卷20-备战2021年中考数学【名校地市好题必刷】全真模拟卷（河南专用）•4月卷

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备战2021年中考数学【名校、地市好题必刷】全真模拟卷·4月卷
第二十模拟
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（2020年河南省西峡县九年级中招考试模拟数学试题）|﹣3|的相反数是(　　)
A. ﹣3 B. 3 C. D. ﹣
【答案】A
【解析】
【分析】
根据绝对值的性质先求出|−3|的值，然后进一步利用相反数的性质求解即可.
【详解】∵|−3|=3，
∴3的相反数是−3．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了绝对值与相反数的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.
2．（2020年河南省周口市沈丘县中考数学一模试题） 熔喷布是口罩中间的过滤层，俗称口罩的“心脏”．熔喷布以聚丙烯为主要原料是一种直径在2微米左右的超细静电纤维布．已知1微米＝10﹣6米，则2微米用科学记数法可表示为（ ）
A. 2×10﹣6米 B. 0.2×10﹣7米 C. 0.2×10﹣5米 D. 2×10﹣5米
【答案】A
【解析】
【分析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：2微米用科学记数法可表示为2×10﹣6米．
故选：A．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．（2020年河南省新乡市中考数学评价测试题）如图是某几何体的三视图，则该几何体的全面积等于(　　)

A. 112 B. 136 C. 124 D. 84
【答案】B
【解析】
试题解析：该几何体是三棱柱.
如图：

由勾股定理

全面积为：
故该几何体的全面积等于136．
故选B.
4．（2020年河南省周口市沈丘县中考数学一模试题）. 下列计算正确的是（　　）
A. a6+a6＝2a12 B. 2﹣2÷20×23＝32
C. （﹣ab2）•（﹣2a2b）3＝a3b3 D. a3•（﹣a）5•a12＝﹣a20
【答案】D
【解析】
【分析】
根据合并同类项的运算法则，同底数幂的乘除法运算法则、积的乘方的运算法则，对每一项进行计算求解运算即可.
【详解】A、a6+a6＝2a6，故此选项错误；
B、2﹣2÷20×23＝2，故此选项错误；
C、（﹣ab2）•（﹣2a2b）3＝（﹣ab2）•（﹣8a6b3）＝4a7b5，故此选项错误；
D、a3•（﹣a）5•a12＝﹣a20，正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂乘除法、积的乘方等相关知识，解决本题的关键是能够熟练掌握各类运算的运算法则，并且能够对它们进行区别.
5．（河南省实验中学2020-2021学年九年级下学期开学考试数学试题）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】解：，
解①得x≤1，
解②得x＞﹣3．
故选D．
6．（2020年河南省西峡县九年级中招考试模拟数学试题 ）关于二次函数，下列说法中错误的是（ ）
A. 函数图象是抛物线，且开口向下 B. 函数图象的顶点坐标是
C. 函数图象与轴没有交点 D. 当时，随的增大而减小
【答案】C
【解析】
【分析】
根据是二次函数，且a<0可判断A项；将二次函数配方得到顶点式，可判断B项；求出△值，可判断C项；根据抛物线的对称轴为x=1，且抛物线开口向下，可判断D项．
【详解】∵是二次函数，a<0，
∴抛物线开口向下，A项正确；
=-(x2-2x+1)=-(x-1)2，
∴抛物线的顶点坐标是，B项正确；
△=b2-4ac=4-4×(-1)×(-1)=0，
∴函数图像与x轴有一个交点，C项错误；
∵抛物线的对称轴为x=1，且抛物线开口向下，
∴当时，随的增大而减小，D项正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握知识点是解题关键．
7.（2020年河南省郑州市中原名校中考数学二模试题）甲、乙、丙、丁四名学生近5次数学成绩的平均数都是110分，方差如表，则这四名学生成绩最稳定的是（ ）
学生
甲
乙
丙
丁
方差（s2）
11.6
6.8
7.6
2.8

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
【答案】D
【解析】
【分析】
根据方差越小成绩越稳定求解可得.
【详解】解：由表可知丁的方差最小，
所以这四名学生成绩最稳定的是丁，
故选：D.
【点睛】此题考查了方差的稳定性：方差越小该组数据越稳定，正确理解方差的稳定性是解题的关键.
8.(河南省实验中学2020-2021学年九年级下学期开学考试数学试题)已知关于x的一元二次方程有一个根是x1=3，则另一个根x2是（　　）
A. ﹣5 B. ﹣3 C. 1 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】利用根与系数的关系即可求出另一根．
【详解】解：∵方程有一个根是x1=3，另一个根x2，
∴3+x2==4，即x2=1，
即方程另一根x2是1．
故选：C．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关键是解本题的关键．
9.（2020年河南省新乡市中考数学评价测试题 ）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝10，分别以点B和点C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧相交于D、E两点，连接DE交BC于点H，连接AH，则AH的长为（　　）

A. 5 B. 5 C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】
先利用勾股定理计算出BC＝5，再利用作法得到BH＝CH，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解．
【详解】∵∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝10，
∴BC＝＝5，
由作法得DE垂直平分BC，
∴BH＝CH，
∴AH为Rt△ABC斜边上的中线，
∴AH＝BC＝．
故选：C．
【点睛】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了直角三角形斜边上的中线性质．
10.（2020年河南省周口市沈丘县中考数学一模试题）如如图，在矩形中，，，动点沿折线从点开始运动到点．设运动的路程为，的面积为，那么与之间的函数关系的图象大致是（　　）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意当时，，当时，，由此即可判断．
【详解】由题意当时，，
当时，，
故选D．
【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论是扇形思考问题．
二．填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．（2020年河南省西峡县九年级中招考试模拟数学试题） 计算：__________．
【答案】3
【解析】
【分析】
原式根据零指数幂和立方根的定义计算即可．
【详解】原式＝1+2＝3．
故答案:3．
【点睛】此题考查了实数的混合运算，掌握运算顺序和运算法则是解答此题的关键．
12．（2020年河南省新乡市中考数学评价测试题）如图，函数y＝2x和y＝ax+5的图象相交于A（1.5，3），则不等式2x＞ax+5的解为_____．

【答案】x＞1.5．
【解析】
【分析】
根据题意和图形可以求得不等式2x＞ax＋5的解集，从而可以解答本题．
【详解】∵函数y＝2x和y＝ax+5的图象相交于A（1.5，3），
∴不等式2x＞ax+5的解集为x＞1.5，
故答案为：x＞1.5．
【点睛】本题考查一次函数的与一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
13.（2020年河南省郑州市中原名校中考数学二模试题）等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，先以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交边AB，AC于点E，F；再分别以点E，F为圆心，线段EF的长为半径画弧，两弧交于点G；连接AG并延长，交BC于点D，过点D作DH⊥AC于点H．若AB＝2，则△DHC的周长是_____．

【答案】2
【解析】
【分析】
根据角平分线的作图方法，得AB＝AH，BD＝DH，进而利用等腰直角三角形的性质解答即可．
【详解】由题意可得AD是∠BAC的平分线，
∴AB＝AH，BD＝DH，
∵AB＝2，△ABC是等腰直角三角形，
∴AH＝2，AC＝2，∠C＝45°，
∴CH＝2﹣2，
∴△DHC的周长＝DH＋DC＋CH＝BD＋DC＋CH＝BC＋CH＝2＋2﹣2＝2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、角平分线的性质定理以及作图方法，综合性较强，难度一般，要注意数形结合．
14.（2020年河南省周口市沈丘县中考数学一模试题）如图，在扇形中，，分别是半径上的点，以为邻边的的顶点在上，若,则阴影部分图形的面积是________（结果保留）．

【答案】
【解析】
【分析】
连接OC，根据同样只统计得到▱ODCE是矩形，由矩形的性质得到∠ODC=90°．根据勾股定理得到OC=10，根据扇形的面积公式和矩形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：连接OC，

∵∠AOB=90°，四边形ODCE是平行四边形，
∴▱ODCE是矩形，
∴∠ODC=90°．
∵OD=8，OE=6，
∴OC==10，
∴阴影部分图形的面积= -8×6=25π-48．
故答案为25π-48．
【点睛】本题考查了扇形的面积的计算，矩形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
15.（河南省实验中学2020-2021学年九年级下学期开学考试数学试题）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝4，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A'EF，连接A'C，A'D，则当△A'DC是以A'D为腰的等腰三角形时，FD的长是_____．

【答案】4﹣2或3
【解析】
【分析】
存在两种情况：当A′D=DC，连接ED，勾股定理求得ED的长，可判断E，A′，D三点共线，根据勾股定理即可得到结论；当A′D=A′C，证明AEA′F是正方形，于是得到结论．
【详解】解：①当A′D=DC时，如图1，连接ED，

∵点E是AB的中点，AB=4，BC=4，四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=4，∠A=90°，
∴DE==6，
∵将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A'EF，
∴A′E=AE=2，
∵A′D=DC=AB=4，
∴DE=A′E+A′D=6，
∴点E，A′，D三点共线，
∵∠A=90°，
∴∠FA′E=∠FA′D=90°，

设AF=x，则A′F=x，FD=4-x，
在Rt△FA′D中，42+x2=（4-x）2，
解得：x=，
∴FD=3；
②当A′D=A′C时，如图2，
∵A′D=A′C，
∴点A′在线段CD的垂直平分线上，
∴点A′在线段AB的垂直平分线上，
∵点E是AB的中点，
∴EA′是AB的垂直平分线，
∴∠AEA′=90°，
∵将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A'EF，
∴∠A=∠EA′F=90°，AF=FA′，
∴四边形AEA′F是正方形，
∴AF=AE=2，
∴DF=4-2，
故答案为：4-2或3．
【点睛】此题考查翻折变换（折叠问题），矩形的性质，等腰三角形的性质，正方形的判定和性质，分类讨论思想的运用是解题的关键．
三．解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（2020年河南省新乡市中考数学评价测试题）（8分）先化简，再求值：，其中满足.
【答案】3.
【解析】
【分析】
先将括号里面进行通分，然后对分子分母进行因式分解，最后约分得到最简形式，再由x2+3x－1=0得到x2+3x=1，将x2+3x整体带入化简后的式子求值.
详解】原式=÷
=×
=×
=3x2+9x，
∵x2+3x－1=0，
∴x2+3x=1，
∴原式=3x2+9x=3（x2+3x）=3×1=3.
【点睛】（1）掌握分式的化简；
（2）掌握整体的思想.
17．（2020年河南省西峡县九年级中招考试模拟数学试题）（9分）某学校体育社团活动计划开设“足球、篮球、排球、乒乓球”四个体育兴趣小组，每个学生只能选报一项参加活动，为了解该社团成员选择兴趣小组的情况，某调查小组在社团中进行了一次抽样调查，绘制了如下尚不完整的统计图表．

根据以上信息解答下列问题：
（1）本次抽样调查的样本容量为 ，扇形统计图中的值为 ．
（2）补全条形统计图；
（3）若该学校有学生人，有的学生选择了参加体育社团活动，请你估计该校选择排球和足球这两个兴趣小组的学生大约共有多少人？
【答案】（1）60，15；（2）见解析；（3）189人
【解析】
【分析】
（1）用乒乓球小组的人数除以对应的百分比即可求出样本容量，用1减去排球小组对应百分比减去篮球小组对应百分比减去乒乓球小组对应百分比即可得出答案；
（2）计算出排球小组人数，补全条形统计图即可；
（3）用总人数乘以30%再乘以排球和足球这两个兴趣小组对应的百分比之和即可得出答案．
【详解】解：（1）样本容量为：18÷30%=60，
m%=1-30%-35%-20%=15%，
即m=15，
故答案为：60，15；
（2）排球小组人数：60×20%=12，
；
（3）（人），
答：选择排球和足球这两个兴趣小组的学生大约共有189人．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体，根据图表获取信息是解题关键．
18.（2020年河南省郑州市中原名校中考数学二模试题）（9分）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点P，D是上的任意一点，连接AD，已知∠ABC＝30°．
（1）求证：AP＝AB．
（2）填空：
①当∠CAD＝　 　时，四边形AODC是菱形；
②当∠CAD＝　 　时，四边形ABDC是矩形．

【答案】（1）证明见解析；（2）①30°；②60°
【解析】
【分析】
（1）连接OA，只要证明∠ABP＝∠P＝30°即可解决问题；
（2）①如图2中，结论：当∠CAD＝30°时，四边形AODC是菱形，根据四边相等的四边形是菱形证明即可；
②如图3中，结论：当∠CAD＝60°时，四边形ABDC是矩形，根据对角线相等的平行四边形是矩形证明即可.
【详解】（1）证明：如图1中，
∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP＝90°，
∵OB＝OA，
∴∠OBA＝∠OAB＝30°，
∴∠AOP＝∠OAB＋∠OBA＝60°，
∴∠P＝30°，
∴∠ABP＝∠P，
∴AB＝AP；

（2）解：①如图2中，结论：当∠CAD＝30°时，四边形AODC是菱形．
理由：∵∠ADC＝∠ABC＝30°，∠CAD＝30°，
∴∠ADC＝∠CAD，
∴AC＝CD，
∵∠AOC＝60°，OA＝OC＝OD，
∴△AOC，△OCD都是等边三角形，
∴AO＝OD＝DC＝AC，
∴四边形AODC是菱形；
故答案为：30°.

②如图3中，结论：当∠CAD＝60°时，四边形ABDC是矩形，
理由：∵∠ADC＝∠ABC＝30°，∠CAD＝60°，
∴∠ACD＝90°，
∴AD是⊙O的直径，
∵OB＝OC，OA＝OD，
∴四边形ABDC使得平行四边形，
∵AD＝BC，
∴四边形ABDC是矩形．
故答案为：60°.

【点睛】此题考查的是圆的综合题，考查了同圆的半径相等的性质，圆的切线的性质定理，圆周角定理，等腰三角形等角对等边的应用，矩形的判定定理，菱形的判定定理，正确掌握各知识点并应用于解决问题是解题的关键.
19.（2020年河南省周口市沈丘县中考数学一模试题）（9分）自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡米，坡度为；将斜坡的高度降低米后，斜坡改造为斜坡，其坡度为．求斜坡的长．（结果保留根号）

【答案】斜坡的长是米．
【解析】
分析】
根据题意和锐角三角函数可以求得的长，进而得到的长，再根据锐角三角函数可以得到的长，最后用勾股定理即可求得的长．
【详解】∵，，坡度为，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，斜坡的坡度为，
∴，
即，
解得，，
∴米，
答：斜坡的长是米．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．
20．（2020年河南省西峡县九年级中招考试模拟数学试题）（9分）某企业计划购买一些消毒液对厂区内进行消毒，有甲、乙两种型号的消毒液供选择，它们均按瓶销售，每瓶容量都相同．购买甲消毒液瓶和乙消毒液瓶，需元；购买瓶甲消毒液与购买瓶乙消毒液所需钱数相同．
（1）求甲、乙两种消毒液的单价各是多少元？
（2）现在企业决定只购买甲、乙消毒液中的一种即可，且甲消毒液按原价九折销售，乙消毒液购买瓶以上超出的部分按原价的六五折销售，设购买瓶甲消毒液需要元，购买瓶乙消毒液需要元，请用分别表示出和；
（3）在（2）的条件下，已知企业购买消毒液的数量多于瓶，问购买哪一种消毒液更省钱？
【答案】（1）甲：15元，乙：20元；（2） ；（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）设甲消毒液的单价为a元，乙消毒液的单价为b元，根据“甲消毒液瓶和乙消毒液瓶，需元；购买瓶甲消毒液与购买瓶乙消毒液所需钱数相同”列出方程组求解即可；
（2）根据题意直接列出y1、y2关于x的函数解析式即可；
（3）分别讨论当y1＜y2时，当y1＝y2时，当y1＞y2时的x的取值范围或x的值，由此可即可得到答案．
【详解】解：（1）设甲消毒液的单价为a元，乙消毒液的单价为b元，则

解得
答：甲消毒液的单价为15元，乙消毒液的单价为20元．
（2）根据题意，得y1＝15×0.9x＝13.5x；
当0≤x≤50时，y2＝20x；
当x＞50时，y2＝50×20＋20×0.65×（x－50）＝13x＋350．
（3）由于x＞50，所以分三种情况：
当y1＜y2时，得13.5x＜13x＋350，解得x＜700，此时选择甲；
当y1＝y2时，得13.5x＝13x＋350，解得x＝700，此时选择甲、乙花费相同；
当y1＞y2时，得13.5x＞13x＋350，解得x＞700，此时选择乙．
综上所述：当50＜x＜700时，选择购买甲消毒液更省钱；当x＝700时，选择购买甲、乙两种消毒液花费相同；当x＞700时，选择购买乙消毒液更省钱．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组、一元一次不等式在销售问题中的应用，根据题意正确列式并分类讨论是解题的关键．
21．（2020年河南省郑州市中原名校中考数学二模试题）（10分） 小明学习了函数的有关知识后，自己试着探究函数y＝x＋（x＞0）的图象与性质．
列表：
x
…




1

2
3
5
…
y
…




2




…

描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示，
（1）如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象；
（2）结合图象与表格，回答下列问题：
①函数图象上有两个不同点（x1，y1），（x2，y2），若x1•x2＝1，则y1　 　y2；（填“＞”，“＝”或“＜”）
②由图象知，当x＝　 　时，该函数有最小值，最小值是　 　；由此可得：当x＞0时，x＋≥　 　．
③对于②中的结论，小明想换个角度说明它的正确性，请你帮他完成证明过程．
∵x＞0，
∴y＝x＋
＝
＝＋2．
∵≥0，
∴y＝x＋≥　 　，且当x＝　 　时，y＝2．

【答案】（1）作图见解析；（2）①＝；②1，2，2；③2、1
【解析】
【分析】
（1）连线即可作出函数图象；
（2）①结合图象与表格解答即可；
②结合图象解答即可；
③利用配方法解答即可．
【详解】解：（1）如图所示：

（2）①函数图象上有两个不同的点（x1，y1），（x2，y2），若x1•x2＝1，则y1＝y2；
②由图象知，当x＝1时，该函数有最小值，最小值是2；由此可得：当x＞0时，x＋≥2；
③对于②中的结论，小明想换个角度说明它的正确性，请你帮他完成证明过程．
∵x＞0，
∴y＝x＋
＝
＝＋2．
∵≥0，
∴y＝x＋≥2，且当x＝1时，y＝2．
故答案为：（2）①＝；②1、2、2；③2、1．
【点睛】本题综合性很强，考查了非负数的性质、偶次方、函数值、函数的图象以及反比例函数及其应用等，要灵活运用所学知识．
22．（2020年河南省新乡市中考数学评价测试题）（10分）如图，在正方形ABCD中，M、N分别是射线CB和射线DC上的动点，且始终∠MAN＝45°．

（1）如图1，当点M、N分别在线段BC、DC上时，请直接写出线段BM、MN、DN之间的数量关系；
（2）如图2，当点M、N分别在CB、DC的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，给予证明，若不成立，写出正确的结论，并证明；
（3）如图3，当点M、N分别在CB、DC的延长线上时，若CN＝CD＝6，设BD与AM的延长线交于点P，交AN于Q，直接写出AQ、AP的长．
【答案】（1）BM+DN＝MN；（2）（1）中的结论不成立，DN﹣BM＝MN．理由见解析；（3）AP＝AM+PM＝3．
【解析】
【分析】
（1）在MB的延长线上，截取BE=DN，连接AE，则可证明△ABE≌△ADN，得到AE=AN，进一步证明△AEM≌△ANM，得出ME=MN，得出BM+DN=MN；
（2）在DC上截取DF=BM，连接AF，可先证明△ABM≌△ADF，得出AM=AF，进一步证明△MAN≌△FAN，可得到MN=NF，从而可得到DN-BM=MN；
（3）由已知得出DN=12，由勾股定理得出AN＝＝＝6 ，由平行线得出△ABQ∽△NDQ，得出＝＝＝＝，∴＝，求出AQ=2 ；由（2）得出DN-BM=MN．设BM=x，则MN=12-x，CM=6+x，在Rt△CMN中，由勾股定理得出方程，解方程得出BM=2，由勾股定理得出AM＝＝，由平行线得出△PBM∽△PDA，得出＝＝，，求出PM= PM＝AM＝，
得出AP＝AM+PM＝3.
【详解】（1）BM+DN＝MN，理由如下：
如图1，在MB的延长线上，截取BE＝DN，连接AE，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABC＝∠D＝90°，
∴∠ABE＝90°＝∠D，
在△ABE和△ADN中，，
∴△ABE≌△ADN（SAS），
∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，
∴∠EAN＝∠BAD＝90°，
∵∠MAN＝45°，
∴∠EAM＝45°＝∠NAM，
在△AEM和△ANM中，，
∴△AEM≌△ANM（SAS），
∴ME＝MN，
又∵ME＝BE+BM＝BM+DN，
∴BM+DN＝MN；
故答案为：BM+DN＝MN；
（2）（1）中的结论不成立，DN﹣BM＝MN．理由如下：
如图2，在DC上截取DF＝BM，连接AF，

则∠ABM＝90°＝∠D，
在△ABM和△ADF中，，
∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，
∴∠BAM+∠BAF＝∠BAF+∠DAF＝∠BAD＝90°，
即∠MAF＝∠BAD＝90°，
∵∠MAN＝45°，
∴∠MAN＝∠FAN＝45°，
在△MAN和△FAN中，，
∴△MAN≌△FAN（SAS），
∴MN＝NF，
∴MN＝DN﹣DF＝DN﹣BM，
∴DN﹣BM＝MN．
（3）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝AD＝CD＝6，AD∥BC，AB∥CD，∠ABC＝∠ADC＝∠BCD＝90°，
∴∠ABM＝∠MCN＝90°，
∵CN＝CD＝6，
∴DN＝12，
∴AN＝＝＝6 ，
∵AB∥CD，
∴△ABQ∽△NDQ，
∴＝＝＝＝，
∴＝，
∴AQ＝AN＝2 ；
由（2）得：DN﹣BM＝MN．
设BM＝x，则MN＝12﹣x，CM＝6+x，
在Rt△CMN中，由勾股定理得：62+（6+x）2＝（12﹣x）2，
解得：x＝2，
∴BM＝2，
∴AM＝＝＝2，
∵BC∥AD，
∴△PBM∽△PDA，
∴＝＝＝，
∴PM＝AM＝，
∴AP＝AM+PM＝3．
【点睛】本题是四边形的综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．
23．（2020年河南省郑州市中原名校中考数学二模试题）（11分）如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋4的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B(﹣2，0)，点C(8，0)，直线y＝经过点A，与x轴交于D点．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）点E为线段AC上方抛物线上一动点，若△ADE的面积为10，求点E的坐标；
（3）点P为抛物线上一动点，连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转到AP'，并使∠P′AP＝∠DAO，是否存在点P使点P′恰好落到坐标轴上？如果存在，请直接写出此时点P的横坐标；如果不存在，请说明理由．

【答案】（1）； （2）(，)；（3）存在，P点的横坐标为或或
【解析】
【分析】
（1）用待定系数法求出解析式即可；
（2）设E(m，)（0＜m＜8），过E作EQ⊥x轴于点Q，根据面积列出m的方程进行解答；
（3）分三种情况：P在第一象限内，P′落在y轴上时；P点在y轴左边，P′落在x轴上；P点在第四象限，P′落在x轴上．分别解答即可．
【详解】（1）把点B、C的坐标代入抛物线的解析式得，
解得，，
∴二次函数的解析式为：；
（2）如图，设E(m，)（0＜m＜8），过E作EQ⊥x轴于点Q，
∴EQ＝，OQ=m，
∵直线y＝经过点A与x轴交于D点，
∴y=0时，x=3，x=0时，y=4，
∴D(3，0)，A（0，4），
∴DQ＝m﹣3，OA=4，OD=3，
∴S△ADE＝S梯形AOQE﹣S△AOD﹣S△DEQ
＝
＝，
解得：m＝8（舍），或m＝，
∴E点的坐标为(，)；

（3）①当P点在第一象限内，P′点在y轴上时，如图2，
过P作PE⊥x轴于点E，过A作AM⊥PE于M，
设P(m，＋4)，则AM＝m，PM＝PE-ME=PE-OA=，
∵PE∥AO，
∴∠APM＝∠P′AP，
∵∠PAP′＝∠DAO，
∴∠APM＝∠DAO，
∵∠AMP＝∠AOD＝90°，
∴△APM∽△DAO，
∴，
即，
解得，m＝0（舍），或m＝，
∴此时P点的横坐标为；

②当P点在y轴左边，P′在x轴上时，如图3，过P作PM⊥y轴于M，过P′作P′M′⊥AD于M′，
则∠AMP＝∠AM′P′=90°，
设P（m，＋4），则AM＝，PM＝﹣m，
∵∠PAP′＝∠DAO，
∴∠PAM＝∠P′AM′，
∵AP＝AP′，
∴△APM≌△AP′M′（AAS），
∴PM＝P′M′＝﹣m，AM＝AM′═，
∵∠DM′P′＝∠DOA＝90°，∠P′DM′＝∠ADO，
∴△DP′M′∽△DAO，
∴，
即，
∴，
∵OD=3，OA=4，
∴AD==5，
∴DM′＋AM′＝AD＝5，
∴，
解得，m＝，或m＝（舍），
∴此时P点的横坐标为；

③当P点在第四象限内，P′点在x轴上时，如图4，过P作PM⊥y轴于M，过P′作P′M′⊥AD于点M′，
则∠AMP＝∠AM′P′，
设P(m，＋4)，则AM＝，PM＝m，
∵∠PAP′＝∠DAO，
∴∠PAM＝∠P′AM′，
∵AP＝AP′，
∴△APM≌△AP′M′（AAS），
∴PM＝P′M′＝m，AM＝AM′═，
∵∠DM′P′＝∠DOA＝90°，∠P′DM′＝∠ADO，
∴△DP′M′∽△DAO，
∴，
即，
∴，
∵AM′﹣DM′＝AD＝5，
∴，
解得，m＝（舍），或m＝．
∴此时P点的横坐标为．

综上，存在，其中P点的横坐标为或或．
【点睛】本题考查二次函数图象及性质；全等三角形的判定与性质；图形的平移、旋转与对称；相似三角形的判定与性质；熟练掌握相关性质及判定定理并灵活运用分类讨论的思想是解题关键．