题满分12分）

已知点是圆上一动点，点，线段的垂直平分线交线段于点.

（Ⅰ）求动点的轨迹方程；

（Ⅱ）定义:两个离心率相等的圆锥曲线为“相似”曲线.若关于坐标轴对称的曲线与曲线相似，且焦点在同一条直线上，曲线经过点，.过曲线上任一点作曲线的切线，切点分别为，这两条切线分别与曲线交于点(异于点)，证明：是一个定值，并求出这个定值.

选考题：（请考生在第22、23两道题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑）

22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．

（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程和曲线的参数方程；

（Ⅱ）设曲线与曲线在第二象限的交点为，曲线与轴的交点为，点，求的周长的最大值．

23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知，，，且．

（Ⅰ）求的取值范围；

（Ⅱ）求证：．

答案：

1.已知全集，集合与关系的Venn图如图所示，则阴影部分表示集合的元素共有（    ）

A.1个        B.2个        C.3个        D.4个

【解析】C

2.设复数（是虚数单位），则（    ）

A．              B．            C．            D． 

【解析】，.故选B.

3.从4位男生，2位女生中选3人组队参加学习强国答题比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法种数共有（    ）

A.8                B. 12               C. 16              D. 20

【解析】可分两种情况：第一种情况，只有1位女生入选，不同的选法有（种）；第二种情况，有2位女生入选，不同的选法有（种）．根据分类加法计数原理知，至少有l位女生人选的不同的选法有16种．故选 C.

4.已知实数，满足，则的最大值为（    ）

A.             B.                 C.               D.

【解析】画出线性约束区域，所以当直线经过点时，目标函数有最大值， 最大值为3.故选D.

5.已知，则（    ）

A．             B．               C．            D．  

【解析】由，得.

因为，所以，即，所以，故选A.

6. 已知函数的图象关于直线对称，在时，单调递增．若，，（其中为自然对数的底数，为圆周率），则的大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由函数的图象关于直线对称，可得的图象关于轴对称，结合单调性进行比较可得选项.

【详解】因为函数的图象关于直线对称，所以的图象关于轴对称，

因为时，单调递增，所以时，单调递减；

因为，

所以.

故选：A.

7.已知直线与圆相交于不同的两点、，为坐标原点，且，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】、为直线与圆的交点,设，联立可得：，

即，

，解得：.

则，

则,

解得：或.

综上：

故选：B.

8.设直三棱柱的所有顶点都在一个球面上，且球的体积是，

，°，则此直三棱柱的高是（    ）

A．  B．             C．    D.

解析：设 因为°，所以

    于是是外接圆的半径），

又球心到平面的距离等于侧棱长的一半，所以球的半径为 所以球的表面积为解得

于是直三棱柱的高是故选D.

9.设抛物线（）的焦点为，过点作倾斜角为的直线交抛物线于点，（点位于轴上方），是坐标原点，记△和△的面积分别为，，则 （    ）

   A.               B.                 C.              D.

【解析】由题意可知，直线的方程为，代入，整理得.设点、的坐标分别为，，因为点位于轴上方，所以，，所以，故选C.

10.《九章算术》卷五《商功》中，把正四棱台形状的建筑物称为“方亭”.沿“方亭”上底面的一组对边作垂直于底面的两截面，去掉截面之间的几何体，将“方亭”的两个边角块合在一起组成的几何体称为“刍甍”.现记截面之间几何体体积为，“刍甍”的体积为，若，台体的体积公式为，其中分别为台体的上、下底面的面积.则“方亭”的上、下底面边长之比为（    ）

1.                   B.         C.        D.

【解析】设“方亭”的上底面边长为,下底面边长为,高为h，则，

∴．故选A．

11.已知，且，的夹角为，若向量，则的取值范围是（    ）

A.         B.       C.        D.

【解析】解法1：取，则点在以为圆心，半径为1的圆面上（包括边界），设向量的夹角为，由图可知，取值范围为；，由于为向量在向量上的投影，且.故的取值范围是.选D.

解法2：不妨设，，. 因为，所以，设，，，，

所以，

由于，故. 故选D.

12. 已知函数，则下列结论不正确的是（    ）

A. 函数在上单调递减

B. 函数在上有极小值

C. 方程在上只有一个实根

D. 方程在上有两个实根

【答案】C

【详解】由题意，函数，可得，

当，即，所以，

所以，解得，

当时，；当时，，

当，即，所以，

所以，解得，

当时，；当时，，

所以当时，单调递减，所以A正确；

又因为当时，，当时，，

所以在出取得极小值，所以B正确；

因为，所以在上不只有一个实数根，所以C不正确；

因为方程，即，

即，所以，

正切函数在为单调递增函数，

又由函数，可得，

当和时，，当时，，

且当时，，作出两函数的大致图象，如图所示，

由图象可得，当，函数与图象有两个交点，

所以D正确.

13. 已知函数，则曲线在处的切线方程为        .

【解析】因为，，，所以切线方程为.

14. 某市倡导高中学生暑假期间参加社会公益活动.据调查统计，全市高中学生参加该活动的累计时长(小时)近似服从正态分布，人均活动时间约40小时.若某高中学校1000学生中参加该活动时间在30至50小时之间的同学约有300人.据此，可推测全市名学生中，累计时长超过50小时的人数大约为        .

【解析】由题意，，则，由，可得，故累计时长超过50小时的人数大约有人.

15. 已知，分别为双曲线（，）的左、右焦点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为. 连接，设直线，的斜率分别为，，若，则双曲线的离心率为        .

【解析】已知焦点，的坐标分别为，，其中.根据对称性，不妨设点在渐近线上，则直线的方程为，与联立，得，所以，由，

得，化简得，故.

16.钝角的面积是，，，角的平分线交于点，则        .

【解析】由，得，若角为锐角，则，此时，即，由于，则为锐角三角形，不符合题意.故为钝角，此时，，故.在中，由正弦定理得，同理，在中，，而在中，，由于，故，由于,故，所以，所以.

17.数列的前项和为，，对任意的有，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列，，，求数列的通项公式.

【解析】（1），

-得到，

所以

因为所以

所以数列为等差数列，又因为所以

（2）因为

所以

所以



所以④.

所以④-得到

=

18.

如图，在四棱锥中，⊥平面，∥，，，.

(1)求证：⊥；

(2)设为棱上一点，且∥平面，求二面角的大小.

(1)证明：∵∥，⊥平面，∴⊥平面.

又∵平面，∴⊥.

在中，由，得，.

又∵，⊥，∴.

在中，，解得.

    ∴，即.

而，∴⊥平面.

又∵平面，∴⊥.…………………………5分

(2)解：连接交于点，连接.

∵∥平面，平面平面，

∴∥，∴.

在直角梯形中，，∴，∴.

如图，以为坐标原点，，所在的直线分别为轴，轴建立空间直角坐标系，则

(0，0，0)，(0，0，6)，(4，0，2).

又∵()，∴，∴，

∴，.

令平面的一个法向量为，由得

取，得.

同理，平面的一个法向量为，

∴，即二面角的大小为 ………………………12分

19.

某中学组织学生前往电子科技产业园，学习加工制造电子产品.该电子产品由，两个系统组成，其中系统由3个电子元件组成，系统由5个电子元件组成. 各个电子元件能够正常工作的概率均为()，且每个电子元件能否正常工作相互独立.每个系统中有超过一半的电子元件正常工作，则该系统可以正常工作，否则就需要维修.

(1)当时，每个系统维修费用均为200元.设为该电子产品需要维修的总费用，求的分布列与数学期望；

(2)当该电子产品出现故障时，需要对该电子产品，两个系统进行检测.从，两个系统能够正常工作概率的大小判断，应该优先检测哪个系统？

解：(1)系统需要维修的概率为，

系统需要维修的概率为，

设为该电子产品需要维修的系统个数，则，.

，

    ∴的分布列为

∴.                      …………………………6分

(2)系统3个元件至少有2个正常工作的概率为，系统5个元件至少有3个正常工作的概率为，则

.

    ∵.令，解得.

所以，当时，系统比系统正常工作的概率大，当该产品出现故障时，优先检测系统；

当时，系统比系统正常工作的概率大，当该产品出现故障时，优先检测系统；

当时，系统与系统正常工作的概率相等，当该产品出现故障时，，系统检测不分次序.

……………………………12分   

20.已知函数.

(1)若，求实数的值；

(2)求证：().

解：(1)，则.

①当时，，在上单调递增.

∵，∴当时，，不符合题意，舍去；

②当时，，由得，；由得，.

∴在上单调递增，在上单调递减.

∵，∴当时，，不符合题意，舍去；

③当时，，由得，；由得，.

∴在上单调递增，在上单调递减.

又∵，∴成立.

④当时，，由得，；由得，.

∴在上单调递增，在上单调递减.

∵，∴当时，，不符合题意，舍去；

综上得，.                                      …………………………6分

(2)由(1)知，当时，在上成立，即.

令()，则，

∴

   ，

即，

∴().…………………………12分

21.已知点是圆上一动点，点，线段的垂直平分线交线段于点.

(1)求动点的轨迹方程；

(2)定义:两个离心率相等的圆锥曲线为“相似”曲线.若关于坐标轴对称的曲线与曲线相似，且焦点在同一条直线上，曲线经过点，.过曲线上任一点作曲线的切线，切点分别为，这两条切线分别与曲线交于点(异于点)，证明：是一个定值，并求出这个定值.

解：(1)由题意知，且，

根据椭圆的定义知，交点的轨迹是以点为焦点的椭圆，且，，

∴，

∴曲线的方程为.     …………………………4分

(2)∵曲线与曲线相似，且它们的焦点在同一条直线上，曲线经过点，，

∴可设曲线的方程为().

将点的坐标代入上式得，，

∴曲线的方程为.

设()，()，().

①当切线的斜率不存在时，切线的方程为，代入得，此时，()与曲线相切，为的中点，为的中点，所以是一个定值；

同理可求，当切线的斜率不存在时，也是一个定值.

②当切线和的斜率都存在时，设切线的方程为，分别代入和，化简得①，②.

由题意知，方程①有两个相等的实数根；方程②有两个不相等的实数根，

∴，∴，

∴,

此时，为的中点.

同理可证，为的中点，是一个定值.

综上可知，是一个定值.…………………………12分

22.选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．

（1）求曲线的直角坐标方程和曲线的参数方程；

（2）设曲线与曲线在第二象限的交点为，曲线与轴的交点为，点，求的周长的最大值．

【解答】解：（1）曲线的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为：．

曲线的极坐标方程为．转换为直角坐标方程为，整理得，

转换为参数方程为为参数）．

（2）曲线与曲线在第二象限的交点为，，

所以当时，的周长的最大值为．

23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知，，，且．

（1）求的取值范围；

（2）求证：．

解：（1），，且，

，，

，

，

的取值范围为．

（2），，，

，

，

当且仅当时等号成立，

又，．