高一数学必修1知识点总结及练习题 (1)

这是一份高一数学必修1知识点总结及练习题 (1)，共5页。试卷主要包含了集合有关概念，集合间的基本关系，集合的运算等内容，欢迎下载使用。
期中考复习第一章 集合与函数概念（10，11班）一、集合有关概念集合的含义集合的中元素的三个特性：(1)  元素的确定性如：世界上最高的山(P1,1)(2)  元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}（解题时，最后注意检验是否满足互异性）研究p3,7、8;(3)  元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}(1)  用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}(2)  集合的表示方法：列举法与描述法。       注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集） 记作：N正整数集  N*或 N+   整数集Z  有理数集Q  实数集R   2，集合的表示法（研究P2，8；）1）  列举法：{a,b,c……}2）  描述法：M={y|y=x2-2x+1,xR} M={x|y=x2-2x+1,xR}(注意代表元素！)(P5,2)3）  Venn图:（研究P5，4/7/9）4、集合的分类：(1)  有限集   含有有限个元素的集合(2)  无限集   含有无限个元素的集合(3)  空集     不含任何元素的集合　　例：{x|x2=－5｝（研究P3，2）二、集合间的基本关系（切记，有包含关系要优先考虑空集）(P3、10)1.“包含”关系—子集（最高次项前面有参数时，要讨论它与0的关系）注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。2．“相等”关系：A=B  (5≥5，且5≤5，则5=5)实例：设  A={x|x2-1=0}  B={-1,1}   “元素相同则两集合相等”即：① 任何一个集合是它本身的子集。AA②真子集:如果AB,且A B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)③如果 AB, BC ,那么 AC④ 如果AB  同时 BA 那么A=B规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。       有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集三、集合的运算（ p3,6;P4，4/7/10,P5，10;P6,5/8）运算类型交   集并   集补   集定    义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作AB（读作‘A交B’），即AB=｛x|xA，且xB｝．由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：AB（读作‘A并B’），即AB ={x|xA，或xB})．设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）记作，即CSA=韦恩图示性       质AA=A  AΦ=ΦAB=BAABA ABBAA=AAΦ=AAB=BAABＡABB(CuA) (CuB)= Cu (AB)(CuA) (CuB)= Cu(AB)A (CuA)=UA (CuA)= Φ． 例题：1.下列四组对象，能构成集合的是                                   （   ）A某班所有高个子的学生  B著名的艺术家 C一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数2.集合{a，b，c }的真子集共有      个  3.若集合M={y|y=x2-2x+1,xR},N={x|x≥0}，则M与N的关系是          .4.设集合A=，B=，若AB，则的取值范围是       5.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有      人。7.已知集合A={x| x2+2x-8=0}, B={x| x2-5x+6=0}, C={x| x2-mx+m2-19=0}, 若B∩C≠Φ，A∩C=Φ，求m的值(注意：解不等式时，乘以除以一个数时，注意讨论它的符号，如果是负数，记住变号。)二、函数的有关概念  定义(P9，1/;P10，1)1．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。（1）具体函数的定义域时列不等式组的主要依据是(P30,9;P37,2/4)(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零；   (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.  (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零，  (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.抽象函数定义域：(P9,6;P21,5;)       相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；       ②定义域一致 (P9，3时具备)2．值域 : 先考虑其定义域(P9，7/8;P10，10/6;P14，6)(1)观察法 （遇见上下都有x，优先分离常数）(2)配方法(3)代换法2、函数的解析表达式(P10，9、4)求函数的解析式的主要方法有：1)       凑配法已知f＝x2＋，求f(x)2)       待定系数法已知一次函数f(x)满足f(f(x))＝4x－1，求f(x)3)       换元法已知f(＋2)＝x＋4，求f(x)（注意新换元的范围）4)       消参法（函数方程法）已知：3. 函数图象知识归纳A、  图象变换法常用变换方法有三种1)       平移变换2)       伸缩变换3)       对称变换（P10，2）4．区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间5．映射（箭射靶，且箭要全射出去）定义：(P11，1/3/5/6/7/9/10)对于映射f：A→B来说，则应满足：(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。一一映射：一对一，且集合B当中没有多余的元素（P11，8）6.分段函数   （一般画图处理题目）（P11，9;P12，7;P24，10)(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。(2)各部分的自变量的取值情况．(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．注意：分段函数单调性，除了保证每一段的单调性，还要保证最值之间的关系，即整体的单调性。（补充：复合函数如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)  称为f、g的复合函数。二．函数的性质1.函数的单调性(局部性质)(P12，1/2;P14，2/3)（1）增函数设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2 时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.注意：函数的单调性是函数的局部性质；（2） 图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.(3).函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法：（P14，9/8;P15，9;P30,10） 任取x1，x2∈D，且x1<x2； 作差f(x1)－f(x2)； 变形（通常是因式分解和配方）； 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．(B)图象法(从图象上看升降)(C)复合函数的单调性(P14，4;p31,9;P39,8)复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. （D）利用已知函数的单调性。（一次函数，二次函数，反比例函数，双勾函数，对数函数，指数函数）(P12，3/4/5/6;P14，1/5)注：增+增=增；减加减=减（P13，3/4）8．函数的奇偶性（整体性质）（1）偶函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．（2）．奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．（3）具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．（图像法）利用定义判断函数奇偶性的步骤：首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；确定f(－x)与f(x)的关系；作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．注意：（1）函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .奇*奇=偶，偶*偶=偶，奇*偶=奇   （2）奇函数在对称区间单调性相同，如果x=0有意义，注意利用f(0)=0解题；偶函数在对称区间单调性相反。9.抽象函数的单调性和奇偶性(P14，9;P15，10;P24，11，12;P23，9/6)10．函数最大（小）值 利用二次函数的性质求函数的最大（小）值(P16，9/2/5/8;P17，8）先画图，画出对称轴，移动区间对于开口向下的情况，讨论类似。其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论：（1）若，则，；（2）若，则，另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开轴越远，则对应的函数值越小。 利用图象求函数的最大（小）值(P22，5;) 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；11:恒成立问题转化为最值问题，（一般求什么，就把它放到一边。）(p24,9;P17,8;P37,6/7/10；p44,6;p45,4;)例题：1.求下列函数的定义域：⑴        ⑵    2.设函数的定义域为，则函数的定义域为_  _   3.若函数的定义域为，则函数的定义域是         4.函数 ，若，则=            5.求下列函数的值域：⑴           ⑵ (3)               (4)6.已知函数，求函数，的解析式7.已知函数满足，则=             。8.设是R上的奇函数，且当时,,则当时=      在R上的解析式为                        9.求下列函数的单调区间： ⑴   ⑵  ⑶ 10.判断函数的单调性并证明你的结论．11.设函数判断它的奇偶性并且求证：．                  第二章 基本初等函数一、指数函数（一）指数与指数幂的运算       负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作。当是奇数时，，当是偶数时，2．分数指数幂，正数的分数指数幂的意义，规定：，       0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义3．实数指数幂的运算性质（1）·  （2）   （3）注意利用平方差公式，完全平方之间的关系，以及立方差公式。（p27,9,10,p28,9/10;p29,4/6） （二）指数函数及其性质（注意值域大于零）2、指数函数的图象和性质a>10<a<1定义域 R定义域 R值域y＞0值域y＞0在R上单调递增在R上单调递减非奇非偶函数非奇非偶函数函数图象都过定点（0，1）函数图象都过定点（0，1）注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
（1）在[a，b]上，值域是或；
（2）若，则；取遍所有正数当且仅当；
（3）对于指数函数，总有；二、对数函数   （切记真数大于零，注意定义域） （一）对数说明： 注意底数的限制，且； ； 注意对数的书写格式．两个重要对数： 常用对数：以10为底的对数； 自然对数：以无理数为底的对数的对数．（二）对数的运算性质如果，且，，，那么： ·＋； －；   ．注意：换底公式 （，且；，且；）．利用换底公式推导下面的结论(P35,3/5/6/8/9;P36,3/4/6/8)（1）；（2）．（3）(注意：解对数指数方程不等式，或者比较大小都是化为同底数。若真数一样，利用换底公式（2）；同时解对数方程时，要验根，是否真数大于0)（二）对数函数(区别清楚定义域为R和值域为R，x2前面有参数时，别忘记讨论它与0的关系)1、对数函数的概念：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．注意： 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数． 对数函数对底数的限制：，且．2、对数函数的性质：a>10<a<1定义域x＞0定义域x＞0值域为R值域为R在R上递增在R上递减函数图象都过定点（1，0）函数图象都过定点（1，0）注意：对于y=loga g(x),若u=g(x)为二次函数，先画图，取x轴上半部的图像，再结合图像解题。（一定注意先求定义域，真数大于0）f(x)=          的图像要记住，若有f(a)=f(b),则a,b互为倒数。（三）幂函数（a=-1,1/2,2,3的图像必须掌握）（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．(p22,1)总结：幂函数在第一象限为减函数，则;为增函数，则；幂函数为奇函数，则a为奇数，为偶函数则a为偶数（p22,9）                           第三章 函数的应用即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．3、函数零点的求法： （代数法）求方程的实数根； （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．4、二次函数的零点：  二次函数．（1）根的分布：画图！！看四点、开口方向，⊿，对称轴，端点值的符号。（注意隐含条件，和经过的定点）没有隐含条件时，切记每一个都要考虑。（2）两个正根，两个复根，一正一负根时一般用维达定理.（除了一正一负隐含了德塔大于零，其他时候不要忘记德塔）（3）若已知一个根，代入求出参数，再解方程，检验另外一根是否满足条件。