2021福建三明市三校联考高二期中考试：数学及答案

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(满分150分，完卷时间120分钟)
学校 班级 姓名 座号 2021.5.7
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共计50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）
1．复数的值是（ ）
A．-2iB．2iC．2D．－2
2．抛掷两颗质地均匀的骰子，所得点数之和为ξ，那么ξ=4表示的随机试验结果是（ ）
A．两颗都是2点
B．两颗都是4点
C．一颗是3点，一颗是1点
D．一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点
3．设函数，若，则的值为( )
A．－1 B． C．1D．
4. 展开式中的常数项为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
5．有5名同学被安排在周一至周五值日，每人值日一天。已知同学甲只能在周三值日，那么这5名同学值日顺序的编排方案共有（ ）
A．12种 B．24种 C．48种D．120种
欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占用非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7.甲、乙、等6位同学去三个社区参加义务劳动，每个社区安排2位同学，每位同学只能去一个社区，则甲、乙到同一社区的不同安排方案共有（ ）
A．6种 B．18种 C．36种 D．72种
8．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻（yá）组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有2个阳爻的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．设，
则( )
A. - B. - C. D.
10．设函数是函数的导函数，若对任意的，恒有，
则函数的零点个数为
A．0 B．1 C．2 D．3
二、多项选择题：（本题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）．
11．如图是函数的导函数的图象．现给出如下结论：
A.在(-3,-1)上是增函数；
B.是的极大值点；
C.是的极小值点．
D. 在(-1,2)上是增函数，在(2,4)上是减函数；
其中正确的结论有（ ）
12．若函数，在区间上单调，则实数的取值范围可以是（ ）
A． B． C．D．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．已知实数满足，则实数= .
14．在的二项展开式中，所有二项式系数的和是 .（用数值作答）
15．在曲线上移动，则曲线在点处的切线斜率的取值范围为: .
D
B
C
A
16．如图,一环形花坛分成四块,现有4种不同的花供选种,要求在每块里种1种花,且相邻的2块种不同的花,则不同的种法总数为： .
解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
设复数，是虚数单位，且.
（Ⅰ）求复数；
（Ⅱ）在复平面内，若复数对应的点在第四象限，求实数的取值范围.
18．（本小题满分12分）
今年6月14日是端午节，吃粽子是我国端午节的传统习俗.现有一盘子，装有个粽子,其中红豆粽个,肉粽个,蛋黄粽个,假设这三种粽子除馅料外完全相同.从中任意选取个.
（1）.求选取的三个粽子中恰有个肉粽的概率;
（2）.设ξ表示取到的红豆粽个数,求ξ的分布列.并求“所选3个粽子中红豆粽不少于1个”的概率．
19．（本小题满分12分）
在的展开式中,第3项的二项式系数为28 .
（Ⅰ）求第5项的系数（要算出具体数值），
（Ⅱ）展开式中是否含有常数项？若有，请求出来；若没有，说明理由．
20．（本小题满分12分）
设函数.
（1）若在处的切线为，求的值；
（2）当时， 恒成立，求的范围。
21．(本小题满分12分)
受“新冠”肺炎疫情的影响，实体经济萎靡，线上投资走红。某家庭进行网上理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品A,年收益与投资额成正比；投资股票等风险型产品B,年收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的年收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）．
（1）分别求出两种产品的年收益与投资额的函数关系式；
（2）若该家庭现有10万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元？
22．（本小题满分12分）
已知函数，，其中．
（1）若是函数的极值点，求实数的值；
（2）若对任意的（为自然对数的底数）都有≥成立，求实数的取值范围．
2020-2021学年第二学期三明市三地三校联考期中考试联考协作卷
高二数学试卷参考答案
一．选择题：（共12小题，每小题5分，共60分）
二．填空题：（共4小题，每小题5分，共20分）
13. ; 14. 32 ; 15. ; 16. 84
三．解答题：（共6题，74分，解答时应写出必要的文字说明过程或验算步骤。)
17．（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）∵，，∴， ……………2分
，，又∵，
∴， ……………4分
∴． ……………5分
（Ⅱ = 2 \* ROMAN ）∵,则，
∴， ……………7分
又∵复数对应的点在第四象限，
∴ 得 ……………9分
∴． … ………10分
18．（本小题满分12分）
解：（ 1）.令表示事件“三个粽子中有个肉粽”,则由古典概型的概率计算公式有 .
……………4分
.(2解：由题意知，ξ服从超几何分布，ξ可能取的值为0,1,2．则………5分
且； ； ………8分
所以ξ的分布列为
………10分
由ξ的分布列知，“所选3个粽子中红豆粽不少于1个”的概率等价于”的概率，
为：P()＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝． ………12分
19．（本小题满分12分）
解： （Ⅰ）因为
所以第3项的二项式系数是，………3分
第5项的系数为。…………6分
（Ⅱ）该展开式的通项式为
…………9分
展开式含有常数项当且仅当 得 r=，这与矛盾，………11分
所以展开式中不含有常数项。 ………12分
20．（本小题满分12分）
（1）由得
，且.………2分
由题意得，所以.………4分
又在切线上.
所以.所以.………6分
所以.
（2）解：由，
当时，得.………8分
当时， ，且当时， ，此时.
所以，即在上单调递増，………10分
所以，………11分
由恒成立，得，所以.………12分
21．(本小题满分12分)
解：（1）依题意可设．……………2分
∵，∴……………4分
（2）法一（导数求最值）：设投资债券类产品万元，则股票类投资为万元，年收益为y万元依题意得……………5分
……………8分
令，且……………10分
所以……………12分
法二（二次函数配方法）：设投资债券类产品x万元，则股票类投资为万元，年收益为y万元依题意得……………5分
即．
令则．
则
即……………10分
所以当即时，收益最大，最大值为万元，……………12分
22．（本小题满分12分
（I）解法1：∵h(x)=2x++lnx，其定义域为(0,+∞)，……… (1分)
∴h`(x)=2-- ……… (3分)
∵x=1是函数h(x)的极值点，∴h`(1)=0，即3-a2=0．
∵a>0，∴a=．
经检验当a=时，x=1是函数h(x)的极值点，∴a=． ………………(5分)
解法2：∵h(x)=2x++lnx，其定义域为(0,+∞)，
∴h`(x)=2--． 令h`(x)=0，即2--=0，整理，得2x2+x-a=0．
∵=1+8a2>0，
∴h`(x)=0的两个实根x1=（舍去），x2=，
当变化时，h(x),h`(x)的变化情况如下表：
依题意，=1，即a2=3，∵a>0，∴a=． (5分)
（Ⅱ）对任意的x1,x2∈[1,e]都有f(x1)≥g(x2)成立等价于对任意的x1,x2∈[1,e]都有[f(x)]min≥[g(x)]max ………(6分)
当x∈[1,e]时，g`(x)=1+>0．
∴函数g(x)=x+lnx在[1,e]上是增函数．∴[g(x)]max=g(e)=e+1．……… (8分)
∵f`(x)=1-=，且x∈[1,e]，a>0．
①当00，
∴函数f(x)=x+在［1,e］上是增函数，
∴[f(x)]min=f(1)=1+a2,由1+a2≥e+1，得a≥，又∵0∴不合题意． ………(9分)
②当1≤a≤e时，
若1≤x若a0．
∴函数f(x)=x+在[1,a]上是减函数，在(a,e]上是增函数．
∴[f(x)]min=f(a)=2a.
由2a≥e+1，得a≥，又1≤a≤e，∴≤a≤e．……… (10分)
③当a>e且x∈[1,e]时，f`(x)=<0，
∴函数f(x)=x+在［1,e］上是减函数．
∴[f(x)]min=f(e)=e+,由e+≥e+1，得a≥，
又a>e，∴a>e ……… (11分)
综上所述,a的取值范围为[,+∞) ……… (12分)


题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
D
C
A
B
B
B
D
C
A
BD
AC
0
1
2
P
x
(0,x2)
(x2,+∞)
h`(x)
-
0
+
h(x)
↘
极小值
↗