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2021年广东省深圳市中考数学一模试题（word版 含答案）
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这是一份2021年广东省深圳市中考数学一模试题（word版 含答案），共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年广东省深圳市中考数学一模试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．方程的根是（ ）
A． B． C． D．
2．一组数据﹣2、1、1、0、2、1．这组数据的众数和中位数分别是( )
A．﹣2、0 B．1、0 C．1、1 D．2、1
3．人体中成熟的红细胞的平均直径为0.000 007 7 m，用科学记数法表示为( )
A．7.7×10－5 m B．77×10－6 m
C．77×10－5 m D．7.7×10－6 m
4．使二次根式有意义的x的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，平行四边形的周长为20，对角线、交于点O，E为的中点，，则的周长为（ ）
A．5 B．8 C．10 D．12
6．一次函数y＝ax+b和反比例函数y＝在同一个平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
7．过直线l外一点P作直线l的平行线，下列尺规作图中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，点A，B，C，D四点均在圆O上，∠AOD=68°，AO//DC，则∠B的度数为（ ）
A．40° B．60° C．56° D．68°
9．如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C坐标（ ）
A．（﹣1，﹣1） B．（﹣，﹣1） C．（﹣1，﹣） D．（﹣2，﹣1）
10．如图，正方形的边长为a，点E在边上运动（不与点A，B重合），，点F在射线上，且，与相交于点G，连接、、、则下列结论：
①；②的周长为；③；④的面积的最大值是；⑤当时，G是线段的中点．其中正确结论的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
11．分解因式：__________．
12．一个不透明的口袋中，装有红球6个，白球9个，黑球3个，这些球除颜色不同外没有任何区别，现从中任意摸出一个球，恰好是黑球的概率为_____．
13．观察下列一组数：，，，，，…，它们是按一定规律排列的，那么第7个数是_____．
14．点P，Q，R在反比例函数（常数，）图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴、y轴的平行线，图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为，，．若，，则的值为____．
15．如图，矩形ABCD中，E是AB上一点，连接DE，将△ADE沿DE翻折，恰好使点A落在BC边的中点F处，在DF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作半圆与CD相切于点G．若AD＝4，则图中阴影部分的面积为____．
三、解答题
16．计算：
17．化简求值：，其中．
18．某市教育局非常重视学生的身体健康状况为此在体育考试中对部分学生的立定跳远成绩进行了调查（分数为整数，满分100分），根据测试成绩（最低分为53分）分别绘制了如下统计图（如图）
分数
59.5分以下
59.5分以上
69.5分以上
79.5分以上
89.5分以上
人数
3
42
32
20
8
（1）被抽查的学生为__________人；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若全市参加考试的学生大约有9000人，请估计成绩优秀的学生约有多少人（80分及以上为优秀）？
（4）若此次表中测试成绩的中位数为78分，请写出78.5～89.5之间的人数最多有多少人？
19．如图所示，甲、乙两船同时由港口A出发开往海岛B，甲船沿某一方向直航140海里的海岛B，其速度为14海里/小时；乙船速度为20海里/小时，先沿正东方向航行3小时后，到达C港口接旅客，停留1小时后再转向北偏东30°方向开往B岛，其速度仍为20海里/小时．
（1）求海岛B到航线AC的距离；
（2）甲船在航行至P处，发现乙船在其正东方向的Q处，问此时两船相距多少？
20．阅读理解：我们给出如下定义：若一个四边形中存在一组相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称：______，_______．
（2）如图1，已知格点（小正方形的顶点），，，请你画出以格点为顶点，，为勾股边且对角线相等的两个勾股四边形．
（3）如图2，将绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到，连接，，，写出线段，，的数量关系为_______，并证明．
21．如图所示，是⊙O的直径，点E为线段上一点（不与O，B重合），作，交⊙O于点C，垂足为点E，作直径，过点C的切线交的延长线于点P，作于点F，连接．
（1）求证：平分．
（2）求证：．
（3）当且时，求劣弧长度（结果保留π）
22．如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，且OB＝OC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P是线段BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求此时点P的坐标；
（3）如图2，若第四象限有一动点E，满足AE＝OA，过E作EF⊥x轴于点F，设F坐标为（t，0），0＜t＜3，△AEF的内心为I，连接CI，直接写出CI的最小值．
参考答案
1．D
【分析】
根据一元二次方程的解法求解即可；
【详解】
，
或，
解得或；
故答案选D．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的求解，准确计算是解题的关键．
2．C
【分析】
根据的中位数和众数的概念进行分析即可．
【详解】
这组数据1出现的次数最多，所以这组数据的众数为1，
从小到大排列：﹣2，0，1，1，1，2，处在最中间的两个数的平均数为1，所以这组数据的中位数是1，
故选C．
【点睛】
本题考查了众数和中位数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
3．D
【分析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】
0.000 007 7m=7.7×10-6m，
故选：D．
【点睛】
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．B
【分析】
根据二次根式有意义的条件，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．
【详解】
根据题意得：x-2≥0，
解得：x≥2．
故选B．
【点睛】
考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
5．B
【分析】
根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得，OB＝OD，又因为E点是CD的中点，可得OE是△BCD的中位线，可得OE＝BC，所以易求△DOE的周长．
【详解】
解：∵▱ABCD的周长为20cm，
∴2（BC＋CD）＝20，则BC＋CD＝10．
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，BD＝6，
∴OD＝OB＝BD＝3．
又∵点E是CD的中点，
∴OE是△BCD的中位线，DE＝CD，
∴OE＝BC，
∴△DOE的周长＝OD＋OE＋DE＝BD＋（BC＋CD）＝5＋3＝8，
即△DOE的周长为8．
故选B．
【点睛】
本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质．解题时，利用了“平行四边形对角线互相平分”、“平行四边形的对边相等”的性质．
6．A
【分析】
根据反比例函数图象和一次函数图象经过的象限，即可得出a＜0、b＞0、c＜0，由此即可得出：二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴x0，与y轴的交点在y轴负半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．
【详解】
解：观察函数图象可知：a＜0，b＞0，c＜0，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴x0，与y轴的交点在y轴负半轴．
故选：A．
【点睛】
本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象，根据反比例函数图象和一次函数图象经过的象限，找出a＜0、b＞0、c＜0是解题的关键．
7．D
【分析】
根据平行线的判定方法一一判断即可．
【详解】
A、由作图可知，内错角相等两直线平行，本选项不符合题意．
B、由作图可知，同位角相等两直线平行，本选项不符合题意．
C、与作图可知，垂直于同一条直线的两条直线平行，本选项不符合题意，
D、无法判断两直线平行，
故选：D．
【点睛】
本题考查作图-复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．
8．C
【分析】
连接AD，先根据等腰三角形的性质求出∠ODA，再根据平行线的性质求出∠ODC，最后根据圆内接四边形的性质计算即可．
【详解】
解：连接AD，
∵∠AOD=68°，OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD=56°，
∵AO∥DC，
∴∠ODC=∠AOD=68°，
∴∠ADC=124°，
∵点A、B、C、D四个点都在⊙O上，
∴∠B=180°-∠ADC=56°，
故选C．
【点睛】
本题考查的是圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
9．B
【分析】
根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标的关系，把A点的横纵坐标都乘以即可．
【详解】
解：∵以点O为位似中心，位似比为，
而A （4，3），
∴A点的对应点C的坐标为（，﹣1）．
故选：B．
【点睛】
本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
10．B
【分析】
①正确．如图1中，在BC上截取BH＝BE，连接EH．证明△FAE≌△EHC（SAS）即可解决问题．
②③错误．如图2中，延长AD到H，使得DH＝BE，则△CBE≌△CDH（SAS），再证明△GCE≌△GCH（SAS）即可解决问题．
④正确．设BE＝x，则AE＝a−x，AF＝x，构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题．
⑤正确．当时，设DG＝x，则EG＝x＋，利用勾股定理构建方程可得x＝0.5a即可解决问题．
【详解】
解：如图1中，在BC上截取BH＝BE，连接EH．
∵BE＝BH，∠EBH＝90°，
∴EH＝BE，
∵AF＝BE，
∴AF＝EH，
∵∠DAM＝∠EHB＝45°，∠BAD＝90°，
∴∠FAE＝∠EHC＝135°，
∵BA＝BC，BE＝BH，
∴AE＝HC，
∴△FAE≌△EHC（SAS），
∴EF＝EC，∠AEF＝∠ECB，
∵∠ECH＋∠CEB＝90°，
∴∠AEF＋∠CEB＝90°，
∴∠FEC＝90°，
∴∠ECF＝∠EFC＝45°，故①正确，
如图2中，延长AD到H，使得DH＝BE，则△CBE≌△CDH（SAS），
∴∠ECB＝∠DCH，
∴∠ECH＝∠BCD＝90°，
∴∠ECG＝∠GCH＝45°，
∵CG＝CG，CE＝CH，
∴△GCE≌△GCH（SAS），
∴EG＝GH，
∵GH＝DG＋DH，DH＝BE，
∴EG＝BE＋DG，故③错误，
∴△AEG的周长＝AE＋EG＋AG＝AE＋AH＝AD＋DH＋AE＝AE＋EB＋AD＝AB＋AD＝2a，故②错误，
设BE＝x，则AE＝a−x，AF＝x，
∴S△AEF＝•（a−x）∙x＝−x2＋ax＝−（x2−ax＋a2−a2）＝−（x−a）2＋a2，
∵−＜0，
∴x＝a时，△AEF的面积的最大值为a2．故④正确，
当BE＝a时，设DG＝x，则EG＝x＋a，
在Rt△AEG中，则有（x＋a）2＝（a−x）2＋（a）2，
解得：x＝，
∴AG＝GD，故⑤正确，
∴①④⑤正确，正确结论的个数是3个，
故选B．
【点睛】
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
11．；
【详解】
=a(a2-4a+4)=a(a-2)2.
故答案是：a(a-2)2.
12．
【详解】
解：P(摸到红球)=
故答案为：
13．．
【分析】
观察数据可知，分子是从1开始连续的奇数，分母是从1开始连续自然数的平方多1，则第n个数是 代入数值即可的答案.
【详解】
观察数据可知，分子是从1开始连续的奇数，分母是从1开始连续自然数的平方多1，则第n个数是 ，
第7个数是．
故答案为．
【点睛】
解题的关键是仔细分析所给式子的特征得到规律，再把这个规律应用于解题.
14．5
【分析】
设CD＝DE＝OE＝a，则P（，3a），Q（，2a），R（，a），推出CP＝，DQ＝，ER＝，推出OG＝AG，OF＝2FG，OF＝GA，推出S1＝S3＝2S2，根据S1＋S3＝25，求出 S2即可．
【详解】
解：∵CD＝DE＝OE，
∴假设CD＝DE＝OE＝a，
则P（，3a），Q（，2a），R（，a），
∴CP＝，DQ＝，ER＝，
∴OG＝AG，OF＝2FG，OF＝GA，
∴S1＝S3＝2S2，
∵S1＋S3＝25，
∴S3＝15，S1＝10，S2＝5，
故答案是：5．
【点睛】
本题考查反比例函数系数k的几何意义，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数表示点的坐标，属于中考常考题型．
15．
【分析】
连接OG，可得∠FDC＝30°，证明△DOG∽△DFC，得出，设OG＝OF＝x，则，求出圆的半径为，证明△OFQ和△OGQ为等边三角形，则可由扇形的面积公式和三角形的面积公式求出答案．
【详解】
解：连接OG，
∵将△ADE沿DE翻折，恰好使点A落在BC边的中点F处，
∴AD＝DF＝4，BF＝CF＝2，
∵矩形ABCD中，∠DCF＝90°，
∴sin∠FDC=，
∴∠FDC＝30°，
∴∠DFC＝60°，
∵⊙O与CD相切于点G，
∴OG⊥CD，
∵BC⊥CD，
∴OG∥BC，
∴△DOG∽△DFC，
∴，
设OG＝OF＝x，则，
解得：x，即⊙O的半径是．
连接OQ，作OH⊥FQ，连结QG，
∵∠DFC＝60°，OF＝OQ，
∴△OFQ为等边三角形；
∵CD为切线，∠DGO=90°，∠ODG=30°，
∴∠DOG=180°-∠DGO-∠ODG=180°-90°-30°=60°，
∴∠GOQ=180°-∠DOG-∠FOQ=180°-60°-60°=60°，OQ=OG，
∴△OGQ为等边三角形；
∴∠GOQ＝∠FOQ＝60°，OHOQ，S扇形OGQ＝S扇形OQF，
∴S阴影＝（S矩形OGCH﹣S扇形OGQ﹣S△OQH）＋（S扇形OQF﹣S△OFQ），
＝S矩形OGCHS△OFQ（）．
故答案为：．
【点睛】
本题考查三角形折叠性质，矩形性质，锐角三角函数，相似三角形判定与性质，等边三角形判定与性质，扇形面积，三角形面积，掌握三角形折叠性质，矩形性质，锐角三角函数，相似三角形判定与性质，等边三角形判定与性质，扇形面积，三角形面积是解题关键．
16．3
【分析】
先算负整数指数幂和零指数幂，锐角三家函数以及二次根式，进而即可求解．
【详解】
解：原式=
=．
【点睛】
本题主要考查实数的混合运算，熟练掌握负整数指数幂和零指数幂，锐角三家函数以及二次根式的性质，是解题的关键．
17．，1
【分析】
先利用分式的通分和约分，进行化简，再代入求值，即可．
【详解】
解：原式=
=
=，
当时，原式===1．
【点睛】
本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的通分和约分，是解题的关键．
18．（1）45；（2）见详解；（3）4000；（4）14
【分析】
（1）根据图中所列的表，参加测试的总人数为59.5分以上和59.5分以下的和；
（2）根据直方图，再根据总人数，即可求出在76.5−84.5分这一小组内的人数；
（3）根据成绩优秀的学生所占的百分比，再乘以9000即可得出成绩优秀的学生数；
（4）根据中位数的定义得出78分以上的人数，再根据图表得出89.5分以上的人数，两者相减即可得出答案．
【详解】
解：（1）∵59.5分以上的有42人，59.5分以下的3人，
∴这次参加测试的总人数为3＋42＝45（人），
故答案是：45；
（2）∵总人数是45人，
∴在76.5−84.5这一小组内的人数为：45−3−7−10−8−5＝12人，
补图如下：
（3）根据题意得：
×9000＝4000（人），
答：成绩优秀的学生约有4000人；
（4）∵共有45人，中位数是第23个人的成绩，中位数为78分，
∴78分以上的人数是22人，
∵89.5分以上的有8人，
∴78.5～89.5分之间的人数最多有22−8＝14（人）．
【点睛】
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
19．（1）海岛B到航线AC的距离为50海里；（2）两船相距12海里．
【分析】
（1）过点B作BD⊥AE于D，在Rt△BCD中，∠BCD＝60°，设CD＝x，可得BD＝x，在Rt△BDA中，根据勾股定理可得方程1402＝（60+x）2+（x）2，解方程求得x的值，即可求得BD的长；（2）设运动时间为t，则AP＝14t，CQ＝20（t﹣4），BC＝100，由题意可知PQ∥AC，由平行线分线段成比例定理可得，代入数值求得t值，即可求得AP、PB的长；再由△BPQ∽△BAC，根据相似三角形的性质可得，代入数据即可求得PQ的长．
【详解】
（1）过点B作BD⊥AE于D，
由题意可知AC=60，AB=140，
在Rt△BCD中，∠BCD＝60°，
设CD＝x，则BD＝x，
∵在Rt△BDA中，∠BDA＝90°
∴AD2+BD2＝AB2，得1402＝（60+x）2+（x）2
x2+30x﹣4000＝0，
∴x＝50或﹣80（舍弃），
∴BD＝50．
∴海岛B到航线AC的距离为50海里；
（2）设运动时间为t，则AP＝14t，CQ＝20（t﹣4），BC＝100，
若点Q在点P的正东方向，则PQ∥AC，
∴＝，即：＝，得t＝8，
∴AP＝112，PB=140-112=28.
由∵△BPQ∽△BAC，
∴＝，即：＝，
得PQ＝12．
∴两船相距12海里.
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用—方位角问题，正确作出辅助线，构造直角三角形是解决问题的关键.
20．（1）矩形，正方形；（2）见详解；（3）DC2＋BC2＝AC2，理由见详解
【分析】
（1）利用含有直角的四边形找出特殊四边形中是勾股四边形的两种图形即可；
（2）根据题意画出图形即可；
（3）首先证明△ABC≌△DBE，得出AC＝DE，BC＝BE，连接CE，进一步得出△BCE为等边三角形；利用等边三角形的性质，进一步得出△DCE是直角三角形，问题得解．
【详解】
解：（1）学过的特殊四边形中是勾股四边形的有矩形，正方形；
故答案为：矩形，正方形；
（2）如图，
（3）线段DC，AC，BC的数量关系为：DC2＋BC2＝AC2．
证明：如图2，连接CE，
由旋转得：△ABC≌△DBE，
∴AC＝DE，BC＝BE，
又∵∠CBE＝60°，
∴△CBE为等边三角形，
∴BC＝CE，∠BCE＝60°，
∵∠DCB＝30°，
∴∠DCE＝∠DCB＋∠BCE＝30°＋60°＝90°，
∴DC2＋EC2＝DE2，
∴DC2＋BC2＝AC2．
故答案为：DC2＋BC2＝AC2．
【点睛】
本题考查四边形综合题、勾股定理、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题．
21．（1）见详解；（2）见详解；（3）
【分析】
（1）先证明AF∥OC，结合OA＝OC，可得∠FAC＝∠CAB，进而即可得到结论；
（2）只要证明△CBE∽△CPB，可得，进而即可解决问题；
（3）作BM⊥PF于M，则CE＝CM＝CF，设CE＝CM＝CF＝3a，PC＝4a，PM＝a，利用相似三角形的性质求出BM，求出tan∠BCM的值，从而得到∠BCM＝30°，进而即可解决问题．
【详解】
（1）证明：∵PF是切线，
∴OC⊥PF，
∵AF⊥PF，
∴AF∥OC．
∴∠FAC＝∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠ACO，
∴∠FAC＝∠CAB，即AC平分∠FAB；
（2）证明：∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵PF是⊙O的切线，CE⊥AB，
∴∠OCP＝∠CEB＝90°，
∴∠PCB＋∠OCB＝90°，∠BCE＋∠OBC＝90°，
∴∠BCE＝∠BCP，
∵CD是直径，
∴∠CBD＝∠CBP＝90°，
∴△CBE∽△CPB，
∴，
∴BC2＝CE•CP；
（3）解：作BM⊥PF于M．则CE＝CM＝CF，设CE＝CM＝CF＝3a，PC＝4a，PM＝a，
∵∠MCB＋∠P＝90°，∠P＋∠PBM＝90°，
∴∠MCB＝∠PBM，
∵PF是⊙O的切线，CD是直径，BM⊥PC，
∴∠CMB＝∠BMP＝90°，
∴△BMC∽△PMB，
∴，
∴BM2＝CM•PM＝3a2，
∴BM＝，
∴tan∠BCM＝＝，
∴∠BCM＝30°，
∴∠OCB＝∠OBC＝∠BOC＝60°，
∵，
∴=．
【点睛】
本题考查切线的性质、角平分线的判定、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、弧长公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
22．（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）P（3﹣，﹣）；（3）CI的最小值为．
【分析】
（1）在抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）中，令y＝0，得出点A、B坐标，再根据OB＝OC，建立方程求a的值即可求出函数的关系式；
（2）先求出直线BC解析式，设M点坐标为（m，m2−2m−3），P（m，m−3），由题意：△PCM沿CM对折，点P的对应点N恰好落在y轴上，可得到关于m的一元二次方程，求出m即可得到答案；
（3）连接AI，OI，EI，作△OAI的外接圆⊙M，连接OM，AM，MI，CM，过M作MH⊥y轴于H，根据三角形内心可证明△AIO≌△AIE，再结合三角形外接圆及等腰直角三角形性质求得CM，MI，依据两点之间线段最短可得答案．
【详解】
解：（1）在y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）中，
令y＝0，得：ax2﹣2ax﹣3a＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴OB＝3，
∵OB＝OC，
∴OC＝3，
∴C（0，﹣3），
∴﹣3a＝﹣3，
∴a＝1，
∴抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3．
（2）如图1，
设直线BC解析式为y＝kx+b，
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴，
解得，
∴直线BC解析式为：y＝x﹣3，
设M点坐标为（m，m2﹣2m﹣3），
∵PM⊥x轴，
∴P（m，m﹣3），
∴PM＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，
∵OB＝OC，∠BOC＝90°，
∴CB＝OB，
∴CP＝m，
∵△PCM沿CM对折，点P的对应点N恰好落在y轴上，
∴∠PCM＝∠NCM，
∵PM∥y轴，
∴∠NCM＝∠PMC，
∴∠PCM＝∠PMC，
∴PC＝PM，
∴m＝﹣m2+3m，
整理得：m2+（﹣3）m＝0，
解得：m1＝0（舍去），m2＝3﹣，
∴当m＝3﹣时，m﹣3＝﹣，
∴P（3﹣，﹣）．
（3）如图2，连接AI，OI，EI，作△OAI的外接圆⊙M，连接OM，AM，MI，CM，过M作MH⊥y轴于H，
∵EF⊥x轴，
∴∠AFE＝90°，
∴∠FAE+∠FEA＝90°，
∵△AEF的内心为I，
∴AI，EI分别平分∠FAE，∠FEA，
∴∠IAE＝∠FAE，∠IEA＝∠FEA，
∴∠IAE+∠IEA＝（∠FAE+∠FEA）＝45°，
∴∠AIE＝135°，
在△AIO和△AIE中，
，
∴△AIO≌△AIE（SAS），
∴∠AIO＝∠AIE＝135°，
∵⊙M是△OAI的外接圆，
∴∠OMA＝2×（180°﹣∠AIO）＝90°，
∴OM＝AM＝OA＝，
∴MI＝OM＝，
∴∠MOA＝∠MOH＝45°，
∵MH⊥y轴，
∴∠HOM＝∠HMO＝45°，
∴OH＝HM＝OM＝，
∴CH＝OH+OC＝+3＝，
∴CM＝＝，
∵CI≥CM﹣MI，当且仅当C、M、I三点共线时，CI取得最小值，
∴CI的最小值为﹣．
【点睛】
本题属于二次函数综合问题，考查了待定系数法，三角形内心、外接圆，几何变换−对折，两点之间线段最短，全等三角形判定和性质等知识点，充分利用三角形内心，合理作辅助线是解题关键．
2021年广东省深圳市中考数学一模试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．方程的根是（ ）
A． B． C． D．
2．一组数据﹣2、1、1、0、2、1．这组数据的众数和中位数分别是( )
A．﹣2、0 B．1、0 C．1、1 D．2、1
3．人体中成熟的红细胞的平均直径为0.000 007 7 m，用科学记数法表示为( )
A．7.7×10－5 m B．77×10－6 m
C．77×10－5 m D．7.7×10－6 m
4．使二次根式有意义的x的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，平行四边形的周长为20，对角线、交于点O，E为的中点，，则的周长为（ ）
A．5 B．8 C．10 D．12
6．一次函数y＝ax+b和反比例函数y＝在同一个平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
7．过直线l外一点P作直线l的平行线，下列尺规作图中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，点A，B，C，D四点均在圆O上，∠AOD=68°，AO//DC，则∠B的度数为（ ）
A．40° B．60° C．56° D．68°
9．如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C坐标（ ）
A．（﹣1，﹣1） B．（﹣，﹣1） C．（﹣1，﹣） D．（﹣2，﹣1）
10．如图，正方形的边长为a，点E在边上运动（不与点A，B重合），，点F在射线上，且，与相交于点G，连接、、、则下列结论：
①；②的周长为；③；④的面积的最大值是；⑤当时，G是线段的中点．其中正确结论的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
11．分解因式：__________．
12．一个不透明的口袋中，装有红球6个，白球9个，黑球3个，这些球除颜色不同外没有任何区别，现从中任意摸出一个球，恰好是黑球的概率为_____．
13．观察下列一组数：，，，，，…，它们是按一定规律排列的，那么第7个数是_____．
14．点P，Q，R在反比例函数（常数，）图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴、y轴的平行线，图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为，，．若，，则的值为____．
15．如图，矩形ABCD中，E是AB上一点，连接DE，将△ADE沿DE翻折，恰好使点A落在BC边的中点F处，在DF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作半圆与CD相切于点G．若AD＝4，则图中阴影部分的面积为____．
三、解答题
16．计算：
17．化简求值：，其中．
18．某市教育局非常重视学生的身体健康状况为此在体育考试中对部分学生的立定跳远成绩进行了调查（分数为整数，满分100分），根据测试成绩（最低分为53分）分别绘制了如下统计图（如图）
分数
59.5分以下
59.5分以上
69.5分以上
79.5分以上
89.5分以上
人数
3
42
32
20
8
（1）被抽查的学生为__________人；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若全市参加考试的学生大约有9000人，请估计成绩优秀的学生约有多少人（80分及以上为优秀）？
（4）若此次表中测试成绩的中位数为78分，请写出78.5～89.5之间的人数最多有多少人？
19．如图所示，甲、乙两船同时由港口A出发开往海岛B，甲船沿某一方向直航140海里的海岛B，其速度为14海里/小时；乙船速度为20海里/小时，先沿正东方向航行3小时后，到达C港口接旅客，停留1小时后再转向北偏东30°方向开往B岛，其速度仍为20海里/小时．
（1）求海岛B到航线AC的距离；
（2）甲船在航行至P处，发现乙船在其正东方向的Q处，问此时两船相距多少？
20．阅读理解：我们给出如下定义：若一个四边形中存在一组相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称：______，_______．
（2）如图1，已知格点（小正方形的顶点），，，请你画出以格点为顶点，，为勾股边且对角线相等的两个勾股四边形．
（3）如图2，将绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到，连接，，，写出线段，，的数量关系为_______，并证明．
21．如图所示，是⊙O的直径，点E为线段上一点（不与O，B重合），作，交⊙O于点C，垂足为点E，作直径，过点C的切线交的延长线于点P，作于点F，连接．
（1）求证：平分．
（2）求证：．
（3）当且时，求劣弧长度（结果保留π）
22．如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，且OB＝OC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P是线段BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求此时点P的坐标；
（3）如图2，若第四象限有一动点E，满足AE＝OA，过E作EF⊥x轴于点F，设F坐标为（t，0），0＜t＜3，△AEF的内心为I，连接CI，直接写出CI的最小值．
参考答案
1．D
【分析】
根据一元二次方程的解法求解即可；
【详解】
，
或，
解得或；
故答案选D．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的求解，准确计算是解题的关键．
2．C
【分析】
根据的中位数和众数的概念进行分析即可．
【详解】
这组数据1出现的次数最多，所以这组数据的众数为1，
从小到大排列：﹣2，0，1，1，1，2，处在最中间的两个数的平均数为1，所以这组数据的中位数是1，
故选C．
【点睛】
本题考查了众数和中位数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
3．D
【分析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】
0.000 007 7m=7.7×10-6m，
故选：D．
【点睛】
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．B
【分析】
根据二次根式有意义的条件，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．
【详解】
根据题意得：x-2≥0，
解得：x≥2．
故选B．
【点睛】
考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
5．B
【分析】
根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得，OB＝OD，又因为E点是CD的中点，可得OE是△BCD的中位线，可得OE＝BC，所以易求△DOE的周长．
【详解】
解：∵▱ABCD的周长为20cm，
∴2（BC＋CD）＝20，则BC＋CD＝10．
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，BD＝6，
∴OD＝OB＝BD＝3．
又∵点E是CD的中点，
∴OE是△BCD的中位线，DE＝CD，
∴OE＝BC，
∴△DOE的周长＝OD＋OE＋DE＝BD＋（BC＋CD）＝5＋3＝8，
即△DOE的周长为8．
故选B．
【点睛】
本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质．解题时，利用了“平行四边形对角线互相平分”、“平行四边形的对边相等”的性质．
6．A
【分析】
根据反比例函数图象和一次函数图象经过的象限，即可得出a＜0、b＞0、c＜0，由此即可得出：二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴x0，与y轴的交点在y轴负半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．
【详解】
解：观察函数图象可知：a＜0，b＞0，c＜0，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴x0，与y轴的交点在y轴负半轴．
故选：A．
【点睛】
本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象，根据反比例函数图象和一次函数图象经过的象限，找出a＜0、b＞0、c＜0是解题的关键．
7．D
【分析】
根据平行线的判定方法一一判断即可．
【详解】
A、由作图可知，内错角相等两直线平行，本选项不符合题意．
B、由作图可知，同位角相等两直线平行，本选项不符合题意．
C、与作图可知，垂直于同一条直线的两条直线平行，本选项不符合题意，
D、无法判断两直线平行，
故选：D．
【点睛】
本题考查作图-复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．
8．C
【分析】
连接AD，先根据等腰三角形的性质求出∠ODA，再根据平行线的性质求出∠ODC，最后根据圆内接四边形的性质计算即可．
【详解】
解：连接AD，
∵∠AOD=68°，OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD=56°，
∵AO∥DC，
∴∠ODC=∠AOD=68°，
∴∠ADC=124°，
∵点A、B、C、D四个点都在⊙O上，
∴∠B=180°-∠ADC=56°，
故选C．
【点睛】
本题考查的是圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
9．B
【分析】
根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标的关系，把A点的横纵坐标都乘以即可．
【详解】
解：∵以点O为位似中心，位似比为，
而A （4，3），
∴A点的对应点C的坐标为（，﹣1）．
故选：B．
【点睛】
本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
10．B
【分析】
①正确．如图1中，在BC上截取BH＝BE，连接EH．证明△FAE≌△EHC（SAS）即可解决问题．
②③错误．如图2中，延长AD到H，使得DH＝BE，则△CBE≌△CDH（SAS），再证明△GCE≌△GCH（SAS）即可解决问题．
④正确．设BE＝x，则AE＝a−x，AF＝x，构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题．
⑤正确．当时，设DG＝x，则EG＝x＋，利用勾股定理构建方程可得x＝0.5a即可解决问题．
【详解】
解：如图1中，在BC上截取BH＝BE，连接EH．
∵BE＝BH，∠EBH＝90°，
∴EH＝BE，
∵AF＝BE，
∴AF＝EH，
∵∠DAM＝∠EHB＝45°，∠BAD＝90°，
∴∠FAE＝∠EHC＝135°，
∵BA＝BC，BE＝BH，
∴AE＝HC，
∴△FAE≌△EHC（SAS），
∴EF＝EC，∠AEF＝∠ECB，
∵∠ECH＋∠CEB＝90°，
∴∠AEF＋∠CEB＝90°，
∴∠FEC＝90°，
∴∠ECF＝∠EFC＝45°，故①正确，
如图2中，延长AD到H，使得DH＝BE，则△CBE≌△CDH（SAS），
∴∠ECB＝∠DCH，
∴∠ECH＝∠BCD＝90°，
∴∠ECG＝∠GCH＝45°，
∵CG＝CG，CE＝CH，
∴△GCE≌△GCH（SAS），
∴EG＝GH，
∵GH＝DG＋DH，DH＝BE，
∴EG＝BE＋DG，故③错误，
∴△AEG的周长＝AE＋EG＋AG＝AE＋AH＝AD＋DH＋AE＝AE＋EB＋AD＝AB＋AD＝2a，故②错误，
设BE＝x，则AE＝a−x，AF＝x，
∴S△AEF＝•（a−x）∙x＝−x2＋ax＝−（x2−ax＋a2−a2）＝−（x−a）2＋a2，
∵−＜0，
∴x＝a时，△AEF的面积的最大值为a2．故④正确，
当BE＝a时，设DG＝x，则EG＝x＋a，
在Rt△AEG中，则有（x＋a）2＝（a−x）2＋（a）2，
解得：x＝，
∴AG＝GD，故⑤正确，
∴①④⑤正确，正确结论的个数是3个，
故选B．
【点睛】
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
11．；
【详解】
=a(a2-4a+4)=a(a-2)2.
故答案是：a(a-2)2.
12．
【详解】
解：P(摸到红球)=
故答案为：
13．．
【分析】
观察数据可知，分子是从1开始连续的奇数，分母是从1开始连续自然数的平方多1，则第n个数是 代入数值即可的答案.
【详解】
观察数据可知，分子是从1开始连续的奇数，分母是从1开始连续自然数的平方多1，则第n个数是 ，
第7个数是．
故答案为．
【点睛】
解题的关键是仔细分析所给式子的特征得到规律，再把这个规律应用于解题.
14．5
【分析】
设CD＝DE＝OE＝a，则P（，3a），Q（，2a），R（，a），推出CP＝，DQ＝，ER＝，推出OG＝AG，OF＝2FG，OF＝GA，推出S1＝S3＝2S2，根据S1＋S3＝25，求出 S2即可．
【详解】
解：∵CD＝DE＝OE，
∴假设CD＝DE＝OE＝a，
则P（，3a），Q（，2a），R（，a），
∴CP＝，DQ＝，ER＝，
∴OG＝AG，OF＝2FG，OF＝GA，
∴S1＝S3＝2S2，
∵S1＋S3＝25，
∴S3＝15，S1＝10，S2＝5，
故答案是：5．
【点睛】
本题考查反比例函数系数k的几何意义，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数表示点的坐标，属于中考常考题型．
15．
【分析】
连接OG，可得∠FDC＝30°，证明△DOG∽△DFC，得出，设OG＝OF＝x，则，求出圆的半径为，证明△OFQ和△OGQ为等边三角形，则可由扇形的面积公式和三角形的面积公式求出答案．
【详解】
解：连接OG，
∵将△ADE沿DE翻折，恰好使点A落在BC边的中点F处，
∴AD＝DF＝4，BF＝CF＝2，
∵矩形ABCD中，∠DCF＝90°，
∴sin∠FDC=，
∴∠FDC＝30°，
∴∠DFC＝60°，
∵⊙O与CD相切于点G，
∴OG⊥CD，
∵BC⊥CD，
∴OG∥BC，
∴△DOG∽△DFC，
∴，
设OG＝OF＝x，则，
解得：x，即⊙O的半径是．
连接OQ，作OH⊥FQ，连结QG，
∵∠DFC＝60°，OF＝OQ，
∴△OFQ为等边三角形；
∵CD为切线，∠DGO=90°，∠ODG=30°，
∴∠DOG=180°-∠DGO-∠ODG=180°-90°-30°=60°，
∴∠GOQ=180°-∠DOG-∠FOQ=180°-60°-60°=60°，OQ=OG，
∴△OGQ为等边三角形；
∴∠GOQ＝∠FOQ＝60°，OHOQ，S扇形OGQ＝S扇形OQF，
∴S阴影＝（S矩形OGCH﹣S扇形OGQ﹣S△OQH）＋（S扇形OQF﹣S△OFQ），
＝S矩形OGCHS△OFQ（）．
故答案为：．
【点睛】
本题考查三角形折叠性质，矩形性质，锐角三角函数，相似三角形判定与性质，等边三角形判定与性质，扇形面积，三角形面积，掌握三角形折叠性质，矩形性质，锐角三角函数，相似三角形判定与性质，等边三角形判定与性质，扇形面积，三角形面积是解题关键．
16．3
【分析】
先算负整数指数幂和零指数幂，锐角三家函数以及二次根式，进而即可求解．
【详解】
解：原式=
=．
【点睛】
本题主要考查实数的混合运算，熟练掌握负整数指数幂和零指数幂，锐角三家函数以及二次根式的性质，是解题的关键．
17．，1
【分析】
先利用分式的通分和约分，进行化简，再代入求值，即可．
【详解】
解：原式=
=
=，
当时，原式===1．
【点睛】
本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的通分和约分，是解题的关键．
18．（1）45；（2）见详解；（3）4000；（4）14
【分析】
（1）根据图中所列的表，参加测试的总人数为59.5分以上和59.5分以下的和；
（2）根据直方图，再根据总人数，即可求出在76.5−84.5分这一小组内的人数；
（3）根据成绩优秀的学生所占的百分比，再乘以9000即可得出成绩优秀的学生数；
（4）根据中位数的定义得出78分以上的人数，再根据图表得出89.5分以上的人数，两者相减即可得出答案．
【详解】
解：（1）∵59.5分以上的有42人，59.5分以下的3人，
∴这次参加测试的总人数为3＋42＝45（人），
故答案是：45；
（2）∵总人数是45人，
∴在76.5−84.5这一小组内的人数为：45−3−7−10−8−5＝12人，
补图如下：
（3）根据题意得：
×9000＝4000（人），
答：成绩优秀的学生约有4000人；
（4）∵共有45人，中位数是第23个人的成绩，中位数为78分，
∴78分以上的人数是22人，
∵89.5分以上的有8人，
∴78.5～89.5分之间的人数最多有22−8＝14（人）．
【点睛】
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
19．（1）海岛B到航线AC的距离为50海里；（2）两船相距12海里．
【分析】
（1）过点B作BD⊥AE于D，在Rt△BCD中，∠BCD＝60°，设CD＝x，可得BD＝x，在Rt△BDA中，根据勾股定理可得方程1402＝（60+x）2+（x）2，解方程求得x的值，即可求得BD的长；（2）设运动时间为t，则AP＝14t，CQ＝20（t﹣4），BC＝100，由题意可知PQ∥AC，由平行线分线段成比例定理可得，代入数值求得t值，即可求得AP、PB的长；再由△BPQ∽△BAC，根据相似三角形的性质可得，代入数据即可求得PQ的长．
【详解】
（1）过点B作BD⊥AE于D，
由题意可知AC=60，AB=140，
在Rt△BCD中，∠BCD＝60°，
设CD＝x，则BD＝x，
∵在Rt△BDA中，∠BDA＝90°
∴AD2+BD2＝AB2，得1402＝（60+x）2+（x）2
x2+30x﹣4000＝0，
∴x＝50或﹣80（舍弃），
∴BD＝50．
∴海岛B到航线AC的距离为50海里；
（2）设运动时间为t，则AP＝14t，CQ＝20（t﹣4），BC＝100，
若点Q在点P的正东方向，则PQ∥AC，
∴＝，即：＝，得t＝8，
∴AP＝112，PB=140-112=28.
由∵△BPQ∽△BAC，
∴＝，即：＝，
得PQ＝12．
∴两船相距12海里.
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用—方位角问题，正确作出辅助线，构造直角三角形是解决问题的关键.
20．（1）矩形，正方形；（2）见详解；（3）DC2＋BC2＝AC2，理由见详解
【分析】
（1）利用含有直角的四边形找出特殊四边形中是勾股四边形的两种图形即可；
（2）根据题意画出图形即可；
（3）首先证明△ABC≌△DBE，得出AC＝DE，BC＝BE，连接CE，进一步得出△BCE为等边三角形；利用等边三角形的性质，进一步得出△DCE是直角三角形，问题得解．
【详解】
解：（1）学过的特殊四边形中是勾股四边形的有矩形，正方形；
故答案为：矩形，正方形；
（2）如图，
（3）线段DC，AC，BC的数量关系为：DC2＋BC2＝AC2．
证明：如图2，连接CE，
由旋转得：△ABC≌△DBE，
∴AC＝DE，BC＝BE，
又∵∠CBE＝60°，
∴△CBE为等边三角形，
∴BC＝CE，∠BCE＝60°，
∵∠DCB＝30°，
∴∠DCE＝∠DCB＋∠BCE＝30°＋60°＝90°，
∴DC2＋EC2＝DE2，
∴DC2＋BC2＝AC2．
故答案为：DC2＋BC2＝AC2．
【点睛】
本题考查四边形综合题、勾股定理、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题．
21．（1）见详解；（2）见详解；（3）
【分析】
（1）先证明AF∥OC，结合OA＝OC，可得∠FAC＝∠CAB，进而即可得到结论；
（2）只要证明△CBE∽△CPB，可得，进而即可解决问题；
（3）作BM⊥PF于M，则CE＝CM＝CF，设CE＝CM＝CF＝3a，PC＝4a，PM＝a，利用相似三角形的性质求出BM，求出tan∠BCM的值，从而得到∠BCM＝30°，进而即可解决问题．
【详解】
（1）证明：∵PF是切线，
∴OC⊥PF，
∵AF⊥PF，
∴AF∥OC．
∴∠FAC＝∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠ACO，
∴∠FAC＝∠CAB，即AC平分∠FAB；
（2）证明：∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵PF是⊙O的切线，CE⊥AB，
∴∠OCP＝∠CEB＝90°，
∴∠PCB＋∠OCB＝90°，∠BCE＋∠OBC＝90°，
∴∠BCE＝∠BCP，
∵CD是直径，
∴∠CBD＝∠CBP＝90°，
∴△CBE∽△CPB，
∴，
∴BC2＝CE•CP；
（3）解：作BM⊥PF于M．则CE＝CM＝CF，设CE＝CM＝CF＝3a，PC＝4a，PM＝a，
∵∠MCB＋∠P＝90°，∠P＋∠PBM＝90°，
∴∠MCB＝∠PBM，
∵PF是⊙O的切线，CD是直径，BM⊥PC，
∴∠CMB＝∠BMP＝90°，
∴△BMC∽△PMB，
∴，
∴BM2＝CM•PM＝3a2，
∴BM＝，
∴tan∠BCM＝＝，
∴∠BCM＝30°，
∴∠OCB＝∠OBC＝∠BOC＝60°，
∵，
∴=．
【点睛】
本题考查切线的性质、角平分线的判定、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、弧长公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
22．（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）P（3﹣，﹣）；（3）CI的最小值为．
【分析】
（1）在抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）中，令y＝0，得出点A、B坐标，再根据OB＝OC，建立方程求a的值即可求出函数的关系式；
（2）先求出直线BC解析式，设M点坐标为（m，m2−2m−3），P（m，m−3），由题意：△PCM沿CM对折，点P的对应点N恰好落在y轴上，可得到关于m的一元二次方程，求出m即可得到答案；
（3）连接AI，OI，EI，作△OAI的外接圆⊙M，连接OM，AM，MI，CM，过M作MH⊥y轴于H，根据三角形内心可证明△AIO≌△AIE，再结合三角形外接圆及等腰直角三角形性质求得CM，MI，依据两点之间线段最短可得答案．
【详解】
解：（1）在y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）中，
令y＝0，得：ax2﹣2ax﹣3a＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴OB＝3，
∵OB＝OC，
∴OC＝3，
∴C（0，﹣3），
∴﹣3a＝﹣3，
∴a＝1，
∴抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3．
（2）如图1，
设直线BC解析式为y＝kx+b，
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴，
解得，
∴直线BC解析式为：y＝x﹣3，
设M点坐标为（m，m2﹣2m﹣3），
∵PM⊥x轴，
∴P（m，m﹣3），
∴PM＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，
∵OB＝OC，∠BOC＝90°，
∴CB＝OB，
∴CP＝m，
∵△PCM沿CM对折，点P的对应点N恰好落在y轴上，
∴∠PCM＝∠NCM，
∵PM∥y轴，
∴∠NCM＝∠PMC，
∴∠PCM＝∠PMC，
∴PC＝PM，
∴m＝﹣m2+3m，
整理得：m2+（﹣3）m＝0，
解得：m1＝0（舍去），m2＝3﹣，
∴当m＝3﹣时，m﹣3＝﹣，
∴P（3﹣，﹣）．
（3）如图2，连接AI，OI，EI，作△OAI的外接圆⊙M，连接OM，AM，MI，CM，过M作MH⊥y轴于H，
∵EF⊥x轴，
∴∠AFE＝90°，
∴∠FAE+∠FEA＝90°，
∵△AEF的内心为I，
∴AI，EI分别平分∠FAE，∠FEA，
∴∠IAE＝∠FAE，∠IEA＝∠FEA，
∴∠IAE+∠IEA＝（∠FAE+∠FEA）＝45°，
∴∠AIE＝135°，
在△AIO和△AIE中，
，
∴△AIO≌△AIE（SAS），
∴∠AIO＝∠AIE＝135°，
∵⊙M是△OAI的外接圆，
∴∠OMA＝2×（180°﹣∠AIO）＝90°，
∴OM＝AM＝OA＝，
∴MI＝OM＝，
∴∠MOA＝∠MOH＝45°，
∵MH⊥y轴，
∴∠HOM＝∠HMO＝45°，
∴OH＝HM＝OM＝，
∴CH＝OH+OC＝+3＝，
∴CM＝＝，
∵CI≥CM﹣MI，当且仅当C、M、I三点共线时，CI取得最小值，
∴CI的最小值为﹣．
【点睛】
本题属于二次函数综合问题，考查了待定系数法，三角形内心、外接圆，几何变换−对折，两点之间线段最短，全等三角形判定和性质等知识点，充分利用三角形内心，合理作辅助线是解题关键．
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