卷19-备战2021年中考数学【名校地市好题必刷】全真模拟卷（河南专用）•4月卷

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备战2021年中考数学【名校、地市好题必刷】全真模拟卷·4月卷
第十九模拟
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（2020年河南省郑州市中原名校中考数学二模试题）的相反数为（ ）
A. B. 2020 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用相反数的定义求解．
【详解】的相反数为－（-2020）=2020．
故选B．
【点睛】考查了相反数，解题关键是正确理解相反数的定义．
2．（2020年河南省周口市沈丘县中考数学一模试题） 成人每天维生素D的摄入量约为0.0000046克．数据“0.0000046”用科学记数法表示为（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
本题用科学记数法的知识即可解答．
【详解】解：．
故选C．
【点睛】本题用科学记数法的知识点，关键是很小的数用科学记数法表示时负指数与0的个数的关系要掌握好．
3．（河南省实验中学2020-2021学年九年级下学期开学考试数学试题）如图是由6个大小相同的立方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是　　

A. 主视图 B. 左视图 C. 俯视图 D. 主视图和左视图
【答案】C
【解析】
【分析】根据所得到的主视图、俯视图、左视图结合中心对称图形的定义进行判断即可.
【详解】观察几何体，可得三视图如图所示：

可知俯视图是中心对称图形，
故选C.
【点睛】本题考查了三视图、中心对称图形，正确得到三视图是解决问题的关键.
4．（河南省实验中学2020-2021学年九年级下学期开学考试数学试题）下列运算正确的是（　　）
A. （﹣a3）2=﹣a6 B. 2a2+3a2=6a2
C. 2a2•a3=2a6 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
分别根据幂的乘方、合并同类项法则、同底数幂的乘法及分式的乘方逐一计算即可判断．
【详解】A、（-a3）2=a6，此选项错误；
B、2a2+3a2=5a2，此选项错误；
C、2a2•a3=2a5，此选项错误；
D、(，此选项正确；
故选D．
【点睛】本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握幂的乘方、合并同类项法则、同底数幂的乘法及分式的乘方的运算法则．
5．（2020年河南省新乡市中考数学评价测试题）若将函数y＝2x2的图象向右平行移动1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（　　）
A. y＝2（x+5）2﹣1 B. y＝2（x+5）2+1
C. y＝2（x﹣1）2+3 D. y＝2（x+1）2﹣3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据向右平移横坐标减，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，即可得到顶点式解析式．
【详解】函数y＝2x2的图象向右平行移动1个单位，再向上平移3个单位，得到y＝2（x﹣1）2+3．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点坐标的变化确定函数解析式的变化更简便．
6．（2020年河南省郑州市中原名校中考数学二模试题 ）已知，关于的一元二次方程中，，则该方程解得情况是（ ）
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】
求出方程的判别式即可得到答案.
详解】∵=，且，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根.
故选：B.
【点睛】此题主要考查一元二次方程根的判别式，熟记判别式的三种情况即可正确解答.
7.（2020年河南省周口市沈丘县中考数学一模试题）十堰即将跨入高铁时代，钢轨铺设任务也将完成．现还有米的钢轨需要铺设，为确保年底通车，如果实际施工时每天比原计划多铺设米，就能提前天完成任务．设原计划每天铺设钢轨米，则根据题意所列的方程是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
设原计划每天铺设钢轨米，根据如果实际施工时每天比原计划多铺设米，就能提前天完成任务可列方程．
【详解】设原计划每天铺设钢轨米，可得：，
故选A．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，关键是设出未知数以时间为等量关系列出方程．
8.（河南省实验中学2020-2021学年九年级下学期开学考试数学试题 ）如图，是的边上的中线，将线段绕点顺时针旋转后，点的对应点恰好落在边上，若，则的长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
连接利用性质的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，求解 再证明： 再利用勾股定理求解，即可得到答案．
【详解】解：如图，连接
由题意得：









故选B．
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，旋转的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
9.（2020年河南省新乡市中考数学评价测试题）如图，在▱ABCO中，A（1，2），B（5，2），将▱ABCO绕O点逆时针方向旋转90°到▱A′B′C′O的位置，则点B′的坐标是（　　）

A. （﹣2，4） B. （﹣2，5） C. （﹣1，5） D. （﹣1，4）
【答案】B
【解析】
【分析】
根据旋转的性质证明△BOD≌△B’OD’得到OD=OD’,BD=B’D’即可求出B’坐标．
【详解】∵将▱ABCO绕O点逆时针方向旋转90°到▱A′B′C′O的位置，
∴∠BOB’=90°
∴∠BOD’+∠B’OD’=90°
又∠BOD’+∠BOD=90°
∴∠BOD=∠B’OD’
作BD⊥x轴，B’D’⊥y轴，
∴∠BDO=∠B’ D’O=90°
又BO=B’O
∴△BOD≌△B’OD’
∴OD=OD’=5，BD=B’D’=2
∴点B′的坐标是：（﹣2，5）．
故选：B．

【点睛】此题主要考查了旋转的性质，正确掌握平全等三角形的判定是解题关键．
10．（2020年河南省西峡县九年级中招考试模拟数学试题）如图，在平面直角坐标系中，的顶点为为．第次变换：先将关于轴对称，再向右平移个单位长度，得到；第次变换：先将关于轴对称，再向右平移个单位长度，得到；．．．；依此规律，得到．则点的坐标是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
写出A1，A2，A3的坐标，发现其中的规律An（n，（-1）n），再代入n=2020即可．
【详解】解：∵ ，B，
∴OA=1，OB=1，
∴O1A1=1，A1（1，-1），
OB1=OB+BB1=2，
∴A2（2，1），同理可得A3（3，-1）……，
An（n，（-1）n）
所以A2020（2020，1），
故选：D
【点睛】本题考查图形类规律探索，先根据前面几个点的坐标发现并总结出规律是解题的关键．
二．填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．（2020年河南省新乡市中考数学评价测试题） 计算: =_________．
【答案】1,
【解析】
【分析】
首先计算开方,把绝对值化简，然后从左向右依次计算,求值即可．
【详解】解：原式=3-2=1，
故答案为1．
【点睛】本题考查了实数的运算，根据实数运算的法则和绝对值的性质对式子进行化简是解答本题的关键．
12．（2020年河南省西峡县九年级中招考试模拟数学试题）有张全新的扑克牌，其中红桃、黑桃各张，它们的背面都一样，将它们洗匀后，背面朝上放到桌面上，从中一次随机摸出张牌，摸出的花色一样的概率是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用列举法即可列举出所有各种灯可能的情况，然后利用公式法即可求解．
【详解】解：由题意得：

共有12中情况，从4张牌中任意摸出2张牌花色一样的有4种可能，
∴摸出花色一样的概率是：；
故答案为：．
【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
13.（2020年河南省周口市沈丘县中考数学一模试题）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b2＞4ac，②abc＜0，③2a+b﹣c＞0，④a+b+c＜0．其中正确的是_____．

【答案】①④
【解析】
【分析】
抛物线与x轴由两个交点，则b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，即可判断①；由二次函数图象可知，a＜0，b＜0，c＞0，所以abc＞0，即可判断②；对称轴：直线x＝﹣1，b＝2a，所以2a+b﹣c＝4a﹣c，2a+b﹣c＝4a﹣c＜0，即可判断③；对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴一个交点﹣3＜x1＜﹣2，则抛物线与x轴另一个交点0＜x2＜1，当x＝1时，y＝a+b+c＜0，即可判断④．
【详解】解：①∵抛物线与x轴由两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
即b2＞4ac，
所以①正确；
②由二次函数图象可知，
a＜0，b＜0，c＞0，
∴abc＞0，
故②错误；
③∵对称轴：直线x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∴2a+b﹣c＝4a﹣c，
∵a＜0，4a＜0，
c＞0，﹣c＜0，
∴2a+b﹣c＝4a﹣c＜0，
故③错误；
④∵对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴一个交点﹣3＜x1＜﹣2，
∴抛物线与x轴另一个交点0＜x2＜1，
当x＝1时，y＝a+b+c＜0，
故④正确．
故答案为①④．
【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．

14.（河南省实验中学2020-2021学年九年级下学期开学考试数学试题）如图，矩形ABCD中，AB＝，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转45°得到矩形AB′C′D′，此时点B′恰好落在CD上时，点C的运动路径为弧CC′，则图中阴影部分的面积为_____．

【答案】
【解析】
【分析】如图连接AC，AC′，过B′作B′E⊥AB于E，根据旋转的性质得到AB′=AB=，于是得到B′E=AD=AE=DB′=1，利用勾股定理求得AC′=AC=，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：如图连接AC，AC′，过B′作B′E⊥AB于E，

∵将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB′C′D′，
∴∠B′AE=∠B′AD=∠C′AC=，AB′=AB=，AC′=AC，
∴△B′AD是等腰直角三角形，
∴四边形B′EAD是正方形，且AD=DB′=1，
∴B′E=AD=AE=DB′=1，
AC′=AC=，
∴B′C=BE=，
∴图中阴影部分的面积=S扇形C′AC-S△AB'C′-S△AB′C


故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质、矩形的性质、扇形的面积计算等知识点，能把不规则图形的面积转化成规则图形的面积是解此题的关键．
15.（2020年河南省郑州市中原名校中考数学二模试题）如图，在矩形ABCD中，AD=13，AB=24，点E是边AB上的一个动点，将△CBE沿CE折叠，得到△CB′E连接AB′，DB′，若△ADB′为等腰三角形，则BE的长为_____．

【答案】或或
【解析】
【分析】
当的B′在矩形的内部时，分三种情形考虑：①DA=DB′．②AD=AB′．③B′A=B′D．当点B′落在矩形的外部时，有一种情形DA=DB′，分别求解即可．
【详解】如图，过点B′作MN⊥CD于M，交AB于N，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=13，CD=AB=24，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，
又∵MN⊥CD，
∴四边形ANMD是矩形，四边形BCMN是矩形，
∴AD=MN=13，AN=DM，MC=BN，
若AD=D B′=13，
∵将△CBE沿CE折叠，得到△CB′E连接AB′，
∴BC= B′C=13，BE= B′E，
∴B′C= B′D，
又∵MN⊥CD，
∴CM=DM=12，
∴B′M===5，
∴B′N=8，
∵B′E2=NE2＋B′N2，
∴BE2=64＋（12﹣BE）2，
∴BE=；
∵A B′的最小值=AC﹣CB′=﹣13＞13，
AB′＞AD，
当B′A=B′D时，
点B′在线段AD的垂直平分线上，
∴B′M=B′N，
∴CB =CB′=2B′M，
∴∠B′CM=30°，
∴∠ECB=∠ECB′=30°，
∴BE=CB•tan30°=；
如图当点B′在直线CD的上方，AD=DB′时，

同法可知DM=CM=12，MB′=5，
在Rt△ENB′中，则有BE2=（BE﹣12）2＋182，
解得BE=，
综上所述，满足条件的BE的值为或或．
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
三．解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（2020年河南省郑州市中原名校中考数学二模试题）（8分）先化简，再求值：1﹣，其中a＝1＋，b＝1﹣．
【答案】，
【解析】
【分析】
根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将a、b的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】解：1﹣
＝1﹣
＝1﹣
＝
＝，
当a＝1＋，b＝1﹣时，原式＝＝．
【点睛】本题属于计算类综合题，应严格按照题目要求，先化简到最简形式再代数计算.
17．（2020年河南省周口市沈丘县中考数学一模试题）（9分）某校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下：
a．七年级成绩频数分布直方图：

b．七年级成绩在这一组的是：70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79
c．七、八年级成绩的平均数、中位数如下：
年级
平均数
中位数
七
76.9
m
八
79.2
79.5
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有　 　人；
（2）表中m的值为　 　；
（3）在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分，请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由；
（4）该校七年级学生有400人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数．
【答案】（1）23（2）77.5（3）甲学生在该年级的排名更靠前（4）224
【解析】
【分析】
（1）根据条形图及成绩在这一组的数据可得；
（2）根据中位数的定义求解可得；
（3）将各自成绩与该年级的中位数比较可得答案；
（4）用总人数乘以样本中七年级成绩超过平均数76.9分的人数所占比例可得．
【详解】解：（1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有人，
故答案为23；
（2）七年级50人成绩的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据分别为78、79，
，
故答案为77.5；
（3）甲学生在该年级的排名更靠前，
七年级学生甲的成绩大于中位数78分，其名次在该班25名之前，
八年级学生乙的成绩小于中位数78分，其名次在该班25名之后，
甲学生在该年级的排名更靠前．
（4）估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数为（人）．
【点睛】本题主要考查频数分布直方图、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据直方图得出解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用．
18.（2020年河南省新乡市中考数学评价测试题）（9分）已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BD于点F，交⊙O于点D，AC与BD交于点G，点E为OC的延长线上一点，且∠OEB＝∠ACD．

（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）求证：CD2＝CG•CA；
（3）若⊙O的半径为，BG的长为，求tan∠CAB．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）tan∠CAB＝．
【解析】
【分析】
（1）由∠OEB＝∠ACD，∠ACD＝∠ABD知∠OEB＝∠ABD，由OF⊥BD知∠BFE＝90°，即∠OEB＋∠EBF＝90°，从而得∠ABD＋∠EBF＝90°，据此即可得证；
（2）连接AD，证△DCG∽△ACD即可得；
（3）先证△CDF∽△GCF得，再证△DCG∽△ABG得，据此知，由r＝，BG＝知AB＝2r＝5，根据tan∠CAB＝tan∠ACO＝可得答案．
【详解】（1）∵∠OEB＝∠ACD，∠ACD＝∠ABD，
∴∠OEB＝∠ABD，
∵OF⊥BD，
∴∠BFE＝90°，
∴∠OEB+∠EBF＝90°，
∴∠ABD+∠EBF＝90°，即∠OBE＝90°，
∴BE⊥OB，
∴BE是⊙O的切线；
（2）连接AD，

∵OF⊥BD，
∴，
∴∠DAC＝∠CDB，
∵∠DCG＝∠ACD，
∴△DCG∽△ACD，
∴，
∴CD2＝AC•CG；
（3）∵OA＝OB，
∴∠CAO＝∠ACO，
∵∠CDB＝∠CAO，
∴∠ACO＝∠CDB，
而∠CFD＝∠GFC，
∴△CDF∽△GCF，
∴，
又∵∠CDB＝∠CAB，∠DCA＝∠DBA，
∴△DCG∽△ABG，
∴，
∴，
∵r＝，BG＝，
∴AB＝2r＝5，
∴tan∠CAB＝tan∠ACO＝＝．
【点睛】本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握圆的有关性质、相似三角形的判定与性质、圆的切线的判定等知识点．
19．（2020年河南省郑州市中原名校中考数学二模试题）（9分）云梯消防车在某小区工作时，云梯臂能达到的最大高度为点C处此时云梯臂AC长为40米，它与水平面的夹角为68°，转动点A距地面的高度AB为3.8米．已知该小区高层住宅楼的层高是2.8米，请你通过计算说明：家住15楼的求救者能被顺利施救吗？（消防员身高、窗台高度等因素不作考虑）（参考数据sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.50）

【答案】能
【解析】
【分析】
过点A作AD⊥CE于点D，利用有三个角为直角的四边形为矩形判定四边形ADEB是矩形，则DE＝AB，解直角三角形ADC，求得CD，则由CE＝CD＋DE得出CE的长，则问题可解．
【详解】解：过点A作AD⊥CE于点D，如图，

则∠ADE＝90°，又由题意可知∠ABE＝∠BED＝90°，
∴四边形ADEB是矩形，
∴DE＝AB＝3.8（米）．
在Rt△ACD中，
∵AC＝40米，∠CAD＝68°，
∴CD＝AC•sin68°≈40×0.93＝37.2（米），
∴CE＝CD＋DE＝37.2＋3.8＝41（米）．
∵2.8×（15﹣1）＝39.2＜41，
∴家住15楼的求救者能被顺利施救．
【点睛】本题是解直角三角形的应用，利用数形结合的数学思想，结合特殊平行四边形的判定与性质，进行综合分析解答.
20．（2020年河南省周口市沈丘县中考数学一模试题） 已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，若，且.

（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）若点为x轴上一点，是等腰三角形，求点的坐标.
【答案】（l） ， ；（2）、 ， ，
【解析】
【分析】
（1）根据可计算出A点的纵坐标，进而利用勾股定理计算出A点的横坐标，代入可得一次函数和反比例函数的解析式.
（2）根据题意可得有三种情况，一种是AB为底，一种是AB为腰，以A为顶点，一种是AB为腰，以B为顶点.
【详解】（l）过点作轴于点
∵
∴
∴
∵∴
在中，
∴∴
∵经过点 ∴ ∴
∴反比例函数表达式为
∵经过点，点
∴解得
∴一次函数表达式为

（2）本题分三种情况
①当以为腰，且点为顶角顶点时，可得点的坐标为、
②当以为腰，且以点为顶角顶点时，点关于的对称点即为所求的点
③当以为底时，作线段的中垂线交轴于点，交于点，则点即为所求
由（1）得，
在中，
∵
∴∴∴∴
∴
【点睛】本题主要考查一次函数和反比例函数的综合性问题，关键在于第二问中的等腰三角形，要分AB为腰和底，为腰又要分顶点是A还是B.
21．（河南省实验中学2020-2021学年九年级下学期开学考试数学试题）（10分）5G时代的到来，将给人类生活带来巨大改变．现有A、B两种型号的5G手机，进价和售价如表所示：型号价格

进价（元/部）
售价（元/部）
A
3000
3400
B
3500
4000
某营业厅购进A、B两种型号手机共花费32000元，手机销售完成后共获得利润4400元．
（1）营业厅购进A、B两种型号手机各多少部？
（2）若营业厅再次购进A、B两种型号手机共30部，其中B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，请设计一个方案：营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】（1）营业厅购进A、B两种型号手机分别为6部、4部；（2）营业厅购进A种型号的手机10部，B种型号的手机20部时获得最大利润，最大利润是14000元
【解析】
【分析】
（1）根据题意和表格中的数据，可以得到相应的二元一次方程组，从而可以求得营业厅购进A、B两种型号手机各多少部；
（2）根据题意，可以得到利润与A种型号手机数量的函数关系式，然后根据B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，可以求得A种型号手机数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少．
【详解】解：（1）设营业厅购进A、B两种型号手机分别为a部、b部，
，
解得，，
答：营业厅购进A、B两种型号手机分别为6部、4部；
（2）设购进A种型号的手机x部，则购进B种型号的手机(30﹣x)部，获得的利润为w元，
w＝(3400﹣3000)x+(4000﹣3500)(30﹣x)＝﹣100x+15000，
∵B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，
∴30﹣x≤2x，
解得，x≥10，
∵w＝﹣100x+15000，k＝﹣100，
∴w随x的增大而减小，
∴当x＝10时，w取得最大值，此时w＝14000，30﹣x＝20，
答：营业厅购进A种型号的手机10部，B种型号的手机20部时获得最大利润，最大利润是14000元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，以及一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键．
22.（2020年河南省西峡县九年级中招考试模拟数学试题）（10分）（1）问题发现
如图①，是等腰直角三角形，四边形是正方形，点与点重合，则线段与之间的数量关系和位置关系分别是 ．
（2）深入探究
如图②，是等腰直角三角形，四边形是正方形，点在直线上，对角线所在的直线交直线于点，则线段之间有什么数量关系？请仅就图②给出证明．
（3）拓展思维
如图②，若点在直线上，且线段，当时，直接写出此时正方形的面积．


【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）5或13
【解析】
【分析】
（1）根据已知可得CF⊥BC，AD⊥BC，即可得出BD⊥CF，再根据等腰三角形的性质即可得出BD=CF；
（2）连接DF，GF，先证明△BAD≌△CAF，再根据勾股定理即可证明；
（3）分①当D在BC上时和②当D在BC的延长线上时，两种情况结合正方形的性质及勾股定理进行讨论求解即可．
【详解】解：（1）BD=CF，BD⊥CF
∵ADEF是正方形，
∴∠ADE=∠FCD=90°，AD=CD=CF=AF，
∴CF⊥BC，AD⊥BC，
∴BD⊥CF，
∵△ABC是等腰直角三角形，AD⊥BC，
∴D是BC中点，
∴BD=CD，
∴BD=CF；
（2）BD2+CG2=DG2，
证明：连接DF，GF，

∵四边形ADEF是正方形，
∴AE垂直平分DF，AD=AF，∠DAF=90°，
∴DG=FG，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠BAC=90°，∠B=∠ACB=45°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAF-∠DAC，
即∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴BD=CF，∠B=∠ACF=45°，
∴∠GCF=∠ACB+∠ACF=90°，
Rt△GCF中，由勾股定理，得CF2+CG2=FG2，
∴BD2+CG2=DG2；
（3）①当D在BC上时，
如图，过A点作AH⊥BC于点H，


∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AH=BH=BC=2，
∵BD=1，
∴DH=BH-BD=1，
∴在Rt△ADH中，AD==，
∴S正方形ADEF=AD2=5；
②当D在BC的延长线上时，
如图，过A点作AH⊥BC于点H，

∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AH=BH=BC=2，
∵BD=1，
∴DH=BH+BD=3，
∴在Rt△ADH中，AD==，
∴S正方形ADEF=AD2=13；
综上：正方形ADEF的面积为5或13．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰三角形的性质和勾股定理的应用，掌握这些知识点灵活运用是解题关键．
23．（河南省实验中学2020-2021学年九年级下学期开学考试数学试题）（11分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，且OA=OB，在x轴上有一动点D（m，0）（0＜m＜4），过点D作x轴的垂线交直线AB于点C，交抛物线于点E，
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）当点C是DE的中点时，求出m的值.
（3）在（2）的条件下，将线段OD绕点O逆时针旋转得到OD′，旋转角为α（0°＜a＜90°），连接D′A、D′B，直接写出D′A+D′B的最小值．


【答案】（1）；（2）m=2；（3）D′A+BD′的最小值为．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式即可；
（2）可得E(m，) ，C（m，-m+4）．表示出EC的长，根据EC=CD可得出关于m的方程，解方程求出m的值即可；
（3）在y轴上取一点M′使得OM′=1，连接AM′，在AM′上取一点D′使得OD′=OD．证明△M′OD′∽△D′OB，即可求解．
【详解】解：（1）∵A（4，0），OA=OB，
∴点B的坐标为（0，4），
将点B、A坐标代入抛物线，
，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）设直线AB的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线AB的解析式为；
∵过点D（m，0）（0＜m＜4）作x轴的垂线交直线AB于点C，交抛物线于点E，
∴E(m，) ，C（m，-m+4）．
∴EC==，
∵点C是DE的中点，
∴，
解得：m=2，m=4（舍去）．
∴m=2；
（3）如图，由（2）可知D（2，0），y轴上 取一点M′使得OM′=1，连接AM′，在AM′上取一点D′使得OD′=OD．

∵OD′=OD=2，OM′•OB=1×4=4，
∴OD′2=OM′•OB，
∴，
∵∠BOD′=∠M′OD′，
∴△M′OD′∽△D′OB，
∴，
∴M′D′=BD′．
∴D′A+BD′=D′A+M′D′=AM′，
此时D′A+BD′最小（两点间线段最短，A、M′、D′共线时），
∴D′A+BD′的最小值=AM′=．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求出函数解析式，矩形的判定，相似三角形的判定和性质，最小值问题等知识，解题的关键是构造相似三角形，找到线段的最小值．